نظرية أبيل-روفيني

الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تنص نظرية أبيل-روفيني (المعروفة أيضًا بنظرية استحالة أبيل ) على أنه لا يوجد حل جذري لمعادلات كثيرات الحدود العامة من الدرجة الخامسة أو أعلى ذات المعاملات العشوائية. والمقصود بكلمة "عامة" هنا هو أن معاملات المعادلة تُعتبر وتُعامل كمتغيرات غير محددة .

سميت النظرية على اسم باولو روفيني ، الذي قدم برهانًا غير مكتمل في عام 1799 [ 1 ] (والذي تم تنقيحه وإكماله في عام 1813 [ 2 ] وقبله كوشي )، ونيلز هنريك أبيل ، الذي قدم برهانًا في عام 1824. [ 3 ] [ 4 ]

يمكن أن يشير المصطلح أيضًا إلى النتيجة الأقوى قليلًا، وهي وجود معادلات من الدرجة الخامسة وما فوق لا يمكن حلها باستخدام الجذور. لا تستنتج هذه النتيجة من صياغة آبل للنظرية، بل هي نتيجة منطقية لبرهانه، إذ يستند برهانه إلى حقيقة أن بعض كثيرات الحدود في معاملات المعادلة ليست كثيرة الحدود الصفرية. وتستنتج هذه الصياغة المحسّنة مباشرةً من نظرية غالوا (  مثال من الدرجة الخامسة غير قابل للحل) . كما تشير نظرية غالوا إلى أن

x5-x-1=0{\displaystyle x^{5}-x-1=0}

هي أبسط معادلة لا يمكن حلها بالجذور، وأن جميع كثيرات الحدود من الدرجة الخامسة أو أعلى لا يمكن حلها بالجذور.

إن استحالة الحل في الدرجة الخامسة أو أعلى تتناقض مع حالة الدرجة الأدنى: حيث يكون لدينا الصيغة التربيعية ، والصيغة التكعيبية ، والصيغة الرباعية للدرجات الثانية والثالثة والرابعة على التوالي.

سياق

يمكن حل المعادلات متعددة الحدود من الدرجة الثانية باستخدام الصيغة التربيعية ، المعروفة منذ القدم . وبالمثل، تم اكتشاف الصيغة التكعيبية للدرجة الثالثة، والصيغة الرباعية للدرجة الرابعة، خلال القرن السادس عشر. في ذلك الوقت، كان أحد التحديات الأساسية هو ما إذا كان من الممكن حل المعادلات ذات الدرجات الأعلى بطريقة مماثلة.

لقد تمّ التأكيد خلال القرن السابع عشر على حقيقة أن لكل معادلة متعددة الحدود من الدرجة الموجبة حلولاً، قد تكون غير حقيقية ، ولكن لم يتم إثباتها بشكل كامل إلا في بداية القرن التاسع عشر. هذه هي النظرية الأساسية في الجبر ، والتي لا توفر أي أداة لحساب الحلول، على الرغم من وجود عدة طرق معروفة لتقريب جميع الحلول إلى أي دقة مطلوبة.

منذ القرن السادس عشر وحتى بداية القرن التاسع عشر، تمثلت المشكلة الرئيسية في علم الجبر في البحث عن صيغة لحلول المعادلات متعددة الحدود من الدرجة الخامسة وما فوق، ومن هنا جاء اسم "النظرية الأساسية للجبر". وكان هذا يعني إيجاد حل باستخدام الجذور ، أي تعبير يتضمن فقط معاملات المعادلة، وعمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة واستخراج الجذر النوني .

تُثبت نظرية أبيل-روفيني أن هذا مستحيل. مع ذلك، لا يعني هذا الاستحالة استحالة حل معادلة معينة من أي درجة باستخدام الجذور. بل على العكس، توجد معادلات من أي درجة يمكن حلها باستخدام الجذور. وهذا هو حال المعادلةxن-1=0{\displaystyle x^{n}-1=0}لأي قيمة n ، والمعادلات المحددة بواسطة كثيرات الحدود الدائرية ، والتي يمكن التعبير عن جميع حلولها بالجذور.

لا يتضمن برهان آبل للنظرية صراحةً تأكيدًا على وجود معادلات محددة لا يمكن حلها بالجذور. هذا التأكيد ليس نتيجةً لصياغة آبل للنظرية، إذ لا تستبعد الصياغة إمكانية أن تكون "كل معادلة من الدرجة الخامسة قابلةً للحل، بصيغة خاصة لكل معادلة". [ 5 ] مع ذلك، يبدو أن وجود معادلات محددة لا يمكن حلها بالجذور نتيجةٌ لبرهان آبل، إذ يستند البرهان إلى حقيقة أن بعض كثيرات الحدود في المعاملات ليست كثيرة الحدود الصفرية، وأنه عند وجود عدد محدود من كثيرات الحدود، توجد قيم للمتغيرات لا تأخذ عندها أيٌّ من كثيرات الحدود القيمة الصفرية.

بعد فترة وجيزة من نشر آبل لبرهانه، قدّم إيفاريست غالوا نظريةً تُعرف الآن بنظرية غالوا ، تُتيح تحديد ما إذا كانت أي معادلة مُعطاة قابلةً للحل باستخدام الجذور. كان هذا الأمر نظريًا بحتًا قبل ظهور الحواسيب الإلكترونية . أما مع الحواسيب والبرامج الحديثة، فيُمكن تحديد ما إذا كانت كثيرة الحدود قابلةً للحل باستخدام الجذور لكثيرات الحدود من الدرجة الأكبر من 100. [ 6 ] يتطلب حساب حلول كثيرات الحدود القابلة للحل باستخدام الجذور عمليات حسابية ضخمة. حتى بالنسبة لكثيرات الحدود من الدرجة الخامسة، فإن صيغة الحلول ضخمة جدًا لدرجة أنها لا تُعدّ ذات جدوى عملية.

دليل

يسبق برهان نظرية أبيل-روفيني نظرية غالوا . ومع ذلك، تُتيح نظرية غالوا فهمًا أفضل للموضوع، وتستند البراهين الحديثة عمومًا إليها، بينما لا تزال البراهين الأصلية لنظرية أبيل-روفيني تُعرض لأغراض تاريخية. [ 1 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]

تتضمن البراهين القائمة على نظرية غالوا أربع خطوات رئيسية: توصيف المعادلات القابلة للحل من حيث نظرية الحقل ؛ استخدام تناظر غالوا بين الحقول الفرعية لحقل معين والمجموعات الفرعية لمجموعة غالوا الخاصة به للتعبير عن هذا التوصيف من حيث المجموعات القابلة للحل ؛ إثبات أن المجموعة المتناظرة غير قابلة للحل إذا كانت درجتها خمسة أو أعلى؛ ووجود كثيرات الحدود ذات مجموعة غالوا متناظرة.

الحلول الجبرية ونظرية المجال

الحل الجبري لمعادلة متعددة الحدود هو تعبير يتضمن العمليات الحسابية الأساسية الأربع (الجمع والطرح والضرب والقسمة)، بالإضافة إلى استخراج الجذور . ويمكن اعتبار هذا التعبير وصفًا لعملية حسابية تبدأ من معاملات المعادلة المراد حلها، وتستمر بحساب بعض الأعداد تباعًا.

في كل خطوة من خطوات الحساب، يمكن النظر في أصغر حقل يحتوي على جميع الأرقام التي تم حسابها حتى الآن. ويتم تغيير هذا الحقل فقط في الخطوات التي تتضمن حساب الجذر النوني .

إذن، ينتج عن الحل الجبري متتالية

F0⊆F1⊆⋯⊆Fك{\displaystyle F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq \cdots \subseteq F_{k}}

من الحقول والعناصرxأنا∈Fأنا{\displaystyle x_{i}\in F_{i}}بحيث Fأنا=Fأنا-1(xأنا){\displaystyle F_{i}=F_{i-1}(x_{i})}لأنا=1،...،ك،{\displaystyle i=1,\ldots ,k,}معxأنانأنا∈Fأنا-1{\displaystyle x_{i}^{n_{i}}\in F_{i-1}}لبعض الأعداد الصحيحةنأنا>1.{\displaystyle n_{i}>1.}يوجد حل جبري للمعادلة متعددة الحدود الأولية إذا وفقط إذا وُجدت متتالية من الحقول بحيثFك{\displaystyle F_{k}}يحتوي على محلول.

للحصول على امتدادات طبيعية ، وهي أساسية للنظرية، يجب تحسين تسلسل الحقول على النحو التالي. إذاFأنا-1{\displaystyle F_{i-1}}لا يحتوي على الكلنأنا{\displaystyle n_{i}}الجذور النونية للوحدة ، يُعرّف المرء الحقلكأنا{\displaystyle K_{i}}وهذا يمتدFأنا-1{\displaystyle F_{i-1}}بواسطة جذر بدائي للوحدة ، ويعيد المرء تعريفFأنا{\displaystyle F_{i}}مثلكأنا(xأنا).{\displaystyle K_{i}(x_{i}).}

لذا، إذا بدأ المرء من حل من حيث الجذور، فسيحصل على سلسلة متزايدة من الحقول بحيث يحتوي الحقل الأخير على الحل، وكل منها عبارة عن امتداد طبيعي للحقل السابق مع مجموعة غالوا دورية .

وعلى النقيض، إذا توفرت لدينا سلسلة من الحقول، فإن المعادلة قابلة للحل بدلالة الجذور. ولإثبات ذلك، يكفي إثبات أنه يمكن بناء امتداد عادي ذي زمرة غالوا دورية من سلسلة من الامتدادات الجذرية .

مراسلات غالوا

تُرسّخ مُقابلة غالوا مُقابلة أحادية بين الامتدادات الفرعية لامتداد حقل طبيعيF/هـ{\displaystyle F/E}والمجموعات الفرعية لمجموعة غالوا للامتداد. هذا التناظر يرسم حقلاً K بحيثهـ⊆ك⊆F{\displaystyle E\subseteq K\subseteq F}إلى مجموعة غالواغال⁡(F/ك){\displaystyle \operatorname {Gal} (F/K)}من التشاكلات الذاتية لـ F التي تُبقي K ثابتة، وعلى العكس من ذلك، تُسقط مجموعة فرعية H منغال⁡(F/هـ){\displaystyle \operatorname {Gal} (F/E)}إلى حقل عناصر F التي يتم تحديدها بواسطة H.

يُبين القسم السابق أن المعادلة قابلة للحل بدلالة الجذور إذا وفقط إذا كانت زمرة غالوا لحقل تفكيكها (أصغر حقل يحتوي على جميع الجذور) قابلة للحل ، أي أنها تحتوي على سلسلة من الزمر الجزئية بحيث تكون كل زمرة جزئية طبيعية في الزمرة الجزئية السابقة لها، مع زمرة قسمة دورية . ( عادةً ما تُعرَّف الزمر القابلة للحل باستخدام زمر القسمة الأبيلية بدلاً من الزمر الدورية، لكن النظرية الأساسية للزمر الأبيلية المنتهية تُظهر أن التعريفين متكافئان).

لذا، لإثبات نظرية أبيل-روفيني، يبقى أن نبين أن المجموعة المتناظرةS5{\displaystyle S_{5}}غير قابلة للحل، وأن هناك كثيرات حدود ذات مجموعات غالوا متناظرة.

المجموعات المتناظرة القابلة للحل

بالنسبة لـ n ≥ 5 ، المجموعة المتناظرةSن{\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}من الدرجة n لها المجموعة المتناوبة فقطأن{\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}}كمجموعة فرعية طبيعية غير تافهة (انظر المجموعة المتناظرة §  المجموعات الفرعية الطبيعية ). بالنسبة لـ n ≥ 5 ، المجموعة المتناوبةأن{\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}}بسيط (أي أنه لا يحتوي على أي زمرة جزئية طبيعية غير تافهة) وليس تبديليًا . وهذا يعني أن كليهماأن{\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}}وSن{\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}لا يمكن حلها عندما يكون n ≥ 5. وبالتالي، فإن نظرية أبيل-روفيني تنتج عن وجود كثيرات حدود ذات زمرة غالوا متناظرة؛ وسيتم توضيح ذلك في القسم التالي.

من جهة أخرى، بالنسبة لـ n ≤ 4 ، تكون المجموعة المتناظرة وجميع مجموعاتها الفرعية قابلة للحل. وهذا يفسر وجود الصيغ التربيعية والتكعيبية والرباعية ، حيث أن إحدى النتائج الرئيسية لنظرية غالوا هي أن معادلة متعددة الحدود لها حل في الجذور إذا وفقط إذا كانت مجموعة غالوا الخاصة بها قابلة للحل (مصطلح "المجموعة القابلة للحل" مشتق من هذه النظرية).

كثيرات الحدود ذات مجموعات غالوا المتناظرة

المعادلة العامة

المعادلة العامة أو العامة لكثير الحدود من الدرجة n هي المعادلة

xن+أ1xن-1+⋯+أن-1x+أن=0،{\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n}=0,}

أينأ1،...،أن{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}متغيرات غير محددة متميزة . هذه معادلة معرفة على الحقلF=سؤال(أ1،...،أن){\displaystyle F=\mathbb {Q} (a_{1},\ldots ,a_{n})}من الكسور النسبية فيأ1،...،أن{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}بمعاملات أعداد نسبية . تنص نظرية أبيل-روفيني الأصلية على أنه بالنسبة لـ n ≥ 5 ، لا يمكن حل هذه المعادلة باستخدام الجذور. وبالنظر إلى الأقسام السابقة، ينتج هذا عن حقيقة أن زمرة غالوا على F للمعادلة هي الزمرة المتناظرةSن{\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}(هذه المجموعة Galois هي مجموعة التشاكلات الحقلية لحقل الانقسام للمعادلة التي تحدد عناصر F ، حيث يكون حقل الانقسام هو أصغر حقل يحتوي على جميع جذور المعادلة).

لإثبات أن مجموعة غالواSن،{\displaystyle {\mathcal {S}}_{n},}من الأسهل البدء من الجذور. لنفترضx1،...،xن{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}لنفترض وجود متغيرات غير محددة جديدة، تهدف إلى أن تكون الجذور، ولننظر في متعددة الحدود

P(x)=xن+ب1xن-1+⋯+بن-1x+بن=(x-x1)⋯(x-xن).{\displaystyle P(x)=x^{n}+b_{1}x^{n-1}+\cdots +b_{n-1}x+b_{n}=(x-x_{1})\cdots (x-x_{n}).}

يتركح=سؤال(x1،...،xن){\displaystyle H=\mathbb {Q} (x_{1},\ldots ,x_{n})}ليكن حقل الكسور النسبية فيx1،...،xن،{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}وك=سؤال(ب1،...،بن){\displaystyle K=\mathbb {Q} (b_{1},\ldots ,b_{n})}ليكن حقلها الفرعي الناتج عن معاملاتP(x).{\displaystyle P(x).}تباديل​​xأنا{\displaystyle x_{i}}تُحفز صيغ فيتا التشاكلات الذاتية لـ H. وتُشير إلى أن كل عنصر من K هو دالة متناظرة لـxأنا،{\displaystyle x_{i},}وبالتالي، يتم تثبيتها بواسطة جميع هذه التشاكلات الذاتية. ويترتب على ذلك أن زمرة غالواغال⁡(ح/ك){\displaystyle \operatorname {Gal} (H/K)}هي المجموعة المتناظرةSن.{\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}.}

تنص النظرية الأساسية لكثيرات الحدود المتناظرة على أنبأنا{\displaystyle b_{i}}مستقلة جبريًا ، وبالتالي فإن الخريطة التي ترسل كلأأنا{\displaystyle a_{i}}إلى المقابلبأنا{\displaystyle b_{i}}هو تماثل حقلي من F إلى K. هذا يعني أنه يمكن للمرء أن يعتبرP(x)=0{\displaystyle P(x)=0}كمعادلة عامة. وهذا ينهي البرهان على أن زمرة غالوا لمعادلة عامة هي الزمرة المتناظرة، وبالتالي يثبت نظرية أبيل-روفيني الأصلية، التي تنص على أنه لا يمكن حل معادلة كثير الحدود العامة من الدرجة n بالجذور عندما n ≥ 5 .

مثال واضح

المعادلةx5-x-1=0{\displaystyle x^{5}-x-1=0}لا يمكن حلها باستخدام الجذور، كما سيتم شرحه أدناه.

ليكن q​x5-x-1{\displaystyle x^{5}-x-1}ليكن G زمرة غالوا الخاصة بها، والتي تؤثر بأمانة على مجموعة الجذور المركبة للعدد q . يُمكّن ترقيم الجذور من تحديد G كزمرة جزئية من الزمرة المتناظرةS5{\displaystyle {\mathcal {S}}_{5}}. منذqتعديل2{\displaystyle q{\bmod {2}}}العوامل كـ(x2+x+1)(x3+x2+1){\displaystyle (x^{2}+x+1)(x^{3}+x^{2}+1)}فيF2[x]{\displaystyle \mathbb {F} _{2}[x]}، تحتوي المجموعة G على تبديلز{\displaystyle g}أي أنه ناتج دورات منفصلة بطول 2 و3 (بشكل عام، عندما تختزل كثيرة حدود أحادية المعامل بتردد عدد أولي إلى ناتج كثيرات حدود أحادية المعامل غير قابلة للاختزال، فإن درجات العوامل تعطي أطوال الدورات المنفصلة في بعض التبديلات التي تنتمي إلى زمرة غالوا)؛ إذن G تحتوي أيضًا علىز3{\displaystyle g^{3}}وهذا تبديل . بما أنqتعديل3{\displaystyle q{\bmod {3}}}غير قابل للاختزال فيF3[x]{\displaystyle \mathbb {F} _{3}[x]}يُظهر المبدأ نفسه أن G تحتوي على دورة خماسية . ولأن 5 عدد أولي، فإن أي تبديل ودورة خماسية فيS5{\displaystyle {\mathcal {S}}_{5}}توليد المجموعة بأكملها؛ انظر المجموعة المتناظرة §  المولدات والعلاقات . وبالتاليجي=S5{\displaystyle G={\mathcal {S}}_{5}}منذ المجموعةS5{\displaystyle {\mathcal {S}}_{5}}المعادلة غير قابلة للحلx5-x-1=0{\displaystyle x^{5}-x-1=0}لا يمكن حلها باستخدام الجذور الحرة.

عزيمة كايلي

يمكن اختبار إمكانية حل معادلة خماسية محددة باستخدام مُحلِّل كايلي . وهي عبارة عن متعددة حدود أحادية المتغير من الدرجة السادسة، معاملاتها متعددة حدود بدلالة معاملات معادلة خماسية عامة. تكون المعادلة الخماسية غير القابلة للاختزال قابلة للحل باستخدام الجذور إذا وفقط إذا، عند استبدال معاملاتها في مُحلِّل كايلي، كان لكثيرة الحدود السداسية الناتجة جذر نسبي ، وهو ما يمكن التحقق منه بسهولة باستخدام نظرية الجذر النسبي .

تاريخ

في حوالي عام 1770، بدأ جوزيف لويس لاغرانج العملَ الأساسي الذي وحّد الطرقَ المتعددةَ المستخدمة حتى ذلك الحين لحل المعادلات، رابطًا إياها بنظرية مجموعات التباديل ، في صورة مُحَلِّلات لاغرانج . [ 10 ] كان هذا العمل المبتكر للاغرانج بمثابة مقدمة لنظرية غالوا، وقد أشار فشله في إيجاد حلول لمعادلات من الدرجة الخامسة وما فوق إلى أن مثل هذه الحلول قد تكون مستحيلة، ولكنه لم يُقدِّم دليلًا قاطعًا. كان كارل فريدريش غاوس أول من افترض أن مشكلة حل المعادلات من الدرجة الخامسة باستخدام الجذور قد تكون مستحيلة ، حيث كتب في عام 1798 في القسم  359 من كتابه "Disquisitiones Arithmeticae" (الذي لم يُنشر إلا في عام 1801) أنه "لا شك في أن هذه المشكلة لا تتحدى أساليب التحليل الحديثة بقدر ما تقترح المستحيل". في العام التالي، كتب في أطروحته : "بعد أن خلّفت جهود العديد من علماء الهندسة أملاً ضئيلاً في التوصل إلى حل جبري للمعادلة العامة، يبدو من المرجح أكثر فأكثر أن هذا الحل مستحيل ومتناقض". وأضاف: "ربما لن يكون من الصعب إثبات استحالة الحل للدرجة الخامسة بكل دقة. سأعرض تحقيقاتي في هذا الموضوع بتفصيل أكبر في موضع آخر". في الواقع، لم ينشر غاوس أي شيء آخر حول هذا الموضوع. [ 1 ]

باولو روفيني ، نظرية المعادلة العامة ، 1799

كاد باولو روفيني أن يثبت النظرية لأول مرة عام 1799. [ 11 ] أرسل برهانه إلى العديد من علماء الرياضيات للاعتراف به، ومن بينهم لاغرانج (الذي لم يرد) وأوغستين لويس كوشي ، الذي أرسل إليه رسالة يقول فيها: "إن مذكرتك حول الحل العام للمعادلات عملٌ لطالما اعتقدتُ أنه ينبغي على علماء الرياضيات أن يضعوه في اعتبارهم، وهو، في رأيي، يثبت بشكل قاطع عدم إمكانية حل المعادلات العامة من الدرجة الرابعة أو أعلى جبريًا." [ 12 ] ومع ذلك، لم يُعتبر برهان روفيني مقنعًا بشكل عام. كتب آبل: "أول من سعى، إن لم أكن مخطئًا، والوحيد قبلي، إلى إثبات استحالة الحل الجبري للمعادلات العامة هو عالم الرياضيات روفيني. لكن مذكراته معقدة للغاية لدرجة يصعب معها تحديد صحة حجته. ويبدو لي أن حجته غير مقنعة تمامًا." [ 12 ] [ 13 ]

كما تبين لاحقًا أن البرهان كان ناقصًا. فقد افترض روفيني أن جميع الجذور التي كان يتعامل معها يمكن التعبير عنها من جذور كثيرة الحدود باستخدام عمليات الحقل فقط؛ أي أنه افترض، بتعبير أدق، أن هذه الجذور تنتمي إلى حقل تجزئة كثيرة الحدود. ولإدراك سبب كون هذا افتراضًا إضافيًا، لنأخذ على سبيل المثال كثيرة الحدود التالية:P(x)=x3-15x-20{\displaystyle P(x)=x^{3}-15x-20}وفقًا لصيغة كاردانو ، يمكن التعبير عن أحد جذورها (بل جميعها في الواقع) كمجموع الجذر التكعيبي لـ10+5أنا{\displaystyle 10+5i}مع الجذر التكعيبي لـ10-5أنا{\displaystyle 10-5i}من ناحية أخرى، بما أنP(-3)<0{\displaystyle P(-3)<0}،P(-2)>0{\displaystyle P(-2)>0}،P(-1)<0{\displaystyle P(-1)<0}، وP(5)>0{\displaystyle P(5)>0}الجذورر1{\displaystyle r_{1}}،ر2{\displaystyle r_{2}}، ور3{\displaystyle r_{3}}لP(x){\displaystyle P(x)}كلها حقيقية، وبالتالي فإن المجالسؤال(ر1،ر2،ر3){\displaystyle \mathbf {Q} (r_{1},r_{2},r_{3})}هو مجال فرعي منR{\displaystyle \mathbf {R} }لكن الأرقام بعد ذلك10±5أنا{\displaystyle 10\pm 5i}لا يمكن أن ينتمي إلىسؤال(ر1،ر2،ر3){\displaystyle \mathbf {Q} (r_{1},r_{2},r_{3})}بينما لم يلحظ كوشي فرضية روفيني أو اعتبرها فرضية ثانوية، يعتقد معظم المؤرخين أن البرهان لم يكتمل إلا بعد أن أثبت آبل النظرية المتعلقة بالأعداد غير النسبية الطبيعية، والتي تنص على صحة هذه الفرضية في حالة كثيرات الحدود العامة. [ 8 ] [ 14 ] وبالتالي، تُنسب نظرية آبل-روفيني عمومًا إلى آبل، الذي نشر برهانًا مُختصرًا في ست صفحات فقط عام 1824. [ 3 ] (اعتمد آبل أسلوبًا مُختصرًا جدًا لتوفير الورق والمال: طُبع البرهان على نفقته الخاصة. [ 9 ] ) ونُشرت نسخة أكثر تفصيلًا من البرهان عام 1826. [ 4 ]

لم يُحسم الأمر تمامًا بإثبات أن المعادلات الخماسية العامة (وما فوقها) غير قابلة للحل باستخدام الجذور، لأن نظرية أبيل-روفيني لا تُقدّم شروطًا ضرورية وكافية لتحديد أي المعادلات الخماسية (وما فوقها) غير قابلة للحل باستخدام الجذور. كان أبيل يعمل على توصيف كامل لهذه النظرية عندما توفي عام ١٨٢٩. [ ١٥ ]

بحسب ناثان جاكوبسون ، "سرعان ما تم تجاوز براهين روفيني وأبيل [...] بالإنجاز الأبرز لهذا الخط البحثي: اكتشافات غالوا في نظرية المعادلات." [ 16 ] في عام 1830، قدم غالوا (في سن 18) إلى أكاديمية العلوم في باريس مذكرة حول نظريته في قابلية الحل بواسطة الجذور، والتي تم رفضها في النهاية في عام 1831 لكونها موجزة للغاية ولتقديمها شرطًا بدلالة جذور المعادلة بدلاً من معاملاتها. كان غالوا على دراية بمساهمات روفيني وآبل، حيث كتب "إنها حقيقة شائعة اليوم، أن المعادلة العامة من الدرجة الأكبر من 4 لا يمكن حلها بالجذور ... أصبحت هذه الحقيقة شائعة (عن طريق السماع) على الرغم من أن علماء الهندسة قد تجاهلوا براهين آبل وروفيني ..." [ 1 ] ثم توفي غالوا في عام 1832 وظلت ورقته البحثية "مذكرة حول شروط حل المعادلات بالجذور " [ 17 ] غير منشورة حتى عام 1846، عندما نشرها جوزيف ليوفيل مصحوبة ببعض تفسيراته الخاصة. [ 15 ] قبل هذا النشر، أعلن ليوفيل نتيجة غالوا للأكاديمية في خطاب ألقاه في 4 يوليو 1843. [ 5 ] نُشر تبسيط لبرهان أبيل بواسطة بيير وانتزل في عام 1845. [ 18 ] عندما نشر وانتزل هذا البرهان، كان على دراية بمساهمات غالوا، وذكر أنه في حين أن برهان أبيل صالح فقط لكثيرات الحدود العامة، يمكن استخدام منهج غالوا لتقديم كثيرة حدود محددة من الدرجة 5 لا يمكن التعبير عن جذورها بالجذور من معاملاتها.

في عام 1963، اكتشف فلاديمير أرنولد برهانًا طوبولوجيًا لنظرية أبيل-روفيني، [ 19 ] [ 20 ] والتي شكلت نقطة انطلاق لنظرية غالوا الطوبولوجية . [ 21 ]

مراجع

  1. 1 2 3 4 أيوب، ريموند ج. (1980)، "مساهمات باولو روفيني في الخماسية"، أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة ، 22 (3): 253-277 ، doi : 10.1007/BF00357046 ، JSTOR 41133596 ، MR 0606270 ، S2CID 123447349 ، Zbl 0471.01008    
  2. ^ روفيني ، باولو (1813). الإصدارات تتضمن حل المعادلات الجبرية العامة في التجويف. دوت. باولو روفيني ... (باللغة الإيطالية). اضغط على Societa Tipografica.
  3. 1 2 أبيل، نيلز هنريك (1881) [1824]، "Mémoire sur les équations algébriques، ou l'on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré" (PDF) ، في سيلو، لودفيج ؛ Lie، Sophus (eds.)، Œuvres Complètes de Niels Henrik Abel (بالفرنسية)، المجلد. أنا ( الطبعة الثانية)، غروندال وسون ، الصفحات من 28 إلى 33   
  4. 1 2 أبيل، نيلز هنريك (1881) [1826]، "Démonstration de l'impossibilité de la résolution algébrique des équations générales qui passent le quatrième degré" (PDF) ، في Sylow، Ludwig ; Lie، Sophus (eds.)، Œuvres Complètes de Niels Henrik Abel (بالفرنسية)، المجلد. أنا ( الطبعة الثانية)، غروندال وسون ، الصفحات من 66 إلى 87   
  5. 1 2 ستيوارت، إيان (2015)، "مقدمة تاريخية"، نظرية غالوا ( الطبعة الرابعة)، مطبعة سي آر سي ، رقم ISBN  978-1-4822-4582-0
  6. ↑ فيكر، كلاوس؛ كلونرز، يورغن (2014)، "حساب مجموعات غالوا لكثيرات الحدود النسبية"، مجلة الجمعية الرياضية اللندنية للحوسبة والرياضيات ، 17 (1): 141-158 ، arXiv : 1211.3588 ، doi : 10.1112/S1461157013000302 ، MR 3230862 
  7. ↑ روزن، مايكل آي. (1995)، "نيلز هندريك أبيل ومعادلات الدرجة الخامسة"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 102 (6): 495-505 ، doi : 10.2307/2974763 ، JSTOR 2974763 ، MR 1336636 ، Zbl 0836.01015   
  8. 1 2 Tignol، Jean-Pierre (2016)، “Ruffini and Abel on General Equations”، نظرية جالوا للمعادلات الجبرية ( الطبعة الثانية)، العالم العلمي ، ISBN  978-981-4704-69-4Zbl 1333.12001​ 
  9. 1 2 بيسيتش، بيتر (2004)، برهان أبيل: مقال عن مصادر ومعنى عدم قابلية الحل الرياضي ، كامبريدج: مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، ISBN 0-262-66182-9، Zbl 1166.01010 
  10. ^ لاغرانج، جوزيف لويس (1869) [1771]، “Réflexions sur la résolution algébrique des équations”، in Serret، Joseph-Alfred (ed.)، Œuvres de Lagrange ، المجلد. الثالث، غوتييه فيلار، ص 205 – 421  
  11. ^ روفيني، باولو (1799)، Teoria Generale delle equazioni، in cui si dimostra impossibile la soluzione aجبريكا ديلي المعادلة العامة دي غرادو سوبيريور آل كوازيوني (باللغة الإيطالية)، ستامبيريا دي إس. توماسو داكينو
  12. 1 2 كيرنان، ب. ميلفين (1971)، "تطور نظرية غالوا من لاغرانج إلى أرتين"، أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة ، 8 (1/2): 40-154 ، doi : 10.1007/BF00327219 ، JSTOR 41133337 ، MR 1554154 ، S2CID 121442989   
  13. ^ أبيل، نيلز هنريك (1881) [1828]، “Sur lasolution algébrique des équations” (PDF) ، في Sylow، Ludwig ؛ Lie، Sophus (eds.)، Œuvres Complètes de Niels Henrik Abel (بالفرنسية)، المجلد. II ( الطبعة الثانية)، غروندال وسون ، الصفحات من 217 إلى 243   
  14. ↑ ستيوارت، إيان (2015)، "الفكرة الكامنة وراء نظرية غالوا"، نظرية غالوا ( الطبعة الرابعة)، مطبعة سي آر سي ، رقم ISBN  978-1-4822-4582-0
  15. 1 2 تيجنول ، جان بيير (2016)، “جالوا”، نظرية جالوا للمعادلات الجبرية (الطبعة الثانية )، العالم العلمي ، ISBN  978-981-4704-69-4Zbl 1333.12001​ 
  16. ↑ جاكوبسون، ناثان (2009)، "نظرية غالوا للمعادلات"، الجبر الأساسي ، المجلد 1 ( الطبعة الثانية)، دوفر، ISBN   978-0-486-47189-1
  17. ^ Galois، Évariste ( 1846)، “Mémoire sur les condition de resolubilité des équations par radicaux” (PDF) ، Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (بالفرنسية)، الحادي عشر : 417–433
  18. ^ فانتزل ، بيير (1845)، “Démonstration de l'impossibilité de résoudre toutes les équations algébriques avec des radicaux” ، سجلات الرياضيات الجديدة (بالفرنسية)، 4 : 57– 65
  19. ↑ أليكسييف، فاليري ب. (2004)، نظرية أبيل في المسائل والحلول: بناءً على محاضرات البروفيسور في. آي. أرنولد ، دار نشر كلوير الأكاديمية ، رقم ISBN 1-4020-2186-0، MR 2110624 ، Zbl 1065.12001  
  20. ↑ برهان غولدماخر، ليو، أرنولد الابتدائي على عدم قابلية حل المعادلة الخماسية (ملف PDF)
  21. ↑ خفانسكي، أسكولد (2014)، نظرية غالوا الطوبولوجية: قابلية حل المعادلات في حدود منتهية وعدم قابليتها للحل ، سلسلة دراسات سبرينغر في الرياضيات، سبرينغر-فيرلاغ ، doi : 10.1007/978-3-642-38871-2 ، ISBN 978-3-642-38870-5