كثافة حاملات الشحنة

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 29 صور
الموسوعة الحرة

كثافة حاملات الشحنة ، والمعروفة أيضًا بتركيز الحاملات ، تُشير إلى عدد حاملات الشحنة لكل وحدة حجم . في النظام الدولي للوحدات ، تُقاس بوحدة متر مكعب (م⁻³ ) . وكما هو الحال مع أي كثافة ، فإنها من حيث المبدأ قد تعتمد على الموقع. ومع ذلك، يُعطى تركيز الحاملات عادةً كرقم واحد، ويمثل متوسط ​​كثافة الحاملات في المادة بأكملها.

تتضمن كثافات حاملات الشحنة معادلات تتعلق بالتوصيل الكهربائي ، والظواهر ذات الصلة مثل التوصيل الحراري ، والروابط الكيميائية مثل الرابطة التساهمية .

حساب

عادة ما يتم الحصول على كثافة الناقل نظريًا عن طريق تكامل كثافة الحالات على مدى طاقة حاملات الشحنة في المادة (على سبيل المثال التكامل على نطاق التوصيل للإلكترونات، والتكامل على نطاق التكافؤ للثقوب).

إذا عُرف العدد الإجمالي لحاملات الشحنة، يُمكن إيجاد كثافة الحاملات ببساطة عن طريق القسمة على الحجم. ولتوضيح ذلك رياضيًا، فإن كثافة حاملات الشحنة هي كثافة جسيمات ، لذا فإن تكاملها على الحجم يُحقق تكاملًا رياضيًا.V{\displaystyle V}يُعطي عدد حاملات الشحنةشمال{\displaystyle N}في ذلك المجلد شمال=∫Vن(ر)دV.{\displaystyle N=\int _{V}n(\mathbf {r} )\,dV.} أينن(ر){\displaystyle n(\mathbf {r} )}هي كثافة حاملات الشحنة التي تعتمد على الموضع.

إذا كانت الكثافة لا تعتمد على الموضع، بل تساوي قيمة ثابتةن0{\displaystyle n_{0}}تُبسط هذه المعادلة إلى شمال=V⋅ن0.{\displaystyle N=V\cdot n_{0}.}

أشباه الموصلات

تُعد كثافة حاملات الشحنة مهمة لأشباه الموصلات ، حيث تُمثل كميةً أساسيةً في عملية التطعيم الكيميائي . وباستخدام نظرية النطاقات ، فإن كثافة الإلكتروناتن0{\displaystyle n_{0}}يمثل عدد الإلكترونات لكل وحدة حجم في نطاق التوصيل. أما بالنسبة للفجوات،ص0{\displaystyle p_{0}}يمثل عدد الثقوب لكل وحدة حجم في نطاق التكافؤ. ولحساب هذا العدد للإلكترونات، يُفترض أن الكثافة الكلية لإلكترونات نطاق التوصيل هين0{\displaystyle n_{0}}يتم تحديدها من خلال مجموع كثافات إلكترونات التوصيل عبر الطاقات المختلفة في النطاق، بدءًا من أسفل النطاق.هـج{\displaystyle E_{c}}إلى قمة الفرقةهـقمة{\displaystyle E_{\text{top}}}.

ن0=∫هـجهـقمةشمال(هـ)دهـ{\displaystyle n_{0}=\int _{E_{c}}^{E_{\text{top}}}N(E)\,dE}

لأن الإلكترونات هي فرميونات ، فإن كثافة إلكترونات التوصيل عند أي طاقة معينة،شمال(هـ){\displaystyle N(E)}هو ناتج كثافة الحالات ،ز(هـ){\displaystyle g(E)}أو كم عدد الحالات الموصلة الممكنة، مع توزيع فيرمي-ديراك ،و(هـ){\displaystyle f(E)}وهذا يوضح لنا نسبة تلك الحالات التي ستحتوي بالفعل على إلكترونات. شمال(هـ)=ز(هـ)و(هـ){\displaystyle N(E)=g(E)f(E)}

لتبسيط الحساب، بدلاً من معاملة الإلكترونات كجسيمات فرميونية وفقًا لتوزيع فيرمي-ديراك، نعاملها بدلاً من ذلك كغاز كلاسيكي غير متفاعل، وهو ما يُعطى بتوزيع ماكسويل-بولتزمان . هذا التقريب له تأثيرات ضئيلة عندما تكون القيمة|هـ-هـو|≫كبتي{\displaystyle |E-E_{f}|\gg k_{\text{B}}T}وهذا صحيح بالنسبة لأشباه الموصلات القريبة من درجة حرارة الغرفة. لكن هذا التقريب غير صالح عند درجات الحرارة المنخفضة جدًا أو عند فجوة نطاق طاقة صغيرة للغاية.

و(هـ)=11+هـهـ-هـوكبتي≈هـ-هـ-هـوكبتي{\displaystyle f(E)={\frac {1}{1+e^{\frac {E-E_{f}}{k_{\text{B}}T}}}}\approx e^{-{\frac {E-E_{f}}{k_{\text{B}}T}}}}

كثافة الحالات ثلاثية الأبعاد هي:ز(هـ)=12π2(2م*ℏ2)32هـ-هـ0{\displaystyle g(E)={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\left({\frac {2m^{*}}{\hbar ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {E-E_{0}}}}

بعد الجمع والتبسيط، تؤدي هذه التعبيرات إلى:

ن0=2(م*كبتي2πℏ2)3/2هـ-هـج-هـوكبتي{\displaystyle n_{0}=2\left({\frac {m^{*}k_{\text{B}}T}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{3/2}e^{-{\frac {E_{c}-E_{f}}{k_{\text{B}}T}}}}

هنام*{\displaystyle m^{*}}تمثل الكتلة الفعالة للإلكترونات في ذلك شبه الموصل المحدد، والكميةهـج-هـو{\displaystyle E_{c}-E_{f}}يمثل الفرق في الطاقة بين نطاق التوصيل ومستوى فيرمي ، وهو نصف فجوة النطاق.هـز{\displaystyle E_{g}}:

هـز=2(هـج-هـو){\displaystyle E_{g}=2(E_{c}-E_{f})}

يمكن اشتقاق تعبير مماثل للفجوات. ويمكن حساب تركيز حاملات الشحنة بمعاملة الإلكترونات التي تتحرك ذهابًا وإيابًا عبر فجوة النطاق تمامًا كما في حالة توازن تفاعل كيميائي عكسي، مما يؤدي إلى قانون فعل الكتلة الإلكتروني . ويحدد قانون فعل الكتلة كميةنأنا{\displaystyle n_{i}}يُطلق عليه تركيز الناقلات الجوهري، والذي بالنسبة للمواد غير المشوبة:

نأنا=ن0=ص0{\displaystyle n_{i}=n_{0}=p_{0}}

يسرد الجدول التالي بعض قيم تركيز الناقلات الجوهرية لأشباه الموصلات الجوهرية ، مرتبة حسب زيادة فجوة النطاق.

مادةكثافة حاملات الشحنة (1/سم³ ) عند 300 كلفن
الجرمانيوم [ 1 ]2.33 × 10 13
السيليكون [ 2 ]9.65 × 10 9
زرنيخيد الغاليوم [ 3 ]2.1 × 10 6
3C-SiC [ 4 ]1.0 × 10 1
6H-SiC [ 4 ]2.3 × 10 −6
4H-SiC [ 4 ]8.2 × 10 −9
نتريد الغاليوم [ 4 ]1.9 × 10 −10
الألماس [ 4 ]1.6 × 10 −27

ستتغير تركيزات حاملات الشحنة هذه عند تطعيم هذه المواد. على سبيل المثال، يؤدي تطعيم السيليكون النقي بكمية صغيرة من الفوسفور إلى زيادة كثافة حاملات الإلكترونات ( n) . وبما أن n > p ، فإن السيليكون المُطعم سيكون شبه موصل خارجي من النوع n . وبالمثل، يؤدي تطعيم السيليكون النقي بكمية صغيرة من البورون إلى زيادة كثافة حاملات الفجوات ( p > n) ، وبالتالي سيكون شبه موصل خارجي من النوع p.

المعادن

ينطبق مفهوم كثافة حاملات الشحنة أيضًا على المعادن ، حيث يمكن تقديره باستخدام نموذج درود البسيط . في هذه الحالة، يمكن تقدير كثافة حاملات الشحنة (والتي تُسمى أيضًا كثافة الإلكترونات الحرة) باستخدام المعادلة التالية: [ 5 ]

ن=شمالأZρممأ{\displaystyle n={\frac {N_{\text{A}}Z\rho _{m}}{m_{a}}}}

أينشمالأ{\displaystyle N_{\text{A}}}هو ثابت أفوجادرو ، وZ هو عدد إلكترونات التكافؤ .ρم{\displaystyle \rho _{m}}هي كثافة المادة، ومأ{\displaystyle m_{a}}الكتلة الذرية . بما أن المعادن يمكن أن تُظهر أرقام أكسدة متعددة ، فإن التعريف الدقيق لعدد "إلكترونات التكافؤ" التي يجب أن يمتلكها العنصر في شكله العنصري هو تعريف تعسفي إلى حد ما، ولكن الجدول التالي يسرد كثافات الإلكترونات الحرة الواردة في Ashcroft و Mermin ، والتي تم حسابها باستخدام الصيغة أعلاه بناءً على افتراضات معقولة حول التكافؤ.Z{\displaystyle Z}وبكثافات الكتلة،ρم{\displaystyle \rho _{m}}تم حسابها من بيانات علم البلورات التجريبية . [ 5 ]

مادةعدد إلكترونات التكافؤكثافة حاملات الشحنة (1/سم³ ) عند 300 كلفن
نحاس18.47 × 10 22
فضي15.86 × 10 22
ذهب15.90 × 10 22
البريليوم22.47 × 10 23
المغنيسيوم28.61 × 10 22
الكالسيوم24.61 × 10 22
السترونتيوم23.55 × 10 22
الباريوم23.15 × 10 22
النيوبيوم15.56 × 10 22
حديد21.70 × 10 23
المنغنيز21.65 × 10 23
الزنك21.32 × 10 23
الكادميوم29.27 × 10 22
الألومنيوم31.81 × 10 23
الغاليوم31.54 × 10 23
الإنديوم31.15 × 10 23
الثاليوم31.05 × 10 23
القصدير41.48 × 10 23
يقود41.32 × 10 23
البزموت51.41 × 10 17
الأنتيمون51.65 × 10 23

غالبًا ما تكون قيم n بين المعادن المستنتجة على سبيل المثال من خلال تأثير هول على نفس رتبة المقدار، ولكن هذا النموذج البسيط لا يمكنه التنبؤ بكثافة الناقل بدقة عالية جدًا.

قياس

يمكن تحديد كثافة حاملات الشحنة في كثير من الحالات باستخدام تأثير هول ، [ 6 ] الذي يعتمد جهده عكسيًا على كثافة الحاملات.

مراجع

  1. ↑ أ. ماديلونغ، يو. روسلر، م. شولز (2002). "الجرمانيوم (Ge)، تركيز حاملات الشحنة الذاتية". عناصر المجموعة الرابعة، مركبات IV-IV وIII-V. الجزء ب - الخصائص الإلكترونية، والنقل، والبصرية، وغيرها . لاندولت-بورنشتاين - المادة المكثفة للمجموعة الثالثة. الصفحات 1-3 . doi : 10.1007/10832182_503 . ISBN  978-3-540-42876-3.{{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
  2. ↑ بيترو ب. ألترمان، أندرياس شينك، فرانك جيلهار، جيرنوت هايزر (2003). "إعادة تقييم كثافة حاملات الشحنة الذاتية في السيليكون البلوري في ضوء تضييق فجوة النطاق". مجلة الفيزياء التطبيقية . 93 (3): 1598. Bibcode : 2003JAP....93.1598A . doi : 10.1063/1.1529297 . hdl : 1959.4/39855 .{{cite journal}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
  3. ↑ روسلر، يو. (2002). "زرنيخيد الغاليوم (GaAs)، تركيز حاملات الشحنة الذاتية، الموصلية الكهربائية والحرارية". عناصر المجموعة الرابعة، مركبات IV-IV وIII-V. الجزء ب - الخصائص الإلكترونية، والنقل، والبصرية، وغيرها . لاندولت-بورنشتاين - المادة المكثفة للمجموعة الثالثة. الصفحات 1-8 . doi : 10.1007/10832182_196 . ISBN  978-3-540-42876-3.
  4. 1 2 3 4 5 غاتشوفسكا، تانيا ك.؛ هودجينز، جيري ل. (2018). "أجهزة أشباه الموصلات من السيليكون كاربيد ونيتريد الغاليوم". دليل إلكترونيات الطاقة . إلسيفير. ص 98. doi : 10.1016/b978-0-12-811407-0.00005-2 . ISBN  9780128114070.
  5. 1 2 آش كروفت، ميرمين. فيزياء الحالة الصلبة . ص 4-5 . 
  6. ↑ إدوين هول ( 1879). "حول تأثير جديد للمغناطيس على التيارات الكهربائية" . المجلة الأمريكية للرياضيات . 2 (3): 287-292 . doi : 10.2307/2369245 . JSTOR 2369245. S2CID 107500183. مؤرشف من الأصل في 27 يوليو 2011.