هرم ثنائي مثلثي

كغيرها من الأهرامات الثنائية ، يُمكن بناء هرم ثنائي مثلثي بربط هرمين رباعيي الأوجه وجهًا لوجه. ^{[ 2 ]} يُغطي هذان الهرمان قاعدتهما المثلثية، ويتكون المجسم الناتج من ستة مثلثات وخمسة رؤوس وتسعة أضلاع. ^{[ 3 ]} نظرًا لأوجهه المثلثية من أي نوع، يُعد الهرم الثنائي المثلثي مجسمًا بسيطًا، شأنه شأن عدد لا نهائي من الأهرامات الثنائية الأخرى. ^{[ 4 ]} الهرم الثنائي القائم هو الذي تقع فيه رؤوس الهرمين على خط يمر بمركز القاعدة، بحيث تكون أوجهه مثلثات متساوية الساقين. ^{[ 5 ]} إذا كان الهرمان الرباعيان مختلفين عن ذلك، يكون الهرم الثنائي المثلثي مائلًا. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

وفقًا لنظرية شتاينيتز ، يمكن تمثيل الرسم البياني كهيكل متعدد السطوح إذا كان مستويًا (يمكن رسمه دون تقاطع أي حواف) ومتصلًا بثلاثة أضلاع (يبقى متصلًا حتى بعد إزالة أي رأسين). يُمثَّل الهرم الثنائي المثلثي برسم بياني ذي تسعة أضلاع، يُنشأ بإضافة رأس واحد إلى رؤوس رسم بياني دائري يُمثل رباعيات الأوجه . ^{[ 8 ] [ 9 ]}

مثل الأهرامات الثنائية القائمة الأخرى، يتمتع الهرم الثنائي المثلثي بتناظر المجموعة النقطية ثلاثية الأبعاد ، وهي المجموعة ثنائية السطوح${\displaystyle D_{3\mathrm {h} }}$من الرتبة الثانية عشرة: لا يتغير مظهر الهرم الثنائي المثلثي عند تدويره بزاوية مقدارها ثلث أو ثلثي أو زاوية كاملة حول محور التناظر (خط يمر عموديًا برأسين ومركز القاعدة)، وله تناظر انعكاسي مع أي منصف للقاعدة؛ كما أنه متناظر بالانعكاس حول مستوى أفقي. ^{[ 10 ]} الهرم الثنائي المثلثي متعدٍّ على الأوجه (أو متساوي الأوجه). ^{[ 11 ]}

هرم ثنائي مثلث الشكل ذو أوجه منتظمة على طول شبكته

إذا كانت رباعيات الأوجه منتظمة، فإن جميع أضلاع الهرم الثنائي المثلثي متساوية في الطول وتشكل أوجهًا مثلثية متساوية الأضلاع . يُسمى متعدد السطوح الذي لا يحتوي إلا على مثلثات متساوية الأضلاع كأوجه دلتاهيدرون . هناك ثمانية دلتاهيدرات محدبة، أحدها هرم ثنائي مثلثي ذو أوجه مضلعة منتظمة . ^{[ 1 ]} يُسمى متعدد السطوح المحدب الذي تكون جميع أوجهه مضلعات منتظمة مجسم جونسون . يُرقم الهرم الثنائي المثلثي ذو الأوجه المنتظمة على أنه مجسم جونسون الثاني عشر.${\displaystyle J_{12}}$[ ^{12 ]} إنه مثال على متعدد السطوح المركب ^، لأنه يمكن تقسيمه، بواسطة مستوى يتقاطع معه فقط في الحواف، إلى رباعيي سطوح منتظمين . ^{[ 13 ]}

مساحة سطح الهرم الثنائي المثلثي${\displaystyle A}$حجمه ستة أضعاف حجم كل مثلث.${\displaystyle V}$يمكن حساب ذلك بتقسيمه إلى هرمين رباعيي الأوجه وجمع حجميهما. في حالة طول الحافة${\displaystyle a}$وهذا هو: ^{[ 14 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}&\approx 2.598a^{2},\\V&={\frac {\sqrt {2}}{6}}a^{3}&\approx 0.238a^{3}.\end{aligned}}}$$

يمكن حساب الزاوية الثنائية للهرم الثنائي المثلثي بجمع الزاوية الثنائية لهرمين رباعيي الأوجه منتظمين. الزاوية الثنائية للهرم الثنائي المثلثي بين وجهين مثلثيين متجاورين هي نفسها الزاوية الثنائية للهرم الرباعي الأوجه المنتظم: 70.5 درجة. في الحافة التي يتصل بها هرمان رباعيا الأوجه، تكون الزاوية الثنائية للمثلثين المتجاورين ضعف هذه الزاوية: 141.1 درجة. ^{[ 15 ]}