صيغة فييت

في الرياضيات ، صيغة فييت هي حاصل الضرب اللانهائي التالي للجذور المتداخلة التي تمثل ضعف مقلوب الثابت الرياضي π : $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2}{\pi }}&={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots \\[5mu]&={\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots \end{aligned}}}$$

ويمكن تمثيلها أيضاً على النحو التالي: $${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {\pi }{2^{n+1}}}.}$$

سُميت هذه الصيغة نسبةً إلى فرانسوا فييت ، الذي نشرها عام ١٥٩٣. ^{[ ١ ]} وباعتبارها أول صيغة في الرياضيات الأوروبية تُمثل عمليةً لا نهائية، ^{[ ٢ ]} يُمكن إعطاؤها معنىً دقيقًا كتعبيرٍ حدي ، ^{[ ٣ ]} وتُمثل بداية التحليل الرياضي . تتميز هذه الصيغة بتقاربها الخطي ، ويمكن استخدامها لحساب قيمة π ، ^{[ ٤ ]} إلا أن طرقًا أخرى قبلها وبعدها أدت إلى دقةٍ أكبر. كما استُخدمت في حسابات سلوك أنظمة النوابض والكتل، ^{[ ٥ ]} وكمثالٍ مُحفز لمفهوم الاستقلال الإحصائي .

يمكن اشتقاق الصيغة كحاصل ضرب متداخل لمساحات أو محيطات مضلعات متداخلة تتقارب إلى دائرة . أو بدلاً من ذلك، يؤدي الاستخدام المتكرر لصيغة نصف الزاوية من علم المثلثات إلى صيغة عامة، اكتشفها ليونارد أويلر ، وتُعد صيغة فييت حالة خاصة منها. وهناك العديد من الصيغ المشابهة المعروفة التي تتضمن جذورًا متداخلة أو حاصل ضرب لانهائي.

كان فرانسوا فييت (1540-1603) محاميًا فرنسيًا، ومستشارًا ملكيًا ، وخبيرًا في فك الشفرات لدى ملكين فرنسيين، ورياضيًا هاويًا. نشر هذه الصيغة عام 1593 في كتابه " Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII" . في ذلك الوقت، كانت طرق تقريب قيمة π بدقة (من حيث المبدأ) معروفة منذ زمن طويل. يمكن تفسير طريقة فييت على أنها تعديل لفكرة أرخميدس حول تقريب محيط الدائرة بمحيط مضلع متعدد الأضلاع، ^{[ 1 ]} والتي استخدمها أرخميدس لإيجاد التقريب. ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\frac {223}{71}<\pi <{\frac {22}{7}}.}$$

بنشره طريقته كصيغة رياضية، صاغ فييت أول مثال معروف في الرياضيات على الضرب اللانهائي ، ^{[ 7 ] [ 8 ]} وأول مثال على صيغة صريحة للقيمة الدقيقة لـ π . ^{[ 9 ] [ 10 ]} وباعتبارها أول تمثيل في الرياضيات الأوروبية لعدد كنتيجة لعملية لانهائية بدلاً من عملية حسابية محدودة، ^{[ 11 ]} يُشير إيلي ماور إلى صيغة فييت باعتبارها بداية التحليل الرياضي ^{، [ 2 ]} ويصفها جوناثان بورواين بأنها "فجر الرياضيات الحديثة". ^{[ 12 ]}

باستخدام صيغته، حسب فييت قيمة π بدقة تسعة أرقام عشرية . ^{[ 4 ]} مع ذلك، لم يكن هذا أدق تقريب معروف لقيمة π في ذلك الوقت، إذ كان عالم الرياضيات الفارسي جمشيد الكاشي قد حسب قيمة π بدقة تسعة أرقام ستينية وستة عشر رقمًا عشريًا في عام 1424. ^{[ 12 ]} بعد فترة وجيزة من نشر فييت لصيغته، استخدم لودولف فان كولين طريقة مشابهة لطريقة فييت لحساب 35 رقمًا من π ، والتي لم تُنشر إلا بعد وفاة فان كولين في عام 1610. ^{[ 12 ]}

إلى جانب أهميتها الرياضية والتاريخية، يمكن استخدام صيغة فييت لتفسير اختلاف سرعات الموجات ذات الترددات المختلفة في سلسلة لانهائية من النوابض والكتل، وظهور π في السلوك الحدي لهذه السرعات. ^{[ 5 ]} علاوة على ذلك، فإن اشتقاق هذه الصيغة كحاصل ضرب تكاملات تتضمن نظام رادماخر ، يساوي تكامل حاصل ضرب الدوال نفسها، يقدم مثالًا محفزًا لمفهوم الاستقلال الإحصائي . ^{[ 13 ]}

يمكن إعادة كتابة صيغة فييت وفهمها على أنها تعبير حدي ^{[ 3 ]}$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\prod _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}}{2}}={\frac {2}{\pi }},}$$ أين $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}&={\sqrt {2}}\\a_{i}&={\sqrt {2+a_{i-1}}}.\end{aligned}}}$$

لكل خيار من${\displaystyle n}$، يكون التعبير في النهاية عبارة عن حاصل ضرب منتهٍ، و${\displaystyle n}$عندما تصبح هذه القيم كبيرة بشكل تعسفي، فإن هذه المنتجات المحدودة لها قيم تقترب من قيمة صيغة فييت بشكل دقيق للغاية. وقد أنجز فييت عمله قبل وقت طويل من تطوير مفاهيم النهايات والبراهين الدقيقة للتقارب في الرياضيات؛ ولم يُقدّم أول برهان على وجود هذه النهاية إلا في عمل فرديناند روديو عام 1891. ^{[ 1 ] [ 14 ]}

يتحكم معدل تقارب النهاية في عدد حدود التعبير اللازمة لتحقيق دقة عددية معينة. في صيغة فييت، يتناسب عدد الحدود مع عدد الأرقام: فحاصل ضرب أول n حد في النهاية يعطي تعبيرًا لـ π بدقة تصل إلى 0.6n رقمًا تقريبًا . ^{[ 4 ] [ 15 ]} يُعد معدل التقارب هذا ممتازًا مقارنةً بصيغة واليس ، وهي صيغة لاحقة لحساب π باستخدام حاصل ضرب لانهائي . مع أن فييت نفسه استخدم صيغته لحساب π بدقة تسعة أرقام فقط، فقد استُخدمت نسخة مُسرّعة منها لحساب π بدقة تصل إلى مئات الآلاف من الأرقام. ^{[ 4 ]}

يمكن الحصول على صيغة فييت كحالة خاصة من صيغة دالة sinc التي غالباً ما تنسب إلى ليونارد أويلر ^{[ 16 ]} ، بعد أكثر من قرن: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\cos {\frac {x}{2}}\cdot \cos {\frac {x}{4}}\cdot \cos {\frac {x}{8}}\cdots }$$

يؤدي استبدال x = π /2 في هذه الصيغة إلى ^{[ 17 ]}$${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}=\cos {\frac {\pi }{4}}\cdot \cos {\frac {\pi }{8}}\cdot \cos {\frac {\pi }{16}}\cdots }$$

ثم، يتم التعبير عن كل حد من حدود المنتج على اليمين كدالة للحدود السابقة باستخدام صيغة نصف الزاوية : $${\displaystyle \cos {\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos x}{2}}}}$$^{[ 9 ]} يعطي صيغة فييت.

من الممكن أيضًا اشتقاق صيغة ذات صلة لـ π من صيغة Viète والتي لا تزال تتضمن جذورًا تربيعية متداخلة للعدد اثنين، ولكنها تستخدم عملية ضرب واحدة فقط: ^{[ 18 ]}$${\displaystyle \pi =\lim _{k\to \infty }2^{k}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2}}}}}}}}}}}} _{k{\text{ square roots}}},}$$ والتي يمكن إعادة كتابتها بشكل مختصر على النحو التالي $${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=\lim _{k\to \infty }2^{k}{\sqrt {2-a_{k}}},\\a_{1}&=0,\\a_{k}&={\sqrt {2+a_{k-1}}}.\end{aligned}}}$$

تتوفر الآن العديد من الصيغ لحساب π وثوابت أخرى مثل النسبة الذهبية ، وهي صيغ مشابهة لصيغة فييت في استخدامها للجذور المتداخلة أو حاصل الضرب اللانهائي للدوال المثلثية. ^{[ 8 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]}

^{توصل فييت إلى} صيغته بمقارنة مساحات المضلعات المنتظمة ذات 2n و ² n ^{+ 1} ضلعًا والمحاطة بدائرة . [ ^{1 ] [ 2 ] الحد} الأول في حاصل الضرب،${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$(قبل الترشيد)${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$يمثل الحد الأول نسبة مساحة المربع إلى مساحة المثمن ، بينما يمثل الحد الثاني نسبة مساحة المثمن إلى مساحة السداسي عشر ، وهكذا. وبالتالي، يمكن دمج حاصل الضرب ليعطي نسبة مساحة المربع (المضلع الأولي في المتتالية) إلى مساحة الدائرة (الحالة الحدية لمضلع ذي 2n ^ضلعًا ). وبدلاً من ذلك، يمكن تفسير حدود حاصل الضرب على أنها نسب محيطات نفس سلسلة المضلعات، بدءًا من نسبة محيط المضلع الثنائي ( قطر الدائرة، محسوبًا مرتين) إلى محيط المربع، ثم نسبة محيط المربع إلى محيط المثمن، وهكذا. ^{[ 25 ]}

ثمة اشتقاق آخر ممكن بالاعتماد على المتطابقات المثلثية وصيغة أويلر. بتطبيق صيغة ضعف الزاوية بشكل متكرر$${\displaystyle \sin x=2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}},}$$ يؤدي ذلك إلى برهان بالاستقراء الرياضي مفاده أنه بالنسبة لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة n ، $${\displaystyle \sin x=2^{n}\sin {\frac {x}{2^{n}}}{\biggl (}\prod _{i=1}^{n}\cos {\frac {x}{2^{i}}}{\biggr )}.}$$

يؤول الحد 2n ^sin ( x / ²ⁿ ) إلى x في النهاية عندما يؤول n إلى اللانهاية، ومنه تُستنتج صيغة أويلر. ويمكن الحصول على صيغة فييت من هذه الصيغة بالتعويض x = π /2 . ^{[ 9 ] [ 13 ]}

• قانون موري ، انتحال الهوية ${\displaystyle x=2^{n}\alpha }$وفقًا لصيغة فييت

• قائمة المتطابقات المثلثية

• Viète's Variorum de rebus mathematicis responsorum، liber VIII (1593) في كتب Google . الصيغة موجودة في النصف الثاني من ص.  30.