معادلات التلغراف

يمكن تصور دور المكونات المختلفة بناءً على الرسوم المتحركة الموجودة على اليمين.

الحث L

يربط الحث التيار بالطاقة المخزنة في المجال المغناطيسي، مما يجعل التيار يبدو وكأنه يمتلك قصورًا ذاتيًا ، أي أنه مع حث كبير، يصعب زيادة أو تقليل تدفق التيار عند أي نقطة معينة. يؤدي الحث الكبير (L) إلى إبطاء حركة الموجة، تمامًا كما تنتقل الموجات ببطء أكبر في حبل سميك مقارنةً بخيط رفيع. كما يزيد الحث الكبير من مقاومة التيار المفاجئ للخط ( أي يلزم جهد أكبر لدفع نفس التيار المتردد عبر الخط). 

السعة C

تربط السعة الكهربائية الجهد بالطاقة المخزنة في المجال الكهربائي. وهي تتحكم في مدى تنافر أو انجذاب أو انحراف الإلكترونات المتجمعة داخل كل موصل مع الإلكترونات في الموصل الآخر . بانحراف بعض هذه الإلكترونات المتجمعة، تقل سرعة الموجة وقوتها (الجهد). مع زيادة السعة الكهربائية ( C )، يقل التنافر، لأن الخط الآخر (الذي يحمل دائمًا الشحنة المعاكسة) يُلغي جزئيًا قوى التنافر هذه داخل كل موصل. السعة الأكبر تعني قوى استعادة أضعف ، مما يجعل الموجة تتحرك أبطأ قليلًا، كما تُعطي خط النقل مقاومة اندفاع أقل ( جهد أقل مطلوب لدفع نفس تيار التيار المتردد عبر الخط).

المقاومة R

تمثل المقاومة R المقاومة الداخلية للخطين مجتمعين. هذه المقاومة R تربط التيار بالفقد الأومي الذي يُخفض جزءًا من الجهد على طول الخط على شكل حرارة مُترسبة في الموصل، مما يُبقي التيار دون تغيير. عمومًا، تكون مقاومة الخط منخفضة جدًا مقارنةً بالمفاعلة الحثية ωL عند الترددات الراديوية، ولتبسيط الأمر ، تُعامل كما لو كانت صفرًا، مع احتساب أي تبديد للجهد أو تسخين للأسلاك كتصحيحات لحساب "الخط عديم الفقد"، أو تجاهلها تمامًا.

الموصلية G

تمثل الموصلية بين الخطوط مدى سهولة تسرب التيار من خط إلى آخر. تربط الموصلية الجهد بفقد العزل الكهربائي المتولد على شكل حرارة في أي مادة عازلة بين الموصلين. تقلل الموصلية من التيار المنتشر بتحويله بين الموصلين. عمومًا، يكون عزل الأسلاك (بما في ذلك الهواء) جيدًا جدًا، وتكون الموصلية ضئيلة جدًا مقارنةً بالسعة الكهربائية ωC ، ولتبسيط الأمر، تُعامل على أنها صفر.

تعتمد جميع المعاملات الأربعة L و C و R و G على المادة المستخدمة في صناعة الكابل أو خط التغذية. وتتغير جميعها بتغير التردد: إذ يميل R و G إلى الزيادة مع ارتفاع التردد، بينما يميل L و C إلى الانخفاض مع ارتفاع التردد. يوضح الشكل على اليمين خط نقل عديم الفقد، حيث يكون كل من R و G مساويًا للصفر، وهو أبسط أشكال معادلات التلغراف وأكثرها شيوعًا، ولكنه غير واقعي بعض الشيء (خاصةً فيما يتعلق بـ R ).

يعود تباين قيمتي R و L بشكل رئيسي إلى تأثير الجلد وتأثير التقارب . أما ثبات السعة فهو نتيجة تصميم مقصود.

يمكن استنتاج تغير G من تصريح فريدريك تيرمان : ^{[ 6 ]} "عامل القدرة  ... يميل إلى أن يكون مستقلاً عن التردد، لأن نسبة الطاقة المفقودة خلال كل دورة  ... مستقلة بشكل كبير عن عدد الدورات في الثانية على نطاقات تردد واسعة."

دالة من الشكل $${\displaystyle G(f)=G_{1}\cdot \left({\frac {f}{f_{1}}}\right)^{g_{\mathrm {e} }}}$$ مع​${\displaystyle g_{\mathrm {e} }}$قيمة قريبة من 1.0 تتوافق مع بيان تيرمان. يقدم والتر تشين معادلة ذات شكل مشابه. ^{[ 7 ]} حيث${\displaystyle G(f)}$⁠ هي الموصلية كدالة للتردد؛ و ⁠${\displaystyle G_{1}}$،​​${\displaystyle f_{1}}$و​​${\displaystyle g_{\mathrm {e} }}$جميعها ثوابت حقيقية.

عادةً ما تكون الخسائر المقاومة ( ⁠${\displaystyle R}$تنمو بشكل متناسب مع${\displaystyle \textstyle {\sqrt {f}}}$وتزداد الخسائر العازلة بشكل متناسب مع${\displaystyle \textstyle f^{g_{\mathrm {e} }}}$مع​​${\displaystyle g_{\mathrm {e} }\approx 1}$لذا ، عند تردد عالٍ بما يكفي، ستتجاوز خسائر العزل الكهربائي خسائر المقاومة. عمليًا، قبل الوصول إلى هذه النقطة، يُستخدم خط نقل ذو عازل كهربائي أفضل. في الكابلات المحورية الصلبة طويلة المدى ، وللحصول على خسائر عزل كهربائي منخفضة جدًا، يمكن استبدال العازل الصلب بالهواء مع فواصل بلاستيكية على فترات منتظمة للحفاظ على الموصل المركزي على محوره.

معادلات التلغراف في المجال الزمني هي: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)&=-L\,{\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t)-RI(x,t)\\[1ex]{\frac {\partial }{\partial x}}I(x,t)&=-C\,{\frac {\partial }{\partial t}}V(x,t)-GV(x,t)\end{aligned}}}$$

يمكن دمجها للحصول على معادلتين تفاضليتين جزئيتين، لكل منهما متغير تابع واحد فقط، إما ⁠${\displaystyle V}$أو​​${\displaystyle I}$⁠ : $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}V(x,t)-LC\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}V(x,t)&=\left(RC+GL\right){\frac {\partial }{\partial t}}V(x,t)+GR\,V(x,t)\\[1ex]{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}I(x,t)-LC\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}I(x,t)&=\left(RC+GL\right){\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t)+GR\,I(x,t)\end{aligned}}}$$

باستثناء المتغير التابع (${\displaystyle V}$أو${\displaystyle I}$) الصيغ متطابقة.

تم تطوير معادلات التلغراف في مجال التردد بأشكال مماثلة: ^{[ 8 ] [ 1 ] [ 9 ] : 59-378 [ 10 ] : 497-505 [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}$$\begin{aligned}{\frac{d}{dx}}\mathbf{V}_{\omega}(x)&=-\left(j\omegaL_{\omega}+R_{\omega}\right)\mathbf{I}_{\omega}(x),\\[1ex]\frac{d}{dx}}\mathbf{I}_{\omega}(x)&=-\left(j\omegaC_{\omega}+G_{\omega}\right)\mathbf{V}_{\omega}(x).\end{aligned}}}$$ هنا،${\displaystyle \mathbf {I} _{\أوميغا }(x)}$و${\displaystyle \mathbf {V} _{\أوميغا }(x)}$هي متجهات طورية ، مع الرمز السفلي${\displaystyle \omega }$مما يشير إلى احتمال اعتماد المعلمات على التردد.

المعادلة الأولى تعني أن${\displaystyle \mathbf {V} _{\أوميغا }(x)}$الجهد المنتشر عند النقطة${\displaystyle x}$ينخفض ​​بسبب فقدان الجهد الناتج عن${\displaystyle \mathbf {I} _{\أوميغا }(x)}$، التيار عند تلك النقطة يمر عبر المعاوقة المتسلسلة${\displaystyle R+j\omega L}$المعادلة الثانية تعني أن${\displaystyle \mathbf {I} _{\أوميغا }(x)}$التيار المنتشر عند النقطة${\displaystyle x}$، ينخفض ​​بسبب الفقد الحالي الناتج عن${\displaystyle \mathbf {V} _{\أوميغا }(x)}$، الجهد عند تلك النقطة الذي يظهر عبر موصلية التوازي${\displaystyle G+j\omega C}$⁠ .

يمكن دمج هذه المعادلات لإنتاج معادلتين تفاضليتين عاديتين من الدرجة الثانية غير مرتبطتين.$$// }(x)&=\gamma ^{2}\mathbf {I} _{\أوميغا }(x)،\end{محاذاة}}}$$ مع $${\displaystyle \gamma \equiv \alpha +j\beta \equiv {\sqrt {\left(R_{\omega }+j\omega L_{\omega }\right)\left(G_{\omega }+j\omega C_{\omega }\right)}},}$$ أين${\displaystyle \alpha }$يُطلق عليه ثابت التوهين و${\displaystyle \beta }$يُطلق عليه اسم ثابت الطور . ^{[ 1 ] : 385}

يتميز العمل في مجال التردد بميزة التعامل مع كل من مشاكل الحالة المستقرة والعابرة بطريقة مماثلة. ^{[ 14 ]} في الحالة الأخيرة، يكون التردد${\displaystyle \omega }$يصبح متغيرًا مستمرًا ؛ ويمكن الحصول على حل عن طريق حل المعادلات التفاضلية العادية من الدرجة الثانية ( المتجانسة ) المذكورة أعلاه أولاً، ثم تطبيق نظرية انعكاس فورييه . ^{[ 15 ]}

الحلول المتجانسة

لكل معادلة من المعادلات التفاضلية السابقة حلان متجانسان في خط نقل لانهائي.

معادلة الجهد $$// {V} _ {\ أوميغا}^{-}(ب)\,e^{-\gamma (bx)}&&{\text{موجة الجهد العكسي}};\\\hline \mathbf {V} _{\omega}(x)_{\hphantom {,{\mathsf {F}}}}&=\mathbf {V} _ {\omega }^{+}(x)+\mathbf {V} _ {\أوميغا }^{-}(x)&&{\text{موجة الجهد الكلي}}.\end{aligned}}}$$

بالنسبة للمعادلة الحالية $$// {I} _ {\ أوميغا}^{-}(ب)\,e^{-\gamma (bx)}&&{\text{موجة التيار العكسي}};\\\hline \mathbf {I} _{\omega}(x)_{\hphantom {,{\mathsf {F}}}}&=\mathbf {I} _ {\omega }^{+}(x)-\mathbf {أنا} _{\أوميغا }^{-}(x)&&{\text{موجة التيار الكلية}}.\end{aligned}}}$$

تشير الإشارة السالبة في المعادلة السابقة إلى أن التيار في الموجة العكسية يسير في الاتجاه المعاكس.

ملحوظة: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {V} _{\omega }^{+}(x)=\mathbf {Z} _{0}\,\mathbf {I} _{\omega }^{+}(x),\\[0.4ex]\mathbf {V} _{\omega }^{-}(x)=\mathbf {Z} _{0}\,\mathbf {I} _{\omega }^{-}(x),\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \mathbf {Z} _{0}={\sqrt {\frac {R_{\omega }+j\omega L_{\omega }}{G_{\omega }+j\omega C_{\omega }}}}\,,}$$ حيث تنطبق تعريفات الرموز التالية:

تعريفات الرموز

رمز	تعريف
${\displaystyle a}$	النقطة التي تُعرف عندها قيم الموجات الأمامية
${\displaystyle b}$	النقطة التي تُعرف عندها قيم الموجات العكسية
${\displaystyle \mathbf {V} _{\أوميغا }(x)}$	قيمة الجهد الكلي عند النقطة x
${\displaystyle \mathbf {V} _{\أوميغا }^{+}(x)}$	قيمة موجة الجهد الأمامي عند النقطة x
${\displaystyle \mathbf {V} _{\أوميغا }^{-}(x)}$	قيمة موجة الجهد العكسي عند النقطة x
${\displaystyle \mathbf {V} _{\أوميغا }^{+}(a)}$	قيمة موجة الجهد الأمامي عند النقطة أ المزاحة عن س
${\displaystyle \mathbf {V} _{\أوميغا }^{-}(ب)}$	قيمة موجة الجهد العكسي عند النقطة b المزاحة عن x
${\displaystyle \mathbf {I} _{\أوميغا }(x)}$	قيمة التيار الكلي عند النقطة x
${\displaystyle \mathbf {I} _{\أوميغا }^{+}(x)}$	قيمة موجة التيار الأمامي عند النقطة x
${\displaystyle \mathbf {I} _{\أوميغا }^{-}(x)}$	قيمة موجة التيار العكسي عند النقطة x
${\displaystyle \mathbf {I} _{\أوميغا }^{+}(a)}$	قيمة موجة التيار الأمامي عند النقطة أ المزاحة عن س
${\displaystyle \mathbf {I} _{\أوميغا }^{-}(ب)}$	قيمة موجة التيار العكسي عند النقطة b المزاحة عن x
${\displaystyle \mathbf {Z} _{0}}$	المعاوقة المميزة
${\displaystyle \gamma }$	ثابت الانتشار

طول محدود

يقدم جونسون الحل التالي، ^{[ 2 ] : 739-741}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {V} _{\mathsf {L}}}{\mathbf {V} _{\mathsf {S}}}}&=\left[\left({\frac {\mathbf {H} ^{-1}+\mathbf {H} }{2}}\right)\left(1+{\frac {\mathbf {Z} _{\mathsf {S}}}{\mathbf {Z} _{\mathsf {L}}}}\right)+\left({\frac {\mathbf {H} ^{-1}-\mathbf {H} }{2}}\right)\left({\frac {\mathbf {Z} _{\mathsf {S}}}{\mathbf {\mathbf {Z} } _{0}}}+{\frac {\mathbf {Z} _{0}}{\mathbf {Z} _{\mathsf {L}}}}\right)\right]^{-1}\\[2ex]&={\frac {\mathbf {Z} _{\mathsf {L}}\mathbf {Z} _{0}}{\mathbf {Z} _{0}\left(\mathbf {Z} _{\mathsf {L}}+\mathbf {Z} _{\mathsf {S}}\right)\cosh \left({\boldsymbol {\gamma }}x\right)+\left(\mathbf {Z} _{\mathsf {L}}\mathbf {Z} _{\mathsf {S}}+\mathbf {Z} _{0}^{2}\right)\sinh \left({\boldsymbol {\gamma }}x\right)}}\end{aligned}}}$$ أين​${\displaystyle \mathbf {H} \equiv e^{-{\boldsymbol {\gamma }}x}}$و​​${\displaystyle x}$يمثل طول خط النقل.

في الحالة الخاصة التي تتساوى فيها جميع المعاوقات ،${\displaystyle \mathbf {Z} _{\mathsf {L}}=\mathbf {Z} _{\mathsf {S}}=\mathbf {Z} _{0}}$، يختزل الحل إلى${\displaystyle {\frac {\mathbf {V} _{\mathsf {L}}}{\mathbf {V} _{\mathsf {S}}}}={\frac {1}{2}}e^{-{\boldsymbol {\gamma }}x}}$⁠ .

في حالة الاستقرار الجيبي (أي عند تطبيق جهد جيبي نقي وتوقف الظواهر العابرة )، يكون التردد الزاوي${\displaystyle \omega }$⁠ ثابت ويأخذ الجهد والتيار شكل موجات جيبية أحادية النغمة: ^{[ 16 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}V(x,t)&={\mathcal {Re}}\left\{V(x)e^{j\omega t}\right\},\\[1ex]I(x,t)&={\mathcal {Re}}\left\{I(x)e^{j\omega t}\right\}.\end{aligned}}}$$ في هذه الحالة، تختزل معادلات عامل التلغراف إلى ^{[ 4 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dV}{dx}}&=-j\omega LI=-L{\frac {dI}{dt}},\\[1ex]{\frac {dI}{dx}}&=-j\omega CV=-C{\frac {dV}{dt}}.\end{aligned}}}$$

وبالمثل، فإن معادلات الموجة تختزل إلى معادلات هيلمهولتز أحادية البعد ^{[ 4 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d^{2}V}{dx^{2}}}+k^{2}V=0,\\[1ex]&{\frac {d^{2}I}{dx^{2}}}+k^{2}I=0,\end{aligned}}}$$ حيث k هو العدد الموجي : $${\displaystyle k:=\omega {\sqrt {LC\ }}={\frac {\omega }{\tilde {v}}}.}$$ في حالة عدم وجود فقدان للبيانات، من الممكن إثبات أن $${\displaystyle V(x)=V_{1}\,e^{-jkx}+V_{2}\,e^{+jkx},}$$ و $${\displaystyle I(x)={\frac {V_{1}}{Z_{0}}}\,e^{-jkx}-{\frac {V_{2}}{Z_{0}}}\,e^{+jkx}\ ,}$$ في هذه الحالة الخاصة ،${\displaystyle k}$هي كمية حقيقية قد تعتمد على التردد و${\displaystyle Z_{0}}$تمثل المعاوقة المميزة لخط النقل، والتي تُعطى، بالنسبة لخط عديم الفقد، بالعلاقة ^{[ 4 ] : ​​48}$${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {{\frac {L}{C}}\ }}\ ,}$$ و​${\displaystyle V_{1}}$و​​${\displaystyle V_{2}}$⁠ are arbitrary constants of integration, which are determined by the two boundary conditions (one for each end of the transmission line).

This impedance does not change along the length of the line since ⁠${\displaystyle L}$⁠ and ⁠${\displaystyle C}$⁠ are constant at any point on the line, provided that the cross-sectional geometry of the line remains constant.

In the loss-free case ⁠${\displaystyle R=G=0}$⁠), the general solution of the wave equation for the voltage is the sum of a forward traveling wave and a backward traveling wave: $${\displaystyle V(x,t)=f_{1}(x-{\tilde {v}}t)+f_{2}(x+{\tilde {v}}t)}$$ where

• ⁠${\displaystyle f_{1}}$⁠ and ⁠${\displaystyle f_{2}}$⁠ can be any two analytic functions, and
• ⁠${\displaystyle \textstyle {\tilde {v}}\equiv {\frac {1}{\sqrt {LC}}}}$⁠ is the waveform's propagation speed (also known as phase velocity).

Here, ⁠${\displaystyle f_{1}}$⁠ represents the amplitude profile of a wave traveling from left to right – in a positive ⁠${\displaystyle x}$⁠ direction – whilst ⁠${\displaystyle f_{2}}$⁠ represents the amplitude profile of a wave traveling from right to left. It can be seen that the instantaneous voltage at any point ⁠${\displaystyle x}$⁠ on the line is the sum of the voltages due to both waves.

Using the current ⁠${\displaystyle I}$⁠ and voltage ⁠${\displaystyle V}$⁠ relations given by the telegrapher's equations, we can write $${\displaystyle I(x,t)={\frac {1}{Z_{0}}}{\Bigl [}f_{1}(x-{\tilde {v}}t)-f_{2}(x+{\tilde {v}}t){\Bigr ]}\,.}$$