مدخل إلى فلسفة الرياضيات

كتاب "مقدمة في فلسفة الرياضيات" هو كتاب دراسي صدر عام ٢٠١٢من تأليف مارك كوليفان ، يتناول فلسفة الرياضيات . يركز الكتاب على قضايا في الفلسفة المعاصرة ، مثل جدل الواقعية الرياضية مقابل اللاواقعية ،والأهمية الفلسفية للممارسة الرياضية، ويتجاهل إلى حد كبير النقاشات التاريخية. يغطي الكتاب طيفًا واسعًا من المواضيع في فلسفة الرياضيات المعاصرة، بما في ذلك أشكال مختلفة من الواقعية الرياضية، وحجة كواين-بوتنام حول ضرورة الرياضيات ، والخيال الرياضي ، والتفسير الرياضي، و" الفعالية غير المعقولة للرياضيات "، والرياضيات المتناقضة ، ودور الرموز الرياضية في تطور الرياضيات. وقد لاقى الكتاب استحسانًا واسعًا لكونه سهل الفهم وواضح الأسلوب، وكان رد الفعل على تركيزه على العصر الحديث إيجابيًا في مجمله، على الرغم من أن بعض النقاد الأكاديميين رأوا أنه كان ينبغي عليه أن يتناول النقاشات التاريخية حول المنطق ، والشكلية، والحدسية بمزيدمن التفصيل. ومن بين الجوانب الأخرى للكتاب التي حظيت بالثناء تغطيته للتفسير الرياضي، وجاذبيته للرياضيين وغيرهم من غير الفلاسفة، وأسئلة المناقشة وقائمة القراءات الإضافية، في حين أن خاتمته وقصره لاقيا استقبالاً مختلطاً.

يُعدّ كتاب " مقدمة في فلسفة الرياضيات" مرجعًا في فلسفة الرياضيات ، يُركّز على مسألة الواقعية الرياضية ، أي مسألة وجود الكائنات الرياضية من عدمه، والتفسير الرياضي. ^{[ 1 ] [ 2 ]} وقد وصف كوليفان هدفه من الكتاب بأنه أن يكون مرجعًا "يتجاوز النصف الأول من القرن العشرين ويستكشف القضايا التي تستحوذ على اهتمام فلاسفة الرياضيات المعاصرين". ^{[ 3 ]} ونتيجةً لذلك، يُركّز الكتاب بشكل أقل على المناقشات التاريخية في فلسفة الرياضيات مقارنةً بكتب أخرى مماثلة، وبشكل أكبر على القضايا المعاصرة، ^{[ 4 ] [ 5 ]} بما في ذلك فلسفة الممارسة الرياضية. ^{[ 2 ]}

يتألف الكتاب من ثمانية فصول وخاتمة، وينتهي كل فصل بقائمة من أسئلة النقاش ومصادر إضافية للقراءة. ^{[ 1 ] [ 3 ]} يتناول الفصل الأول بإيجاز ما يسميه كوليفان "المذاهب الكبرى" التي هيمنت على فلسفة الرياضيات في أوائل القرن العشرين: المنطق ، والشكلية ، والحدسية . [ ^{6 ] [ 7 ] ثم} ينتقل إلى القضايا الفلسفية التي أثارها بول بيناسيراف في بحثيه "ما هي الحقيقة الرياضية؟" (1965) و"ما لا يمكن أن تكون عليه الأعداد" (1971). ^{[ 1 ] [ 7 ]}

يتناول الفصل الثاني حدود الرياضيات والنظريات الرياضية المقيدة ذات الصلة . ^{[ 2 ] [ 5 ]} ويناقش نظرية لوفنهايم-سكوليم وعلاقتها بنظرية كانتور ، بما في ذلك برهان نظرية كانتور وشرح سبب عدم تناقض النظريتين. ^{[ 1 ] [ 7 ]} كما يناقش نظريات عدم الاكتمال لغودل وعمل غودل وكوهين حول استقلال فرضية الاستمرارية . [ ^{7 ] [ 2 ] وتُستخدم} هذه النتائج لتحفيز النقاش بين الواقعية الرياضية ^{واللاواقعية} الرياضية . [ ^{1 ]}

استنادًا إلى هيلاري بوتنام ، يميز كوليفان في الفصل الثالث بين الواقعية المتعلقة بالحقائق الرياضية والواقعية المتعلقة بالكائنات الرياضية. ^{[ 1 ] [ 8 ]} ويجادل بأن "الانتقال من الحقيقة الموضوعية إلى الكائنات يبدو مسارًا سريعًا للغاية"، ولذا يركز النقاش اللاحق على الواقعية المتعلقة بالكائنات الرياضية. ^{[ 1 ]} ويتناول الفصل أيضًا التمييز بين أنواع مختلفة من الواقعية، بما في ذلك الأفلاطونية الكاملة ، والبنيوية، والواقعية الفيزيائية لكتاب مثل بينيلوبي مادي ، ^{[ 8 ]} ويغطي المذهب الطبيعي وحجة كواين-بوتنام حول ضرورة وجود الكائنات الرياضية . ^{[ 4 ] [ 9 ]} كما تُعرض اعتراضات مادي وهارتري فيلد وإليوت سوبر على حجة ضرورة وجود الكائنات الرياضية . ^{[ 7 ]}

يركز الفصل الرابع على اللاواقعية الرياضية (المعروفة أيضًا بالاسمية )، وتحديدًا الخيالية الرياضية . ^{[ 9 ]} يقدم الفصل مدخلًا إلى خيالية هارتري فيلد وبرنامجه للاسمية، الذي يسميه كوليفان الطريق الصعب إلى الاسمية. ^{[ 1 ] [ 4 ]} كما يتناول كوليفان ما يُسمى بالطرق السهلة إلى الاسمية؛ فهذه الآراء "سهلة" لأنها لا تحاول إزالة الكيانات الرياضية من أفضل نظرياتنا العلمية كما يحاول مشروع فيلد للاسمية فعله. ^{[ 1 ]} وتشمل هذه الطرق خيالية جودي عزوني والتفسير المجازي للغة الرياضية الذي طرحه ستيفن يابلو . ^{[ 9 ]} في هذا الفصل، يعترض كوليفان على آراء يابلو، مدعيًا أن الرياضيات تظهر في التفسيرات العلمية، وأنه عندما تُستخدم اللغة المجازية في التفسيرات، فإنها تُستخدم كاختصار لتفسير غير مجازي، أو يجب تفسيرها حرفيًا. ^{[ 9 ]}

استكمالاً لهذه المناقشة، يتناول الفصل الخامس التفسير الرياضي و"التحول التفسيري" في جدل الواقعية واللاواقعية، حيث أُعيدت صياغة حجة الضرورة من منظور القدرة التفسيرية للرياضيات. ^{[ 1 ] [ 2 ]} يبدأ الفصل باستعراض نظريات التفسير المختلفة، مما دفع كوليفان إلى تبني نظرية التوحيد. تقوم هذه النظرية على أن التفسيرات تعمل من خلال وضع ظواهر متعددة ومختلفة تحت إطار نظري واحد. ^{[ 9 ]} ثم يميز بين التفسيرات الرياضية الداخلية، وهي التفسيرات الرياضية للحقائق الرياضية، والتفسيرات الرياضية الخارجية، وهي التفسيرات الرياضية للحقائق التجريبية غير الرياضية. ^{[ 4 ]} يستخدم كوليفان نظرية التوحيد في التفسير لمحاولة شرح الفرق بين البراهين الرياضية التفسيرية وغير التفسيرية، ^{[ 9 ]} مستشهداً ببراهين نظرية إقليدس ، ونظرية رول ، وصيغة مجموع أول n عدد طبيعي كأمثلة على البراهين غير التفسيرية. ^{[ ٢ ]} ثم ينتقل إلى تفسيرات غير رياضية، مُجادلاً بأن الرياضيات أكثر من مجرد أداة وصفية، وأنها تُقدم تفسيرات حقيقية للحقائق التجريبية. ^{[ ٧ ]} ويُقدم أمثلة على التفسيرات الرياضية لدورات حياة حشرات الزيز الدورية ، وسبب امتلاك قرص عسل النحل بنية سداسية، وتوزيع الكويكبات عبر النظام الشمسي ، وانكماش لورنتز لدعم حجته. ^{[ ٧ ]}

يتناول الفصل السادس مدى قابلية تطبيق الرياضيات و" فعاليتها غير المتوقعة " عند تطبيقها في العلوم. ^{[ 2 ] [ 5 ]} ولتوضيح هذه الفعالية غير المتوقعة، يتحدث كوليفان عن كيفية صياغة جيمس كلارك ماكسويل لقانون ماكسويل-أمبير كنظير لنظرية نيوتن في الجاذبية، وكيف أنتج هذا القانون تنبؤات جديدة تمامًا تم تأكيدها لاحقًا. ^{[ 2 ]} ويحاول كوليفان تفسير هذه الفعالية غير المتوقعة من خلال تقديم شرحٍ لتطبيق الرياضيات. ^{[ 1 ] [ 9 ]} ووفقًا لهذا الشرح، تعمل النماذج الرياضية كخرائط للأنظمة الفيزيائية من خلال تجريدها من التفاصيل الدقيقة إلى السمات البنيوية للنظام. ^{[ 9 ]} وبهذه الطريقة، يمكن استخدام البنى المجردة للرياضيات لتمثيل الأنظمة الفيزيائية عبر علاقات التشابه. ^{[ 8 ]} ويعرض كوليفان دراسة حالة للنماذج الرياضية في علم البيئة السكانية لتوضيح هذا الشرح. ^{[ 8 ]}

يستكشف الفصل السابع قضايا تتعلق بالرياضيات والمنطق المتناقضين . ^{[ 5 ] [ 9 ]} يجادل كوليفان بأن النظرية الرياضية قد تكون متناقضة مع كونها مفيدة، مشيرًا إلى نظرية المجموعات البسيطة وحساب التفاضل والتكامل المبكر كأمثلة على نظريات رياضية ثبت لاحقًا أنها متناقضة، ولكن عمل عليها علماء الرياضيات بنجاح. ^{[ 7 ]} كما يقترح أن المنطق الذي يستخدمه علماء الرياضيات يجب أن يكون نوعًا من المنطق المتسامح مع التناقض أو المنطق المتناقض، وليس المنطق الكلاسيكي، لتفسير هذه الحقيقة. ^{[ 2 ] [ 5 ]} ويقدم منطق المفارقة (LP) كمثال على هذا المنطق المتناقض الذي لا يؤدي إلى مبدأ الانفجار، وذلك باستخدام جداول حقيقة معدلة وقيمة حقيقة ثالثة i، والتي يقترح أن يُشار إليها بـ "صحيح وخاطئ". ^{[ 7 ]}

يتناول الفصل الثامن الأهمية الفلسفية للرموز الرياضية . ^{[ 9 ]} يجادل كوليفان بأن التقدم الرياضي قد يُعزى أحيانًا إلى تغييرات في الرموز. ^{[ 1 ]} يتضمن الفصل عددًا من الأمثلة لدعم هذه الفكرة. ^{[ 9 ]} على سبيل المثال، يقول كوليفان إن التحول من الأرقام الرومانية إلى الأرقام العربية ربما يكون قد حفز التقدم الرياضي لأن الأرقام العربية، على عكس الأرقام الرومانية، تتضمن خاصية التكرار. ^{[ 1 ]} مثال آخر هو أهمية الرموز الرياضية في إثبات استحالة تربيع الدائرة، والذي يُستخدم لتوضيح فكرة أن تمثيل الإجراء نفسه بطرق مختلفة يمكن أن يكشف عن روابط غير بديهية في الرياضيات. ^{[ 9 ]} كما يتناول الفصل أهمية التعريف في الرياضيات باستخدام مثال التعريف المتطور لمصطلح متعدد السطوح . ^{[ 7 ]}

يحمل الفصل الختامي عنوان "نظريات الجزيرة المهجورة"، ويتضمن قائمةً تضم عشرين نظريةً مهمةً وخمس مسائل مفتوحة، يعتقد كوليفان أن على جميع فلاسفة الرياضيات معرفتها. ^{[ 1 ] [ 4 ] [ 7 ]} كما يتضمن قائمةً من صفحتين بعنوان "أعداد مثيرة للاهتمام". ^{[ 5 ]} ويُختتم كل بند بمناقشات موجزة حول الأهمية الفلسفية لكل نظرية ومسألة وعدد وتأثيرها. ^{[ 1 ] [ 7 ]}

حظي التركيز المعاصر للكتاب بإشادة واسعة. فقد رأى نوح فريدمان-بيغلين، في مراجعته للكتاب في مجلة "ميتا ساينس "، أن هذه السمة "مميزة"، وأثنى على تغطية التفسير الرياضي الذي وصفه بأنه "موضوع يجذب اهتمام العديد من فلاسفة الرياضيات المتخصصين حاليًا". ^{[ 9 ]} ورأى ريتشارد بيتيغرو، في مراجعته للكتاب في مجلة "نشرة المنطق الرمزي "، أن الكتاب "يبدأ فعليًا" من الفصل الخامس، حيث ينتقل من "عرض معياري إلى حد ما، وإن كان واضحًا بشكل مثير للإعجاب، لمادة مألوفة" إلى "استكشاف شيق لمواضيع ناشئة لا تزال الدراسات عنها قليلة نسبيًا". وقال إن استخدام الكتاب للأمثلة أثناء استكشاف هذه المواضيع، بدلًا من الحجج المتكاملة، هو سمة من سمات الكتاب "ستحفز [الطلاب] على صياغة فرضياتهم وحججهم الفلسفية الخاصة بسهولة أكبر من الكتب الدراسية التقليدية". وخلص إلى أنه "مع أن بعض أجزاء الكتاب قد تفتقر إلى بعض التفاصيل والدقة التي أود أن يقدرها طلاب هذا الموضوع في المستقبل، إلا أن كوليفان قد كتب أول كتاب دراسي يُعرّف الطالب بالفترة الحالية في فلسفة الرياضيات." ^{[ 2 ]} وفي مراجعة نُشرت في مجلة "تدريس الفلسفة" ، قال كارل فاغنر إن "كوليفان يتمتع بموهبة حقيقية في نقل حماس هذه المناقشات الجارية، وتشجيع القراء على تكوين آرائهم الخاصة حول هذه القضايا". ووصف الفصل الخامس بأنه "يتميز حتى عن الفصول الأخرى الممتازة في هذا الكتاب"، وأشاد بشكل خاص بتغطيته للتفسيرات غير الرياضية لكونها "مثيرة للاهتمام بشكل خاص". ^{[ 7 ]} ووصف جان بيير ماركيز الكتاب في مجلة "المراجعات الرياضية " بأنه "نسيم دافئ بعد شتاء بارد في أجواء فلسفة الرياضيات المعقدة". جادل بأن "هذا المجال ظلّ لفترة طويلة جدًا حبيسًا لعصر الشكلية والمنطق والحدسية"، وأن الكتاب حقق "نجاحًا باهرًا" فيما يتعلق بهدفه المتمثل في تقديم مواد معاصرة. [3 ^{] كما أشار} مارك هوناك، الذي راجع الكتاب لصالح الجمعية الرياضية الأمريكية ، إلى أن تركيز الكتاب على العصر الحديث، فضلًا عن استخدامه للرياضيات الفعلية، من الجوانب المثيرة للاهتمام فيه. ^{[ 6 ]}

وُصِف الكتاب على نطاق واسع بأنه سهل الفهم ومكتوب بأسلوب جيد. قال ديفيد إيرفين في مراجعة نُشرت في مجلة "فلسفة الرياضيات " إن الكتاب يُعد من بين أفضل الكتب الدراسية في فلسفة الرياضيات التي صدرت منذ عام 2000، إلى جانب كتاب " فلسفات الرياضيات" لألكسندر جورج ودانيال فيلمان ، وكتاب "التفكير في الرياضيات" لستيوارت شابيرو ، وكتاب "نظرية المجموعات وفلسفتها " لمايكل بوتر . وأضاف أن "قدرة الكتاب على الوصول مباشرةً إلى جوهر الموضوع" جعلته "غير مُرهِق أبدًا"، وخلص إلى أنه "من دواعي سروري التدريس منه، وأنه يستطيع أن يُشير إلى أن الطلاب الذين يتعرفون لأول مرة على مواضيع فلسفة الرياضيات وجدوه سهل الفهم ومُحفزًا في آنٍ واحد". ^{[ 4 ]} وقال زاك ويبر عن الكتاب في " المجلة الأسترالية الآسيوية للفلسفة ": "لقد لخص كوليفان مجمل أبحاثه في كتاب دراسي سهل الفهم للغاية". ^{[ 5 ]} في مراجعةٍ نُشرت في مجلة "Philosophy in Review" ، وصف سام بارون الكتاب بأنه "مكتوب بأسلوبٍ بديع"، وقال إنه "يُجسّد السمات الأساسية التي ينبغي أن تتوافر في كتابٍ دراسيٍّ في الفلسفة: فهو واضحٌ، وشيّقٌ، وممتعٌ في قراءته". ^{[ 1 ]} وصف هوناك الكتاب بأنه "شيّقٌ ومُسلٍّ"، فضلاً عن كونه "كتابًا شيّقًا بأسلوبٍ حواريٍّ، يحمل في طياته أجندةً تُميّزه إلى حدٍّ ما عن العديد من الكتب الأخرى في فلسفة الرياضيات". ^{[ 6 ]} راجع كريستيان سوتو الكتاب في مجلة "Critica: Revista Hispanoamericana de Filosofía" ، واصفًا إياه بأنه "مقدمةٌ دقيقةٌ ومُيسّرةٌ لبعضٍ من أكثر الألغاز إثارةً للاهتمام في فلسفة الرياضيات". ^{[ ٨ ]} أشاد نوح فريدمان-بيغلين، في كتابه "ما وراء العلوم "، بأسلوب كتابة الكتاب ووصفه بأنه "سهل الفهم"، كما وصفه بأنه "إضافة قيّمة إلى مجال مزدحم: فهو يقدم مقدمة واضحة وغير تقنية لبعض المواضيع في الأدبيات الحالية حول فلسفة الرياضيات". ^{[ ٩ ]} قال ماركيز إن الكتاب "مكتوب بشكل جيد للغاية وممتع للقراءة"، وأن فصوله "قصيرة وواضحة ومنظمة بشكل جيد". ^{[ ٣ ]}

تناولت العديد من المراجعات جمهور الكتاب ومدى ملاءمته كمرجع دراسي جامعي. رأى بارون أن المعالجة السلسة للنتائج الرياضية في الكتاب، إلى جانب طريقة "دمجه المتقن للمواد التمهيدية حول النقاش الدائر حول الواقعية الرياضية مع أحدث الأبحاث"، تجعله مناسبًا لدورات البكالوريوس أو الدراسات العليا. كما ذكر أن الكتاب "يغطي نطاقًا واسعًا من المواضيع بشكلٍ مدهش"، مما زاد من فائدته في تصميم دورات ذات محاور مختلفة. ^{[ 1 ]} ورأى فريدمان-بيغلين أن "الطلاب سيجدون في هذا الكتاب نقطة انطلاق ممتازة لدراسة فلسفة الرياضيات، ويمكن أن يكون بسهولة أساسًا لدورة دراسية شيقة لطلاب البكالوريوس". ^{[ 9 ]} ورأى ويبر أن "أسلوب الكتاب الحواري وسرعته" يجعلان منه "مصممًا بوضوح لدورة دراسية حيوية لطلاب البكالوريوس". ومع ذلك، فقد رأى أن الكتاب قصير، وأنه أنسب لدورة دراسية مدتها نصف فصل دراسي أو دورة صيفية، أو كنقطة انطلاق للمناقشات. ^{[ 5 ]} ذكر هوناك أن قلقه الرئيسي بشأن الكتاب كان قصر حجمه، مما دفعه للتساؤل عما إذا كان بإمكانه تغطية مقرر دراسي كامل لفصل دراسي. ومع ذلك، شعر بأنه "يتمتع بقيمة كبيرة بصرف النظر عن استخدامه كنص دراسي"، وقال إن "عالم الرياضيات قد يستمتع بقراءته (كما فعلتُ) كوسيلة للتعلم، بطريقة سهلة وممتعة، عن أفكار شيقة". عمومًا، قال إنه استمتع بالكتاب وأوصى به. ^{[ 6 ]} قال فاغنر: "هذا الكتاب، على الرغم من أنه كُتب في الأساس لطلاب الفلسفة، يمكن أن يكون مفيدًا جدًا أيضًا لطلاب ومعلمي الرياضيات. في الواقع، يأمل هذا المراجع في استخدامه في مقرر دراسي نهائي لطلاب الرياضيات الجامعيين، وفي ندوة دراسات عليا لمعلمي الرياضيات في المدارس الثانوية". ^{[ 7 ]} وبالمثل، أوصى سوتو بالكتاب لعلماء الرياضيات والعلماء، وكذلك الفلاسفة، قائلاً إنه يوفر "دليلًا ثاقبًا للمناقشات التي تشمل مجالاتهم". ^{[ 8 ]}

ناقش بعض المراجعين تغطية بعض المواضيع في الكتاب. شعر إرفين أن "نقطة ضعف الكتاب تكمن في أن المناقشات التقليدية حول المنطق، والشكلية، والحدسية لم تُغطَّ إلا في أقل من ست صفحات، مما يترك القراء يتساءلون عن سبب كل هذه الضجة". وقال إنه إذا صدرت طبعة ثانية، فينبغي أن تتوسع في هذه المواضيع. وأضاف أنه كان يفضل لو تضمن الكتاب المزيد من البراهين، مثل برهان مفارقة راسل . ^{[ 4 ]} وبالمثل، ذكر بارون أن البعض قد يجد التغطية الموجزة لـ"المذاهب الكبرى" غير مُرضية، لكنه جادل بأنها مناسبة نظرًا لتركيز الكتاب على مسألة الواقعية التي يصفها بارون بأنها "مستقلة إلى حد كبير عن المذاهب الكبرى المذكورة في الفصل الأول". ^{[ 1 ]} وعلى النقيض من هذه التعليقات، وصف فاغنر تغطية كوليفان لـ"المذاهب الكبرى" في الفصل الأول بأنها "عرض مُكثَّف بارع". ^{[ 7 ]} علّق بيتيغرو على نقص تغطية نظرية الفئات ، والرياضيات العكسية ، والاستدلال الآلي ، والبراهين بمساعدة الحاسوب، لكنه أضاف قائلاً: "لا يمكن لأي كتاب مدرسي أن يغطي جميع المواضيع، وقد يشعر المرء أن هذه المواضيع تنتمي بشكل طبيعي إلى دورة دراسية متقدمة في هذا المجال". ^{[ 2 ]} كما شعر فريدمان-بيغلين أن مواضيع مثل العمل على طبيعة الحقيقة الرياضية وأسس الرياضيات غائبة عن الكتاب. وجادل بأن كوليفان استبعد هذه المواضيع رغبةً منه في جعل الكتاب أقل تخصصًا، لكنه شعر بأنه "يبالغ في محاولته التخفيف من أثر ذلك". ومع ذلك، رأى أن المخاوف بشأن نقص التفاصيل الرياضية في بعض المجالات "لا تُؤخذ بعين الاعتبار بشكل كبير"، إذ "ربما يكون الخط الرئيسي للحجة في كتاب كوليفان قد طُمِسَ بسبب تضمينه الكثير من المصطلحات الرسمية". ^{[ 9 ]} قال ماركيز في هذا الشأن: "يمكن للمرء أن يجادل حول هذا الموضوع أو ذاك، أو هذا المرجع أو ذاك، لكنني أعتقد أن هذه الانتقادات ستغفل المغزى. فكمقدمة لهذا المجال، فإن اختيار المواضيع المقترحة مبرر تمامًا." ^{[ 3 ]}

قال بيتيغرو عن الخاتمة إنه كان يفضل لو أنها غطت عددًا أقل من النظريات وعددًا أكبر من البراهين والتطبيقات. ومع ذلك، قال إنها "مورد قيّم بلا شك للطالب الذي يدخل فلسفة الرياضيات دون خلفية رياضية قوية". ^{[ 2 ]} قال هوناك إنه "مستغرب" من إدراج الخاتمة التي قال إنها تحتوي على بنود "تبدو بلا دلالة فلسفية خاصة". ^{[ 6 ]} أشاد فاغنر بالخاتمة، واصفًا إياها بأنها "ممتازة"، مع اقتراح بعض التغييرات على عرض النظريات التي تناولتها. ^{[ 7 ]} أشاد ويبر بالقراءات الإضافية ووصفها بأنها "أدلة ممتازة لمزيد من الدراسة". ^{[ 7 ]} كما أشاد ماركيز بإدراج أسئلة المناقشة والقراءات الإضافية، واصفًا إياها بأنها "مبادرة رائعة". ^{[ 3 ]}

• مقدمة في فلسفة الرياضيات، منشورات جامعة كامبريدج