مشكلة تعظيم المنفعة

الموسوعة الحرة

في نظرية الاقتصاد الجزئي، تُصاغ مسألة تعظيم المنفعة بشكل رسمي لكيفية تخصيص المستهلك للموارد المحدودة بين مختلف السلع والخدمات. يُفترض أن لدى المستهلك تفضيلات محددة جيدًا لجميع مجموعات السلع الممكنة، وأن يكون قادرًا على ترتيب هذه المجموعات وفقًا لمستوى المنفعة التي توفرها. في ظل قيد الميزانية المحدد بالدخل والأسعار، يختار المستهلك المجموعة الأكثر تفضيلًا والتي تناسب ميزانيته. [ 1 ] تُتيح مسألة تعظيم المنفعة تحليلًا منهجيًا لطلب المستهلك وكيفية تغيره استجابةً لتغيرات الدخل أو الأسعار. [ 1 ]

مشكلة المستهلك

في الاقتصاد الجزئي ، يُعرَّف المستهلك بأنه فرد أو أسرة تتكون من فرد واحد أو أكثر. يُعدّ المستهلك وحدة اتخاذ القرار الأساسية التي تحدد السلع والخدمات التي يتم شراؤها وكمياتها. يوميًا، تُتخذ ملايين من هذه الخيارات، مما يُؤثر على توزيع تريليونات الدولارات من السلع والخدمات المنتجة سنويًا في الاقتصاد العالمي. [ 2 ]

طُوِّرت مسألة تعظيم المنفعة لأول مرة على يد الفيلسوفين النفعيين جيريمي بنثام وجون ستيوارت ميل . [ 3 ] وتُصاغ على النحو التالي: إيجاد سلة الاستهلاك التي تُعظِّم منفعة المستهلك في حدود قيود ميزانيته . [ 4 ]

حزمة الاستهلاك

تُعتبر حزمة الاستهلاك عنصرًاx{\displaystyle x}فيX{\displaystyle X}(x∈X){\displaystyle (x\in X)}أينx∈R+ك{\displaystyle x\in R_{+}^{k}}أي كل عنصرx{\displaystyle x}فيX{\displaystyle X}هو جزء غير سالب فيRك{\displaystyle R^{k}}تتخذ حزمة الاستهلاك الشكل التالي:x=(x1،x2،...،xك){\displaystyle x=(x_{1},x_{2},...,x_{k})}أينxأنا≥0{\displaystyle x_{i}\geq 0}∀أنا=1،..،ك{\displaystyle \forall i=1,..,k}بعبارة أخرى، لا يمكن للمستهلك أن يستهلك كمية سالبة من السلعة. [ 5 ]

قيود الميزانية

يسعى المستهلك إلى تعظيم منفعته في حدود قيود ميزانيته . [ 6 ] يُعد قيد الميزانية أبسط القيود وأكثرها بديهية التي يواجهها المستهلك. قد يواجه المستهلك قيدًا زمنيًا (إذ تستغرق عملية الاستهلاك وقتًا)، أو قيدًا زمنيًا وماليًا، أو قيد ميزانية بين الفترات الزمنية ، وغير ذلك الكثير. تنشأ المشكلة الاقتصادية من الندرة ، ولذلك، عند صياغة أي مشكلة اقتصادية، سنجد عادةً صيغةً ما للقيد. [ 7 ]

لنفترض وجود متجه سعرص{\displaystyle p}أينص=(ص1،...،صك){\displaystyle p=(p_{1},...,p_{k})}وصأنا>0∀أنا=1،..،ك{\displaystyle p_{i}>0\forall i=1,..,k}. أي أن سعر السلعة هو رقم موجب. [ 8 ]

علاوة على ذلك، افترض أن دخل المستهلك هوأنا{\displaystyle I}مجموعة الميزانية ، أو مجموعة جميع حزم الاستهلاك الممكنة، هي:

ب(ص،أنا)={x∈R+ك|Σأنا=1كصأناxأنا≤أنا}{\displaystyle B(p,I)=\{x\in \mathbb {R} _{+}^{k}|\mathbb {\Sigma } _{i=1}^{k}p_{i}x_{i}\leq I\}}[ 9 ] [ 8 ]​

بعبارة بسيطة، يمكن للمستهلك اختيار مجموعة استهلاكية لا تتجاوز تكلفتها دخله.

بشكل عام، يُفترض أن مجموعة جميع حزم الاستهلاك الممكنة هي مجموعة مغلقة ومحدبة . [ 9 ]

في عالم ذي خيرين، يكون التكوين الأساسي لقيود ميزانية المستهلك كما يلي:ص1x1+ص2x2≤أنا{\displaystyle p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\leq I}[ 10 ]​

مجموعة الميزانية متجانسة من الدرجة 0 في الأسعار والدخل: ب(ص،أنا)=ب(λص،λأنا){\displaystyle B(p,I)=B(\lambda p,\lambda I)}منذ كلx{\displaystyle x}وهذا يدل على ذلكΣأنا=1كλصأناxأنا≤λأنا {\displaystyle {\Sigma }_{i=1}^{k}\lambda p_{i}x_{i}\leq \lambda I\ }معارض أن=Σأنا=1كصأناxأنا≤أنا {\displaystyle ={\Sigma }_{i=1}^{k}p_{i}x_{i}\leq I\ }(يمكننا حذفλ{\displaystyle \lambda }من كلا الجانبين). أي أنه إذا زادت الأسعار والدخل بنفس المعدل، فإن الميزانية المحددة لا تتغير.

التفضيلات

يتم تحديد تفضيلات المستهلك على أساس جميع الحزم الممكنة، أي على أساسX{\displaystyle X}، والتي يُفترض أنها مجموعة مغلقة ومحدبة . كل عنصرx{\displaystyle x}فيX{\displaystyle X}(x∈X){\displaystyle (x\in X)}هو جزء غير سالب فيRك{\displaystyle R^{k}}أي أن كل حزمة استهلاكية تأخذ الشكل التالي:x=(x1،x2،...،xك){\displaystyle x=(x_{1},x_{2},...,x_{k})}أينxأنا≥0{\displaystyle x_{i}\geq 0}∀أنا=1،..،ك{\displaystyle \forall i=1,..,k}[ 11 ]​

نريد أن تُشكّل تفضيلات المستهلك ترتيبًا واضحًا لمجموعات الاستهلاك. لذلك، يجب استيفاء بعض الخصائص: [ 12 ]

اكتمال

تشير اكتمالية التفضيلات إلى إمكانية مقارنة جميع الحزم في مجموعة الاستهلاك من قبل المستهلك. بالنسبة للجميعx{\displaystyle x}وy{\displaystyle y}فيX{\displaystyle X}، أيضاًx⪰y{\displaystyle x\succeq y}أوy⪰x{\displaystyle y\succeq x}أو كلاهما. أي أن المستهلك يفضلx{\displaystyle x}زيادةy{\displaystyle y}أو يفضلy{\displaystyle y}زيادةx{\displaystyle x}أو أنه غير مبالٍ بينx{\displaystyle x}وy{\displaystyle y}.

لاحظ أن،

  • لوx⪰y{\displaystyle x\succeq y}يمسك لكن ليسy⪰x{\displaystyle y\succeq x}عندها يمكننا أن نتعلم ذلكx≻y{\displaystyle x\succ y}أي أن المستهلك يفضلx{\displaystyle x}زيادةy{\displaystyle y}.
  • لوx⪰y{\displaystyle x\succeq y}وy⪰x{\displaystyle y\succeq x}انتظر، ثم يمكننا أن نتعلم ذلك.x∼y{\displaystyle x\thicksim y}أي أن المستهلك غير مبالٍ بينx{\displaystyle x}وy{\displaystyle y}.

انعكاسي

للجميعx{\displaystyle x}فيX{\displaystyle X}،x⪰x{\displaystyle x\succeq x}.

المستهلك غير مبال بين مجموعة استهلاكية ونفس المجموعة الاستهلاكية (وهو افتراض بديهي للغاية).

خاصية التعدي

للجميعx،y،z∈X{\displaystyle x,y,z\in X}، لوx⪰y{\displaystyle x\succeq y}وy⪰z{\displaystyle y\succeq z}، ثمx⪰z{\displaystyle x\succeq z}.

أي إذا كان المستهلك يفضل بشكل ضعيفx{\displaystyle x}زيادةy{\displaystyle y}وy{\displaystyle y}زيادةz{\displaystyle z}ثم يفضل بشكل ضعيفx{\displaystyle x}زيادةz{\displaystyle z}.

الاستمرارية

لنفترض أنx≻y{\displaystyle x\succ y}وx′∈ب(x،ϵ)،y′∈ب(y،ϵ){\displaystyle x'\in B(x,\epsilon ),y'\in B(y,\epsilon )}ثمx′≻y′{\displaystyle x'\succ y'}

كانب{\displaystyle B}هي كرة نصف قطرهاϵ{\displaystyle \epsilon }حول الحزمة،ϵ>0{\displaystyle \epsilon >0}وϵ→0{\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}[ 13 ]​

هذا الافتراض يعني أنه إذا فضّل المستهلك إحدى المجموعتين على الأخرى، فإن تغييراً طفيفاً في المجموعتين لن يغير علاقة التفضيل. أي أن التفضيلات راسخة.

تضمن الافتراضات الأربعة أن تكون تفضيلات المستهلك محددة جيدًا ومتسقة. علاوة على ذلك، إذا تحققت هذه الافتراضات، فيمكن تمثيل تفضيلات المستهلك بدالة منفعة متصلة .

  • سنبين أن علاقة التفضيل المعجمية لا تُظهر استمرارية: يفضل المستهلك سلة الاستهلاكx=(8،10){\displaystyle x=(8,10)}على مستوى حزمة الاستهلاكy=(8،5){\displaystyle y=(8,5)}ومع ذلك، يفضل المستهلكy′=(8+ϵ،5){\displaystyle y'=(8+\epsilon ,5)}زيادةx′=(8،10+ϵ){\displaystyle x'=(8,10+\epsilon )}كانϵ>0{\displaystyle \epsilon >0}وϵ→0{\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}وبالتالي، لا توجد دالة منفعة تمثل علاقة التفضيل المعجمي. [ 14 ]

الرتابة

يؤكد افتراض الرتابة على أن السلع "جيدة" وليست "سيئة". أي أن زيادة كمية سلعة ما لا يمكن أن تجعل المستهلكين أسوأ حالاً. ولكي تكون علاقة التفضيل رتيبة ، يجب أن تؤدي زيادة كمية كلتا السلعتين إلى تحسين وضع المستهلك بشكل قاطع (زيادة منفعته)، كما أن زيادة كمية سلعة واحدة مع ثبات كمية الأخرى لا ينبغي أن تجعل المستهلك أسوأ حالاً. [ 15 ]

علاقة التفضيل≽{\displaystyle \succcurlyeq }تكون رتيبة إذا وفقط إذا

  1. x>y⇒x⪰y{\displaystyle x>y\Rightarrow x\succeq y}
  2. x≫y⇒x≻y{\displaystyle x\gg y\Rightarrow x\succ y}
  • x>y{\displaystyle x>y}هذا يعني أنxأنا⩾yأنا{\displaystyle x_{i}\geqslant y_{i}}للجميعأنا=1،..،ك{\displaystyle i=1,..,k} مع حالة واحدة على الأقلxأنا>yأنا{\displaystyle x_{i}>y_{i}}.
  • x≫y{\displaystyle x\gg y}هذا يعني أنxأنا>yأنا{\displaystyle x_{i}>y_{i}}للجميعأنا=1،..،ك{\displaystyle i=1,..,k}.

تكون علاقة التفضيل رتيبة تماماً إذا كانت أي زيادة في السلعة تجعل المستهلك في وضع أفضل:

x>y⇒x≻y{\displaystyle x>y\Rightarrow x\succ y}[ 15 ]​

تحدب

يفترض مبدأ التحدب أن المستهلك يفضل الحزم "المتوسطة" على الحزم المتطرفة. [ 16 ]

بصورة أكثر رسمية: لنفترض أنx∼y{\displaystyle x\thicksim y}وz=αx+(1-α)y{\displaystyle z=\alpha x+(1-\alpha )y}أين0<α<1{\displaystyle 0<\alpha <1}. ثم،z⪰x،y{\displaystyle z\succeq x,y}.

بعبارة أخرى، لنفترض أن المستهلك غير مبالٍ بينx{\displaystyle x}وy{\displaystyle y}، وz{\displaystyle z}هي حزمة تمثل متوسطًا مرجحًا لـx{\displaystyle x}وy{\displaystyle y}مع الأوزانα{\displaystyle \alpha }و(1-α){\displaystyle (1-\alpha )}على التوالي، ثمz{\displaystyle z}ليس أسوأ منx{\displaystyle x}أوy{\displaystyle y}.

إذا كانت علاقة التفضيل تُظهر تحدبًا صارمًا،z≻x،y{\displaystyle z\succ x,y}أي أن المستهلك يفضل بشكل صارم الحزمة المتوسطة.

مشكلة المستهلك

يختار المستهلك مجموعة من المنتجات لتحقيق أقصى قدر من المنفعة مع مراعاة قيد الميزانية وشرط عدم السلبية.

بصورة أكثر رسمية:

الأعلىx1،..،xكu(x1،..،xك){\displaystyle \max _{x_{1},..,x_{k}}\;u(x_{1},..,x_{k})}

s.ت.∑صأناxأنا≤أنا{\displaystyle s.t.\sum p_{i}x_{i}\leq I}

xأنا≥0{\displaystyle x_{i}\geq 0}∀أنا=1،..،ك{\displaystyle \forall i=1,..,k}

الخيار الأمثل للمستهلكx(ص،أنا){\displaystyle x(p,I)}هي الحزمة التي تحقق أقصى فائدة من بين جميع الحزم في مجموعة الميزانية.

x(ص،أنا)={x∈ب(ص،أنا)|يو(x)≥يو(y)∀y∈ب(ص،أنا)}{\displaystyle x(p,I)=\{x\in B(p,I)|U(x)\geq U(y)\forall y\in B(p,I)\}}.

x(ص،أنا){\displaystyle x(p,I)}وهي مجموعة قيم وتسمى مراسلة الطلب المارشالية . [ 17 ]

  • لوu{\displaystyle u}إذا كان الأمر مستمراً ولا توجد سلع مجانية، فعندئذٍx(ص،أنا){\displaystyle x(p,I)}موجود، [ 18 ] ولكنه ليس بالضرورة فريداً. [ 17 ]
  • إذا كانت دالة المنفعة تتسم بالرتابة، فإن المستهلك عند نقطة المنفعة المثلى ينفق جميع موارده. والتفسير المنطقي لهذه النتيجة واضح: فما دام لدى المستهلك مال، يستطيع شراء المزيد من السلع وزيادة منفعته (بسبب الرتابة). [ 17 ] [ 19 ]
  • إذا كانت تفضيلات المستهلك كاملة، وانعكاسية، ومتعدية، ورتيبة، ومحدبة تمامًا، فإن حل مشكلة المستهلك يكون فريدًا. لنفترض وجود حلين ضمن مجموعة الميزانية. الحزمة التي تمثل متوسط ​​الحلين هي الأفضل (بسبب التحدب التام) وتقع ضمن مجموعة الميزانية. أي أن الحزمتين لم تكونا مثاليتين. [ 17 ] [ 18 ]
  • إذا تحققت دالة المنفعة، بالإضافة إلى ما سبق، شرط إينادا، فإن حل مشكلة المستهلك يكون حلاً داخلياً. أي أن المستهلك يختار استهلاك كمية موجبة من كل سلعة. [ 20 ] إذا تحقق هذا الشرط،x(ص،أنا){\displaystyle x(p,I)}تُسمى دالة الطلب المارشالية . وإلا،

بافتراض وجود حل داخلي (يستهلك المستهلك كمية موجبة من كل سلعة)، يتم التوصل إلى حل لمشكلة المستهلك باستخدام مضاعف لاغرانج :

ل(x1،...،xن،λ)=u(x1،...،xك)+λ(أنا-∑أنا=1كصأناxأنا){\displaystyle {\mathcal {L}}\left(x_{1},\ldots ,x_{n},\lambda \right)=u\left(x_{1},\ldots ,x_{k}\right)+{\lambda }({I}-{\sum \limits _{i=1}^{k}}p_{i}x_{i})}

عن طريق التمييزل{\displaystyle {\mathcal {L}}}بالنسبة إلىxأنا{\displaystyle x_{i}}(أنا=1،..،ك){\displaystyle (i=1,..,k)}نحصل على شروط الرتبة الأولى :

uأنا(⋅)-λصأنا=0{\displaystyle u_{i}(\cdot )-\lambda p_{i}=0}∀أنا=1،..،ك{\displaystyle \forall i=1,..,k}[ 17 ]​

من شروط الطلب الأولى نستنتج أنه لكل سلعتينأنا،ج{\displaystyle i,j}، معدل الإحلال الحدي يساوي نسبة السعر بين هذه السلع: [ 17 ] [ 21 ]

مRSأنا،ج=uأناuج=صأناصج{\displaystyle MRS_{i,j}={\tfrac {u_{i}}{u_{j}}}={\tfrac {p_{i}}{p_{j}}}}∀أنا،ج∈(1،..،ك){\displaystyle \forall i,j\in (1,..,k)}.

عن طريق التمييزل{\displaystyle {\mathcal {L}}}بالنسبة إلىλ{\displaystyle \lambda }نحصل على قيد الميزانية:أنا-∑أنا=1كصأناxأنا=0{\displaystyle {I}-{\sum \limits _{i=1}^{k}}p_{i}x_{i}=0}.

الشرط الأول،مRSأنا،ج=صأناصج{\displaystyle MRS_{i,j}={\tfrac {p_{i}}{p_{j}}}}يشير ذلك إلى أنه عند السعر الأمثل الذي يرغب المستهلك في دفعه مقابل سلعة ما، تتساوى القيمة "الذاتية" لتلك السلعة (مقارنة بسلعة أخرى) مع سعرها "الموضوعي" (مقارنة بالسلعة الأخرى). [ 22 ]

لنفترض أنمRSأنا،ج>صأناصج{\displaystyle MRS_{i,j}>{\tfrac {p_{i}}{p_{j}}}}وهذا يعني أن المستهلك يقدر قيمة الوحدة الإضافية منأنا{\displaystyle i}أكثر من مقدارج{\displaystyle j}عليه أن يتخلى عن شيء ما ليشتريه. ومن ثم، استبداله بالخير.أنا{\displaystyle i}يزيد من الفائدة. [ 17 ]

لاحظ أنه إذا تخلى المستهلكمRSأنا،ج{\displaystyle MRS_{i,j}}وحداتج{\displaystyle j}للحصول على وحدة إضافية منأنا{\displaystyle i}لم تتغير فائدته.

ردود الفعل على تغيرات الأسعار

مجموعة الميزانية متجانسة من الدرجة الصفرية، لذا، إذا زادت الأسعار والدخل بنفس المعدل، فإن مجموعة الميزانية لا تتغير، وبالتالي يبقى الحل الأمثل لمشكلة المستهلك دون تغيير. أي أن الطلب على جميع السلع متجانس من الدرجة الصفرية في كل من الدخل والأسعار.

عندما تتغير أسعار السلع، يعتمد الاستهلاك الأمثل لهذه السلع على أثر الإحلال وأثر الدخل. ينص أثر الإحلال على أنه إذا كان الطلب على كلا السلعتين متجانسًا، فعندما ينخفض ​​سعر إحدى السلعتين (مع ثبات سعر الأخرى)، سيستهلك المستهلك كمية أكبر من هذه السلعة وكمية أقل من الأخرى لأنها تصبح أرخص نسبيًا. وينطبق الأمر نفسه إذا ارتفع سعر إحدى السلعتين، فسيشتري المستهلكون كمية أقل من تلك السلعة وكمية أكبر من الأخرى. [ 23 ]

يحدث أثر الدخل عندما يؤدي تغير أسعار السلع إلى تغير في الدخل. فإذا ارتفع سعر سلعة ما، ينخفض ​​الدخل (لأن استهلاك نفس الكمية أصبح أكثر تكلفة من ذي قبل)، وينطبق الأمر نفسه إذا انخفض سعر سلعة ما، فيرتفع الدخل (لأن استهلاك نفس الكمية أصبح أرخص، وبالتالي يمكن استهلاك كمية أكبر من مزيج السلع المرغوب). [ 23 ]

رد الفعل على التغيرات في الدخل

الشكل 3: يوضح هذا الشكل كيف تتغير الحزمة المثلى للمستهلك عندما يزداد دخله.

لنفترض أن لدينا سلعتين: س و ص. إذا زاد دخل المستهلك، فإن خط ميزانيته ينتقل إلى الخارج، ويصبح لديه دخل أكبر لإنفاقه على السلعة س أو السلعة ص أو كليهما، وذلك حسب تفضيلاته لكل سلعة. إذا كانت كلتا السلعتين س و ص سلعتين عاديتين ، فإن استهلاك كلتيهما سيزداد، وستنتقل السلة المثلى من النقطة أ إلى النقطة ج (انظر الشكل 5). أما إذا كانت إحداهما سلعة دنيا ، فإن الطلب عليها سينخفض ​​مع ارتفاع الدخل (وستكون السلة المثلى عند النقطة ب أو ج). [ 24 ]

إذا كانت علاقة تفضيل المستهلك تتسم بالرتابة، فإنه ينفق كامل موارده، كما ذُكر سابقًا. وهذا يعني أن سلعة واحدة على الأقل تُعتبر سلعة عادية. لماذا؟ لأنه إذا لم يُغير كمية استهلاكه من السلع (أي أن السلع محايدة)، أو إذا خفّض كمية استهلاكه من بعض السلع (أي أن بعض السلع رديئة)، فلن يتمكن من إنفاق كامل دخله. أي أنه سيضطر إلى زيادة كمية استهلاكه من سلعة واحدة على الأقل.

حل مشكلة المستهلك

لنفترض وجود سلعتين فقط. لتحقيق أقصى منفعة، توجد خمس خطوات أساسية لتحديد سلة السلع المثلى للمستهلك، وإيجاد سلة السلع التي تحقق أقصى منفعة له بالنظر إلى الأسعار والدخل والتفضيلات.

1) تحقق من أن دالة المنفعة رتيبة. أي أنه عند الوضع الأمثل، ينفق المستهلك كل دخله. [ 25 ]

الشكل 1: يوضح هذا الشكل الكميات المثلى من السلعتين x و y التي تزيد من المنفعة في ظل قيد الميزانية.

٢) تحقق من أن دالة المنفعة شبه مقعرة . أي أن شرط الرتبة الثانية للقيمة القصوى متحقق. [ ٢٦ ] [ ٢٧ ] في مثال السلعتين، يشير شرط الرتبة الثانية إلى أن دالة المنفعة يجب أن تكون محدبة. في هذه الحالة، تقع الحزمة المثلى عند نقطة التماس بين دالتي المنفعة (انظر الشكل ١). [ ٢٥ ]

3) تطبيق شرط الرتبة الأولى لاستخراج أحد المتغيرات. [ 25 ]

4) أدخلها في قيد الميزانية لإيجاد الحل. [ 25 ]

٥) التحقق من السلبية. يجب التحقق من السلبية لأن مسألة تعظيم المنفعة قد تُعطي إجابة يكون فيها الطلب الأمثل على سلعة ما سالبًا، وهو أمر غير ممكن عمليًا لأنه خارج نطاق المسألة. إذا كان الطلب على سلعة ما سالبًا، فإن سلة الاستهلاك الأمثل ستكون حيث لا يُستهلك أي شيء من هذه السلعة ويُنفق كل الدخل على السلعة الأخرى (حل طرفي). [ ٢٥ ]

أمثلة

دالة المنفعة الأسية

افترض أنu(x1،x2)=x1αx2{\displaystyle u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{\alpha }x_{2}}أينα<1{\displaystyle \alpha <1}. لاحظ أنمRS1،2=αx2x1{\displaystyle MRS_{1,2}={\frac {\alpha x_{2}}{x_{1}}}}ينخفض ​​معدل الانحدار المتعدد عندماx2{\displaystyle x_{2}}يتناقص وx1{\displaystyle x_{1}}تزداد. أي أن دالة المنفعة محدبة . لذلك، فإن نقطة التماس بين دالة المنفعة ومجموعة الميزانية هي حل لمسألة تعظيم المستهلك.

الأعلىx1،x2x1αx2{\displaystyle \max _{x_{1},x_{2}}\;x_{1}^{\alpha }x_{2}}

s.ت.ص1x1+ص2x2≤أنا{\displaystyle s.t.p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\leq I}

x1،x2⩾0{\displaystyle x_{1},x_{2}\geqslant 0}

الشرط الأول:

مRS1،2=αx2x1=ص1ص2⇒αx2=ص1x1{\displaystyle MRS_{1,2}={\frac {\alpha x_{2}}{x_{1}}}={\frac {p_{1}}{p_{2}}}\Rightarrow \alpha x_{2}={p_{1}x_{1}}}

إدراج قيد الميزانية:

αص2x2+ص2x2=أنا⇒ص2x2(1+α)=أنا⇒x2*=أناص2(1+α)⇒x1*=αأناص1(1+α){\displaystyle \alpha p_{2}x_{2}+p_{2}x_{2}=I\Rightarrow p_{2}x_{2}(1+\alpha )=I\Rightarrow x_{2}^{*}={\frac {I}{p_{2}(1+\alpha )}}\Rightarrow x_{1}^{*}={\frac {\alpha I}{p_{1}(1+\alpha )}}}

يتضح بسهولة أن كلا السلعتين عاديتان ، أي أن الكمية المطلوبة من كل سلعة تزداد مع ارتفاع الدخل. بينما تنخفض الكمية المطلوبة من كل سلعة مع انخفاض سعرها. علاوة على ذلك، فإن السلعتين ليستا بديلتين ولا مكملتين ، بمعنى أن الطلب على إحداهما لا يتغير بتغير سعر الأخرى.

تعظيم منفعة المكملات المثالية

u(x1،x2)=مأنان{αx1،x2}{\displaystyle u(x_{1},x_{2})=min\{\alpha x_{1},x_{2}\}}

الشكل 2: يوضح هذا الشكل مشكلة تعظيم المنفعة مع دالة المنفعة الدنيا.

بالنسبة لدالة الحد الأدنى التي تتضمن سلعًا مكملة تمامًا ، لا يمكن اتباع الخطوات نفسها لإيجاد سلة السلع التي تحقق أقصى منفعة، لأنها دالة غير قابلة للتفاضل. لذلك، يجب الاعتماد على الحدس. سيحقق المستهلك أقصى منفعة له عند نقطة الانعطاف في منحنى السواء الأعلى الذي يتقاطع مع خط الميزانية حيثx2=αx1{\displaystyle x_{2}=\alpha x_{1}}[ 26 ] الحدس واضح: يزيد المستهلك من منفعته بمقدار وحدة واحدة فقط إذا زاد استهلاكه بمقدار وحدة واحدة منy{\displaystyle y}و1α{\displaystyle {\tfrac {1}{\alpha }}}وحداتx{\displaystyle x}(لرؤية ذلك المعادلة)مأنان{αx1،x2}{\displaystyle min\{\alpha x_{1},x_{2}\}}قم بالتحويل إلى 1 وحل المعادلة لإيجاد القيمةx{\displaystyle x}وy{\displaystyle y}(بشكل منفصل). يوضح الشكل 2 لـα=1{\displaystyle \alpha =1}.

بإدخال الشرط الأمثل في قيد الميزانية (ص1x1+ص2x2=أنا{\displaystyle p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=I}) نحصل على ذلكص1x1+ص2αx1=أنا⇒x1(ص1+αص2)=أنا⇒x1*=أنا(ص1+αص2)⇒x2*=αأنا(ص1+αص2){\displaystyle p_{1}x_{1}+p_{2}\alpha x_{1}=I\Rightarrow x_{1}(p_{1}+\alpha p_{2})=I\Rightarrow x_{1}^{*}={\frac {I}{(p_{1}+\alpha p_{2})}}\Rightarrow x_{2}^{*}={\frac {\alpha I}{(p_{1}+\alpha p_{2})}}}.

لاحظ أن الطلب على السلعأنا∈{1،2}{\displaystyle i\in \{1,2\}}يزداد مع الدخل (أنا{\displaystyle I}أي أن السلع سلع عادية. ينخفض ​​سعرها مع انخفاض سعرها. أي أن كلا السلعتين سلع عادية. وأخيرًا، الطلب على السلعةأنا{\displaystyle i}ينخفض ​​مع انخفاض سعر السلعةج{\displaystyle j}جيدأنا{\displaystyle i}هو مدح جيد للجيدج{\displaystyle j}.

تعظيم منفعة البدائل المثالية

u(x1،x2)=αx1+x2{\displaystyle u(x_{1},x_{2})=\alpha x_{1}+x_{2}}

أي وحدة منx2{\displaystyle x_{2}}يمكن استبدالها بـ 1α{\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}}وحداتx1{\displaystyle x_{1}}.

معدل الإحلال الحدي هو:

مRS1،2=α{\displaystyle MRS_{1,2}=\alpha }

بينما نسبة السعر هيص1ص2{\displaystyle {\frac {p_{1}}{p_{2}}}}.

لومRS1،2=α>ص1ص2{\displaystyle MRS_{1,2}=\alpha >{\frac {p_{1}}{p_{2}}}}أي القيمة الذاتية لـx1{\displaystyle x_{1}}(من ناحيةx2{\displaystyle x_{2}}) أعلى من سعره النسبي (من حيثx2{\displaystyle x_{2}}ثم ينفق المستهلك دخله بالكامل علىx1{\displaystyle x_{1}}أما إذا حدث العكس، فإن المستهلك ينفق دخله بالكامل علىx2{\displaystyle x_{2}}وإلا فإن المستهلك يكون غير مبالٍ بين أي مزيج من السلعتين.

باختصار:

مRS1،2=α>ص1ص2⇒x1*=أناص1،x2*=0{\displaystyle MRS_{1,2}=\alpha >{\frac {p_{1}}{p_{2}}}\Rightarrow x_{1}^{*}={\frac {I}{p_{1}}},x_{2}^{*}=0}

مRS1،2=α<ص1ص2⇒x1*=0،x2*=أناص2{\displaystyle MRS_{1,2}=\alpha <{\frac {p_{1}}{p_{2}}}\Rightarrow x_{1}^{*}=0,x_{2}^{*}={\frac {I}{p_{2}}}}

مRS1،2=α=ص1ص2⇒x1*∈[0،أناص1]،x2*∈[أناص2،0]{\displaystyle MRS_{1,2}=\alpha ={\frac {p_{1}}{p_{2}}}\Rightarrow x_{1}^{*}\in [0,{\frac {I}{p_{1}}}],x_{2}^{*}\in [{\frac {I}{p_{2}}},0]}

حدس

لنفترض أن المستهلك يجد أن الاستماع إلى فرقتي الروك الأستراليتين AC/DC و Tame Impala بديلان مثاليان (α=1{\displaystyle \alpha =1}هذا يعني أنهم سعداء بقضاء فترة ما بعد الظهر بأكملها في الاستماع إلى فرقة AC/DC فقط، أو فرقة Tame Impala فقط، أو ثلاثة أرباع AC/DC وربع Tame Impala، أو أي مزيج من الفرقتين بأي كمية. لذلك، يتحدد الخيار الأمثل للمستهلك كليًا بالأسعار النسبية للاستماع إلى الفنانين. فإذا كان حضور حفل Tame Impala أرخص من حضور حفل AC/DC، يختار المستهلك حضور حفل Tame Impala، والعكس صحيح. أما إذا تساوى سعر الحفلين، فإن المستهلك لا يبالي تمامًا وقد يلجأ إلى رمي قطعة نقدية للاختيار. ولتوضيح ذلك رياضيًا، يمكن اشتقاق دالة المنفعة لإيجاد أن معدل الإحلال الحدي ثابت - وهذا هو المعنى التقني للبدائل الكاملة. ونتيجة لذلك، فإن حل مسألة تعظيم المنفعة المقيدة للمستهلك لن يكون (عمومًا) حلاً داخليًا، وبالتالي يجب التحقق من مستوى المنفعة في الحالات الحدية (إنفاق الميزانية بالكامل على السلعة س، وإنفاق الميزانية بالكامل على السلعة ص) لمعرفة أيهما الحل. تتمثل الحالة الخاصة في تساوي معدل الإحلال الحدي (الثابت) مع نسبة السعر (على سبيل المثال، عندما يكون للسلعتين نفس السعر، ونفس المعاملات في دالة المنفعة). في هذه الحالة، يُعد أي مزيج من السلعتين حلاً لمشكلة المستهلك.

تعظيم منفعة البدائل

u(x1،x2)=x1α+x2α{\displaystyle u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{\alpha }+x_{2}^{\alpha }}0<α<1{\displaystyle 0<\alpha <1}

الأعلىx1،x2x1α+x2α{\displaystyle \max _{x_{1},x_{2}}\;x_{1}^{\alpha }+x_{2}^{\alpha }}

s.ت.ص1x1+ص2x2≤أنا{\displaystyle s.t.p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\leq I}

x1،x2⩾0{\displaystyle x_{1},x_{2}\geqslant 0}

الشرط الأول:

مRS1،2=(x2x1)1-α=ص1ص2⇒ x2=(ص1ص2)11-αx1=كx1{\displaystyle MRS_{1,2}={\biggl (}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}{\biggr )}^{1-\alpha }={\frac {p_{1}}{p_{2}}}\Rightarrow \ x_{2}={\biggl (}{\frac {p_{1}}{p_{2}}}{\biggr )}^{\frac {1}{1-\alpha }}x_{1}=kx_{1}}أينك=(ص1ص2)11-α{\displaystyle k={\biggl (}{\frac {p_{1}}{p_{2}}}{\biggr )}^{\frac {1}{1-\alpha }}}.

إدراج قيد الميزانية:

x1(ص1+ص2ك)=أنا{\displaystyle x_{1}{\Biggl (}p_{1}+p_{2}k{\Biggr )}=I}

⇒x1*=أنا(ص1+ص2ك){\displaystyle \Rightarrow x_{1}^{*}={\frac {I}{{\biggl (}p_{1}+p_{2}k{\biggr )}}}}⇒x2*=أناك(ص1+ص2ك){\displaystyle \Rightarrow x_{2}^{*}={\frac {Ik}{{\biggl (}p_{1}+p_{2}k{\biggr )}}}}

من السهل التحقق من أن الطلب على السلعتين يتناقص مع انخفاض سعرهما. علاوة على ذلك، من السهل التحقق من أن

∂x1*∂ص2=أناα1-α⋅(ص1ص2)11-α(ص1+ص2(ص1ص2)11-α)2>0{\displaystyle {\frac {\partial x_{1}^{*}}{\partial p_{2}}}={\frac {I\alpha }{1-\alpha }}\cdot {\frac {\left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)^{\frac {1}{1-\alpha }}}{\left(p_{1}+p_{2}\left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)^{\frac {1}{1-\alpha }}\right)^{2}}}>0}،∂x2*∂ص1=-أناα1-α⋅(ص1ص2)11-αص1(ص1+ص2(ص1ص2)11-α)2>0{\displaystyle {\frac {\partial x_{2}^{*}}{\partial p_{1}}}=-{\frac {I\alpha }{1-\alpha }}\cdot {\frac {\left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)^{\frac {1}{1-\alpha }}}{p_{1}\left(p_{1}+p_{2}\left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)^{\frac {1}{1-\alpha }}\right)^{2}}}>0}.

أي أن هذه السلع بدائل.

وأخيراً، يمكننا أن نرى بسهولة أن البضائع هي بضائع عادية.

المنفعة شبه الخطية

u(x1،x2)=x1α+x2{\displaystyle u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{\alpha }+x_{2}} أين 0<α<1{\displaystyle 0<\alpha <1}.

مRS1،2=αx1α-1=ص1ص2⇒ x1*=(αص2ص1)11-α⇒ x2*=أنا-ص1x1*ص2{\displaystyle MRS_{1,2}={\alpha x_{1}^{\alpha -1}}={\frac {p_{1}}{p_{2}}}\Rightarrow \ x_{1}^{*}={\biggl (}{\frac {\alpha p_{2}}{p_{1}}}{\biggr )}^{\frac {1}{1-\alpha }}\Rightarrow \ x_{2}^{*}={\frac {I-p_{1}x_{1}^{*}}{p_{2}}}}

لاحظ أنه في الحل الداخلي، حيث تكون كميات جميع السلع موجبة، فإن السلعة 1 هي سلعة محايدة ، بينما السلعة 2 هي سلعة عادية.

أي أنه إذا زاد دخل المستهلك، فسيتم إنفاق كل الدخل الإضافي على السلعة 2.

لكن،x2*{\displaystyle x_{2}^{*}}قد تكون النتيجة سلبية. في هذه الحالة،x1*=أناص1{\displaystyle x_{1}^{*}={\frac {I}{p_{1}}}}وx2*=0{\displaystyle x_{2}^{*}=0}.

دالة المنفعة المقعرة

إذا كانت دالة المنفعة مقعرة، فإن نقطة التماس بين دالة المنفعة وخط الميزانية هي النقطة التي تُحقق للمستهلك أدنى منفعة من بين جميع الحزم على خط الميزانية. في هذه الحالة، لدينا حلٌّ زاويّ.

لوu(أناص1،0)>u(0،أناص2){\displaystyle u{\biggl (}{\frac {I}{p_{1}}},0{\biggr )}>u{\biggl (}0,{\frac {I}{p_{2}}}{\biggr )}}ثمx1*=أناص1،x2*=0{\displaystyle x_{1}^{*}={\frac {I}{p_{1}}},x_{2}^{*}=0}أما إذا كان العكس صحيحاً،x1*=0،x2*=أناص2{\displaystyle x_{1}^{*}=0,x_{2}^{*}={\frac {I}{p_{2}}}}وإلا، فإن المستهلك لا يبالي بين إنفاق كل أمواله على السلعة 1 وإنفاق كل أمواله على السلعة 2.

هل يسعى المستهلكون إلى تحقيق أقصى قدر من المنفعة؟

يُفترض أن المستهلكين... ومع ذلك، ونظرًا للعقلانية المحدودة ، التي تمنع الأفراد من فحص جميع الحزم الممكنة والحصول على جميع المعلومات المتاحة، على سبيل المثال بسبب ضيق الوقت، يختار المستهلكون أحيانًا حزمًا لا تُحقق بالضرورة أقصى منفعة لهم. [ 28 ]

يتحدى علماء الاقتصاد السلوكي أيضًا نظرية المستهلك العقلاني الذي يسعى إلى تعظيم منفعته في حدود ميزانيته. [ 28 ] فعلى سبيل المثال، أجرى دانيال كانيمان وعاموس تفيرسكي تجارب أظهرت أن الناس يتصرفون بشكل غير عقلاني. [ 29 ] [ 30 ] ومع ذلك، يعارض روبرت أومان هذا الرأي ويؤكد على ضرورة التمييز بين الأفعال العقلانية والقواعد العقلانية. فالأولى تشير إلى تعظيم المنفعة على المدى القصير، بينما تشير الثانية إلى الالتزام بقواعد أو عادات تعزز تعظيم المنفعة على المدى الطويل. فعندما يواجه الناس موقفًا غير مألوف، فإنهم يختارون الفعل الذي يعظم منفعتهم في معظم المواقف المشابهة للموقف الجديد. ولا يضمن هذا الفعل بالضرورة تعظيم منفعتهم في الموقف الجديد الذي يواجهونه، ولكن نظرًا لضيق الوقت المتاح لدراسة الموقف الجديد، فإنهم يلجؤون إلى فعل "ناجح" في معظم الأحيان. [ 31 ]

تعظيم المنفعة الديناميكي

لا تُعدّ حزمة المنفعة المُثلى للمستهلك ثابتة، بل قد تتغير بمرور الوقت. فعلى سبيل المثال، في نموذج الأجيال المتداخلة، تتغير أسعار عوامل الإنتاج (سعر العمل - الأجر، وسعر رأس المال - سعر الفائدة) بمرور الوقت، وكذلك قرار المستهلك. [ 32 ] يمكن للمستهلك تعديل قراراته نتيجة لتغير تفضيلاته بمرور الوقت (على سبيل المثال، في الاختيار الأمثل لحزمة الاستهلاك بمرور الوقت في ظل الخصم الزائد ) [ 33 ] أو لتغير الظروف بمرور الوقت (في حالة دالة المنفعة المعتمدة على الظروف). [ 34 ]

العقلانية المحدودة

للمزيد من المعلومات، انظر: العقلانية المحدودة

في الواقع، قد لا يختار المستهلك دائمًا الحزمة الأمثل. على سبيل المثال، قد يتطلب الأمر تفكيرًا أو وقتًا طويلًا. تُفسر نظرية العقلانية المحدودة هذا السلوك. ومن أمثلة البدائل لتحقيق أقصى منفعة، وفقًا للعقلانية المحدودة : الاكتفاء بالحد الأدنى ، والاستبعاد بناءً على الجوانب ، والاستدلال الذهني.

  • تتمثل قاعدة الإرضاء في قيام المستهلك بتحديد مستوى طموحه والبحث حتى يجد خيارًا يلبي هذا المستوى، ثم يعتبر هذا الخيار جيدًا بما فيه الكفاية ويتوقف عن البحث. [ 35 ]
  • تعتمد عملية الاستبعاد حسب الجوانب على تحديد مستوى لكل جانب من جوانب المنتج الذي يرغب فيه المستهلك، واستبعاد جميع الخيارات الأخرى التي لا تفي بهذا الشرط، مثل السعر الأقل من 100 دولار، أو اللون، وما إلى ذلك، حتى يتبقى منتج واحد فقط يُفترض أنه المنتج الذي سيختاره المستهلك. [ 36 ]
  • الاستدلال بالحساب الذهني : في هذه الاستراتيجية، يُلاحظ أن الناس غالبًا ما يُسندون قيمًا ذاتية لأموالهم بناءً على تفضيلاتهم لأشياء مختلفة. يقوم الشخص بإنشاء حسابات ذهنية لمختلف النفقات، ويُخصص ميزانيته ضمن هذه الحسابات، ثم يُحاول تحقيق أقصى منفعة له ضمن كل حساب. [ 37 ]

تُشابه العلاقة بين دالة المنفعة والطلب المارشالي في مسألة تعظيم المنفعة العلاقة بين دالة الإنفاق والطلب الهيكسي في مسألة تقليل الإنفاق . في مسألة تقليل الإنفاق، يكون مستوى المنفعة مُعطى، وكذلك أسعار السلع، ويتمثل دور المستهلك في إيجاد الحد الأدنى من الإنفاق اللازم للوصول إلى مستوى المنفعة هذا.

تنص قاعدة الاختيار الاجتماعي النفعية على أن المجتمع يجب أن يختار البديل الذي يحقق أقصى مجموع للمنافع . فبينما يقوم الأفراد بتحقيق أقصى منفعة، يقوم المجتمع بتحقيق أقصى مجموع للمنافع.

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 بارتن، أ.ب. (2001). "اقتصاد المستهلك" . الموسوعة الدولية للعلوم الاجتماعية والسلوكية : 2669-2674 . doi : 10.1016/B0-08-043076-7/02233-6 .
  2. ↑ "تفضيلات المستهلك واختياره" (ملف PDF) . ص 57. 
  3. ↑ "تاريخ النفعية" . 27 مارس 2009. تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 فبراير 2026 .
  4. ↑ كاراييفانوف، ألكسندر ك. "مشكلة المستهلك وكيفية حلها" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 فبراير 2026 .
  5. ↑ فاريان 1994 ، ص 94. خطأ في sfn: لا يوجد هدف: CITEREFVarian1994 ( مساعدة )
  6. ↑ "قيود الميزانية في الاقتصاد | أوتلاير" . articles.outlier.org . 2022-05-24 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2026-02-19 .
  7. ↑ روبنز، ليونيل (2007). مقال عن طبيعة وأهمية علم الاقتصاد . معهد لودفيج فون ميزس. ص 17. ISBN  978-1-61016-039-1.
  8. 1 2 فاريان 1992 ، ص. 98.
  9. 1 2 روبنشتاين 2012 ، ص. 66.
  10. ↑ "مجموعة الميزانية - إيكونغرافز" . www.econgraphs.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 19 فبراير 2026 .
  11. ↑ فاريان 1992 ، ص 94.
  12. ↑ فاريان 1992 ، ص 95.
  13. ↑ روبنشتاين 2012 ، ص 16.
  14. ↑ روبنشتاين 2012 ، ص 15.
  15. 1 2 فاريان 1992 ، ص. 96.
  16. ↑ "افتراض التفضيلات المحدبة - أطلس الإدارة العامة" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 16-02-2026 .
  17. 1 2 3 4 5 6 7 سارياس، موريسيو. "المحاضرة الثانية: مشكلة المستهلك" (PDF) . تم الاسترجاع 2026-02-16 .
  18. 1 2 روبنشتاين 2012 ، ص. 67.
  19. ↑ روبنشتاين 2012 ، ص 69-70.
  20. ↑ وودوارد، كايل (4 مارس 2011). "الاقتصاد 11: النشرة 2" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 فبراير 2026 .
  21. ↑ روبنشتاين 2012 ، ص 68-69.
  22. ↑ روبنشتاين 2012 ، ص 68.
  23. 1 2 تعظيم المنفعة والطلب . مكتبة جامعة مينيسوتا. 2011. ص. الفصل 7.2. 
  24. ↑ جامعة رايس (بدون تاريخ). "كيف تؤثر التغيرات في الدخل والأسعار على خيارات الاستهلاك" . منشورات بريس . تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 أبريل 2021 .
  25. 1 2 3 4 5 إيمرسون، باتريك م. (2019-10-28). الاقتصاد الجزئي المتوسط .
  26. 1 2 بورد، سيمون (2009). مسألة تعظيم المنفعة . قسم الاقتصاد، جامعة كاليفورنيا في لوس أنجلوس. ص 10-17 . 
  27. ↑ "الاقتصاد الرياضي مع الدكتور سانجاي بول" . users.etown.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 فبراير 2026 .
  28. 1 2 "العقلانية المحدودة | العلوم الاجتماعية والإنسانية | بدايات البحث | أبحاث EBSCO" . EBSCO . تم الاسترجاع في 11 فبراير 2026 .
  29. ↑ تفيرسكي، عاموس؛ كانيمان، دانيال (27-09-1974). "الحكم في ظل عدم اليقين: الاستدلالات والتحيزات: تكشف التحيزات في الأحكام عن بعض الاستدلالات في التفكير في ظل عدم اليقين" . مجلة ساينس . 185 (4157): 1124-1131 . doi : 10.1126/science.185.4157.1124 . ISSN 0036-8075 . 
  30. ↑ كانيمان، دانيال (2013). التفكير، سريعًا وبطيئًا (الطبعة الأولى ذات الغلاف الورقي). نيويورك: فارار، ستراوس وجيرو. ISBN  978-0-374-53355-7.
  31. ↑ أومان، روبرت. "عقلانية القاعدة مقابل عقلانية الفعل. أوراق نقاشية" . ratio.huji.ac.il . تاريخ الاسترجاع: 11 فبراير 2026 .
  32. ↑ دايموند، بيتر. "الدين الوطني في نموذج النمو الكلاسيكي الجديد". المجلة الاقتصادية الأمريكية . 55 (5): 1126-1150 .
  33. ↑ لوينشتاين، جورج؛ إلستر، جون (27-10-1992). الاختيار عبر الزمن . مؤسسة راسل سيج. ISBN 978-1-61044-365-4.
  34. ↑ شيرفيش، مارك جيه؛ سايدنفيلد، تيدي؛ كادان، جوزيف بي. "المنافع المعتمدة على الحالة" . مجلة الجمعية الإحصائية الأمريكية . 85 (411): 840-847 . doi : 10.1080/01621459.1990.10474948 . ISSN 0162-1459 . 
  35. ↑ ويلر، غريغوري (2018). العقلانية المحدودة . موسوعة ستانفورد للفلسفة.
  36. ↑ "نموذج الاستبعاد حسب الجوانب" . جامعة موناش . 2018. تم الاطلاع عليه بتاريخ 20 أبريل 2021 .
  37. ↑ "لماذا نفكر في بعض المشتريات أقل من غيرها؟" . مختبر القرار . 2021. تم الاطلاع عليه بتاريخ 20 أبريل 2021 .

فهرس

  • روبنشتاين، آرييل (2012). محاضرات في نظرية الاقتصاد الجزئي: الفاعل الاقتصادي . سلسلة برينستون للكتب الورقية (  الطبعة الثانية). برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون. ISBN 978-0-691-15413-8.
  • سارياس، موريسيو. “المحاضرة الثانية: مشكلة المستهلك” (PDF). تم الاسترجاع بتاريخ 2026-02-16.
  • فاريان، هال ر. (1992). التحليل الاقتصادي الجزئي (  الطبعة الثالثة). دبليو دبليو نورتون وشركاه . رقم ISBN 0-393-95735-7.