نسبة الإشارة إلى الضوضاء

نسبة الإشارة إلى الضوضاء ( SNR أو S/N ) هي مقياس يستخدم في العلوم والهندسة لمقارنة مستوى الإشارة المطلوبة بمستوى الضوضاء الخلفية . تُعرَّف نسبة الإشارة إلى الضوضاء بأنها نسبة قوة الإشارة إلى قوة الضوضاء ، والتي غالبًا ما يتم التعبير عنها بالديسيبل . تشير النسبة الأعلى من 1:1 (أكبر من 0 ديسيبل) إلى وجود إشارة أكثر من الضوضاء.

تُعد نسبة الإشارة إلى الضوضاء (SNR) معلمة مهمة تؤثر على أداء وجودة الأنظمة التي تعالج الإشارات أو تنقلها، مثل أنظمة الاتصالات وأنظمة الصوت وأنظمة الرادار وأنظمة التصوير وأنظمة اكتساب البيانات . تعني نسبة الإشارة إلى الضوضاء العالية أن الإشارة واضحة وسهلة الكشف عنها أو تفسيرها، بينما تعني نسبة الإشارة إلى الضوضاء المنخفضة أن الإشارة تالفة أو محجوبة بالضوضاء وقد يكون من الصعب تمييزها أو استعادتها. يمكن تحسين نسبة الإشارة إلى الضوضاء من خلال طرق مختلفة، مثل زيادة قوة الإشارة أو تقليل مستوى الضوضاء أو تصفية الضوضاء غير المرغوب فيها أو استخدام تقنيات تصحيح الأخطاء.

تحدد نسبة الإشارة إلى الضوضاء أيضًا الحد الأقصى الممكن لكمية البيانات التي يمكن نقلها بشكل موثوق عبر قناة معينة، والتي تعتمد على عرض النطاق الترددي ونسبة الإشارة إلى الضوضاء. يتم وصف هذه العلاقة بواسطة نظرية شانون-هارتلي ، وهي قانون أساسي لنظرية المعلومات.

يمكن حساب نسبة الإشارة إلى الضوضاء باستخدام صيغ مختلفة اعتمادًا على كيفية قياس الإشارة والضوضاء وتحديدهما. الطريقة الأكثر شيوعًا للتعبير عن نسبة الإشارة إلى الضوضاء هي بالديسيبل، وهو مقياس لوغاريتمي يسهل مقارنة القيم الكبيرة أو الصغيرة. قد تستخدم تعريفات أخرى لنسبة الإشارة إلى الضوضاء عوامل أو أسسًا مختلفة للوغاريتم، اعتمادًا على السياق والتطبيق.

لا يستشهد هذا القسم بأي مصادر . يُرجى المساعدة في تحسين هذا القسم من خلال إضافة الاستشهادات إلى مصادر موثوقة . قد يتم الطعن في المواد غير الموثقة وإزالتها . ( فبراير 2022 ) ( تعرف على كيفية ومتى تزيل هذه الرسالة )

أحد تعريفات نسبة الإشارة إلى الضوضاء هي نسبة قوة الإشارة ( المدخلات ذات المعنى) إلى قوة الضوضاء الخلفية (المدخلات غير ذات المعنى أو غير المرغوب فيها):

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {P_{\mathrm {إشارة}}}{P_{\mathrm {ضوضاء}}},}$

حيث P هي القدرة المتوسطة. يجب قياس كل من قوة الإشارة والضوضاء عند نفس النقاط أو نقاط مكافئة في النظام، وضمن نفس نطاق عرض النظام .

نسبة الإشارة إلى الضوضاء للمتغير العشوائي ( S ) إلى الضوضاء العشوائية N هي: ^[1]

$${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {\mathrm {E} [S^{2}]}{\mathrm {E} [N^{2}]}}\,,}$$

حيث يشير E إلى القيمة المتوقعة ، والتي في هذه الحالة هي متوسط ​​مربع N.

إذا كانت الإشارة عبارة عن قيمة ثابتة لـ s ، فإن هذه المعادلة تتبسط إلى:

$${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {s^{2}}{\mathrm {E} [N^{2}]}}\,.}$$

إذا كانت الضوضاء لها قيمة متوقعة تساوي صفرًا ، كما هو شائع، فإن المقام هو تباينها ، ومربع انحرافها المعياري σ _N.

يجب قياس الإشارة والضوضاء بنفس الطريقة، على سبيل المثال كجهد عبر نفس المعاوقة . يمكن استخدام متوسط ​​مربعات الجذر الخاصة بهما بشكل بديل وفقًا لما يلي:

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {P_{\mathrm {إشارة} }}{P_{\mathrm {ضوضاء} }}}=\left({\frac {A_{\mathrm {إشارة} }}{A_{\mathrm {ضوضاء} }}}\right)^{2},}$

حيث A هو متوسط ​​سعة الجذر التربيعي المتوسط ​​(RMS) (على سبيل المثال، جهد الجذر التربيعي المتوسط).

نظرًا لأن العديد من الإشارات لها نطاق ديناميكي واسع جدًا ، فغالبًا ما يتم التعبير عن الإشارات باستخدام مقياس الديسيبل اللوغاريتمي . بناءً على تعريف الديسيبل، يمكن التعبير عن الإشارة والضوضاء بالديسيبل (dB) على النحو التالي:

${\displaystyle P_{\mathrm {إشارة، ديسيبل} }=10\log _{10}\left(P_{\mathrm {إشارة} }\right)}$

و

${\displaystyle P_{\mathrm {الضوضاء، ديسيبل} }=10\log _{10}\left(P_{\mathrm {الضوضاء} }\right).}$

وبنفس الطريقة، يمكن التعبير عن نسبة الإشارة إلى الضوضاء بالديسيبل على النحو التالي:

${\displaystyle \mathrm {SNR_{dB}} =10\log _{10}\left(\mathrm {SNR} \right).}$

استخدام تعريف SNR

${\displaystyle \mathrm {SNR_{dB}} =10\log _{10}\left({\frac {P_{\mathrm {إشارة}}}{P_{\mathrm {ضوضاء}}}\right).}$

استخدام قاعدة القسمة للوغاريتمات

${\displaystyle 10\log _{10}\left({\frac {P_{\mathrm {signal} }}{P_{\mathrm {noise} }}}\right)=10\log _{10}\left(P_{\mathrm {signal} }\right)-10\log _{10}\left(P_{\mathrm {noise} }\right).}$

يؤدي استبدال تعريفات نسبة الإشارة إلى الضوضاء والإشارة والضوضاء بالديسيبل في المعادلة أعلاه إلى صيغة مهمة لحساب نسبة الإشارة إلى الضوضاء بالديسيبل، عندما تكون الإشارة والضوضاء أيضًا بالديسيبل:

${\displaystyle \mathrm {SNR_{dB}} ={P_{\mathrm {signal,dB} }-P_{\mathrm {noise,dB} }}.}$

في الصيغة أعلاه، يتم قياس P بوحدات القدرة، مثل الواط (W) أو المللي واط (mW)، ونسبة الإشارة إلى الضوضاء هي رقم محض.

ومع ذلك، عندما يتم قياس الإشارة والضوضاء بالفولت (V) أو الأمبير (A)، والتي هي مقاييس السعة، ^{[ملاحظة 1]} يجب أولاً تربيعها للحصول على كمية متناسبة مع القدرة، كما هو موضح أدناه:

${\displaystyle \mathrm {SNR_{dB}} =10\log _{10}\left[\left({\frac {A_{\mathrm {signal} }}{A_{\mathrm {noise} }}}\right)^{2}\right]=20\log _{10}\left({\frac {A_{\mathrm {signal} }}{A_{\mathrm {noise} }}}\right)={A_{\mathrm {signal,dB} }-A_{\mathrm {noise,dB} }}.}$

ترتبط مفاهيم نسبة الإشارة إلى الضوضاء والنطاق الديناميكي ارتباطًا وثيقًا. يقيس النطاق الديناميكي النسبة بين أقوى إشارة غير مشوهة على قناة وأدنى إشارة يمكن تمييزها، والتي تعد في معظم الأغراض مستوى الضوضاء. يقيس SNR النسبة بين مستوى إشارة عشوائي (ليس بالضرورة أقوى إشارة ممكنة) والضوضاء. يتطلب قياس نسب الإشارة إلى الضوضاء اختيار إشارة تمثيلية أو مرجعية . في هندسة الصوت ، تكون الإشارة المرجعية عادةً موجة جيبية عند مستوى اسمي أو مستوى محاذاة موحد ، مثل 1 كيلو هرتز عند +4 ديسيبل (1.228 فولت _{جذر متوسط ​​مربع} ).

عادةً ما يتم استخدام نسبة الإشارة إلى الضوضاء للإشارة إلى متوسط ​​نسبة الإشارة إلى الضوضاء، حيث من الممكن أن تكون نسب الإشارة إلى الضوضاء اللحظية مختلفة بشكل كبير. يمكن فهم المفهوم على أنه تطبيع مستوى الضوضاء إلى 1 (0 ديسيبل) وقياس مدى "بروز" الإشارة.

في الفيزياء، يتم تعريف متوسط ​​القدرة لإشارة التيار المتردد على أنه متوسط ​​قيمة الجهد مضروبًا في التيار؛ بالنسبة للدوائر المقاومة (غير التفاعلية )، حيث يكون الجهد والتيار في نفس الطور، فإن هذا يعادل حاصل ضرب الجذر التربيعي المتوسط ​​للجهد والتيار:

${\displaystyle \mathrm {P} =V_{\mathrm {rms} }I_{\mathrm {rms} }}$

${\displaystyle \mathrm {P} ={\frac {V_{\mathrm {rms} }^{2}}{R}}=I_{\mathrm {rms} }^{2}R}$

ولكن في معالجة الإشارات والاتصالات، يفترض المرء عادةً أن ^[3] هو العامل الذي لا يتم تضمينه عادةً أثناء قياس قوة أو طاقة الإشارة. وقد يتسبب هذا في بعض الارتباك بين القراء، ولكن عامل المقاومة ليس مهمًا للعمليات النموذجية التي يتم إجراؤها في معالجة الإشارات، أو لنسب قوة الحوسبة. وفي معظم الحالات، تعتبر قوة الإشارة ببساطة ${\displaystyle R=1\Omega }$

${\displaystyle \mathrm {P} =V_{\mathrm {rms} }^{2}}$

التعريف البديل لـ SNR هو معكوس معامل التباين ، أي نسبة المتوسط ​​إلى الانحراف المعياري للإشارة أو القياس: ^{[4] [5]}

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {\mu }{\sigma }}}$

حيث هو متوسط ​​الإشارة أو القيمة المتوقعة و هو الانحراف المعياري للضوضاء، أو تقدير له. ^{[ملاحظة 2]} لاحظ أن مثل هذا التعريف البديل مفيد فقط للمتغيرات التي تكون دائمًا غير سلبية (مثل عدد الفوتونات والسطوع ) ، وهو تقريب فقط لأنه . يستخدم بشكل شائع في معالجة الصور ، ^{[6] [7] [8] [9]} حيث يتم حساب نسبة الإشارة إلى الضوضاء للصورة عادةً كنسبة متوسط ​​قيمة البكسل إلى الانحراف المعياري لقيم البكسل على مساحة مجاورة معينة. ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{2}\right]=\sigma ^{2}+\mu ^{2}}$

في بعض الأحيان ^{[ يحتاج إلى مزيد من التوضيح ]} يتم تعريف نسبة الإشارة إلى الضوضاء على أنها مربع التعريف البديل أعلاه، وفي هذه الحالة تكون معادلة للتعريف الأكثر شيوعًا:

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {\mu ^{2}}{\sigma ^{2}}}}$

يرتبط هذا التعريف ارتباطًا وثيقًا بمؤشر الحساسية أو d ' ، عندما نفترض أن الإشارة لها حالتان يفصل بينهما سعة الإشارة ، وأن الانحراف المعياري للضوضاء لا يتغير بين الحالتين. ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$

تنص معايير روز (التي سميت على اسم ألبرت روز ) على أن نسبة الإشارة إلى الضوضاء التي تبلغ 5 على الأقل ضرورية للتمكن من التمييز بين سمات الصورة بيقين. تعني نسبة الإشارة إلى الضوضاء التي تقل عن 5 يقينًا أقل من 100% في تحديد تفاصيل الصورة. ^{[5] [10]}

يتم استخدام تعريف بديل آخر محدد للغاية ومميز لنسبة الإشارة إلى الضوضاء لتوصيف حساسية أنظمة التصوير؛ انظر نسبة الإشارة إلى الضوضاء (التصوير) .

ومن بين التدابير ذات الصلة " نسبة التباين " و" نسبة التباين إلى الضوضاء ".

يتم تحديد نسبة الإشارة إلى الضوضاء في القناة بواسطة

${\displaystyle \mathrm {(SNR)_{C,AM}} ={\frac {A_{C}^{2}(1+k_{a}^{2}P)}{2WN_{0}}}}$

حيث W هو عرض النطاق الترددي ومؤشر التعديل ${\displaystyle k_{a}}$

يتم تحديد نسبة الإشارة إلى الضوضاء الناتجة (لمستقبل AM) بواسطة

${\displaystyle \mathrm {(SNR)_{O,AM}} ={\frac {A_{c}^{2}k_{a}^{2}P}{2WN_{0}}}}$

يتم تحديد نسبة الإشارة إلى الضوضاء في القناة بواسطة

${\displaystyle \mathrm {(SNR)_{C,FM}} ={\frac {A_{c}^{2}}{2WN_{0}}}}$

يتم تحديد نسبة الإشارة إلى الضوضاء الناتجة بواسطة

${\displaystyle \mathrm {(SNR)_{O,FM}} ={\frac {A_{c}^{2}k_{f}^{2}P}{2N_{0}W^{3}}}}$

تتأثر جميع القياسات الحقيقية بالضوضاء. ويشمل ذلك الضوضاء الإلكترونية ، ولكن يمكن أن يشمل أيضًا الأحداث الخارجية التي تؤثر على الظاهرة المقاسة - الرياح، والاهتزازات، وجاذبية القمر، وتغيرات درجة الحرارة، وتغيرات الرطوبة، وما إلى ذلك، اعتمادًا على ما يتم قياسه وحساسية الجهاز. غالبًا ما يكون من الممكن تقليل الضوضاء من خلال التحكم في البيئة.

يمكن تقليل الضوضاء الإلكترونية الداخلية لأنظمة القياس من خلال استخدام مكبرات صوت منخفضة الضوضاء .

عندما تكون خصائص الضوضاء معروفة ومختلفة عن الإشارة، فمن الممكن استخدام مرشح لتقليل الضوضاء. على سبيل المثال، يمكن لمضخم القفل استخراج إشارة ذات نطاق ترددي ضيق من ضوضاء النطاق العريض أقوى بمليون مرة.

عندما تكون الإشارة ثابتة أو دورية والضوضاء عشوائية، فمن الممكن تعزيز نسبة الإشارة إلى الضوضاء عن طريق حساب متوسط ​​القياسات. في هذه الحالة، تنخفض الضوضاء بمقدار الجذر التربيعي لعدد العينات المتوسطة.

عند رقمنة القياس، يحدد عدد البتات المستخدمة لتمثيل القياس أقصى نسبة إشارة إلى ضوضاء ممكنة. وذلك لأن أدنى مستوى ضوضاء ممكن هو الخطأ الناتج عن تكميم الإشارة، والذي يُسمى أحيانًا ضوضاء التكميم . هذا المستوى من الضوضاء غير خطي ويعتمد على الإشارة؛ توجد حسابات مختلفة لنماذج الإشارة المختلفة. يتم نمذجة ضوضاء التكميم كإشارة خطأ تناظرية يتم جمعها مع الإشارة قبل التكميم ("ضوضاء إضافية").

يفترض هذا الحد الأقصى النظري لنسبة الإشارة إلى الضوضاء إشارة إدخال مثالية. إذا كانت إشارة الإدخال مشوشة بالفعل (كما هي الحال عادةً)، فقد تكون ضوضاء الإشارة أكبر من ضوضاء التكميم. تحتوي المحولات التناظرية إلى الرقمية الحقيقية أيضًا على مصادر أخرى للضوضاء تعمل على تقليل نسبة الإشارة إلى الضوضاء بشكل أكبر مقارنة بالحد الأقصى النظري من ضوضاء التكميم المثالية، بما في ذلك الإضافة المتعمدة للتشويش .

على الرغم من أنه من الممكن التعبير عن مستويات الضوضاء في النظام الرقمي باستخدام نسبة الإشارة إلى الضوضاء، إلا أنه من الأكثر شيوعًا استخدام E _b /N _o ، وهي كثافة الطاقة لكل بت لكل طاقة ضوضاء.

نسبة خطأ التعديل (MER) هي مقياس لنسبة الإشارة إلى الضوضاء في إشارة معدلة رقميًا.

بالنسبة للأعداد الصحيحة ذات n بت مع مسافة متساوية بين مستويات التكميم ( التكميم المنتظم ) ، يتم أيضًا تحديد النطاق الديناميكي (DR).

بافتراض توزيع موحد لقيم إشارة الإدخال، فإن ضوضاء التكميم هي إشارة عشوائية موزعة بشكل موحد بسعة ذروة إلى ذروة تبلغ مستوى تكميم واحد، مما يجعل نسبة السعة 2n ^/ 1. تكون الصيغة إذن:

${\displaystyle \mathrm {DR_{dB}} =\mathrm {SNR_{dB}} =20\log _{10}(2^{n})\approx 6.02\cdot n}$

هذه العلاقة هي أصل عبارات مثل " يتمتع الصوت ذو 16 بت بنطاق ديناميكي يبلغ 96 ديسيبل". كل بت إضافي للكمية يزيد النطاق الديناميكي بنحو 6 ديسيبل.

بافتراض وجود إشارة موجة جيبية كاملة النطاق (أي أن المكمِّم مصمم بحيث يكون له نفس القيم الدنيا والقصوى لإشارة الإدخال)، فإن ضوضاء التكميم تقترب من موجة سن المنشار بسعة ذروة إلى ذروة تبلغ مستوى تكميم واحد ^[11] وتوزيع موحد. في هذه الحالة، تكون نسبة الإشارة إلى الضوضاء تقريبًا

${\displaystyle \mathrm {SNR_{dB}} \approx 20\log _{10}(2^{n}{\textstyle {\sqrt {3/2}}})\approx 6.02\cdot n+1.761}$

توفر الأرقام ذات الفاصلة العائمة طريقة للموازنة بين نسبة الإشارة إلى الضوضاء وزيادة النطاق الديناميكي. بالنسبة للأرقام ذات الفاصلة العائمة التي تحتوي على n بت، مع وجود nm بت في الجزء العشري وm بت في الأس :

${\displaystyle \mathrm {DR_{dB}} =6.02\cdot 2^{m}}$

${\displaystyle \mathrm {SNR_{dB}} =6.02\cdot (n-m)}$

إن النطاق الديناميكي أكبر بكثير من النطاق الثابت ولكن على حساب نسبة إشارة إلى ضوضاء أسوأ. وهذا يجعل الفاصلة العائمة مفضلة في المواقف التي يكون فيها النطاق الديناميكي كبيرًا أو غير قابل للتنبؤ. يمكن استخدام التنفيذات الأبسط للنقطة الثابتة دون أي عيب في جودة الإشارة في الأنظمة حيث يكون النطاق الديناميكي أقل من 6.02 م. يمكن أن يكون النطاق الديناميكي الكبير جدًا للفاصلة العائمة عيبًا، لأنه يتطلب المزيد من التفكير المسبق في تصميم الخوارزميات. ^{[12] [ملاحظة 3] [ملاحظة 4]}

تحتوي الإشارات الضوئية على تردد حامل (حوالي200 تيراهرتز وأكثر) وهو أعلى بكثير من تردد التعديل. بهذه الطريقة تغطي الضوضاء نطاقًا تردديًا أوسع بكثير من الإشارة نفسها. يعتمد تأثير الإشارة الناتجة بشكل أساسي على تصفية الضوضاء. لوصف جودة الإشارة دون أخذ المستقبل في الاعتبار، يتم استخدام نسبة الإشارة إلى الضوضاء البصرية (OSNR). نسبة الإشارة إلى الضوضاء البصرية هي النسبة بين قوة الإشارة وقوة الضوضاء في نطاق ترددي معين. غالبًا ما يتم استخدام نطاق ترددي مرجعي يبلغ 0.1 نانومتر. هذا النطاق الترددي مستقل عن تنسيق التعديل والتردد والمستقبل. على سبيل المثال، يمكن إعطاء نسبة إشارة إلى ضوضاء تبلغ 20 ديسيبل/0.1 نانومتر، حتى إشارة 40 جيجابت DPSK لن تتناسب مع هذا النطاق الترددي. يتم قياس نسبة الإشارة إلى الضوضاء البصرية باستخدام محلل الطيف الضوئي .

يمكن اختصار نسبة الإشارة إلى الضوضاء إلى SNR وأقل شيوعًا إلى S/N. يرمز PSNR إلى نسبة الإشارة إلى الضوضاء القصوى . يرمز GSNR إلى نسبة الإشارة إلى الضوضاء الهندسية. ^[13] SINR هي نسبة الإشارة إلى التداخل بالإضافة إلى الضوضاء .

في حين أن نسبة الإشارة إلى الضوضاء تُستخدم عادةً للإشارات الكهربائية، إلا أنه يمكن تطبيقها على أي شكل من أشكال الإشارات، على سبيل المثال مستويات النظائر في قلب الجليد ، أو الإشارات الكيميائية الحيوية بين الخلايا، أو إشارات التداول المالي . يُستخدم المصطلح أحيانًا مجازيًا للإشارة إلى نسبة المعلومات المفيدة إلى البيانات الخاطئة أو غير ذات الصلة في محادثة أو تبادل. على سبيل المثال، في منتديات المناقشة عبر الإنترنت والمجتمعات الأخرى عبر الإنترنت، تُعتبر المنشورات خارج الموضوع والرسائل غير المرغوب فيها ضوضاء تتداخل مع إشارة المناقشة المناسبة. ^[14]

يمكن أيضًا تطبيق نسبة الإشارة إلى الضوضاء في التسويق وكيفية إدارة المتخصصين في مجال الأعمال للكميات الزائدة من المعلومات. يمكن أن تساعد إدارة نسبة الإشارة إلى الضوضاء الصحية المديرين التنفيذيين في الشركات على تحسين مؤشرات الأداء الرئيسية الخاصة بهم. ^[15]

نسبة الإشارة إلى الضوضاء تشبه نسبة d لكوهين والتي تعطى عن طريق الفرق بين المتوسطات المقدرة مقسومًا على الانحراف المعياري للبيانات وترتبط بإحصائية الاختبار في اختبار t . ^[16]${\displaystyle d={\frac {{\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2}}{\text{SD}}}={\frac {{\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2}}{\sigma }}={\frac {t}{\sqrt {N}}}}$ ${\displaystyle t}$

• والت كيستر، إزالة الغموض من الصيغة سيئة السمعة، "SNR = 6.02N + 1.76dB،" ولماذا يجب أن تهتم (PDF) ، Analog Devices، تم أرشفته (PDF) من الأصل في 2022-10-09 ، تم استرجاعه في 2019-04-10
• مصطلحات المحول التناظري الرقمي والمحول التناظري الرقمي التناظري – منتجات Maxim المتكاملة
• تعرف على SINAD وENOB وSNR وTHD وTHD + N وSFDR حتى لا تضيع في أرضية الضوضاء - Analog Devices
• العلاقة بين النطاق الديناميكي وحجم كلمة البيانات في معالجة الصوت الرقمي
• حساب نسبة الإشارة إلى الضوضاء، وجهد الضوضاء، ومستوى الضوضاء
• التعلم عن طريق المحاكاة – محاكاة توضح تحسن نسبة الإشارة إلى الضوضاء من خلال حساب متوسط ​​الوقت
• اختبار الأداء الديناميكي لمحولات الصوت الرقمي D/A
• النظرية الأساسية للدوائر التناظرية: يجب تبديد الحد الأدنى من الطاقة للحفاظ على مستوى SNR
• عرض توضيحي تفاعلي على شبكة الإنترنت لتصور نسبة الإشارة إلى الضوضاء في مخطط كوكبة QAM معهد الاتصالات، جامعة شتوتغارت
• برنارد ويدرو، إستفان كولار (2008-07-03)، ضوضاء التكميم: خطأ التقريب في الحوسبة الرقمية ومعالجة الإشارات والتحكم والاتصالات، مطبعة جامعة كامبريدج، كامبريدج، المملكة المتحدة، 2008. 778 صفحة، ISBN 9780521886710
• صفحة كتاب Quantization Noise Widrow & Kollár مع فصول نموذجية ومواد إضافية
• عرض صوتي عبر الإنترنت لنسبة الإشارة إلى الضوضاء - مختبر الاتصالات الافتراضية