معادلة تكعيبية

المميز لكثير الحدود هو دالة لمعاملاته، ويساوي صفرًا إذا وفقط إذا كان لكثير الحدود جذر مضاعف ، أو إذا كان يقبل القسمة على مربع كثير حدود غير ثابت. بعبارة أخرى، يكون المميز غير صفري إذا وفقط إذا كان كثير الحدود خاليًا من المربعات .

إذا كانت _r1 و _r2 و r3 هي الجذور الثلاثة ( ليست بالضرورة مختلفة أو حقيقية ₎ للمعادلة التكعيبية${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d,}$إذن، يكون المميز هو $${\displaystyle a^{4}(r_{1}-r_{2})^{2}(r_{1}-r_{3})^{2}(r_{2}-r_{3})^{2}.}$$

المميز للمعادلة التكعيبية المنخفضة${\displaystyle t^{3}+pt+q}$يكون $${\displaystyle -\left(4\,p^{3}+27\,q^{2}\right).}$$

المميز للمعادلة التكعيبية العامة${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$يكون $${\displaystyle 18\,abcd-4\,b^{3}d+b^{2}c^{2}-4\,ac^{3}-27\,a^{2}d^{2}.}$$ إنه نتاج${\displaystyle a^{4}}$ومميز المعادلة التكعيبية المنخفضة المناظرة. باستخدام الصيغة التي تربط المعادلة التكعيبية العامة والمعادلة التكعيبية المنخفضة المرتبطة بها، فإن هذا يعني أنه يمكن كتابة مميز المعادلة التكعيبية العامة على النحو التالي: $${\displaystyle {\frac {4(b^{2}-3ac)^{3}-(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)^{2}}{27a^{2}}}.}$$

يستنتج من ذلك أن أحد هذين المميزين يساوي صفرًا إذا وفقط إذا كان الآخر يساوي صفرًا أيضًا، وإذا كانت المعاملات حقيقية ، فإن المميزين لهما نفس الإشارة. باختصار، يمكن استنتاج نفس المعلومات من أيٍّ من هذين المميزين.

لإثبات الصيغ السابقة، يمكن استخدام صيغ فيتا للتعبير عن كل شيء كمتعددات حدود في _r1 و r2 و r3 و _a . _ويؤدي البرهان بعد ذلك إلى التحقق من تساوي متعددتي الحدود.

إذا كانت معاملات كثيرة الحدود أعدادًا حقيقية ، ومميزها${\displaystyle \Delta }$إذا لم يكن الصفر، فهناك حالتان:

• لو${\displaystyle \Delta >0,}$للدالة التكعيبية ثلاثة جذور حقيقية مميزة
• لو${\displaystyle \Delta <0,}$للمعادلة التكعيبية جذر حقيقي واحد وجذران مركبان مترافقان غير حقيقيين .

يمكن إثبات ذلك كما يلي: أولًا، إذا كان r جذرًا لكثير حدود ذي معاملات حقيقية، فإن مرافقه المركب يكون جذرًا أيضًا. لذا، فإن الجذور غير الحقيقية، إن وجدت، تظهر على شكل أزواج من الجذور المركبة المترافقة. وبما أن لكثير الحدود التكعيبي ثلاثة جذور (ليست بالضرورة مختلفة) وفقًا للنظرية الأساسية في الجبر ، فلا بد أن يكون أحدها على الأقل حقيقيًا.

كما ذُكر أعلاه، إذا كانت _r1 و r2 و _r3 هي الجذور _{الثلاثة} للمعادلة التكعيبية${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$إذن، يكون المميز هو $${\displaystyle \Delta =a^{4}(r_{1}-r_{2})^{2}(r_{1}-r_{3})^{2}(r_{2}-r_{3})^{2}}$$

إذا كانت الجذور الثلاثة حقيقية ومختلفة، فإن المميز يكون حاصل ضرب أعداد حقيقية موجبة، أي${\displaystyle \Delta >0.}$

_{إذا كان} جذر واحد فقط، ولنقل r1 _، حقيقيًا، فإن r2 و r3 يكونان مترافقين مركبين، مما يعني أن r2 − r3 عدد تخيلي بحت ، وبالتالي فإن ( r2 − r3 ) ² _عدد حقيقي وسالب. من جهة أخرى، فإن r1 _{− r2 و} r1 − _r3 يكونان مترافقين مركبين ، وحاصل ضربهما عدد حقيقي وموجب. _[ ^{23 ]} إذن _، المميز هو حاصل ضرب عدد سالب واحد في عدة _أعداد ^موجبة _.${\displaystyle \Delta <0.}$

إذا كان مميز المعادلة التكعيبية يساوي صفرًا، فإن للمعادلة التكعيبية جذرًا متعددًا . وإذا كانت معاملاتها حقيقية، فإن جميع جذورها حقيقية.

المميز للمعادلة التكعيبية المنخفضة${\displaystyle t^{3}+pt+q}$يساوي صفرًا إذا${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}=0.}$إذا كانت قيمة p تساوي صفرًا أيضًا، فإن p = q = 0 ، ويكون الصفر جذرًا ثلاثيًا للدالة التكعيبية.${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}=0,}$وإذا كان p ≠ 0 ، فإن المعادلة التكعيبية لها جذر بسيط $${\displaystyle t_{1}={\frac {3q}{p}}}$$

وجذر مزدوج $${\displaystyle t_{2}=t_{3}=-{\frac {3q}{2p}}.}$$

بعبارة أخرى، $${\displaystyle t^{3}+pt+q=\left(t-{\frac {3q}{p}}\right)\left(t+{\frac {3q}{2p}}\right)^{2}.}$$

يمكن إثبات هذه النتيجة عن طريق توسيع الناتج الأخير أو استعادتها عن طريق حل نظام المعادلات البسيط الناتج عن صيغ فيتا .

باستخدام اختزال المعادلة التكعيبية المخففة ، يمكن تعميم هذه النتائج على المعادلة التكعيبية العامة. وهذا يعطينا: إذا كان مميز المعادلة التكعيبية${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$إذا كانت القيمة صفرًا، فإن

• أو إذا${\displaystyle b^{2}=3ac,}$للدالة التكعيبية جذر ثلاثي$${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=-{\frac {b}{3a}},}$$و$${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=a\left(x+{\frac {b}{3a}}\right)^{3}}$$
• أو إذا${\displaystyle b^{2}\neq 3ac,}$للدالة التكعيبية جذر مزدوج$${\displaystyle x_{2}=x_{3}={\frac {9ad-bc}{2(b^{2}-3ac)}},}$$وجذر بسيط،$${\displaystyle x_{1}={\frac {4abc-9a^{2}db^{3}}{a(b^{2}-3ac)}}.}$$وبالتالي$${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=a(x-x_{1})(x-x_{2})^{2}.}$$

تكون النتائج المذكورة أعلاه صالحة عندما تنتمي المعاملات إلى مجال من الخصائص غير 2 أو 3، ولكن يجب تعديلها للخصائص 2 أو 3، بسبب عمليات القسمة على 2 و 3.

يُمكن اختزال المعادلة إلى دالة تكعيبية منخفضة في الخاصية 2، ولكن ليس في الخاصية 3. مع ذلك، في كلتا الحالتين، يكون من الأسهل إثبات النتائج وتوضيحها للمعادلة التكعيبية العامة. والأداة الرئيسية لذلك هي أن الجذر المضاعف هو جذر مشترك لكثير الحدود ومشتقته الشكلية . في هاتين الخاصيتين، إذا لم تكن المشتقة ثابتة، فإنها تكون كثيرة حدود خطية في الخاصية 3، وتكون مربعًا لكثير حدود خطي في الخاصية 2. لذلك، في كلتا الخاصيتين 2 و3، يكون للمشتقة جذر واحد فقط. وهذا يسمح بحساب الجذر المضاعف، ويمكن استنتاج الجذر الثالث من مجموع الجذور، والذي توفره صيغ فيتا .

يتمثل أحد الاختلافات مع الخصائص الأخرى في أنه في الخاصية 2، تتضمن صيغة الجذر المزدوج جذرًا تربيعيًا، وفي الخاصية 3، تتضمن صيغة الجذر الثلاثي جذرًا تكعيبيًا.

When a cubic equation with real coefficients has three real roots, the formulas expressing these roots in terms of radicals involve complex numbers. Galois theory allows proving that when the three roots are real, and none is rational (casus irreducibilis), one cannot express the roots in terms of real radicals. Nevertheless, purely real expressions of the solutions may be obtained using trigonometric functions, specifically in terms of cosines and arccosines.^[25] More precisely, the roots of the depressed cubic$${\displaystyle t^{3}+pt+q=0}$$ are^[26]$${\displaystyle t_{k}=2\,{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\,\cos \left[\,{\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\,\right)-{\frac {2\pi k}{3}}\,\right]\qquad {\text{for }}k=0,1,2.}$$

This formula is due to François Viète.^[22] It is purely real when the equation has three real roots (that is ${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}<0}$). وإلا، فإنه لا يزال صحيحًا ولكنه يتضمن جيوب تمام معقدة وجيب تمام معكوس عندما يكون هناك جذر حقيقي واحد فقط، وهو غير منطقي ( القسمة على صفر ) عندما يكون p = 0 .

يمكن تحويل هذه الصيغة بسهولة إلى صيغة لجذور معادلة تكعيبية عامة، باستخدام التعويض العكسي الموصوف في §  التكعيبية المنخفضة .

يمكن إثبات الصيغة كما يلي: انطلاقًا من المعادلة t³ + pt + q = 0 ، لنضع t = u cos θ . الفكرة هي اختيار u بحيث تتطابق المعادلة مع المتطابقة ^. $${\displaystyle 4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta -\cos(3\theta )=0.}$$ لذلك، اختر${\displaystyle u=2\,{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\,,}$واقسم المعادلة على${\displaystyle {\frac {u^{3}}{4}}.}$هذا يعطي $${\displaystyle 4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta -{\frac {3q}{2p}}\,{\sqrt {\frac {-3}{p}}}=0.}$$ وبدمج ذلك مع الهوية المذكورة أعلاه، نحصل على $${\displaystyle \cos(3\theta )={\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\,,}$$ وبالتالي فإن الجذور $${\displaystyle t_{k}=2\,{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\,\cos \left[{\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)-{\frac {2\pi k}{3}}\right]\qquad {\text{for }}k=0,1,2.}$$

عندما يكون هناك جذر حقيقي واحد فقط (و p ≠ 0 )، يمكن تمثيل هذا الجذر بشكل مماثل باستخدام الدوال الزائدية ، كما في ^{[ 27 ] [ 28 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}t_{0}&=-2{\frac {|q|}{q}}{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cosh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arcosh} \left({\frac {-3|q|}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)\right]\qquad {\text{if }}~4p^{3}+27q^{2}>0~{\text{ and }}~p<0,\\t_{0}&=-2{\sqrt {\frac {p}{3}}}\sinh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {3}{p}}}\right)\right]\qquad {\text{if }}~p>0.\end{aligned}}}$$ إذا كانت قيمة p ≠ 0 ولم يتم استيفاء المتباينات الموجودة على اليمين (حالة ثلاثة جذور حقيقية)، فإن الصيغ تظل صالحة ولكنها تتضمن كميات مركبة.

عندما تكون قيمة p تساوي ±3 ، تُسمى القيم المذكورة أعلاه لـ _t₀ أحيانًا بجذر تشيبيشيف التكعيبي. ^{[ 29 ]} وبشكل أدق، تُعرّف القيم التي تتضمن جيوب التمام وجيوب التمام الزائدية، عندما تكون p = −3 ، نفس الدالة التحليلية التي يُرمز لها بـ C _1/3 ( q ) ، وهي جذر تشيبيشيف التكعيبي الصحيح. وبالمثل، يُرمز للقيمة التي تتضمن الجيوب الزائدية بـ S _1/3 ( q ) ، عندما تكون p = 3 .

لحل المعادلة التكعيبية x³ + m²x ⁼ n حيث ⁿ > 0 ، أنشأ عمر الخيام القطع المكافئ y = x²/m، والدائرة التي قطرها القطعة المستقيمة [0, n/m²] على المحور x الموجب ، وخطًا رأسيًا ^يمر بنقطة تقاطع الدائرة والقطع المكافئ فوق المحور x . ويُعطى الحل بطول القطعة ^{المستقيمة} الأفقية من نقطة الأصل إلى نقطة تقاطع الخط الرأسي مع المحور x (انظر الشكل).

يُمكن تقديم برهان حديث بسيط كما يلي. بضرب المعادلة في x / m ² وإعادة تجميع الحدود، نحصل على $${\displaystyle {\frac {x^{4}}{m^{2}}}=x\left({\frac {n}{m^{2}}}-x\right).}$$ يمثل الطرف الأيسر قيمة y² على القطع المكافئ. ^وبما أن معادلة الدائرة هي y² + ^x ( x - n / m² ⁾ = 0 ، فإن الطرف الأيمن يمثل قيمة y² على الدائرة ^.

يمكن حل معادلة تكعيبية ذات معاملات حقيقية هندسيًا باستخدام الفرجار والمسطرة ومنصف الزاوية إذا وفقط إذا كان لها ثلاثة جذور حقيقية. ^{[ 30 ] : نظرية 1}

يمكن حل المعادلة التكعيبية باستخدام الفرجار والمسطرة (دون استخدام منصف الزاوية) إذا وفقط إذا كان لها جذر نسبي . وهذا يعني أن مسائل تثليث الزاوية ومضاعفة المكعب ، التي وضعها علماء الرياضيات اليونانيون القدماء ، لا يمكن حلها باستخدام الفرجار والمسطرة.

يُتيح التعبير المثلثي لفييت عن الجذور في حالة الجذور الثلاثة الحقيقية تفسيرًا هندسيًا باستخدام الدائرة. ^{[ 22 ] [ 31 ]} عندما تُكتب المعادلة التكعيبية في صورتها المُختزلة ( 2 ) ، t³ + pt + q = 0 ، كما هو موضح أعلاه، يُمكن التعبير عن الحل على النحو التالي ^:

$${\displaystyle t_{k}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)-k{\frac {2\pi }{3}}\right)\quad {\text{for}}\quad k=0,1,2\,.}$$

هنا${\displaystyle \arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)}$هي زاوية في دائرة الوحدة ؛ أخذ 1/3 من تلك الزاوية يقابل أخذ الجذر التكعيبي لعدد مركب؛ إضافة −k 2π/3 لـ k = 1 ، 2 يجد الجذور التكعيبية الأخرى ؛ وضرب جيوب تمام هذه الزوايا الناتجة في${\displaystyle 2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}}$يُصحح المقياس.

في حالة عدم الاكتئاب ( 1 ) (الموضحة في الرسم البياني المرفق)، تُحسب حالة الاكتئاب، كما ذُكر سابقًا، بتعريف t بحيث يكون x = t − b / 3 a، وبالتالي t = x + b / 3 a . بيانيًا ، يُقابل هذا ببساطة إزاحة الرسم البياني أفقيًا عند التغيير بين المتغيرين t و x ، دون تغيير علاقات الزوايا . تُنقل هذه الإزاحة نقطة الانعطاف ومركز الدائرة إلى المحور y . ونتيجةً لذلك، يكون مجموع جذور المعادلة في t مساويًا للصفر.

يعود الفضل في هذه الطريقة إلى سكيبيوني ديل فيرو وتارتاليا ، ولكنها سميت على اسم جيرولامو كاردانو الذي نشرها لأول مرة في كتابه آرس ماجنا (1545).

تُطبَّق هذه الطريقة على معادلة تكعيبية منخفضة ^t³ + pt + q = 0. وتتلخص الفكرة في إدخال متغيرين u و${\displaystyle v}$بحيث${\displaystyle u+v=t}$ولاستبدال هذا في المعادلة التكعيبية المنخفضة، مما يعطي $${\displaystyle u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)+q=0.}$$

عند هذه النقطة، فرضت كاردانو الشرط${\displaystyle 3uv+p=0.}$يؤدي هذا إلى إزالة الحد الثالث في المساواة السابقة، مما يؤدي إلى نظام المعادلات $${\displaystyle {\begin{aligned}u^{3}+v^{3}&=-q\\uv&=-{\frac {p}{3}}.\end{aligned}}}$$

بمعرفة مجموع وحاصل ضرب u ³ و${\displaystyle v^{3},}$يستنتج المرء أنهما الحلان للمعادلة التربيعية$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=(x-u^{3})(x-v^{3})\\&=x^{2}-(u^{3}+v^{3})x+u^{3}v^{3}\\&=x^{2}-(u^{3}+v^{3})x+(uv)^{3}\end{aligned}}}$$ لذا $${\displaystyle x^{2}+qx-{\frac {p^{3}}{27}}=0.}$$ المميز في هذه المعادلة هو${\displaystyle \Delta =q^{2}+{\frac {4p^{3}}{27}}}$وبافتراض أن القيمة موجبة، فإن الحلول الحقيقية لهذه المعادلة هي (بعد طي القسمة على 4 تحت الجذر التربيعي): $${\displaystyle -{\frac {q}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}.}$$ لذا ( دون فقدان للعمومية في اختيار u أو${\displaystyle v}$): $${\displaystyle u={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.}$$$${\displaystyle v={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.}$$ مثل${\displaystyle u+v=t,}$مجموع الجذور التكعيبية لهذه الحلول هو جذر للمعادلة. $${\displaystyle t={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}}$$ هو جذر المعادلة؛ هذه هي صيغة كاردانو.

هذا يعمل بشكل جيد عندما${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}>0,}$لكن، إذا${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}<0,}$الجذر التربيعي الظاهر في الصيغة ليس حقيقيًا. ولأن العدد المركب له ثلاثة جذور تكعيبية، فإن استخدام صيغة كاردانو دون دقة سيعطي تسعة جذور، بينما لا يمكن أن يكون للمعادلة التكعيبية أكثر من ثلاثة جذور. وقد أوضح رافائيل بومبيلي هذا الأمر لأول مرة في كتابه "الجبر" (1572). والحل يكمن في استخدام حقيقة أن${\displaystyle uv=-{\frac {p}{3}},}$إنه،${\displaystyle v={\frac {-p}{3u}}.}$وهذا يعني أنه لا يلزم حساب سوى جذر تكعيبي واحد، ويؤدي إلى الصيغة الثانية الواردة في §  صيغة كاردانو .

يمكن الحصول على الجذور الأخرى للمعادلة عن طريق تغيير الجذر التكعيبي، أو بشكل مكافئ، عن طريق ضرب الجذر التكعيبي في كل من الجذرين التكعيبيين الأوليين للوحدة ، وهما${\displaystyle {\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}.}$

عندما يكون جذر واحد فقط حقيقيًا، فإن u و v سيكونان المرافقين المركبين لبعضهما البعض، مما يعني أن الجذر الحقيقي الوحيد يجب أن يكون${\displaystyle t=2\mathrm {Re} (u)}$.

طريقة فييتا للاستبدال هي طريقة قدمها فرانسوا فييت (فييتا هو اسمه اللاتيني) في نص نُشر بعد وفاته عام 1615، وهي توفر مباشرة الصيغة الثانية من طريقة كاردانو ،  وتتجنب مشكلة حساب جذرين تكعيبيين مختلفين. ^{[ 35 ]}

انطلاقاً من المعادلة التكعيبية المنخفضة t ³ + pt + q = 0 ، يكون استبدال فييتا هو t = w − ⁠ p / 3 w ⁠ . ^{[ b ]}

يُحوّل الاستبدال t = w – ⁠ p / 3 w ⁠ المعادلة التكعيبية المنخفضة إلى $${\displaystyle w^{3}+q-{\frac {p^{3}}{27w^{3}}}=0.}$$

هذه معادلة تربيعية في${\displaystyle w^{3}}$إذن، هناك ستة حلول لـ${\displaystyle w}$في عملية الاستبدال، لكل قيمة من${\displaystyle t}$هناك قيمتان محتملتان لـ${\displaystyle w}$يتم إيجاد كل جذر من جذور المعادلة التكعيبية مرتين.

بضرب المعادلة في w ³ ، نحصل على معادلة تربيعية في w ³ : $${\displaystyle (w^{3})^{2}+q(w^{3})-{\frac {p^{3}}{27}}=0.}$$

يترك $${\displaystyle W=-{\frac {q}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {p^{3}}{27}}+{\frac {q^{2}}{4}}}}}$$ليكن أي جذر غير _صفري لهذه المعادلة التربيعية. إذا كانت _w₁ و w₂ و w₃ _هي الجذور التكعيبية الثلاثة لـ W ، فإن جذور _{المعادلة} التكعيبية الأصلية المخفضة هي w₁ - p / 3w₁ و _w₂ - p / _3w₂ و w₃ - p / _3w₃ . أما الجذر الآخر _{للمعادلة} التربيعية _فهو${\displaystyle \textstyle -{\frac {p^{3}}{27W}}.}$هذا يعني أن تغيير إشارة الجذر التربيعي يبدل بين wᵢ و −⁠p _/ 3wiᵢ ، حيث i = 1 ، 2، 3 ، وبالتالي _لا يغير الجذور. تفشل هذه الطريقة فقط عندما يكون كلا جذري المعادلة التربيعية صفرًا، أي عندما p = q = 0 ، وفي هذه الحالة يكون الجذر الوحيد للمعادلة التكعيبية المنخفضة هو 0 .

في بحثه "تأملات حول الحل الجبري للمعادلات " ^{[ 36 ]} ، قدّم جوزيف لويس لاغرانج طريقة جديدة لحل المعادلات منخفضة الدرجة بطريقة موحدة، على أمل تعميمها لتشمل درجات أعلى. نجحت هذه الطريقة مع المعادلات التكعيبية والرباعية ، لكن لاغرانج لم ينجح في تطبيقها على المعادلات الخماسية ، لأنها تتطلب حل متعددة حدود من الدرجة السادسة على الأقل. ^{[ 37 ] [ 38 ] [ 39 ]} وبغض النظر عن عدم نجاح أي شخص سابقًا في ذلك، فقد كان هذا أول مؤشر على عدم وجود صيغة جبرية للدرجات 5 وما فوق، كما أثبتت لاحقًا نظرية أبيل-روفيني . ومع ذلك، تعتمد الطرق الحديثة لحل المعادلات الخماسية القابلة للحل بشكل أساسي على طريقة لاغرانج. ^{[ 39 ]}

في حالة المعادلات التكعيبية، تعطي طريقة لاغرانج نفس حل طريقة كاردانو. يمكن تطبيق طريقة لاغرانج مباشرةً على المعادلة التكعيبية العامة ^ax³ + bx² + cx + d = 0 ، ولكن الحساب أبسط مع المعادلة التكعيبية المختزلة t³ ^{+ pt} + q = 0 .

كانت فكرة لاغرانج الرئيسية هي التعامل مع تحويل فورييه المنفصل للجذور بدلاً من التعامل مع الجذور نفسها. بتعبير أدق، ليكن ξ جذرًا ثالثًا أوليًا للوحدة ، أي عددًا بحيث يكون ξ³ = 1 ^و ξ² + ξ + ¹ = 0 (عند العمل في فضاء الأعداد المركبة ، يكون لدينا${\displaystyle \textstyle \xi ={\frac {-1\pm i{\sqrt {3}}}{2}}=e^{2i\pi /3},}$₍ لكن هذا التفسير المعقد غير مستخدم هنا). لنرمز إلى _x₀ و x₁ و x₂ بالجذور الثلاثة للمعادلة التكعيبية المطلوب حلها، _و$${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&=x_{0}+x_{1}+x_{2},\\s_{1}&=x_{0}+\xi x_{1}+\xi ^{2}x_{2},\\s_{2}&=x_{0}+\xi ^{2}x_{1}+\xi x_{2},\end{aligned}}}$$ ليكن التحويل المتقطع لفورييه للجذور. إذا كانت _{قيم s0} و s1 و s2 معروفة _، فيمكن استعادة الجذور منها باستخدام التحويل العكسي لفورييه الذي يتكون من عكس هذا التحويل الخطي؛ أي _،$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&={\tfrac {1}{3}}(s_{0}+s_{1}+s_{2}),\\x_{1}&={\tfrac {1}{3}}(s_{0}+\xi ^{2}s_{1}+\xi s_{2}),\\x_{2}&={\tfrac {1}{3}}(s_{0}+\xi s_{1}+\xi ^{2}s_{2}).\end{aligned}}}$$

بحسب صيغ فييتا ، يُعرف _أن s₀ يساوي صفرًا في حالة المعادلة التكعيبية المُخفَّضة، و− b / a في حالة المعادلة التكعيبية العامة. لذا، يكفي حساب s₁ وs₂ فقط. وهما ليسا دالتين متناظرتين للجذور ( _تبديل x₁ _و x₂ _{يُبدِّل} أيضًا s₁ و s₂ ₎ ، ولكن بعض الدوال المتناظرة البسيطة لـ s₁ _و s₂ تكون متناظرة أيضًا في جذور المعادلة التكعيبية المراد حلها . _{وبالتالي} ، يمكن التعبير عن هذه الدوال المتناظرة بدلالة معاملات المعادلة التكعيبية الأصلية (المعروفة)، وهذا يسمح في النهاية بالتعبير عن _{sᵢ كجذور} لكثير حدود _{بمعاملات} معروفة. ينجح هذا الأسلوب مع جميع الدرجات، ولكن في الدرجات الأعلى من الرابعة، تكون درجة كثير الحدود الناتج الذي تكون _جذوره sᵢ أعلى من درجة كثير الحدود الأصلي، وبالتالي لا يُفيد في الحل. وهذا هو السبب في فشل طريقة لاغرانج في الدرجات الخامسة وما فوق.

في حالة المعادلة التكعيبية،${\displaystyle P=s_{1}s_{2},}$و${\displaystyle S=s_{1}^{3}+s_{2}^{3}}$هي كثيرات حدود متناظرة (انظر أدناه). ويترتب على ذلك أن${\displaystyle s_{1}^{3}}$و${\displaystyle s_{2}^{3}}$هما الجذران للمعادلة التربيعية${\displaystyle z^{2}-Sz+P^{3}=0.}$وبالتالي، يمكن إتمام حل المعادلة تمامًا كما هو الحال مع طريقة كاردانو، مع${\displaystyle s_{1}}$و${\displaystyle s_{2}}$بدلاً من u و${\displaystyle v.}$

في حالة التكعيبية المنخفضة، يكون لدى المرء${\displaystyle x_{0}={\tfrac {1}{3}}(s_{1}+s_{2})}$و${\displaystyle s_{1}s_{2}=-3p,}$بينما في طريقة كاردانو قمنا بتعيين${\displaystyle x_{0}=u+v}$و${\displaystyle uv=-{\tfrac {1}{3}}p.}$وبالتالي، حتى تبادل u و${\displaystyle v,}$لدينا${\displaystyle s_{1}=3u}$و${\displaystyle s_{2}=3v.}$بمعنى آخر، في هذه الحالة، تحسب طريقة كاردانو وطريقة لاغرانج نفس الأشياء تمامًا، حتى عامل ثلاثة في المتغيرات المساعدة، والفرق الرئيسي هو أن طريقة لاغرانج تشرح سبب ظهور هذه المتغيرات المساعدة في المشكلة.

• إن تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء ومضاعفة المكعب هما مشكلتان قديمتان في الهندسة ثبت أنه لا يمكن حلهما باستخدام المسطرة والفرجار ، لأنهما يعادلان حل معادلة تكعيبية.
• تنص نظرية ماردن على أنه يمكن إيجاد بؤرتي القطع الناقص شتاينر لأي مثلث باستخدام الدالة التكعيبية التي جذورها هي إحداثيات رؤوس المثلث الثلاثة في المستوى المركب . وجذور المشتقة الأولى لهذه الدالة التكعيبية هي الإحداثيات المركبة لتلك البؤرتين.
• The area of a regular heptagon can be expressed in terms of the roots of a cubic. Further, the ratios of the long diagonal to the side, the side to the short diagonal, and the negative of the short diagonal to the long diagonal all satisfy a particular cubic equation. In addition, the ratio of the inradius to the circumradius of a heptagonal triangle is one of the solutions of a cubic equation. The values of trigonometric functions of angles related to ${\displaystyle 2\pi /7}$ satisfy cubic equations.
• Given the cosine (or other trigonometric function) of an arbitrary angle, the cosine of one-third of that angle is one of the roots of a cubic.
• The solution of the general quartic equation relies on the solution of its resolvent cubic.
• The eigenvalues of a 3×3 matrix are the roots of a cubic polynomial which is the characteristic polynomial of the matrix.
• The characteristic equation of a third-order constant coefficients or Cauchy–Euler (equidimensional variable coefficients) linear differential equation or difference equation is a cubic equation.
• Intersection points of cubic Bézier curve and straight line can be computed using direct cubic equation representing Bézier curve.
• Critical points of a quartic function are found by solving a cubic equation (the derivative set equal to zero).
• Inflection points of a quintic function are the solution of a cubic equation (the second derivative set equal to zero).

• In analytical chemistry, the Charlot equation, which can be used to find the pH of buffer solutions, can be solved using a cubic equation.
• In thermodynamics, equations of state (which relate pressure, volume, and temperature of a substances), e.g. the Van der Waals equation of state, are cubic in the volume.
• Kinematic equations involving linear rates of acceleration are cubic.
• The speed of seismic Rayleigh waves is a solution of the Rayleigh wave cubic equation.
• The steady state speed of a vehicle moving on a slope with air friction for a given input power is solved by a depressed cubic equation.
• Kepler's third law of planetary motion is cubic in the semi-major axis.