حركة الإلكترون

في غياب أي مجال كهربائي خارجي، تتحرك الإلكترونات والفجوات في المواد الصلبة بشكل عشوائي . لذلك، في المتوسط ، لن يكون هناك حركة كلية لحاملات الشحنة في أي اتجاه محدد مع مرور الوقت.

مع ذلك، عند تطبيق مجال كهربائي، يتسارع كل إلكترون أو فجوة بفعل هذا المجال. لو كان الإلكترون في فراغ، لتسارع إلى سرعة متزايدة باستمرار (وهي حركة تُسمى النقل الباليستي ). أما في المواد الصلبة، فيتشتت الإلكترون مرارًا وتكرارًا بفعل عيوب البلورة ، والفونونات ، والشوائب، وغيرها، مما يؤدي إلى فقدانه جزءًا من طاقته وتغيير اتجاهه. والنتيجة النهائية هي أن الإلكترون يتحرك بسرعة متوسطة محدودة، تُسمى سرعة الانجراف . وعادةً ما تكون هذه الحركة الكلية للإلكترون أبطأ بكثير من الحركة العشوائية الطبيعية.

عادةً ما يكون لحاملتي الشحنة، الإلكترونات والفجوات، سرعات انجراف مختلفة لنفس المجال الكهربائي.

يُمكن حدوث النقل شبه الباليستي في المواد الصلبة إذا تم تسريع الإلكترونات عبر مسافة صغيرة جدًا (بحجم متوسط ​​المسار الحر )، أو لفترة زمنية قصيرة جدًا (بحجم متوسط ​​الزمن الحر ). في هذه الحالات، لا يكون لسرعة الانجراف والحركة أي دلالة.

تُعرَّف حركة الإلكترون بالمعادلة التالية: $${\displaystyle v_{d}=\mu _{e}E.}$$ أين:

• يمثل E مقدار المجال الكهربائي المطبق على مادة ما،
• يمثل v _d مقدار سرعة انجراف الإلكترون (أو بعبارة أخرى، سرعة انجراف الإلكترون ) الناتجة عن المجال الكهربائي، و
• μ _e هي قابلية حركة الإلكترون.

يتم تعريف حركة الثقوب بمعادلة مماثلة: $${\displaystyle v_{d}=\mu _{h}E.}$$ تكون كل من حركية الإلكترونات والفجوات موجبة بحكم التعريف.

عادةً، تتناسب سرعة انجراف الإلكترونات في المادة تناسباً طردياً مع المجال الكهربائي، مما يعني أن حركة الإلكترونات ثابتة (لا تتأثر بالمجال الكهربائي). أما عندما لا يكون هذا صحيحاً (على سبيل المثال، في المجالات الكهربائية الشديدة جداً)، فإن الحركة تعتمد على المجال الكهربائي.

وحدة السرعة في النظام الدولي للوحدات هي م/ث ، ووحدة المجال الكهربائي هي فولت / م . لذا، فإن وحدة الحركة في النظام الدولي للوحدات هي (م/ث)/(فولت/م) = م² /(فولت.ث ) ^. مع ذلك ، يُعبر عن الحركة عادةً بوحدة سم² ^/ (فولت.ث) = 10⁻⁴ ^م² / (فولت.ث) ^.

تعتمد قابلية الحركة عادةً بشكل كبير على شوائب المادة ودرجة الحرارة، ويتم تحديدها تجريبياً. تُعرض قيم قابلية الحركة عادةً في جداول أو رسوم بيانية. كما تختلف قابلية الحركة بين الإلكترونات والفجوات في المادة نفسها.

بدءاً من قانون نيوتن الثاني : $${\displaystyle a=F/m_{e}^{*}}$$ أين:

• a هو التسارع بين التصادمات.
• F هي القوة الكهربائية التي يبذلها المجال الكهربائي، و
• ${\displaystyle m_{e}^{*}}$هي الكتلة الفعالة للإلكترون.

بما أن القوة المؤثرة على الإلكترون هي − eE : $${\displaystyle a=-{\frac {eE}{m_{e}^{*}}}}$$

هذا هو تسارع الإلكترون بين التصادمات. وبالتالي، فإن سرعة الانجراف هي: $${\displaystyle v_{d}=a\tau _{c}=-{\frac {e\tau _{c}}{m_{e}^{*}}}E,}$$أين${\displaystyle \tau _{c}}$متوسط ​​وقت الفراغ

بما أننا نهتم فقط بكيفية تغير سرعة الانجراف مع المجال الكهربائي، فإننا نجمع الحدود غير المحددة معًا للحصول على $${\displaystyle v_{d}=-\mu _{e}E,}$$أين${\displaystyle \mu _{e}={\frac {e\tau _{c}}{m_{e}^{*}}}}$

وبالمثل، بالنسبة للثقوب لدينا $${\displaystyle v_{d}=\mu _{h}E,}$$أين${\displaystyle \mu _{h}={\frac {e\tau _{c}}{m_{h}^{*}}}}$ لاحظ أن كلاً من حركة الإلكترونات وحركة الفجوات موجبة. وتُضاف إشارة سالبة لسرعة انجراف الإلكترونات لمراعاة الشحنة السالبة.

يمكن حساب كثافة تيار الانجراف الناتج عن مجال كهربائي من سرعة الانجراف. لنفترض عينة مساحتها المقطع العرضي A وطولها l وتركيز الإلكترونات فيها n. يجب أن يكون التيار الذي يحمله كل إلكترون هو${\displaystyle -ev_{d}}$وبالتالي فإن كثافة التيار الكلية الناتجة عن الإلكترونات تُعطى بالمعادلة التالية: $${\displaystyle J_{e}={\frac {I_{n}}{A}}=-env_{d}}$$ باستخدام التعبير لـ${\displaystyle v_{d}}$أعطِ $${\displaystyle J_{e}=en\mu _{e}E}$$ تنطبق مجموعة مماثلة من المعادلات على الفجوات (مع ملاحظة أن شحنة الفجوة موجبة). وبالتالي، تُعطى كثافة التيار الناتجة عن الفجوات بالعلاقة التالية: $${\displaystyle J_{h}=ep\mu _{h}E}$$ حيث p هو تركيز الثقوب و${\displaystyle \mu _{h}}$حركة الثقوب.

إن كثافة التيار الكلية هي مجموع مكونات الإلكترون والفجوة: $${\displaystyle J=J_{e}+J_{h}=(en\mu _{e}+ep\mu _{h})E}$$

لقد استنتجنا سابقًا العلاقة بين حركة الإلكترون وكثافة التيار $${\displaystyle J=J_{e}+J_{h}=(en\mu _{e}+ep\mu _{h})E}$$ يمكن الآن كتابة قانون أوم بالشكل التالي: $${\displaystyle J=\sigma E}$$ أين${\displaystyle \sigma }$تُعرَّف بأنها الموصلية. لذلك يمكننا كتابة ما يلي: $${\displaystyle \sigma =en\mu _{e}+ep\mu _{h}}$$ والتي يمكن تحليلها إلى $${\displaystyle \sigma =e(n\mu _{e}+p\mu _{h})}$$

في منطقة تتغير فيها قيمتا n و p مع المسافة، يتراكب تيار الانتشار على التيار الناتج عن الموصلية. ويخضع تيار الانتشار هذا لقانون فيك . $${\displaystyle F=-D_{\text{e}}\nabla n}$$ أين:

• F هو التدفق.
• De _هو معامل الانتشار أو الانتشارية
• ${\displaystyle \nabla n}$هو تدرج تركيز الإلكترونات

يرتبط معامل الانتشار لحامل الشحنة بحركيته وفقًا لعلاقة أينشتاين . بالنسبة لنظام كلاسيكي (مثل غاز بولتزمان)، تكون المعادلة كالتالي: $${\displaystyle D_{\text{e}}={\frac {\mu _{\text{e}}k_{\mathrm {B} }T}{e}}}$$ أين:

• k _B هو ثابت بولتزمان
• T هي درجة الحرارة المطلقة
• e هي الشحنة الكهربائية للإلكترون

بالنسبة للمعادن، التي تُوصف بغاز فيرمي (سائل فيرمي)، يجب استخدام الصيغة الكمومية لعلاقة أينشتاين. عادةً، تكون درجة الحرارة أقل بكثير من طاقة فيرمي ، وفي هذه الحالة يجب استخدام الصيغة التالية: $${\displaystyle D_{\text{e}}={\frac {\mu _{\text{e}}E_{\text{F}}}{e}}}$$ أين:

• طاقة فيرمي (E _{_F)}

تُطعّم أشباه الموصلات بشوائب مانحة و/أو مستقبلة، والتي عادةً ما تكون متأينة، وبالتالي مشحونة. تعمل قوى كولوم على انحراف الإلكترون أو الفجوة المقتربة من الشوائب المتأينة. يُعرف هذا بتشتت الشوائب المتأينة . يعتمد مقدار الانحراف على سرعة حامل الشحنة وقربه من الأيون. كلما زادت كثافة تطعيم المادة، زاد احتمال اصطدام حامل الشحنة بالأيون في فترة زمنية محددة، وقلّ متوسط ​​الزمن الحر بين الاصطدامات، وانخفضت حركة حاملات الشحنة. عند تحديد قوة هذه التفاعلات، ونظرًا لطبيعة جهد كولوم بعيد المدى، تتسبب الشوائب الأخرى وحاملات الشحنة الحرة في تقليل مدى التفاعل مع حاملات الشحنة بشكل ملحوظ مقارنةً بتفاعل كولوم النقي.

إذا كانت هذه الجسيمات المشتتة قريبة من السطح البيني، يزداد تعقيد المشكلة بسبب وجود عيوب واضطرابات بلورية. تتشكل مراكز احتجاز الشحنات التي تشتت حاملات الشحنة الحرة في كثير من الحالات نتيجةً للعيوب المرتبطة بالروابط غير المشبعة. يحدث التشتت لأن العيب، بعد احتجاز الشحنة، يصبح مشحونًا وبالتالي يبدأ بالتفاعل مع حاملات الشحنة الحرة. إذا كانت حاملات الشحنة المشتتة موجودة في طبقة الانعكاس عند السطح البيني، فإن انخفاض أبعاد حاملات الشحنة يجعل الحالة مختلفة عن حالة تشتت الشوائب في المادة الصلبة، حيث تتحرك حاملات الشحنة في بعدين فقط. كما تتسبب خشونة السطح البيني في تشتت قصير المدى، مما يحد من حركة الإلكترونات شبه ثنائية الأبعاد عند السطح البيني. ^{[ 15 ]}

عند أي درجة حرارة أعلى من الصفر المطلق ، تُحدث الذرات المهتزة موجات ضغط (صوتية) في البلورة، تُسمى الفونونات . ومثل الإلكترونات، يمكن اعتبار الفونونات جسيمات. يمكن للفونون أن يتفاعل (يصطدم) مع الإلكترون (أو الفجوة) ويشتته. عند درجات حرارة أعلى، يزداد عدد الفونونات، وبالتالي يزداد تشتت الإلكترونات ، مما يقلل من حركتها.

لا تحدث ظاهرة الكهروضغطية إلا في أشباه الموصلات المركبة نظرًا لطبيعتها القطبية. وهي ضئيلة في معظم أشباه الموصلات، لكنها قد تؤدي إلى مجالات كهربائية موضعية تتسبب في تشتيت حاملات الشحنة عن طريق انحرافها. وتبرز أهمية هذه الظاهرة بشكل خاص عند درجات الحرارة المنخفضة حيث تكون آليات التشتيت الأخرى ضعيفة. وتنشأ هذه المجالات الكهربائية من تشوه الخلية الأساسية نتيجةً لتطبيق إجهاد في اتجاهات معينة في الشبكة البلورية. ^{[ 15 ]}

يُعدّ تشتت خشونة السطح الناتج عن اضطراب السطح البيني تشتتًا قصير المدى يحدّ من حركة الإلكترونات شبه ثنائية الأبعاد عند السطح البيني. وقد تبيّن من خلال صور المجهر الإلكتروني النافذ عالي الدقة أن السطح البيني ليس حادًا على المستوى الذري، بل يتغير موضع مستوى السطح البيني الفعلي بمقدار طبقة أو طبقتين ذريتين على طول السطح. هذه التغيرات عشوائية وتُسبب تقلبات في مستويات الطاقة عند السطح البيني، مما يؤدي بدوره إلى التشتت. ^{[ 15 ]}

في أشباه الموصلات المركبة (السبائكية)، والتي تُعدّ العديد من المواد الكهروحرارية من بينها، يُعرف التشتت الناتج عن اضطراب جهد البلورة بسبب التوزيع العشوائي لأنواع الذرات البديلة في الشبكة الفرعية المعنية باسم تشتت السبيكة. لا يحدث هذا إلا في السبائك الثلاثية أو ذات التركيب الأعلى، حيث تتشكل بنيتها البلورية من خلال استبدال بعض الذرات عشوائيًا في إحدى الشبكات الفرعية للبنية البلورية. عمومًا، تكون هذه الظاهرة ضعيفة نسبيًا، ولكن في بعض المواد أو الظروف، قد تصبح العامل المهيمن الذي يحدّ من الموصلية. أما في المواد الصلبة، فيُهمل تشتت السطح البيني عادةً. ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}

يحدث تبادل كبير للطاقة أثناء عمليات التشتت غير المرن. وكما هو الحال في تشتت الفونونات المرن، ينشأ الجهد في الحالة غير المرنة أيضًا من تشوهات نطاق الطاقة الناتجة عن الاهتزازات الذرية. عادةً ما تتراوح طاقة الفونونات الضوئية المسببة للتشتت غير المرن بين 30 و50 ملي إلكترون فولت، وللمقارنة، فإن طاقات الفونونات الصوتية عادةً ما تكون أقل من 1 ملي إلكترون فولت، ولكن قد تصل طاقة بعضها إلى 10 ملي إلكترون فولت. ويحدث تغير ملحوظ في طاقة حاملات الشحنة أثناء عملية التشتت. كما يمكن للفونونات الضوئية أو الصوتية عالية الطاقة أن تُسبب تشتتًا بين الأودية أو بين النطاقات، مما يعني أن التشتت لا يقتصر على وادٍ واحد. ^{[ 15 ]}

بسبب مبدأ استبعاد باولي ، يمكن اعتبار الإلكترونات غير متفاعلة إذا لم تتجاوز كثافتها القيمة 10¹⁶ ^~  10¹⁷  سم⁻³ أو قيمة المجال الكهربائي 10³ ^{فولت /سم. مع ذلك، عند تجاوز هذه الحدود بشكل ملحوظ ، يبدأ تشتت الإلكترون-إلكترون بالسيطرة. إن} المدى الطويل وعدم خطية جهد كولوم الذي يحكم التفاعلات بين الإلكترونات يجعلان التعامل مع هذه التفاعلات صعبًا. ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}

يُقدّم نموذج بسيط العلاقة التقريبية بين زمن التشتت (متوسط ​​الزمن بين أحداث التشتت) والحركية. يُفترض أنه بعد كل حدث تشتت، تصبح حركة الناقل عشوائية، وبالتالي تكون سرعته المتوسطة صفرًا. بعد ذلك، يتسارع الناقل بانتظام في المجال الكهربائي، حتى يتشتت مرة أخرى. وتكون حركية الانجراف المتوسطة الناتجة كما يلي: ^{[ 20 ]}$${\displaystyle \mu ={\frac {q}{m^{*}}}{\overline {\tau }}}$$ حيث q هي الشحنة الأولية ، و m * هي الكتلة الفعالة للحامل ، و τ هو متوسط ​​زمن التشتت.

إذا كانت الكتلة الفعالة غير متجانسة (تعتمد على الاتجاه)، فإن m * هي الكتلة الفعالة في اتجاه المجال الكهربائي.

عادةً، يوجد أكثر من مصدر واحد للتشتت، على سبيل المثال الشوائب وفونونات الشبكة البلورية. ومن التقريب الجيد عادةً دمج تأثيراتها باستخدام "قاعدة ماتيسن" (التي طُوّرت من عمل أوغسطس ماتيسن عام 1864):

$${\displaystyle {\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{\mu _{\rm {impurities}}}}+{\frac {1}{\mu _{\rm {lattice}}}}.}$$ حيث μ هي الحركة الفعلية،${\displaystyle \mu _{\rm {impurities}}}$هي قابلية الحركة التي ستتمتع بها المادة في حالة وجود تشتت ناتج عن الشوائب فقط دون وجود أي مصدر آخر للتشتت، و${\displaystyle \mu _{\rm {lattice}}}$هي قابلية الحركة التي ستتمتع بها المادة في حال وجود تشتت فونونات الشبكة البلورية فقط دون أي مصدر آخر للتشتت. ويمكن إضافة مصطلحات أخرى لمصادر التشتت الأخرى، على سبيل المثال $${\displaystyle {\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{\mu _{\rm {impurities}}}}+{\frac {1}{\mu _{\rm {lattice}}}}+{\frac {1}{\mu _{\rm {defects}}}}+\cdots .}$$ يمكن أيضًا صياغة قاعدة ماتيسن بدلالة زمن التشتت: $${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}={\frac {1}{\tau _{\rm {impurities}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {lattice}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {defects}}}}+\cdots .}$$ حيث τ هو متوسط ​​وقت التشتت الحقيقي و τ _impurities هو وقت التشتت إذا كان هناك تشتت للشوائب ولكن لا يوجد مصدر آخر للتشتت، إلخ.

قاعدة ماتيسن هي قاعدة تقريبية وليست صالحة بشكل عام. لا تصح هذه القاعدة إذا كانت العوامل المؤثرة على الحركة تعتمد على بعضها البعض، لأنه لا يمكن جمع احتمالات التشتت الفردية إلا إذا كانت مستقلة عن بعضها. ^{[ 19 ]} يتناسب متوسط ​​زمن الطيران الحر للحامل، وبالتالي زمن الاسترخاء، عكسيًا مع احتمال التشتت. ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 18 ]} على سبيل المثال، يُغير تشتت الشبكة متوسط ​​سرعة الإلكترون (في اتجاه المجال الكهربائي)، مما يُغير بدوره ميله للتشتت عن طريق الشوائب. توجد صيغ أكثر تعقيدًا تحاول مراعاة هذه التأثيرات. ^{[ 21 ]}

مع ارتفاع درجة الحرارة، يزداد تركيز الفونونات، مما يؤدي إلى زيادة التشتت. وبالتالي، يُقلل تشتت الشبكة البلورية من حركة حاملات الشحنة بشكل متزايد عند درجات الحرارة المرتفعة. تُشير الحسابات النظرية إلى أن حركة حاملات الشحنة في أشباه الموصلات غير القطبية ، مثل السيليكون والجرمانيوم، تتأثر بشكل أساسي بتفاعل الفونونات الصوتية . ومن المتوقع أن تتناسب الحركة الناتجة طرديًا مع T ^{− 3/2} ، بينما تتناسب الحركة الناتجة عن تشتت الفونونات الضوئية فقط طرديًا مع T ^{− 1/2} . عمليًا، ترد قيم اعتماد الحركة على درجة الحرارة في السيليكون والجرمانيوم وجاليوم أرسينيد في الجدول ^{[ 22 ] .}  

مثل${\textstyle {\frac {1}{\tau }}\propto \left\langle v\right\rangle \Sigma }$، أين${\displaystyle \Sigma }$يمثل المقطع العرضي للتشتت للإلكترونات والفجوات عند مركز التشتت و${\displaystyle \left\langle v\right\rangle }$بحساب المتوسط ​​الحراري (إحصاءات بولتزمان) لجميع سرعات الإلكترونات أو الفجوات في نطاق التوصيل السفلي أو نطاق التكافؤ العلوي، يمكن تحديد اعتمادية الحركة على درجة الحرارة. يُستخدم هنا التعريف التالي لمقطع التشتت: عدد الجسيمات المتشتتة في الزاوية المجسمة dΩ لكل وحدة زمنية مقسومًا على عدد الجسيمات لكل وحدة مساحة لكل وحدة زمنية (شدة السقوط)، وهو تعريف مستمد من الميكانيكا الكلاسيكية. وبما أن إحصاءات بولتزمان صالحة لأشباه الموصلات،${\displaystyle \left\langle v\right\rangle \sim {\sqrt {T}}}$.

بالنسبة للتشتت الناتج عن الفونونات الصوتية، عند درجات حرارة أعلى بكثير من درجة حرارة ديباي، يُحدد المقطع العرضي المُقدَّر Σ _ph من مربع متوسط ​​سعة اهتزاز الفونون، والذي يتناسب مع T. أما التشتت الناتج عن العيوب المشحونة (المانحات أو المستقبلات المتأينة) فيؤدي إلى المقطع العرضي${\displaystyle {\Sigma }_{\text{def}}\propto {\left\langle v\right\rangle }^{-4}}$هذه الصيغة هي المقطع العرضي للتشتت لـ "تشتت رذرفورد"، حيث تتحرك شحنة نقطية (حاملة) بجانب شحنة نقطية أخرى (عيب) وتخضع لتفاعل كولوم.

يمكن تحديد اعتمادية درجة الحرارة لآليتي التشتت هاتين في أشباه الموصلات من خلال الجمع بين صيغ τ و Σ و${\displaystyle \left\langle v\right\rangle }$، ليكون لتشتيت الفونونات الصوتية${\displaystyle \mu _{\text{ph}}\sim T^{-3/2}}$ومن العيوب المشحونة${\displaystyle {\mu }_{\text{def}}\sim T^{3/2}}$[ ^{16 ] [ 18 ]​}

ومع ذلك، يتناقص تأثير تشتت الشوائب المتأينة مع ارتفاع درجة الحرارة، وذلك بسبب زيادة متوسط ​​السرعات الحرارية لحاملات الشحنة. ^{[ 14 ]} وبالتالي، تقضي حاملات الشحنة وقتًا أقل بالقرب من الشوائب المتأينة أثناء مرورها، مما يقلل من تأثير تشتت الأيونات.

يؤثر هذان التأثيران في آن واحد على حاملات الشحنة وفقًا لقاعدة ماتيسن. عند درجات الحرارة المنخفضة، يسود تشتت الشوائب المتأينة، بينما عند درجات الحرارة المرتفعة، يسود تشتت الفونونات، وتصل الحركة الفعلية إلى أقصى قيمة لها عند درجة حرارة متوسطة.

قام موت لاحقًا بتطوير ^{[ 25 ]} مفهوم حافة التنقل. وهذا عبارة عن طاقة${\displaystyle E_{C}}$فوق هذه النقطة، تنتقل الإلكترونات من حالات موضعية إلى حالات غير موضعية. في هذا الوصف، المسمى بالاحتجاز والإطلاق المتعدد ، لا تستطيع الإلكترونات الحركة إلا في الحالات الممتدة، وتُحتجز باستمرار في الحالات الموضعية ذات الطاقة المنخفضة، ثم تُطلق منها. ولأن احتمال إطلاق الإلكترون من المصيدة يعتمد على طاقته الحرارية، يمكن وصف حركته بعلاقة أرهينيوس في مثل هذا النظام.

$${\displaystyle \mu =\mu _{0}\exp \left(-{\frac {E_{\text{A}}}{k_{\text{B}}T}}\right)}$$

أين${\displaystyle \mu _{0}}$هو عامل أساسي للتنقل،${\displaystyle E_{\text{A}}}$هي طاقة التنشيط ،${\displaystyle k_{\text{B}}}$هو ثابت بولتزمان، و${\displaystyle T}$هي درجة الحرارة. تُقيّم طاقة التنشيط عادةً بقياس الحركة كدالة لدرجة الحرارة. ويمكن استخدام طاقة أورباخ كبديل لطاقة التنشيط في بعض الأنظمة. ^{[ 26 ]}

عند درجات الحرارة المنخفضة، أو في الأنظمة ذات درجة عالية من الاضطراب البنيوي (مثل الأنظمة غير المتبلورة تمامًا)، لا تستطيع الإلكترونات الوصول إلى الحالات غير الموضعية. في مثل هذه الأنظمة، لا يمكن للإلكترونات الانتقال إلا عن طريق النفق الكمومي من موقع إلى آخر، في عملية تُسمى القفز ذي المدى المتغير . في النظرية الأصلية للقفز ذي المدى المتغير، كما طورها موت وديفيس، ^{[ 27 ]} فإن الاحتمالية${\displaystyle P_{ij}}$، من قفزة إلكترون من موقع واحد${\displaystyle i}$، إلى موقع آخر${\displaystyle j}$، يعتمد على المسافة بينهما في الفضاء${\displaystyle r_{ij}}$وفصلها في الطاقة${\displaystyle \Delta E_{ij}}$.

$${\displaystyle P_{ij}=P_{0}\exp \left(-2\alpha r_{ij}-{\frac {\Delta E_{ij}}{k_{\text{B}}T}}\right)}$$

هنا${\displaystyle P_{0}}$هو عامل أولي مرتبط بتردد الفونون في المادة، ^{[ 28 ]} و${\displaystyle \alpha }$يمثل معامل تداخل دالة الموجة. ويمكن إثبات أن قابلية الحركة في نظام يخضع لقفز ذي مدى متغير ^{[ 27 ]} هي:

$${\displaystyle \mu =\mu _{0}\exp \left(-\left[{\frac {T}{T_{0}}}\right]^{1/(d+1)}\right)}$$

أين${\displaystyle \mu _{0}}$هو عامل أساسي للتنقل،${\displaystyle T_{0}}$هو مُعامل (بأبعاد درجة الحرارة) يُحدد عرض الحالات الموضعية، و${\displaystyle d}$هو بُعد النظام.

تُقاس حركة حاملات الشحنة عادةً باستخدام تأثير هول . وتُسمى نتيجة القياس "حركة هول" (أي "الحركة المستنتجة من قياس تأثير هول").

لنفترض عينة من أشباه الموصلات ذات مقطع عرضي مستطيل كما هو موضح في الأشكال، يمر بها تيار كهربائي في الاتجاه x ، ويُطبق عليها مجال مغناطيسي في الاتجاه z . ستعمل قوة لورنتز الناتجة على تسريع الإلكترونات ( في المواد من النوع n ) أو الفجوات (في المواد من النوع p ) في الاتجاه (-y ) ، وفقًا لقاعدة اليد اليمنى ، مما يُنشئ مجالًا كهربائيًا ξy _. ونتيجة لذلك، يتولد فرق جهد عبر العينة، يمكن قياسه باستخدام _{فولتميتر} ذي مقاومة عالية . يُسمى هذا الجهد، VH ، بجهد هول . يكون VH سالبًا للمواد من النوع n وموجبًا للمواد من _النوع p .

رياضياً، تُعطى قوة لورنتز المؤثرة على شحنة q بالعلاقة التالية

بالنسبة للإلكترونات: $${\displaystyle \mathbf {F} _{Hn}=-q\,\mathbf {v} _{n}\times \mathbf {B} _{z}}$$

بالنسبة للثقوب: $${\displaystyle \mathbf {F} _{Hp}=+q\,\mathbf {v} _{p}\times \mathbf {B} _{z}}$$

في حالة الاستقرار، تتوازن هذه القوة مع القوة الناتجة عن جهد هول، بحيث لا توجد قوة محصلة على حاملات الشحنة في الاتجاه y . بالنسبة للإلكترونات،

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} _{y}=(-q)\xi _{y}+(-q)\,\mathbf {v} _{n}\times \mathbf {B} _{z}&=0\\\Longrightarrow -q\xi _{y}+qv_{x}B_{z}&=0\\\xi _{y}&=v_{x}B_{z}\end{aligned}}}$$

بالنسبة للإلكترونات، يشير المجال في اتجاه -y ، وبالنسبة للثقوب، يشير في اتجاه + y .

يُعطى تيار الإلكترونات I بالعلاقة التالية${\displaystyle I=-qnv_{x}tW}$. استبدل v _x في معادلة ξ _y ،

$${\displaystyle \xi _{y}=-{\frac {IB}{nqtW}}=+{\frac {R_{Hn}IB}{tW}}}$$

حيث R _Hn هو معامل هول للإلكترون، ويُعرَّف على النحو التالي: $${\displaystyle R_{Hn}=-{\frac {1}{nq}}}$$

منذ${\displaystyle \xi _{y}={\frac {V_{H}}{W}}}$$${\displaystyle R_{Hn}=-{\frac {1}{nq}}={\frac {V_{Hn}t}{IB}}}$$

وبالمثل، بالنسبة للثقوب $${\displaystyle R_{Hp}={\frac {1}{pq}}={\frac {V_{Hp}t}{IB}}}$$

من معامل هول، يمكننا الحصول على قابلية حركة حاملات الشحنة على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{n}&=\left(-nq\right)\mu _{n}\left(-{\frac {1}{nq}}\right)\\&=-\sigma _{n}R_{Hn}\\&=-{\frac {\sigma _{n}V_{Hn}t}{IB}}\end{aligned}}}$$

بصورة مماثلة، $${\displaystyle \mu _{p}={\frac {\sigma _{p}V_{Hp}t}{IB}}}$$

هنا يمكن قياس قيمة V _Hp (جهد هول)، t (سمك العينة)، I (التيار) و B (المجال المغناطيسي) بشكل مباشر، وتكون الموصلية σ _n أو σ _p إما معروفة أو يمكن الحصول عليها من قياس المقاومة.

يمكن أيضًا قياس قابلية الحركة باستخدام ترانزستور تأثير المجال (FET). وتُسمى نتيجة القياس "قابلية الحركة لتأثير المجال" (أي "قابلية الحركة المستنتجة من قياس تأثير المجال").

يمكن إجراء القياس بطريقتين: من خلال قياسات وضع التشبع، أو قياسات المنطقة الخطية. ^{[ 29 ]} (انظر MOSFET للحصول على وصف لأوضاع أو مناطق التشغيل المختلفة.)

يمكن تحديد حركة الإلكترونات من خلال قياسات تقنية الانعكاس الضوئي بالليزر دون تلامس . تُجرى سلسلة من قياسات الانعكاس الضوئي أثناء تحريك العينة عبر البؤرة. يُحدد طول انتشار الإلكترونات وزمن إعادة التركيب من خلال مطابقة البيانات باستخدام معادلة انحدار خطي. ثم تُستخدم علاقة أينشتاين لحساب الحركة. ^{[ 31 ] [ 32 ]}

يمكن حساب حركة الإلكترونات من خلال قياسات مسبار تيراهيرتز المعتمدة على الزمن . ^{[ 33 ] [ 34 ]} تعمل نبضات ليزر الفيمتو ثانية على إثارة أشباه الموصلات، ويتم قياس الموصلية الضوئية الناتجة باستخدام مسبار تيراهيرتز، الذي يكشف التغيرات في المجال الكهربائي للتيراهيرتز. ^{[ 35 ]}

يمكن تقييم مؤشر لحركية حاملات الشحنة باستخدام قياس الموصلية الميكروية المعتمدة على الزمن (TRMC). ^{[ 36 ]} يُستخدم ليزر ضوئي نبضي لتوليد الإلكترونات والفجوات في أشباه الموصلات، والتي يتم رصدها بعد ذلك من خلال زيادة الموصلية الضوئية. بمعرفة امتصاص العينة وأبعادها وكثافة طاقة الليزر الساقط، يمكن حساب المعامل${\displaystyle \phi \Sigma \mu =\phi (\mu _{e}+\mu _{h})}$يمكن تقييمها، حيث${\displaystyle \phi }$يمثل معدل توليد حاملات الشحنة (بين 0 و 1)،${\displaystyle \mu _{e}}$هي قابلية حركة الإلكترون و${\displaystyle \mu _{h}}$هي قابلية حركة الثقوب.${\displaystyle \phi \Sigma \mu }$له نفس أبعاد قابلية الحركة، ولكن نوع الناقل (إلكترون أو ثقب) غير واضح.