المركز (نظرية الزمر)

جدول كايلي لـ D ₄ يوضح عناصر المركز، {e, a ² }، يتبادل مع جميع العناصر الأخرى (يمكن ملاحظة ذلك من خلال ملاحظة أن جميع حالات ظهور عنصر مركز معين مرتبة بشكل متناظر حول القطر المركزي أو من خلال ملاحظة أن الصف والعمود اللذين يبدآن بعنصر مركز معين هما منقولان لبعضهما البعض).
$\circ$	هـ	ب	أ	2	3	أب	أ ² ب	أ ³ ب
هـ	هـ	ب	أ	2	3	أب	أ ² ب	أ ³ ب
ب	ب	هـ	أ ³ ب	أ ² ب	أب	3	2	أ
أ	أ	أب	2	3	هـ	أ ² ب	أ ³ ب	ب
2	2	أ ² ب	3	هـ	أ	أ ³ ب	ب	أب
3	3	أ ³ ب	هـ	أ	2	ب	أب	أ ² ب
أب	أب	أ	ب	أ ³ ب	أ ² ب	هـ	3	2
أ ² ب	أ ² ب	2	أب	ب	أ ³ ب	أ	هـ	3
أ ³ ب	أ ³ ب	3	أ ² ب	أب	ب	2	أ	هـ

في الجبر المجرد ، مركز المجموعة $G$ هو مجموعة العناصر التي تتبادل مع كل عنصر من عناصر $G.$ ويُرمز له بـ Z $($ $G$ $)$ ، وهي كلمة ألمانية تعني المركز . في تدوين بناء المجموعات ،

Z(G) = {z \in G | \forall g \in G, zg = gz}

.

المركز عبارة عن مجموعة فرعية طبيعية ، $Z(G)\triangleleft G$ وهي أيضاً زمرة فرعية مميزة ، ولكنها ليست بالضرورة مميزة تماماً . زمرة القسمة ، $G / Z(G)$ ، متماثلة مع زمرة التشاكل الداخلي ، $Inn(G)$ .

تكون المجموعة $G$ تبديلية إذا وفقط إذا كان $Z(G) = G.$ وعلى النقيض من ذلك، يُقال إن المجموعة بلا مركز إذا كان $Z(G)$ تافهاً ؛ أي أنه يتكون فقط من عنصر الوحدة .

عناصر المركز هي عناصر مركزية .

كمجموعة فرعية

مركز المجموعة G هو دائمًا مجموعة جزئية من $G.$ على وجه الخصوص:

$Z(G)$ يحتوي على عنصر الوحدة لـ $G$ ، لأنه يتبادل مع كل عنصر من $g$ ، حسب التعريف: $eg = g = ge$ ، حيث $e$ هو العنصر المحايد؛
إذا كان $x$ و $y$ في $Z(G) ، فإن$ $xy$ كذلك ، حسب خاصية التجميع: $(xy) g = x (yg) = x (gy) = (xg) y = (gx) y = g (xy)$ لكل $g \in G$ ؛ أي أن $Z(G)$ مغلقة؛
إذا كان $x$ ينتمي إلى $Z(G)$ ، فإن $x -1$ ينتمي أيضًا إلى Z(G) ، لأنه بالنسبة لجميع $g$ في $G$ ، فإن $x -1$ يتبادل مع $g$ : $(gx = xg) \Rightarrow (x -1 gxx -1 = x -1 xgx -1) \Rightarrow (x -1 g = gx -1)$ .

علاوة على ذلك، فإن مركز $G$ هو دائمًا زمرة جزئية تبديلية وطبيعية من $G.$ وبما أن جميع عناصر $Z($ $G$ $)$ تتبادل، فإنها مغلقة تحت الاقتران .

قد لا يقتصر تماثل المجموعة $f : G \to H$ على التماثل بين مركزيهما. تتبادل عناصر الصورة $f (g)$ مع الصورة $f (G)$ ، لكنها لا تتبادل بالضرورة مع جميع عناصر $H$ إلا إذا كانت $f$ شاملة. وبالتالي، فإن تطبيق المركز $G\to Z(G)$ ليس عاملاً بين الفئتين Grp و Ab، لأنه لا يؤدي إلى إنشاء خريطة من الأسهم.

فئات الاقتران والمركزات

بحسب التعريف، يكون العنصر مركزيًا عندما تحتوي فئة الاقتران الخاصة به على العنصر نفسه فقط؛ أي $Cl(g) = {g}$ .

المركز هو نقطة تقاطع جميع العناصر المركزية للمجموعة $G$ :

$Z(G)=\bigcap _{g\in G}Z_{G}(g).$

وبما أن المجموعات المركزية هي مجموعات فرعية، فإن هذا يدل مرة أخرى على أن المركز هو مجموعة فرعية.

اقتران

لنعتبر التطبيق $f : G \to Aut(G)$ ، من $G$ إلى مجموعة التشاكلات الذاتية لـ $G$ المعرفة بواسطة $f (g) = ϕ g$ ، حيث $ϕ g$ هو التشاكل الذاتي لـ $G$ المعرف بواسطة

f (g)(h) = ϕ g (h) = ghg ​​-1

.

الدالة $f$ هي تشاكل زمر ، ونواتها هي مركز $G$ تحديدًا ، وصورتها تسمى زمرة التشاكل الذاتي الداخلي لـ $G$ ، ويرمز لها بـ $Inn($ $G$ $)$ . وبحسب نظرية التشاكل الأولى ، نحصل على:

G /Z(G) ≃ Inn(G)

.

النواة المشتركة لهذه الخريطة هي مجموعة $Out(G)$ من التشاكلات الخارجية ، وهذه تشكل المتتالية التامة

1 ⟶ Z(G) ⟶ G ⟶ Aut(G) ⟶ Out(G) ⟶ 1

.

أمثلة

مركز المجموعة الأبيلية ، $G$ ، هو كل $G.$
مركز مجموعة هايزنبرغ ، $H$ ، هو مجموعة المصفوفات التي تأخذ الشكل التالي: ${\begin{pmatrix}1&0&z\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
مركز المجموعة البسيطة غير التبديلية هو مركز تافه.
يكون مركز المجموعة ثنائية السطوح ، $D n$ ، تافهاً بالنسبة للأعداد الفردية $n \geq 3.$ أما بالنسبة للأعداد الزوجية $n \geq 4$ ، فيتكون المركز من عنصر الوحدة بالإضافة إلى دوران المضلع بزاوية 180 درجة .
مركز مجموعة الكواترنيون ، $Q 8 = {1, -1, i, -i, j, -j, k, -k}$ ، هو ${1, -1}$ .
مركز المجموعة المتناظرة ، $S n$ ، هو تافه بالنسبة لـ $n \geq 3$ .
مركز المجموعة المتناوبة ، $A n$ ، يكون تافهاً بالنسبة $لـ n \geq 4$ .
مركز المجموعة الخطية العامة على حقل $F$ ، $GL n (F)$ ، هو مجموعة المصفوفات العددية ، ${ sI n ∣ s ∈ F \ {0} }$ .
مركز المجموعة المتعامدة ، $O n (F)$ هو ${I n ، -I n}$ .
مركز المجموعة المتعامدة الخاصة SO $(n)$ هو المجموعة بأكملها عندما $n = 2$ ، وإلا ${I n, -I n}$ عندما يكون n زوجيًا، وتافه عندما يكون n فرديًا.
مركز المجموعة الموحدة ، $U(n)$ يكون $\left\{e^{i\theta }\cdot I_{n}\mid \theta \in [0,2\pi )\right\}$ .
مركز المجموعة الوحدوية الخاصة ، $\operatorname {SU} (n)$ يكون ${\textstyle \left\lbrace e^{i\theta }\cdot I_{n}\mid \theta ={\frac {2k\pi }{n}},k=0,1,\dots ,n-1\right\rbrace }$ .
مركز المجموعة الضربية للأعداد الرباعية غير الصفرية هو المجموعة الضربية للأعداد الحقيقية غير الصفرية .
باستخدام معادلة الفئة ، يمكن إثبات أن مركز أي مجموعة p منتهية غير تافهة هو غير تافه.
إذا كانت مجموعة القسمة $G /Z(G)$ دورية ، فإن $G$ تبديلية (وبالتالي $G = Z(G)$ ، لذا فإن $G /Z(G)$ تافهة).
يتكون مركز مجموعة مكعب روبيك من عنصرين: العنصر المحايد (أي الحالة المحلولة) وعنصر الانقلاب الفائق . أما مركز مجموعة مكعب الجيب فهو عنصر تافه.
مركز مجموعة ميغامينكس له رتبة 2، ومركز مجموعة كيلومينكس تافه.

المراكز العليا

ينتج عن القسمة على مركز المجموعة سلسلة من المجموعات تسمى السلسلة المركزية العليا :

(G₀ = G) ⟶ (G₁ = G₀ / Z (G₀)) ⟶ (G₂ = G₁ / Z(G₁)) ⟶ \dots

نواة التطبيق $G \to G i$ هي المركز $i$ ^{[ 1 ]} للمجموعة $G$ ( المركز الثاني ، المركز الثالث ، إلخ)، ويُرمز لها بـ $Z i (G)$ . ^{[ 2 ]} تحديدًا، يتألف المركز ( $i +1$ ) من العناصر التي تتبادل مع جميع العناصر حتى عنصر واحد من المركز $i$ . بناءً على هذا التعريف، يمكن تعريف المركز 0 للمجموعة بأنه المجموعة الجزئية المحايد. ويمكن تعميم هذا التعريف على المجموعات الترتيبية المتسامية بالاستقراء المتسامي ؛ ويُسمى اتحاد جميع المراكز الأعلى بالمركز الفائق . ^{[ ملاحظة 1 ]}

سلسلة المجموعات الفرعية الصاعدة

1 \leq Z(G) \leq Z2 (G) \leq \dots

يستقر عند i (بصورة مكافئة، $Z i (G) = Z i+1 (G)$ ) إذا وفقط إذا كان $G i$ بلا مركز.

أمثلة

بالنسبة لمجموعة بلا مركز، تكون جميع المراكز العليا صفرًا، وهي حالة $Z 0 (G) = Z 1 (G)$ من الاستقرار.
بحسب مبرهنة غرون ، فإن خارج قسمة زمرة كاملة على مركزها هو زمرة بلا مركز، وبالتالي $فإن$ جميع المراكز الأعلى تساوي المركز. هذه حالة استقرار عند $Z₁ (G) = Z₂ (G)$ .

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ سيشمل هذا الاتحاد حدودًا غير محدودة إذا لم يستقر نظام التحكم الموحد عند مرحلة محدودة.

مراجع

فرالي ، جون ب. (2014). الدورة الأولى في الجبر التجريدي (7 ed.). بيرسون. رقم ISBN 978-1-292-02496-7.

روابط خارجية

"مركز المجموعة" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]

↑ إليس، غراهام (1 فبراير 1998). "حول الزمر ذات خارج القسمة المركزي العلوي المحدود عديم القوة" . أرشيف الرياضيات . 70 (2): 89-96 . doi : 10.1007/s000130050169 . ISSN 1420-8938 .
↑ إليس، غراهام (1 فبراير 1998). "حول الزمر ذات خارج القسمة المركزي العلوي المحدود عديم القوة" . أرشيف الرياضيات . 70 (2): 89-96 . doi : 10.1007/s000130050169 . ISSN 1420-8938 .

[3] سيشمل هذا الاتحاد حدودًا غير محدودة إذا لم يستقر نظام التحكم الموحد عند مرحلة محدودة.

[1] إليس، غراهام (1 فبراير 1998). "حول الزمر ذات خارج القسمة المركزي العلوي المحدود عديم القوة" . أرشيف الرياضيات . 70 (2): 89-96 . doi : 10.1007/s000130050169 . ISSN 1420-8938 .

[2] إليس، غراهام (1 فبراير 1998). "حول الزمر ذات خارج القسمة المركزي العلوي المحدود عديم القوة" . أرشيف الرياضيات . 70 (2): 89-96 . doi : 10.1007/s000130050169 . ISSN 1420-8938 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ ملاحظة 1 ]