نظرية ستون-ويرستراس

في التحليل الرياضي ، تنص نظرية تقريب فايرشتراس على أنه يمكن تقريب أي دالة متصلة معرفة على فترة مغلقة $[a, b]$ تقريبًا منتظمًا بدقة مطلوبة باستخدام دالة متعددة الحدود . ولأن كثيرات الحدود من أبسط الدوال، ولأن الحواسيب قادرة على حسابها مباشرةً، فإن لهذه النظرية أهمية عملية ونظرية، لا سيما في استيفاء كثيرات الحدود . وقد وضع كارل فايرشتراس الصيغة الأصلية لهذه النتيجة عام 1885 باستخدام تحويل فايرشتراس .

عمّم مارشال هـ. ستون النظرية ^{[ 1 ]} بشكل كبير وبسط برهانها. ^{[ 2 ]} تُعرف نتيجته باسم نظرية ستون-فايرشتراس . تُعمم نظرية ستون-فايرشتراس نظرية تقريب فايرشتراس في اتجاهين: فبدلاً من الفترة الحقيقية $[a, b] ، يُنظر إلى$ فضاء هاوسدورف مضغوط اختياري $X$ ، وبدلاً من جبر الدوال متعددة الحدود، تُنظر إلى مجموعة متنوعة من عائلات الدوال المتصلة الأخرى على $X$ وقد ثبت أنها كافية، كما هو مفصل أدناه . تُعد نظرية ستون-ويرستراس نتيجة حيوية في دراسة جبر الدوال المتصلة على فضاء هاوسدورف مضغوط .

علاوة على ذلك، هناك تعميم لنظرية ستون-ويرستراس إلى فضاءات تيكونوف غير المدمجة ، أي أن أي دالة مستمرة على فضاء تيكونوف يتم تقريبها بشكل منتظم على المجموعات المدمجة بواسطة جبر من النوع الذي يظهر في نظرية ستون-ويرستراس والموصوف أدناه.

هناك تعميم مختلف لنظرية وييرشتراس الأصلية وهو نظرية ميرجيليان ، التي تعممها على الدوال المعرفة على مجموعات فرعية معينة من المستوى المركب .

نظرية تقريب فايرشتراس

نص نظرية التقريب كما اكتشفها فايرشتراس في الأصل هو كما يلي:

نظرية تقريب فايرشتراس — لنفترض أن $f$ دالة حقيقية متصلة معرفة على الفترة الحقيقية $[a, b]$ . لكل $ε > 0$ ، يوجد كثير حدود $p$ بحيث يكون لكل $x$ في $[a, b]$ ، لدينا $| f (x) - p (x)| < ε$ ، أو بصورة مكافئة، معيار $القيمة$ العليا $‖f - p‖ < ε .$

توضح صفحة كثيرات حدود برنشتاين برهانًا بنائيًا للنظرية المذكورة أعلاه.

درجة التقريب

بالنسبة للدوال القابلة للتفاضل، تحدد متباينة جاكسون خطأ التقريبات بواسطة كثيرات الحدود من درجة معينة: إذا $f$ إذا كان له مشتقة مستمرة من الرتبة k، فعندئذٍ لكل $n\in \mathbb {N}$ يوجد كثير حدود $p_{n}$ درجة علمية على الأكثر $n$ بحيث $\lVert f-p_{n}\rVert \leq {\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{(n+1)^{k}}}\lVert f^{(k)}\rVert$ [ ³^]

لكن إذا $f$ إذا كانت الدالة متصلة فقط، فإن تقارب التقريبات يمكن أن يكون بطيئًا بشكل تعسفي بالمعنى التالي: لأي متتالية من الأعداد الحقيقية الموجبة $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ عند التناقص إلى الصفر، توجد دالة $f$ بحيث $\lVert fp\rVert >a_{n}$ لكل متعددة حدود $p$ درجة علمية على الأكثر $n$ [ ⁴^]

التطبيقات

نتيجةً لنظرية تقريب فايرشتراس، يمكن إثبات أن الفضاء $C[a, b]$ قابل للفصل : دوال كثيرات الحدود كثيفة، ويمكن تقريب كل دالة كثيرة حدود بشكل منتظم بدالة ذات معاملات نسبية ؛ ولا يوجد سوى عدد قابل للعد من كثيرات الحدود ذات المعاملات النسبية. وبما أن $C[$ $a$ $,$ $b$ $]$ $قابل$ للقياس وقابل للفصل، فإن $عدد$ $عناصره$ $لا$ يتجاوز 2ℵ₀ $.$ $($ ملاحظة: هذه النتيجة المتعلقة بعدد العناصر ناتجة أيضًا عن حقيقة أن الدالة المتصلة على الأعداد الحقيقية تُحدد $بشكل$ فريد بتقييدها على الأعداد النسبية) $.$

نظرية ستون-فايرشتراس، النسخة الحقيقية

$تُشكّل$ المجموعة $C[a, b]$ من الدوال الحقيقية المتصلة على الفترة $[a, b]$ ، بالإضافة إلى معيار القيمة العليا $‖f‖$ $= sup a \leq x \leq b | f (x) |$ ، جبر باناخ (أي جبرًا ترابطيًا وفضاء باناخ بحيث $يكون ‖fg‖$ $\leq ‖f‖ \cdot ‖g‖ لجميع$ f $و$ $g$ $)$ $.$ وتُشكّل مجموعة جميع الدوال متعددة الحدود جبرًا جزئيًا من $C$ $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ $($ أي فضاءً متجهيًا جزئيًا من $C[$ $a$ $,$ $b$ $] مغلقًا تحت ضرب الدوال)$ $،$ ومضمون نظرية تقريب فايرشتراس هو أن هذا الجبر الجزئي كثيف في C $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ $.$

يبدأ ستون بفضاء هاوسدورف مضغوط اختياري $X،$ ويدرس الجبر $C(X, R)$ للدوال المتصلة ذات القيم الحقيقية على $X$ ، مع الطوبولوجيا المستحثة بواسطة معيار السوبريموم. ويريد إيجاد جبر جزئي من $C(X, R)$ يكون كثيفًا. ويتضح أن الخاصية الأساسية التي يجب أن يحققها الجبر الجزئي هي فصل النقاط : يُقال إن مجموعة $A$ من الدوال المعرفة على $X$ تفصل النقاط إذا كان لكل نقطتين مختلفتين $x$ و $y$ في $X$ توجد دالة $p$ في $A$ بحيث $p (x) \neq p (y)$ . الآن يمكننا القول:

نظرية ستون-فايرشتراس (الأعداد الحقيقية) - لنفترض أن $X$ فضاء هاوسدورف متراص، وأن $A$ جبر جزئي من $C(X, R)$ يحتوي على دالة ثابتة غير صفرية. عندئذٍ، تكون $A$ كثيفة في $C(X, R)$ إذا وفقط إذا كانت تفصل بين النقاط.

وهذا يستلزم بيان وييرشتراس الأصلي لأن كثيرات الحدود على $[a, b]$ تشكل جبرًا فرعيًا من $C[a, b]$ يحتوي على الثوابت ويفصل النقاط.

نسخة محلية مضغوطة

تُصبح صيغةٌ من مبرهنة ستون-ويرستراس صحيحةً أيضًا عندما تكون $X$ متراصةً محليًا فقط . ليكن $C₀ (X, R)$ فضاء الدوال الحقيقية المتصلة على $X$ التي تتلاشى عند اللانهاية ؛ أي أن الدالة المتصلة $f$ تنتمي إلى $C₀$ $($ $X$ $,$ $R$ $)$ إذا كان لكل $ε$ $>$ $0$ ، توجد مجموعة متراصة $K$ $\subset$ $X$ بحيث يكون $|$ $f$ $|$ $<$ $ε$ على $X$ $\$ $K.$ و $C₀$ $($ $X$ $,$ $R$ $)$ هي جبر باناخ ذو معيار السوبريموم . يُقال إن $الجبر$ الجزئي $A$ $من$ $C₀$ ( $X$ $,$ $R$ $)$ $لا$ يتلاشى في أي مكان إذا لم تتلاشى جميع عناصر $A في$ $آنٍ$ واحد عند نقطةٍ ما؛ أي أنه لكل $x$ في $X$ ، توجد دالة $f$ في $A$ بحيث يكون $f$ $($ $x$ $) \neq 0.$ تُعمَّم المبرهنة كما يلي:

نظرية ستون-ويرستراس (الفضاءات المدمجة محليًا) - لنفترض أن X $فضاء هاوسدورف$ مدمج محليًا و $A$ جبر جزئي من $C 0 (X, R)$ . عندئذٍ يكون $A$ كثيفًا في $C 0 (X, R)$ (مع الأخذ في الاعتبار طوبولوجيا التقارب المنتظم ) إذا وفقط إذا كان يفصل النقاط ولا يتلاشى في أي مكان.

تُشير هذه الصيغة بوضوح إلى الصيغة السابقة في حالة كون $X$ مجموعة متراصة، حيث أن C₀(X, R) = C(X, R) في هذه الحالة $.$ $كما توجد صيغ أكثر عمومية لنظرية ستون - ويرستراس تُضعف$ فرضية التراص الموضعي. ^{[ 5 ]}

التطبيقات

يمكن استخدام نظرية ستون-ويرستراس لإثبات العبارتين التاليتين، اللتين تتجاوزان نتيجة وييرشتراس.

إذا كانت $f$ دالة حقيقية مستمرة معرفة على المجموعة $[$ $a$ $,$ $b$ $] \times [$ $c$ $,$ $d$ $]$ و $ε$ $> 0$ ، فإنه توجد دالة متعددة الحدود $p$ في متغيرين بحيث يكون $|$ $f$ $($ $x$ $,$ $y$ $) -$ $p$ $($ $x$ $,$ $y$ $)| <$ $ε$ لجميع $x$ في $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ و $y$ في $[$ $c$ $,$ $d$ $]$ .
إذا كان $X$ و $Y$ فضاءين هاوسدورف متراصين و $f : X \times Y \to R$ دالة متصلة، فإنه لكل $ε > 0$ يوجد $n > 0$ ودوال متصلة $f$ $1$ $، ... ،$ $f$ $n$ على $X$ ودوال متصلة $g$ $1$ $، ... ،$ $g$ $n$ على $Y$ بحيث $‖$ $f$ $- Σ$ $f$ $i$ $g$ $i$ $‖$ $<$ $ε$ .

نظرية ستون-فايرشتراس، النسخة المركبة

أما النظرية التالية فهي أكثر عمومية بعض الشيء، حيث نعتبر الجبر $C(X,\mathbb {C} )$ الدوال المتصلة ذات القيم المركبة على الفضاء المضغوط $X$ مرة أخرى، مع طوبولوجيا التقارب المنتظم. هذا جبر C* مع عملية * المعطاة بواسطة الاقتران العقدي النقطي .

نظرية ستون-فايرشتراس (الأعداد المركبة) — ليكن $X$ كن مساحة هاوسدورف صغيرة الحجم ودع $S$ أن تكون مجموعة فرعية فاصلة من $C(X,\mathbb {C} )$ ثم الجبر الأحادي المعقد *-المولد بواسطة $S$ كثيف في $C(X,\mathbb {C} )$ .

الجبر الموحد المعقد *-المولّد بواسطة $S$ يتألف من جميع تلك الدوال التي يمكن الحصول عليها من عناصر $S$ عن طريق إدخال الدالة الثابتة $1$ وجمعها، وضربها، ومرافقتها، أو ضربها بأعداد قياسية مركبة، وتكرار ذلك عددًا محدودًا من المرات.

تستلزم هذه النظرية النسخة الحقيقية، لأنه إذا قامت شبكة من الدوال ذات القيم المركبة بتقريب دالة معينة بشكل منتظم، $f_{n}\to f$ ثم إن الأجزاء الحقيقية لتلك الدوال تقارب بشكل منتظم الجزء الحقيقي لتلك الدالة، $\operatorname {Re} f_{n}\to \operatorname {Re} f$ ولأن ذلك ينطبق على المجموعات الجزئية الحقيقية، $S\subset C(X,\mathbb {R} )\subset C(X,\mathbb {C} ),$ إن أخذ الأجزاء الحقيقية من الجبر الموحد المركب (الذاتي المرافق) يتوافق مع الجبر الموحد الحقيقي المولد.

كما هو الحال في الحالة الحقيقية، فإن نظير هذه النظرية صحيح بالنسبة للفضاءات المدمجة محليًا من نوع هاوسدورف.

فيما يلي تطبيق لهذه النسخة المعقدة.

متسلسلة فورييه : مجموعة التراكيب الخطية للدوال $e n (x) = e 2πinx ، حيث n \in Z،$ كثيفة في $C([0, 1]/{0, 1})$ ، حيث نحدد طرفي الفترة $[0, 1]$ للحصول على دائرة. ومن النتائج المهمة لذلك أن $e n$ تشكل أساسًا متعامدًا للفضاء $L 2 ([0, 1])$ للدوال القابلة للتكامل التربيعي على $[0, 1]$ .

نظرية ستون-ويرستراس، بصيغة الكواترنيون

باتباع هولاداي (1957) ، ضع في اعتبارك الجبر $C(X, H)$ للدوال المستمرة ذات القيم الرباعية على الفضاء المضغوط $X$ ، مرة أخرى مع طوبولوجيا التقارب المنتظم.

إذا كُتب الكواتيرنيون $q على الصورة$ ${\textstyle q=a+ib+jc+kd}$

الجزء القياسي $a$ هو عدد حقيقي ${\frac {q-iqi-jqj-kqk}{4}}$ .

على نفس المنوال

الجزء القياسي من $- qi$ هو $b$ وهو عدد حقيقي ${\frac {-qi-iq+jqk-kqj}{4}}$ .
الجزء القياسي من $-qj$ $هو$ c $وهو$ عدد حقيقي ${\frac {-qj-iqk-jq+kqi}{4}}$ .
الجزء القياسي من $-qk$ $هو$ d $وهو$ عدد حقيقي ${\frac {-qk+iqj-jqk-kq}{4}}$ .

ثم يمكننا القول:

نظرية ستون-ويرستراس (أعداد الكواترنيون) - لنفترض أن $X$ فضاء هاوسدورف متراص، وأن $A$ جبر جزئي من $C(X, H)$ يحتوي على دالة ثابتة غير صفرية. عندئذٍ، تكون $A$ كثيفة في $C(X, H)$ إذا وفقط إذا كانت تفصل بين النقاط .

نظرية ستون-ويرستراس، نسخة الجبر C*

فضاء الدوال المتصلة ذات القيم المركبة على فضاء هاوسدورف مضغوط $X$ أي $C(X,\mathbb {C} )$ يُعد المثال النموذجي لجبر C* التبادلي الأحادي ${\mathfrak {A}}$ يمكن اعتبار الفضاء X فضاءً للحالات النقية على ${\mathfrak {A}}$ ، مع الطوبولوجيا الضعيفة* . وبناءً على ما سبق، فإن الامتداد غير التبادلي لنظرية ستون-ويرستراس، التي لا تزال غير محلولة، هو كما يلي:

تخمين — إذا كان جبر C* أحاديًا ${\mathfrak {A}}$ يحتوي على جبر فرعي C* ${\mathfrak {B}}$ الذي يفصل الحالات النقية لـ ${\mathfrak {A}}$ ، ثم ${\mathfrak {A}}={\mathfrak {B}}$ .

في عام 1960، أثبت جيم جليم نسخة أضعف من التخمين المذكور أعلاه.

نظرية ستون-ويرستراس (جبر C*) ^{[ 6 ]} — إذا كان جبر C* أحاديًا ${\mathfrak {A}}$ يحتوي على جبر فرعي C* ${\mathfrak {B}}$ الذي يفصل فضاء الحالة النقية (أي الإغلاق الضعيف* للحالات النقية) لـ ${\mathfrak {A}}$ ، ثم ${\mathfrak {A}}={\mathfrak {B}}$ .

إصدارات الشبكة

ليكن $X$ فضاء هاوسدورف متراصًا. استخدم ستون في برهانه الأصلي لنظرية ستون-فايرشتراس فكرة الشبكات في $C(X, R)$ . تُسمى المجموعة الجزئية $L$ من $C(X, R)$ شبكةً إذا كانت الدالتان $max{$ $f$ $,$ $g$ $} و min{$ $f$ $,$ $g$ $}$ تنتميان أيضًا إلى $L$ لأي عنصرين $f و$ $g$ $\in$ $L.$ تنص صيغة الشبكة لنظرية ستون-فايرشتراس على ما يلي $:$

نظرية ستون-فايرشتراس (الشبكات) - لنفترض أن $X$ فضاء هاوسدورف متراص يحتوي على نقطتين على الأقل، وأن $L$ شبكة في $C(X, R)$ بحيث أنه لأي عنصرين مختلفين $x$ و $y$ من $X$ ، وأي عددين حقيقيين $a$ و $b،$ يوجد عنصر $f$ $\in$ $L$ بحيث $f$ $($ $x$ $) =$ $a$ و $f$ $($ $y$ $) =$ $b$ . عندئذٍ تكون $L$ كثيفة في $C($ $X$ $,$ $R$ $)$ .

يمكن إثبات الصيغ المذكورة أعلاه لنظرية ستون-ويرستراس انطلاقًا من هذه الصيغة بمجرد إدراك أن خاصية الشبكة يمكن صياغتها أيضًا باستخدام القيمة المطلقة $| f |،$ والتي بدورها يمكن تقريبها بواسطة كثيرات الحدود في $f$ . وينطبق شكلٌ مُعدَّل من النظرية على الفضاءات الخطية الفرعية من $C($ $X$ $,$ $R$ $)$ المغلقة تحت دالة max: ^[⁷^]

نظرية ستون-ويرستراس (المغلقة القصوى) - لنفترض أن $X$ فضاء هاوسدورف متراص و $B$ عائلة من الدوال في $C(X, R)$ بحيث

$يفصل الحرف B$ النقاط.
$تحتوي المجموعة B$ على الدالة الثابتة 1.
إذا كان f $\in$ $B$ $فإن$ af $\in$ $B$ $لجميع$ الثوابت $a$ $\in$ $R.$
إذا كان $f$ $و$ $g$ $\in$ $B$ ، فإن $f$ $+$ $g$ $، max{$ $f$ $,$ $g$ $} \in$ $B$ .

إذن $B$ كثيفة في $C(X, R)$ .

تتوفر معلومات أكثر دقة:

لنفترض أن

X

فضاء هاوسدورف متراص يحتوي على نقطتين على الأقل، وأن

L شبكة في C(X, R). تنتمي الدالة φ \in C(X, R) إلى إغلاق L

إذا

وفقط

إذا كان لكل زوج من

النقاط المختلفة

x و y في X ولكل

ε > 0 توجد دالة f ∈

L

بحيث

يكون

|

f

(

x

)

−

φ

(

x

)

|

<

ε

و

|

f

(

y

)

-

φ

(

y

)

|

<

ε

.

نظرية بيشوب

يُعزى تعميم آخر لنظرية ستون-ويرستراس إلى إيريت بيشوب . وتنص نظرية بيشوب على ما يلي: ^{[ 8 ]}

نظرية بيشوب — ليكن $A$ جبرًا جزئيًا مغلقًا من جبر باناخ المركب $C(X, C)$ للدوال المركبة المتصلة على فضاء هاوسدورف مضغوط $X$ ، باستخدام معيار السوبريموم. بالنسبة لـ $S \subset X،$ نكتب $A \subset S = {g| S : g \in A}$ . لنفترض أن $f \in C(X, C)$ لها الخاصية التالية:

f | S \in A S

لكل مجموعة قصوى

S \subset X

بحيث تكون جميع الدوال الحقيقية لـ

A S

ثابتة.

إذن $f$ $\in$ $A$ .

يقدم غليكسبرغ (1962) برهانًا موجزًا لنظرية بيشوب باستخدام نظرية كرين-ميلمان بطريقة أساسية، بالإضافة إلى نظرية هان-باناش : عملية لويس دي برانج (1959) . انظر أيضًا رودين (1973 ، §5.7) .

نظرية ناخبين

تُقدّم نظرية ناخبين نظيراً لنظرية ستون-ويرستراس لجبر الدوال الملساء ذات القيم المركبة على مشعب أملس. ^{[ 9 ]} تنص نظرية ناخبين على ما يلي: ^{[ 10 ]}

$نظرية$ ناخبين — ليكن $A$ جبرًا جزئيًا من جبر الدوال الملساء $C\infty (M)$ على مشعب أملس محدود الأبعاد $M.$ لنفترض أن $A$ يفصل نقاط $M$ ويفصل أيضًا متجهات المماس لـ $M$ : لكل نقطة m ∈ M ومتجه مماس v في فضاء المماس عند m ، يوجد f ∈ $A$ بحيث يكون df $($ x ) ( v ) ≠ 0. عندئذٍ يكون $A$ كثيفًا في $C\infty (M)$ .

تاريخ التحرير

في عام 1885، نُشرت أيضًا نسخة إنجليزية من البحث بعنوان " حول إمكانية إعطاء تمثيل تحليلي لدالة اختيارية لمتغير حقيقي" . ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}^{[ 15 ]} ووفقًا للرياضية ياميليت كوينتانا، فقد اشتبه فايرشتراس في إمكانية تمثيل أي دالة تحليلية بواسطة متسلسلات القوى . ^{[ 15 ]}^{[ 14 ]}

انظر أيضاً

نظرية مونتز-ساس
متعددة حدود برنشتاين
تُظهر ظاهرة رونج أن إيجاد متعددة حدود $P$ بحيث يكون $f$ $($ $x$ $) =$ $P$ $($ $x$ $)$ لبعض قيم x المتقاربة جدًا $x = xⁿ$ $هو$ $أسلوب$ $غير$ مناسب لمحاولة إيجاد متعددة حدود تُقارب $f$ بشكل منتظم. ويتمثل النهج الأفضل، كما هو موضح في رودين (1976) ، صفحة 160، المعادلة (51) وما يليها، في بناء متعددات حدود $P$ تُقارب $f$ بشكل منتظم عن طريق إجراء عملية الالتفاف لـ $f$ مع مجموعة من نوى متعددة الحدود المختارة بعناية.
نظرية ميرجيليان ، المتعلقة بالتقريبات متعددة الحدود للدوال المركبة.

ملحوظات

↑ ستون، إم إتش (1937)، "تطبيقات نظرية الحلقات البولية على الطوبولوجيا العامة"، معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 41 (3): 375-481 ، doi : 10.2307/1989788 ، JSTOR 1989788
↑ ستون، إم إتش (1948)، "نظرية تقريب فايرشتراس المعممة"، مجلة الرياضيات ، 21 (4): 167-184 ، doi : 10.2307/3029750 ، JSTOR 3029750 ، MR 0027121 ; 21 (5), 237–254.
↑ تشيني، إليوت و. (2000). مقدمة في نظرية التقريب (الطبعة الثانية، معاد طباعتها). بروفيدنس، رود آيلاند: منشورات تشيلسي التابعة للجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 978-0-8218-1374-4.
↑ دي لا سيردا، صوفيا (9 أغسطس 2023). "تقريبات متعددة الحدود للدوال المتصلة" . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 130 (7): 655. doi : 10.1080/00029890.2023.2206324 . ISSN 0002-9890 .
↑ ويلارد ، ستيفن (1970). الطوبولوجيا العامة . أديسون-ويسلي. ص 293. ISBN 0-486-43479-6.
↑ غليم، جيمس (1960). "نظرية ستون-ويرستراس لجبر C*". حوليات الرياضيات . السلسلة الثانية. 72 (2): 216-244 [النظرية 1]. doi : 10.2307/1970133 . JSTOR 1970133 .
↑ هيويت، إي ؛ سترومبرغ، ك (1965)، التحليل الحقيقي والمجرد ، سبرينغر-فيرلاغ، الفصل الثاني، النظرية 7.29
↑ بيشوب، إيريت (1961)، "تعميم لنظرية ستون-ويرستراس" ، مجلة المحيط الهادئ للرياضيات ، 11 (3): 777-783 ، doi : 10.2140/pjm.1961.11.777
^ Nachbin، L. (1949)، “Sur les algèbres Dentens de fonctions diffèrentiables sur une variété”، سي آر أكاد. الخيال العلمي. باريس ، 228 : 1549 – 1551
↑ لافونا، خوسيه ج. (1986)، تقريب الدوال القابلة للتفاضل باستمرار ، أمستردام: نورث هولاند، ISBN 9780080872414
↑ بينكوس، آلان. " فايرشتراس ونظرية التقريب" (ملف PDF) . مجلة نظرية التقريب . 107 (1): 8. ISSN 0021-9045 . OCLC 4638498762. مؤرشف (PDF) من الأصل في 19 أكتوبر 2013. تم الاطلاع عليه في 3 يوليو 2021 .
↑ بينكوس، آلان (2004). "طرق الكثافة ونتائجها في نظرية التقريب" . مجلد الذكرى المئوية لأورليتش . منشورات مركز باناش. 64. معهد الرياضيات، الأكاديمية البولندية للعلوم : 3. CiteSeerX 10.1.1.62.520 . ISSN 0137-6934 . OCLC 200133324. مؤرشف من الأصل في 3 يوليو 2021.
↑ تشيسيلسكي، زبيغنيو ؛ بيلتشينسكي، ألكسندر ؛ سكريبتشاك، ليزيك (2004). مجلد الذكرى المئوية لأورليتش : وقائع مؤتمري "مؤتمر فلاديسلاف أورليتش المئوي" و"فضاءات الدوال السابع" : بوزنان، 20-25 يوليو 2003. المجلد الأول، المحاضرات العامة . منشورات مركز باناش. المجلد 64. معهد الرياضيات. الأكاديمية البولندية للعلوم. ص 175. OCLC 912348549 .
1 2 كوينتانا، ياميليت؛ بيريز د. (2008). "دراسة استقصائية حول نظرية تقريب فايرشتراس" . Divulgaciones Matematicas . 16 (1): 232. OCLC 810468303. تم الاسترجاع في 3 يوليو 2021. كان تصور فايرشتراس للدوال التحليلية هو الدوال التي يمكن تمثيلها بمتسلسلات القوى . (arXiv 0611038v2).
1 2 كوينتانا، ياميليت (2010). "حول امتدادات هيلبرت لنظرية فايرشتراس مع الأوزان" . مجلة فضاءات الدوال . 8 (2). الأفق العلمي: 202. arXiv : math/0611034 . doi : 10.1155/2010/645369 . ISSN 0972-6802 . OCLC 7180746563 . (arXiv 0611034v3). نقلاً عن: DS Lubinsky، نظرية فايرشتراس في القرن العشرين: مختارات ، في Quaestiones Mathematicae 18 (1995)، 91-130.

مراجع

هولاداي، جون سي. (1957)، "نظرية ستون-ويرستراس للأعداد الرباعية" (ملف PDF) ، وقائع الجمعية الأمريكية للرياضيات ، 8 : 656، doi : 10.1090/S0002-9939-1957-0087047-7.
لويس دي برانجيس (1959)، “نظرية ستون – فايرستراس”، بروك. عامر. الرياضيات. شركة نفط الجنوب. , 10 (5): 822–824 ، دوى : 10.1090/s0002-9939-1959-0113131-7.
يان برينكهاوس وفلاديمير تيخوميروف (2005) التحسين: رؤى وتطبيقات ، مطبعة جامعة برينستون، رقم ISBN 978-0-691-10287-0MR 2168305 .
غليم، جيمس (1960)، "نظرية ستون-ويرستراس لجبر C*"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 72 (2): 216-244 ، doi : 10.2307/1970133 ، JSTOR 1970133
جليكسبرغ، إيرفينغ (1962)، "المقاييس المتعامدة مع الجبر ومجموعات التناظر العكسي"، معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 105 (3): 415-435 ، doi : 10.2307/1993729 ، JSTOR 1993729 .
رودين، والتر (1976)، مبادئ التحليل الرياضي (الطبعة الثالثة )، ماكجرو هيل، رقم ISBN 978-0-07-054235-8
رودين، والتر (1973)، التحليل الوظيفي ، ماكجرو هيل، رقم ISBN 0-07-054236-8.
جي جي بوركيل، محاضرات حول التقريب باستخدام كثيرات الحدود (ملف PDF).

أعمال تاريخية

يتوفر الإصدار التاريخي لكتاب "Weierstrass" ( باللغة الألمانية ) مجاناً من الأرشيف الرقمي على الإنترنت لأكاديمية برلين براندنبورغ للعلوم :

ك. ويرستراس (1885). Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Functionen einer reellen Veränderlichen. Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin ، 1885 (II).
Erste Mitteilung (الجزء الأول) ص 633–639، Zweite Mitteilung (الجزء الثاني) ص 789–805.

روابط خارجية

"نظرية ستون-ويرستراس" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]

[1] ستون، إم إتش (1937)، "تطبيقات نظرية الحلقات البولية على الطوبولوجيا العامة"، معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 41 (3): 375-481 ، doi : 10.2307/1989788 ، JSTOR 1989788

[2] ستون، إم إتش (1948)، "نظرية تقريب فايرشتراس المعممة"، مجلة الرياضيات ، 21 (4): 167-184 ، doi : 10.2307/3029750 ، JSTOR 3029750 ، MR 0027121 ; 21 (5), 237–254.

[3] تشيني، إليوت و. (2000). مقدمة في نظرية التقريب (الطبعة الثانية، معاد طباعتها). بروفيدنس، رود آيلاند: منشورات تشيلسي التابعة للجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 978-0-8218-1374-4.

[4] دي لا سيردا، صوفيا (9 أغسطس 2023). "تقريبات متعددة الحدود للدوال المتصلة" . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 130 (7): 655. doi : 10.1080/00029890.2023.2206324 . ISSN 0002-9890 .

[Willard-5] ويلارد ، ستيفن (1970). الطوبولوجيا العامة . أديسون-ويسلي. ص 293. ISBN 0-486-43479-6.

[6] غليم، جيمس (1960). "نظرية ستون-ويرستراس لجبر C*". حوليات الرياضيات . السلسلة الثانية. 72 (2): 216-244 [النظرية 1]. doi : 10.2307/1970133 . JSTOR 1970133 .

[7] هيويت، إي ؛ سترومبرغ، ك (1965)، التحليل الحقيقي والمجرد ، سبرينغر-فيرلاغ، الفصل الثاني، النظرية 7.29

[8] بيشوب، إيريت (1961)، "تعميم لنظرية ستون-ويرستراس" ، مجلة المحيط الهادئ للرياضيات ، 11 (3): 777-783 ، doi : 10.2140/pjm.1961.11.777

[9] Nachbin، L. (1949)، “Sur les algèbres Dentens de fonctions diffèrentiables sur une variété”، سي آر أكاد. الخيال العلمي. باريس ، 228 : 1549 – 1551

[10] لافونا، خوسيه ج. (1986)، تقريب الدوال القابلة للتفاضل باستمرار ، أمستردام: نورث هولاند، ISBN 9780080872414

[11] بينكوس، آلان. " فايرشتراس ونظرية التقريب" (ملف PDF) . مجلة نظرية التقريب . 107 (1): 8. ISSN 0021-9045 . OCLC 4638498762. مؤرشف (PDF) من الأصل في 19 أكتوبر 2013. تم الاطلاع عليه في 3 يوليو 2021 .

[12] بينكوس، آلان (2004). "طرق الكثافة ونتائجها في نظرية التقريب" . مجلد الذكرى المئوية لأورليتش . منشورات مركز باناش. 64. معهد الرياضيات، الأكاديمية البولندية للعلوم : 3. CiteSeerX 10.1.1.62.520 . ISSN 0137-6934 . OCLC 200133324. مؤرشف من الأصل في 3 يوليو 2021.

[13] تشيسيلسكي، زبيغنيو ؛ بيلتشينسكي، ألكسندر ؛ سكريبتشاك، ليزيك (2004). مجلد الذكرى المئوية لأورليتش : وقائع مؤتمري "مؤتمر فلاديسلاف أورليتش المئوي" و"فضاءات الدوال السابع" : بوزنان، 20-25 يوليو 2003. المجلد الأول، المحاضرات العامة . منشورات مركز باناش. المجلد 64. معهد الرياضيات. الأكاديمية البولندية للعلوم. ص 175. OCLC 912348549 .

[arxiv_0611038v2-14] 1 2 كوينتانا، ياميليت؛ بيريز د. (2008). "دراسة استقصائية حول نظرية تقريب فايرشتراس" . Divulgaciones Matematicas . 16 (1): 232. OCLC 810468303. تم الاسترجاع في 3 يوليو 2021. كان تصور فايرشتراس للدوال التحليلية هو الدوال التي يمكن تمثيلها بمتسلسلات القوى . (arXiv 0611038v2).

[arxiv_0611034v3-15] 1 2 كوينتانا، ياميليت (2010). "حول امتدادات هيلبرت لنظرية فايرشتراس مع الأوزان" . مجلة فضاءات الدوال . 8 (2). الأفق العلمي: 202. arXiv : math/0611034 . doi : 10.1155/2010/645369 . ISSN 0972-6802 . OCLC 7180746563 . (arXiv 0611034v3). نقلاً عن: DS Lubinsky، نظرية فايرشتراس في القرن العشرين: مختارات ، في Quaestiones Mathematicae 18 (1995)، 91-130.

[ 1 ]

[ 2 ]

3

4

[ 5 ]

[ 6 ]

[

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]