النهاية (الرياضيات)

متتالية من الأعداد الحقيقية${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots }$يقال إنها تتقارب إلى حد معين${\displaystyle L}$إذا كانت حدود المتتالية تعطي تقريبًا جيدًا بشكل تعسفي للعدد${\displaystyle L}$بعد استبعاد عدد محدود من الحدود الأولية. مثال على ذلك المتتالية${\displaystyle 0,0.3,0.33,0.333,0.3333,}$وهكذا دواليك. كل حد في المتتالية هو تقريب للعدد النسبي${\displaystyle 1/3=0.333\ldots }$إذا رغبنا في الحصول على تقريب يقع ضمن هامش خطأ معين${\displaystyle \epsilon }$إذا كان ، فإن جميع حدود المتتالية، باستثناء عدد محدود منها، تقع ضمن نطاق الخطأ المستهدف. على سبيل المثال، للوصول إلى${\displaystyle \epsilon =0.001}$ل${\displaystyle 1/3}$، التقريبات${\displaystyle 0}$،${\displaystyle 0.3}$، و${\displaystyle 0.33}$تقع هذه القيم خارج نطاق الخطأ، ولكن بعد استبعاد هذه التقريبات الثلاث، تصبح جميع التقريبات المتبقية ضمن نطاق الخطأ.${\displaystyle \epsilon =0.001}$تنطبق خاصية التقريب نفسها على كل خطأ موجب.${\displaystyle \epsilon }$.

وبشكل أدق، تسلسل${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$يُقال إن مجموعة الأعداد الحقيقية متقاربة إذا وُجد${\displaystyle L\in \mathbb {R} }$بحيث يكون لكل عدد حقيقي موجب${\displaystyle \epsilon }$يوجد عدد صحيح موجب${\displaystyle N}$(اعتمادا علي${\displaystyle \epsilon }$) بحيث يكون كل مصطلح${\displaystyle a_{n}}$مع${\displaystyle n>N}$يقع على مسافة${\displaystyle \epsilon }$ل${\displaystyle L}$الرقم${\displaystyle L}$تكون فريدة، إن وجدت. وتسمى نهاية المتتالية${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$وهذا مكتوب $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L.}$$

وبالتالي، يمكن تلخيص تعريف نهاية المتتالية على النحو التالي:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L}$يعني ذلك أنه لكل${\displaystyle \epsilon >0}$، يوجد${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$بحيث${\displaystyle |a_{n}-L|<\epsilon }$للجميع${\displaystyle n>N}$.

إذا كان مثل هذا${\displaystyle L}$غير موجود،${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$يقال إنه متباعد .

يُقال إن المتتالية تؤول إلى اللانهاية إذا تجاوزت جميع حدودها، باستثناء عدد محدود منها، كل عدد مُعطى. ومن الأمثلة على ذلك المتتالية${\displaystyle 1,2,3,\ldots }$من الأعداد الصحيحة الموجبة. يؤول هذا إلى اللانهاية لأنه، لأي حد معطى${\displaystyle M}$كل عنصر من عناصر المتتالية أكبر من${\displaystyle M}$بعد استبعاد العدد المحدود من العناصر غير الموجودة. رسميًا،${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$يميل إلى اللانهاية إذا، بالنظر إلى أي عدد حقيقي${\displaystyle M}$يوجد عدد صحيح موجب${\displaystyle N}$بحيث${\displaystyle a_{n}>M}$لكل${\displaystyle n>N}$يُكتب هذا على النحو التالي:${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty }$.

وبالمثل، يُقال إن المتتالية تؤول إلى سالب ما لا نهاية إذا كانت جميع حدودها، باستثناء عدد محدود منها، أقل من أي حد أدنى مُعطى. ويُكتب هذا على النحو التالي:${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty }$.

في كل حالة حيث${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty }$أو${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty }$يقال إن المتتالية لها نهاية لا نهائية. لكنها لا تملك نهاية بمعنى أنها تتقارب إلى عدد حقيقي، لأن${\displaystyle \infty }$و${\displaystyle -\infty }$ليست أرقامًا حقيقية.

إن مناقشة المتتابعات أعلاه تخص متتابعات الأعداد الحقيقية. ويمكن تعريف مفهوم النهايات للمتتابعات التي تُقيّم في فضاءات أكثر تجريدًا، مثل الفضاءات المترية .${\displaystyle M}$هو فضاء متري ذو دالة مسافة${\displaystyle d}$، و${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\geq 0}}$هو تسلسل في${\displaystyle M}$إذاً ، فإن نهاية المتتالية (إن وجدت) هي عنصر${\displaystyle a\in M}$بحيث، بالنظر إلى${\displaystyle \varepsilon >0}$يوجد​${\displaystyle N}$بحيث يكون لكل${\displaystyle n>N}$لدينا​ $${\displaystyle d(a,a_{n})<\varepsilon .}$$ ويمكن التعبير عن ذلك بعبارة مماثلة هي:${\displaystyle a_{n}\rightarrow a}$إذا كانت متتالية الأعداد الحقيقية${\displaystyle d(a,a_{n})\rightarrow 0}$.

بمعنى ما، فإن أكثر الفضاءات تجريدًا التي يمكن تعريف النهايات فيها هي الفضاءات الطوبولوجية .${\displaystyle X}$هو فضاء طوبولوجي ذو طوبولوجيا${\displaystyle \tau }$، و${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\geq 0}}$هو تسلسل في${\displaystyle X}$إذاً ، فإن نهاية المتتالية (إن وجدت) هي نقطة${\displaystyle a\in X}$بحيث، بالنظر إلى جوار (مفتوح)${\displaystyle U\in \tau }$ل${\displaystyle a}$يوجد​${\displaystyle N}$بحيث يكون لكل${\displaystyle n>N}$،$${\displaystyle a_{n}\in U}$$ يتحقق الشرط. في هذه الحالة، قد لا تكون النهاية (إن وجدت) فريدة. ومع ذلك، يجب أن تكون فريدة إذا${\displaystyle X}$هو فضاء هاوسدورف .

يتناول هذا القسم فكرة نهايات متتابعات الدوال، والتي لا ينبغي الخلط بينها وبين فكرة نهايات الدوال، التي نناقشها أدناه.

يسعى مجال التحليل الوظيفي جزئيًا إلى تحديد مفاهيم مفيدة للتقارب على فضاءات الدوال. على سبيل المثال، لننظر إلى فضاء الدوال من مجموعة عامة${\displaystyle E}$ل${\displaystyle \mathbb {R} }$. بالنظر إلى سلسلة من الدوال${\displaystyle \{f_{n}\}_{n>0}}$بحيث تكون كل منها دالة${\displaystyle f_{n}:E\rightarrow \mathbb {R} }$لنفترض أن هناك دالة بحيث يكون لكل${\displaystyle x\in E}$،$${\displaystyle f_{n}(x)\rightarrow f(x){\text{ or equivalently }}\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=f(x).}$$

ثم التسلسل${\displaystyle f_{n}}$يقال إنها تتقارب نقطياً إلى${\displaystyle f}$ومع ذلك ، قد تُظهر هذه المتتاليات سلوكًا غير متوقع. على سبيل المثال، من الممكن إنشاء متتالية من الدوال المتصلة ذات نهاية نقطية غير متصلة.

مفهوم آخر للتقارب هو التقارب المنتظم . المسافة المنتظمة بين دالتين${\displaystyle f,g:E\rightarrow \mathbb {R} }$يمثل الحد الأقصى للفرق بين الدالتين كمعامل${\displaystyle x\in E}$وهي متنوعة. أي $${\displaystyle d(f,g)=\max _{x\in E}|f(x)-g(x)|.}$$ ثم التسلسل${\displaystyle f_{n}}$يقال إنها تتقارب بشكل منتظم أو لها حد موحد لـ${\displaystyle f}$لو${\displaystyle f_{n}\rightarrow f}$بالنسبة لهذه المسافة، يتمتع الحد المنتظم بخصائص أفضل من الحد النقطي. على سبيل المثال، الحد المنتظم لمتتالية من الدوال المتصلة هو حد متصل.

يمكن تعريف العديد من مفاهيم التقارب المختلفة على فضاءات الدوال. ويعتمد ذلك أحيانًا على انتظام الفضاء. ومن الأمثلة البارزة على فضاءات الدوال التي تتضمن مفهومًا للتقارب فضاءات Lp وفضاء سوبوليف .

من الممكن تعريف مفهوم النهاية "اليسرى" ("من الأسفل")، ومفهوم النهاية "اليمنى" ("من الأعلى"). ولا يشترط أن يتطابق هذان المفهومان. ومثال على ذلك دالة المؤشر الموجبة .${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$، محددة بحيث${\displaystyle f(x)=0}$لو${\displaystyle x\leq 0}$، و${\displaystyle f(x)=1}$لو${\displaystyle x>0}$. في${\displaystyle x=0}$للدالة حدٌّ أيسر يساوي صفرًا، وحدٌّ أيمن يساوي واحدًا، ونهايتها غير موجودة. ويمكن التعبير عن ذلك رمزيًا، في هذا المثال، كما يلي:${\displaystyle \lim _{x\to c^{-}}f(x)=0}$، و${\displaystyle \lim _{x\to c^{+}}f(x)=1}$ومن هذا يمكن استنتاج ذلك${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)}$غير موجود، لأن${\displaystyle \lim _{x\to c^{-}}f(x)\neq \lim _{x\to c^{+}}f(x)}$.

من الممكن تعريف مفهوم "الاتجاه نحو اللانهاية" في مجال${\displaystyle f}$،$${\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)=L.}$$

يمكن اعتبار هذا مكافئًا للنهاية عندما يقترب المقلوب من الصفر: $${\displaystyle \lim _{x'\rightarrow 0^{+}}f(1/x')=L.}$$

أو يمكن تعريفها بشكل مباشر: "حد${\displaystyle f}$مثل${\displaystyle x}$يُعرَّف مصطلح "يميل إلى اللانهاية الموجبة" بأنه قيمة${\displaystyle L}$بحيث، بالنظر إلى أي عدد حقيقي${\displaystyle \varepsilon >0}$يوجد​${\displaystyle M>0}$حتى يكون ذلك للجميع${\displaystyle x>M}$،${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }$تعريف المتتاليات مكافئ لما يلي :${\displaystyle n\rightarrow +\infty }$لدينا​${\displaystyle f(x_{n})\rightarrow L}$.

في هذه التعبيرات، يُعتبر رمز اللانهاية عادةً ذا إشارة (${\displaystyle +\infty }$أو${\displaystyle -\infty }$) ويتوافق مع نهاية أحادية الجانب للمقلوب. يمكن تعريف نهاية لانهائية ثنائية الجانب، لكن المؤلف سيكتب صراحةً${\displaystyle \pm \infty }$للتوضيح.

من الممكن أيضاً تعريف مفهوم "الاقتراب من اللانهاية" في قيمة${\displaystyle f}$،$${\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}f(x)=\infty .}$$

ومرة أخرى، يمكن تعريف هذا من حيث المقلوب: $${\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}{\frac {1}{f(x)}}=0.}$$

أو يمكن تقديم تعريف مباشر على النحو التالي: بالنظر إلى أي عدد حقيقي${\displaystyle M>0}$، هناك${\displaystyle \delta >0}$لذلك من أجل${\displaystyle 0<|x-c|<\delta }$، القيمة المطلقة للدالة${\displaystyle |f(x)|>M}$يمكن أن يكون للمتتالية أيضًا نهاية لا نهائية: كما${\displaystyle n\rightarrow \infty }$، التسلسل${\displaystyle f(x_{n})\rightarrow \infty }$.

يسهل تعميم هذا التعريف المباشر ليشمل النهايات اللانهائية من جانب واحد. مع أن علماء الرياضيات يتحدثون عن الدوال التي تقترب من النهايات "من الأعلى" أو "من الأسفل"، إلا أنه لا يوجد رمز رياضي موحد لذلك كما هو الحال بالنسبة للنهايات من جانب واحد.

يترك${\displaystyle \{a_{n}\}_{n>0}}$ليكن متتالية في فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$وللتوضيح ،${\displaystyle X}$يمكن اعتبارها${\displaystyle \mathbb {R} }$لكن التعريفات تنطبق بشكل أعم. مجموعة النهايات هي مجموعة النقاط التي إذا وُجدت متتالية جزئية متقاربة، فإنها تكون متقاربة.${\displaystyle \{a_{n_{k}}\}_{k>0}}$مع${\displaystyle a_{n_{k}}\rightarrow a}$، ثم${\displaystyle a}$ينتمي إلى مجموعة الحدود. في هذا السياق، مثل هذا${\displaystyle a}$يُطلق عليها أحيانًا اسم نقطة الحد.

يُستخدم هذا المفهوم لوصف "السلوك طويل الأمد" للتسلسلات التذبذبية. على سبيل المثال، لنأخذ التسلسل التالي${\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}}$ابتداءً من n=1 ، تكون الحدود القليلة الأولى من هذه المتتالية هي${\displaystyle -1,+1,-1,+1,\cdots }$يمكن التحقق من أنها متذبذبة، لذا ليس لها حد، ولكن لها نقاط حدية .${\displaystyle \{-1,+1\}}$.

يُستخدم هذا المفهوم في الأنظمة الديناميكية لدراسة حدود المسارات. ويُعرَّف المسار بأنه دالة.${\displaystyle \gamma$ النقطة : \mathbb {R} \rightarrow X }${\displaystyle \gamma (t)}$يُعتبر بمثابة "موقع" المسار في "الوقت"${\displaystyle t}$تُعرَّف مجموعة حدود المسار على النحو التالي: لأي متتالية من الأوقات المتزايدة${\displaystyle \{t_{n}\}}$، هناك تسلسل مرتبط من المواضع${\displaystyle \{x_{n}\}=\{\gamma (t_{n})\}}$. لو${\displaystyle x}$هي مجموعة النهاية للمتتالية${\displaystyle \{x_{n}\}}$لأي سلسلة من الأوقات المتزايدة، إذن${\displaystyle x}$هي مجموعة حدود المسار.

من الناحية الفنية، هذا هو${\displaystyle \omega }$مجموعة الحدود. تُسمى مجموعة الحدود المقابلة لتسلسلات الوقت المتناقص بـ${\displaystyle \alpha }$تم تحديد الحد.

ومن الأمثلة التوضيحية على ذلك المسار الدائري:${\displaystyle \gamma (t)=(\cos(t),\sin(t))}$ليس لهذا حد فريد ، ولكن لكل${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} }$النقطة​${\displaystyle (\cos(\theta ),\sin(\theta ))}$هي نقطة حدية، تُحددها سلسلة الأوقات${\displaystyle t_{n}=\theta +2\pi n}$لكن ليس بالضرورة الوصول إلى نقاط الحد على المسار. المسار${\displaystyle \gamma (t)=t/(1+t)(\cos(t),\sin(t))}$كما أن دائرة الوحدة هي مجموعة حدودها.

يُعدّ تطبيق نظرية مجموع المتسلسلات مفيدًا في متسلسلات القوى . وهي عبارة عن مجموع متسلسلات على الشكل التالي: $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}.}$$ غالباً${\displaystyle z}$يُعتبر عددًا مركبًا ، ويلزم وجود مفهوم مناسب لتقارب المتتاليات المركبة. مجموعة قيم${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$إن مجموع المتسلسلة الذي يتقارب هو دائرة، ونصف قطرها يُعرف بنصف قطر التقارب .

من خصائص المتتابعات المتقاربة للأعداد الحقيقية أنها متتابعات كوشي . ^{[ 11 ]} تعريف متتابعة كوشي${\displaystyle \{a_{n}\}}$هل هذا صحيح لكل عدد حقيقي؟${\displaystyle \varepsilon >0}$، هناك${\displaystyle N}$بحيث كلما${\displaystyle m,n>N}$، $${\displaystyle |a_{m}-a_{n}|<\varepsilon .}$$

بصورة غير رسمية، لأي خطأ صغير بشكل تعسفي${\displaystyle \varepsilon }$، من الممكن إيجاد فاصل قطري${\displaystyle \varepsilon }$بحيث يتم احتواء التسلسل في النهاية داخل الفترة.

ترتبط متتابعات كوشي ارتباطًا وثيقًا بالمتتابعات المتقاربة. في الواقع، بالنسبة لمتتابعات الأعداد الحقيقية، فهي متكافئة: أي متتابعة كوشي تكون متقاربة.

في الفضاءات المترية العامة، يظل صحيحًا أن المتتابعات المتقاربة هي أيضًا متتابعات كوشي. لكن العكس ليس صحيحًا: فليست كل متتابعة كوشي متقاربة في الفضاء المتري العام. ومن الأمثلة الكلاسيكية المضادة على ذلك الأعداد النسبية .${\displaystyle \mathbb {Q} }$، مع المسافة المعتادة. سلسلة التقريبات العشرية لـ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$، مقطوعة عند${\displaystyle n}$المنزلة العشرية رقم n هي متتالية كوشي، لكنها لا تتقارب في${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

الفضاء المتري الذي تكون فيه كل متتالية كوشي متقاربة أيضًا، أي أن متتاليات كوشي مكافئة للمتتاليات المتقاربة، يُعرف باسم الفضاء المتري الكامل .

أحد أسباب سهولة التعامل مع متتابعات كوشي مقارنةً بالمتتابعات المتقاربة هو أنها خاصية من خصائص المتتابعة.${\displaystyle \{a_{n}\}}$بمفردها، بينما لا تتطلب المتتاليات المتقاربة المتتالية فقط${\displaystyle \{a_{n}\}}$ولكن أيضًا حد التسلسل${\displaystyle a}$.