قانون ستيفان-بولتزمان

باستخدام قانونه، حدد ستيفان أيضًا درجة حرارة سطح الشمس . ^{[ 22 ]} استنتج من بيانات جاك لويس سوريه ( 1827-1890 ) ^{[ 23 ]} أن كثافة تدفق الطاقة من الشمس أكبر بـ 29 مرة من كثافة تدفق الطاقة لشريحة معدنية ساخنة ( صفيحة رقيقة). وُضعت شريحة دائرية على مسافة من جهاز القياس بحيث تُرى بنفس القطر الزاوي للشمس. قدّر سوريه درجة حرارة الشريحة بما يتراوح بين 1900 و 2000  درجة مئوية تقريبًا. افترض ستيفان أن ثلث تدفق الطاقة من الشمس يمتصه الغلاف الجوي للأرض ، لذا اعتمد قيمة لتدفق طاقة الشمس الصحيح أكبر بـ 3.5 مرة من قيمة سوريه، أي 29 × 3/2 = 43.5.

لم تُجرَ قياسات دقيقة لامتصاص الغلاف الجوي حتى عامي 1888 و1904. وكانت درجة الحرارة التي حصل عليها ستيفان قيمة متوسطة للقيم السابقة، وهي 1950  درجة مئوية، بينما كانت القيمة المطلقة للديناميكا الحرارية 2200  كلفن. وبما أن 2.57 ^{÷ 4} = 43.5، فإنه يترتب على القانون أن درجة حرارة الشمس أكبر بمقدار 2.57 مرة من درجة حرارة الصفيحة، لذا حصل ستيفان على قيمة 5430  درجة مئوية أو 5700  كلفن. وكانت هذه أول قيمة معقولة لدرجة حرارة الشمس. قبل ذلك، تراوحت القيم من 1800  درجة مئوية كحد أدنى إلى 1800 درجة مئوية كحد أقصى.زُعم أن درجة الحرارة بلغت 13 مليون درجة مئوية [  ^{24 ] .}  وقد حدد كلود بوييه (1790-1868) القيمة الأدنى البالغة 1800 درجة مئوية عام 1838 باستخدام قانون دولونغ-بيتيت . ^{[ 25 ] [ 26 ]} كما اعتمد بوييه نصف قيمة تدفق الطاقة الشمسية الصحيحة.

يمكن تقريب درجة حرارة النجوم الأخرى غير الشمس باستخدام وسيلة مماثلة من خلال اعتبار الطاقة المنبعثة بمثابة إشعاع جسم أسود . ^{[ 27 ]} لذا: $${\displaystyle L=4\pi R^{2}\sigma T^{4}}$$ حيث L هي اللمعان ، وσ هو ثابت ستيفان-بولتزمان، وR هو نصف قطر النجم، و T هي درجة الحرارة الفعالة . ويمكن إعادة ترتيب هذه الصيغة لحساب درجة الحرارة: $${\displaystyle T={\sqrt[{4}]{\frac {L}{4\pi R^{2}\sigma }}}}$$ أو بدلاً من ذلك نصف القطر: $${\displaystyle R={\sqrt {\frac {L}{4\pi \sigma T^{4}}}}}$$

ويمكن تبسيط نفس الصيغ لحساب المعلمات بالنسبة للشمس: $$\begin{aligned}{\frac {L}{L_{\odot }}}&=\left({\frac {R}{R_{\odot }}}\right)^{2}\left({\frac {T}{T_{\odot }}}\right)^{4}\\[1ex]{\frac {T}{T_{\odot }}}&=\left({\frac {L}{L_{\odot }}}\right)^{1/4}\left({\frac {R_{\odot }}{R}}\right)^{1/2}\\[1ex]{\frac {R}{R_{\odot }}}&=\left({\frac {T_{\odot }}{T}}\right)^{2}\left({\frac {L}{L_{\odot }}} }}}\right)^{1/2}\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle R_{\odot }}$يمثل نصف قطر الشمس ، وهكذا. ويمكن إعادة كتابتها أيضًا بدلالة مساحة السطح A والإشعاع الخارج${\displaystyle M^{\circ }}$: $${\displaystyle {\begin{align}L&=AM^{\circ }\\[1ex]M^{\circ }&={\frac {L}{A}}\\[1ex]A&={\frac {L}{M^{\circ }}}\end{محاذاة}}}$$ أين${\displaystyle A=4\pi R^{2}}$و${\displaystyle M^{\circ }=\sigma T^{4}.}$

باستخدام قانون ستيفان-بولتزمان، يستطيع علماء الفلك استنتاج أنصاف أقطار النجوم بسهولة. وينطبق هذا القانون أيضاً على الديناميكا الحرارية للثقوب السوداء فيما يُعرف بإشعاع هوكينغ .

وبالمثل، يمكننا حساب درجة الحرارة الفعّالة للأرض T⊕ بمساواة الطاقة المُستقبلة من الشمس والطاقة المُشعّة من الأرض، وذلك وفقًا لتقريب الجسم الأسود (حيث أن إنتاج الأرض للطاقة ضئيل لدرجة يمكن إهمالها). _ويُعطى لمعان الشمس L☉ بالعلاقة _{التالية :}$${\displaystyle L_{\odot }=4\pi R_{\odot }^{2}\sigma T_{\odot }^{4}}$$

على الأرض، تمر هذه الطاقة عبر كرة نصف قطرها a _، والمسافة بين الأرض والشمس، ويُعطى الإشعاع (القدرة المستلمة لكل وحدة مساحة) بالعلاقة التالية: $${\displaystyle E_{\oplus }={\frac {L_{\odot }}{4\pi a_{0}^{2}}}}$$

يبلغ نصف قطر الأرض R _⊕ ، وبالتالي فإن مقطعها العرضي هو${\displaystyle \pi R_{\oplus }^{2}}$وبالتالي، فإن التدفق الإشعاعي (أي الطاقة الشمسية) الذي تمتصه الأرض يُعطى بالمعادلة التالية: $${\displaystyle \Phi _{\text{abs}}=\pi R_{\oplus }^{2}\times E_{\oplus }}$$

لأن قانون ستيفان-بولتزمان يستخدم القوة الرابعة، فإنه يؤثر بشكل مستقر على التبادل، ويميل التدفق المنبعث من الأرض إلى أن يكون مساوياً للتدفق الممتص، وهو قريب من الحالة المستقرة حيث: $${\displaystyle {\begin{aligned}4\pi R_{\oplus }^{2}\sigma T_{\oplus }^{4}&=\pi R_{\oplus }^{2}\times E_{\oplus }\\&=\pi R_{\oplus }^{2}\times {\frac {4\pi R_{\odot }^{2}\sigma T_{\odot }^{4}}{4\pi a_{0}^{2}}}\\\end{aligned}}}$$

ويمكن بعد ذلك إيجاد T _{⊕ :}$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{\oplus }^{4}&={\frac {R_{\odot }^{2}T_{\odot }^{4}}{4a_{0}^{2}}}\\T_{\oplus }&=T_{\odot }\times {\sqrt {\frac {R_{\odot }}{2a_{0}}}}\\&=5780\;{\rm {K}}\times {\sqrt {6.957\times 10^{8}\;{\rm {m}} \over 2\times 1.495\ 978\ 707\times 10^{11}\;{\rm {m}}}}\\&\approx 279\;{\rm {K}}\end{aligned}}}$$ حيث T☉ هي درجة حرارة الشمس، _و R☉ نصف قطرها، و a₀ المسافة بين الأرض والشمس. وهذا يعطي درجة حرارة فعّالة تبلغ 6 _درجات مئوية على سطح الأرض، بافتراض أنها تمتص جميع الإشعاعات الساقطة عليها بشكل كامل وأنها لا تملك غلافًا جويًا _. 

يبلغ معامل انعكاس الأرض 0.3، ما يعني أن 30% من الإشعاع الشمسي الذي يسقط على الكوكب يتشتت عائدًا إلى الفضاء دون امتصاص. يمكن تقريب تأثير معامل الانعكاس على درجة الحرارة بافتراض أن الطاقة الممتصة تتضاعف بمقدار 0.7، مع افتراض أن الكوكب لا يزال يشع كجسم أسود (وهذا الأخير بحسب تعريف درجة الحرارة الفعالة ، وهي ما نحسبه). يُخفّض هذا التقريب درجة الحرارة بمعامل 0.7 ^1/4 ، لتصبح 255 كلفن (-18 درجة مئوية؛ -1 درجة فهرنهايت) . ^{[ 28 ] [ 29 ]}   

درجة الحرارة المذكورة أعلاه هي درجة حرارة الأرض كما تُرى من الفضاء، وليست درجة حرارة سطحها، بل هي متوسط ​​درجة حرارة جميع الأجرام السماوية المُصدرة للحرارة من سطح الأرض إلى طبقات الجو العليا. وبسبب ظاهرة الاحتباس الحراري ، يبلغ متوسط ​​درجة حرارة سطح الأرض الفعلية حوالي 288 كلفن (15 درجة مئوية؛ 59 درجة فهرنهايت) ، وهي أعلى من درجة الحرارة الفعّالة البالغة 255 كلفن (-18 درجة مئوية؛ -1 درجة فهرنهايت) ، بل وأعلى من درجة حرارة الجسم الأسود البالغة 279 كلفن (6 درجات مئوية؛ 43 درجة فهرنهايت) .         

في المناقشة السابقة، افترضنا أن سطح الأرض بأكمله ذو درجة حرارة واحدة. ومن الأسئلة المهمة الأخرى: ما هي درجة حرارة سطح جسم أسود على الأرض بافتراض وصوله إلى حالة اتزان حراري مع ضوء الشمس الساقط عليه؟ يعتمد هذا بالطبع على زاوية سقوط الشمس على السطح وكمية الهواء التي يمر بها ضوء الشمس. عندما تكون الشمس في سمت الرأس ويكون السطح أفقيًا، يمكن أن تصل شدة الإشعاع إلى 1120  واط/م² ^. [ ^{30 ] وبناءً} على ذلك، ينص قانون ستيفان-بولتزمان على أن درجة الحرارة تساوي $${\displaystyle T=\left({\frac {1120{\text{ W/m}}^{2}}{\sigma }}\right)^{1/4}\approx 375{\text{ K}}}$$ أو 102 درجة مئوية (216 درجة فهرنهايت) . (فوق الغلاف الجوي، تكون النتيجة أعلى: 394 كلفن (121 درجة مئوية؛ 250 درجة فهرنهايت) ). يمكننا أن نفكر في سطح الأرض على أنه "يحاول" الوصول إلى درجة حرارة متوازنة خلال النهار، ولكنه يبرد بواسطة الغلاف الجوي، و"يحاول" الوصول إلى التوازن مع ضوء النجوم وربما ضوء القمر في الليل، ولكنه يسخن بواسطة الغلاف الجوي.     

حقيقة أن كثافة الطاقة في الصندوق الذي يحتوي على الإشعاع تتناسب مع${\displaystyle T^{4}}$يمكن اشتقاق ذلك باستخدام الديناميكا الحرارية. ^{[ 31 ] [ 15 ]} يعتمد هذا الاشتقاق على العلاقة بين ضغط الإشعاع p وكثافة الطاقة الداخلية${\displaystyle u}$وهي علاقة يمكن إثباتها باستخدام صيغة موتر الإجهاد والطاقة الكهرومغناطيسي . وهذه العلاقة هي: $${\displaystyle p={\frac {u}{3}}.}$$

الآن، من العلاقة الديناميكية الحرارية الأساسية$${\displaystyle dU=T\,dS-p\,dV,}$$ نحصل على التعبير التالي، بعد القسمة على${\displaystyle dV}$وإصلاح${\displaystyle T}$: $${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}-p=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p.}$$

تأتي المساواة الأخيرة من علاقة ماكسويل التالية : $${\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}.}$$

يستنتج من تعريف كثافة الطاقة ما يلي: $${\displaystyle U=uV}$$ حيث تعتمد كثافة طاقة الإشعاع فقط على درجة الحرارة، لذلك $${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=u\left({\frac {\partial V}{\partial V}}\right)_{T}=u.}$$

الآن، المساواة هي $${\displaystyle u=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p,}$$بعد استبدال${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}.}$

في الوقت نفسه، يُعرَّف الضغط بأنه معدل تغير الزخم لكل وحدة مساحة. وبما أن زخم الفوتون يساوي الطاقة مقسومة على سرعة الضوء، $${\displaystyle u={\frac {T}{3}}\left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{V}-{\frac {u}{3}},}$$ حيث يأتي العامل 1/3 من إسقاط نقل الزخم على العمودي على جدار الحاوية.

بما أن المشتقة الجزئية${\displaystyle \left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{V}}$يمكن التعبير عنها كعلاقة بين فقط${\displaystyle u}$و${\displaystyle T}$(إذا عزلنا المشتقة الجزئية في أحد طرفي المعادلة)، يمكن استبدالها بالمشتقة العادية. بعد فصل التفاضلات، تصبح المعادلة $${\displaystyle {\frac {du}{4u}}={\frac {dT}{T}},}$$ مما يؤدي مباشرة إلى${\displaystyle u=AT^{4}}$، مع${\displaystyle A}$كثابت من ثوابت التكامل.

يمكن اشتقاق القانون من خلال اعتبار سطح جسم أسود مسطح صغير يشع إلى نصف كرة. يستخدم هذا الاشتقاق الإحداثيات الكروية ، حيث θ هي زاوية السمت و φ هي الزاوية السمتية؛ ويقع سطح الجسم الأسود المسطح الصغير على المستوى xy، حيث θ = ^π / ₂ .

تُعطى شدة الضوء المنبعث من سطح الجسم الأسود بقانون بلانك ، $${\displaystyle I(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /(kT)}-1}},}$$ أين

• ${\displaystyle I(\nu ,T)}$هي كمية الطاقة لكل وحدة مساحة سطح لكل وحدة زاوية مجسمة لكل وحدة تردد منبعثة عند تردد معين${\displaystyle \nu }$بواسطة جسم أسود عند درجة حرارة T.
• ${\displaystyle h}$ثابت بلانك
• ${\displaystyle c}$هي سرعة الضوء ، و
• ${\displaystyle k}$هو ثابت بولتزمان .

الكمية${\displaystyle I(\nu ,T)~A\cos \theta ~d\nu ~d\Omega }$هي القدرة المشعة من سطح مساحته A من خلال زاوية مجسمة d Ω في نطاق التردد بين ν و ν + dν .

ينص قانون ستيفان-بولتزمان على القدرة المنبعثة لكل وحدة مساحة من الجسم المُصدر للإشعاع. $${\displaystyle {\frac {P}{A}}=\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int \cos \theta \,d\Omega }$$

لاحظ أن دالة جيب التمام تظهر لأن الأجسام السوداء لامبرتية (أي أنها تخضع لقانون جيب التمام للامبرت )، مما يعني أن شدة الإضاءة المرصودة على طول الكرة ستكون حاصل ضرب شدة الإضاءة الفعلية في جيب تمام زاوية السمت. ولاشتقاق قانون ستيفان-بولتزمان، يجب علينا إجراء التكامل.${\textstyle d\Omega =\sin \theta \,d\theta \,d\varphi }$على نصف الكرة ودمجها${\displaystyle \nu }$من 0 إلى ∞.

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {P}{A}}&=\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int _{0}^{2\pi }\,d\varphi \int _{0}^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta \,d\theta \\&=\pi \int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \end{aligned}}}$$

ثم نعوض عن I : $${\displaystyle {\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\nu ^{3}}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}\,d\nu }$$

لتقييم هذا التكامل، قم بإجراء عملية استبدال. $${\displaystyle {\begin{aligned}u&={\frac {h\nu }{kT}}\\[6pt]du&={\frac {h}{kT}}\,d\nu \end{aligned}}}$$ مما يعطي: $${\displaystyle {\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\left({\frac {kT}{h}}\right)^{4}\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{3}}{e^{u}-1}}\,du.}$$

التكامل الموجود على اليمين هو تكامل قياسي ويُعرف بأسماء عديدة: فهو حالة خاصة من تكامل بوز-أينشتاين ، أو متعدد اللوغاريتمات ، أو دالة زيتا لريمان${\displaystyle \zeta (s)}$قيمة التكامل هي${\displaystyle \Gamma (4)\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{15}}}$(أين${\displaystyle \Gamma (s)}$دالة جاما )، مما يعطي النتيجة التالية لسطح جسم أسود مثالي: $${\displaystyle M^{\circ }=\sigma T^{4}~,~~\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}.}$$

أخيرًا، بدأ هذا البرهان بالنظر فقط إلى سطح مستوٍ صغير. مع ذلك، يمكن تقريب أي سطح قابل للتفاضل بمجموعة من الأسطح المستوية الصغيرة. طالما أن هندسة السطح لا تتسبب في إعادة امتصاص الجسم الأسود لإشعاعه، فإن إجمالي الطاقة المشعة هو مجموع الطاقات المشعة من كل سطح؛ ومساحة السطح الكلية هي مجموع مساحات كل سطح - لذا ينطبق هذا القانون على جميع الأجسام السوداء المحدبة أيضًا، طالما أن السطح له نفس درجة الحرارة في جميع أجزائه. يمتد القانون ليشمل الإشعاع من الأجسام غير المحدبة باستخدام حقيقة أن الغلاف المحدب للجسم الأسود يشع كما لو كان جسمًا أسودًا بحد ذاته.

يمكن حساب كثافة الطاقة الكلية u بشكل مماثل، باستثناء أن التكامل يتم على كامل الكرة ولا توجد دالة جيب التمام، ويجب قسمة تدفق الطاقة (U c) على السرعة c للحصول على كثافة الطاقة u : $${\displaystyle u={\frac {1}{c}}\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int \,d\Omega }$$ هكذا${\textstyle \int _{0}^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta \,d\theta }$يتم استبدالها بـ${\textstyle \int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta }$مما يعطي عاملاً إضافياً قدره 4.

وبالتالي، في المجموع: $${\displaystyle u={\frac {4}{c}}\,\sigma \,T^{4}}$$ المنتج${\displaystyle {\frac {4}{c}}\sigma }$يُعرف أحيانًا باسم ثابت الإشعاع أو ثابت كثافة الإشعاع . ^{[ 32 ] [ 33 ]}