قانون الغاز المثالي

أكثر الأشكال استخداماً هي:$${\displaystyle pV=nRT=nk_{\text{B}}N_{\text{A}}T=Nk_{\text{B}}T}$$أين:

• ${\displaystyle p}$هو الضغط المطلق للغاز،
• ${\displaystyle V}$حجم الغاز ،
• ${\displaystyle n}$هي كمية المادة الغازية (وتُعرف أيضاً بعدد المولات)،
• ${\displaystyle R}$ثابت الغاز المثالي، أو العالمي، يساوي حاصل ضرب ثابت بولتزمان وثابت أفوجادرو .
• ${\displaystyle k_{\text{B}}}$هو ثابت بولتزمان ،
• ${\displaystyle N_{A}}$هو ثابت أفوجادرو ،
• ${\displaystyle T}$هي درجة الحرارة المطلقة للغاز،
• ${\displaystyle N}$هو عدد الجسيمات (عادة الذرات أو الجزيئات) للغاز.

في نظام الوحدات الدولي ، يُقاس الضغط (p) بالباسكال ، والحجم (V) بالمتر المكعب ، وعدد المولات (n ) بالمول ، ودرجة الحرارة ( T) بالكلفن ( مقياس كلفن هو مقياس سيليزيوس مُزاح ، حيث 0 كلفن = -273.15 درجة مئوية، وهي أدنى درجة حرارة ممكنة ). تبلغ قيمة R 8.314 جول /( مول · كلفن ) = 1.989 ≈ 2 كالوري /(مول·كلفن)، أو 0.0821 لتر· ضغط جوي /(مول·كلفن). 

يمكن تحديد كمية الغاز الموجودة بتحديد كتلته بدلاً من كميته الكيميائية. لذا، قد يكون من المفيد استخدام صيغة بديلة لقانون الغاز المثالي. الكمية الكيميائية، n (بالمولات)، تساوي الكتلة الكلية للغاز ( m ) (بالكيلوغرامات) مقسومة على الكتلة المولية ، M (بالكيلوغرامات لكل مول).

${\displaystyle n={\frac {m}{M}}.}$

باستبدال n بـ m / M ثم إدخال الكثافة ρ = m / V ، نحصل على:

${\displaystyle pV={\frac {m}{M}}RT}$

${\displaystyle p={\frac {m}{V}}{\frac {RT}{M}}}$

${\displaystyle p=\rho {\frac {R}{M}}T}$

بتعريف ثابت الغاز النوعي R _النوعي على أنه النسبة R / M ،

${\displaystyle p=\rho R_{\text{specific}}T.}$

يُعدّ هذا الشكل من قانون الغاز المثالي مفيدًا للغاية لأنه يربط الضغط والكثافة ودرجة الحرارة في صيغة فريدة مستقلة عن كمية الغاز المدروس. وبدلاً من ذلك، يمكن كتابة القانون بدلالة الحجم النوعي v ، وهو مقلوب الكثافة، كما يلي:

${\displaystyle pv=R_{\text{specific}}T.}$

من الشائع، خاصة في التطبيقات الهندسية والأرصادية، تمثيل ثابت الغاز النوعي بالرمز R. في مثل هذه الحالات، يُعطى ثابت الغاز العام عادةً رمزًا مختلفًا مثل${\displaystyle {\bar {R}}}$أو${\displaystyle R^{*}}$لتمييزه. على أي حال، ينبغي أن يوضح السياق و/أو وحدات ثابت الغاز ما إذا كان يتم استخدام ثابت الغاز العام أو الخاص. ^{[ 5 ]}

في الميكانيكا الإحصائية ، يتم اشتقاق المعادلة الجزيئية التالية (أي قانون الغاز المثالي في شكله النظري) من المبادئ الأساسية:

${\displaystyle p=nk_{\text{B}}T,}$

حيث p هو الضغط المطلق للغاز، و n هي الكثافة العددية للجزيئات (المعطاة بنسبة n = N / V ، على عكس الصيغة السابقة التي يكون فيها n هو عدد المولات )، و T هي درجة الحرارة المطلقة ، و k _B هو ثابت بولتزمان الذي يربط درجة الحرارة والطاقة، ويعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle k_{\text{B}}={\frac {R}{N_{\text{A}}}}}$

حيث N _A هو ثابت أفوجادرو . ويمكن تبسيط الصيغة أكثر بتعريف الطاقة الحركية المقابلة لدرجة الحرارة:

${\displaystyle T:=k_{\text{B}}T,}$

لذا فإن قانون الغاز المثالي يُعبَّر عنه ببساطة على النحو التالي:

${\displaystyle p=n\,T.}$

نلاحظ من ذلك أنه بالنسبة لغاز كتلته m ، بمتوسط ​​كتلة جسيمات يساوي μ مضروبًا في ثابت الكتلة الذرية ، m _u ، (أي أن الكتلة μ Da )، فإن عدد الجزيئات يُعطى بالعلاقة التالية: 

${\displaystyle N={\frac {m}{\mu m_{\text{u}}}},}$

وبما أن ρ = m / V = ​​nμm _u ، نجد أن قانون الغاز المثالي يمكن إعادة كتابته على النحو التالي

${\displaystyle p={\frac {1}{V}}{\frac {m}{\mu m_{\text{u}}}}k_{\text{B}}T={\frac {k_{\text{B}}}{\mu m_{\text{u}}}}\rho T.}$

في وحدات النظام الدولي للوحدات، يُقاس الضغط (p) بالباسكال ، والحجم (V) بالمتر المكعب، _ودرجة الحرارة (T) بالكلفن، و kB =1.38 × 10 ⁻²³  J⋅K ⁻¹ بوحدات النظام الدولي للوحدات .

بدمج قوانين شارل وبويل وجاي-لوساك، نحصل على قانون الغازات الموحد ، الذي يمكن أن يتخذ نفس الشكل الوظيفي لقانون الغاز المثالي. لا يحدد هذا الشكل عدد المولات، ونسبة${\displaystyle PV}$ل${\displaystyle T}$يتم اعتبارها ببساطة ثابتة: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k,}$

أين${\displaystyle P}$هو ضغط الغاز،${\displaystyle V}$حجم الغاز ،${\displaystyle T}$هي درجة الحرارة المطلقة للغاز، و${\displaystyle k}$هو ثابت. والأكثر شيوعاً، عند مقارنة نفس المادة في ظل مجموعتين مختلفتين من الظروف، يُكتب القانون على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {P_{1}V_{1}}{T_{1}}}={\frac {P_{2}V_{2}}{T_{2}}}.}$

تم اكتشاف القوانين التجريبية التي أدت إلى اشتقاق قانون الغاز المثالي من خلال تجارب غيرت متغيرين فقط من متغيرات حالة الغاز وحافظت على ثبات كل متغير آخر.

جميع قوانين الغازات المحتملة التي كان من الممكن اكتشافها باستخدام هذا النوع من الإعداد هي:

• قانون بويل ( المعادلة 1 )$${\displaystyle PV=C_{1}\quad {\text{or}}\quad P_{1}V_{1}=P_{2}V_{2}}$$
• قانون شارل ( المعادلة 2 )$${\displaystyle {\frac {V}{T}}=C_{2}\quad {\text{or}}\quad {\frac {V_{1}}{T_{1}}}={\frac {V_{2}}{T_{2}}}}$$
• قانون أفوجادرو ( المعادلة 3 )$${\displaystyle {\frac {V}{N}}=C_{3}\quad {\text{or}}\quad {\frac {V_{1}}{N_{1}}}={\frac {V_{2}}{N_{2}}}}$$
• قانون جاي-لوساك ( المعادلة 4 )$${\displaystyle {\frac {P}{T}}=C_{4}\quad {\text{or}}\quad {\frac {P_{1}}{T_{1}}}={\frac {P_{2}}{T_{2}}}}$$
• المعادلة 5$${\displaystyle NT=C_{5}\quad {\text{or}}\quad N_{1}T_{1}=N_{2}T_{2}}$$
• المعادلة 6$${\displaystyle {\frac {P}{N}}=C_{6}\quad {\text{or}}\quad {\frac {P_{1}}{N_{1}}}={\frac {P_{2}}{N_{2}}}}$$

حيث يرمز P إلى الضغط ، وV إلى الحجم ، وN إلى عدد الجسيمات في الغاز، و T إلى درجة الحرارة ؛ حيث${\displaystyle C_{1},C_{2},C_{3},C_{4},C_{5},C_{6}}$تعتبر ثوابت في هذا السياق لأن كل معادلة تتطلب فقط تغيير المعلمات المذكورة صراحة فيها.

لاستنتاج قانون الغاز المثالي، لا يحتاج المرء إلى معرفة جميع الصيغ الست، بل يمكنه معرفة ثلاث منها فقط، ومن خلالها يستنتج الباقي، أو صيغة واحدة إضافية فقط ليتمكن من الحصول على قانون الغاز المثالي، الذي يتطلب أربع صيغ.

بما أن كل صيغة لا تصح إلا عندما تتغير متغيرات الحالة الداخلة فيها فقط، بينما تبقى المتغيرات الأخرى (وهي خصائص للغاز ولكنها غير مذكورة صراحةً في الصيغة) ثابتة، فلا يمكننا ببساطة استخدام الجبر ودمجها جميعًا مباشرةً. والسبب هو أن بويل أجرى تجاربه مع تثبيت N و T، ويجب أخذ ذلك في الحسبان (وبالمثل، حافظت كل تجربة على ثبات أحد المعاملات، ويجب مراعاة ذلك عند الاشتقاق).

مع الأخذ في الاعتبار ما سبق، ولإتمام الاشتقاق بشكل صحيح، يجب تخيل الغاز وهو يتغير بعملية واحدة في كل مرة (كما تم في التجارب). ويمكن أن يبدو الاشتقاق باستخدام أربع معادلات كما يلي:

في البداية، يكون للغاز خصائص معينة${\displaystyle P_{1},V_{1},N_{1},T_{1}.}$

لنفترض أننا بدأنا بتغيير الضغط والحجم فقط، وفقًا لقانون بويل ( المعادلة 1 )، إذن:

$${\displaystyle P_{1}V_{1}=P_{2}V_{2}.}$$

7

بعد هذه العملية، يصبح للغاز خصائص معينة${\displaystyle P_{2},V_{2},N_{1},T_{1}.}$

باستخدام المعادلة ( 5 ) لتغيير عدد الجسيمات في الغاز ودرجة الحرارة،

$${\displaystyle N_{1}T_{1}=N_{2}T_{2}.}$$

8

بعد هذه العملية، يصبح للغاز خصائص معينة${\displaystyle P_{2},V_{2},N_{2},T_{2}.}$

باستخدام المعادلة ( 6 ) لتغيير الضغط وعدد الجسيمات،

$${\displaystyle {\frac {P_{2}}{N_{2}}}={\frac {P_{3}}{N_{3}}}.}$$

9

بعد هذه العملية، يصبح للغاز خصائص معينة${\displaystyle P_{3},V_{2},N_{3},T_{2}.}$

ثم باستخدام قانون شارل (المعادلة 2) لتغيير حجم ودرجة حرارة الغاز،

$${\displaystyle {\frac {V_{2}}{T_{2}}}={\frac {V_{3}}{T_{3}}}.}$$

10

بعد هذه العملية، يصبح للغاز خصائص معينة${\displaystyle P_{3},V_{3},N_{3},T_{3}}$

باستخدام الجبر البسيط على المعادلات ( 7 ) و( 8 ) و( 9 ) و( 10 ) نحصل على النتيجة التالية: $${\displaystyle {\frac {P_{1}V_{1}}{N_{1}T_{1}}}={\frac {P_{3}V_{3}}{N_{3}T_{3}}}}$$أو$${\displaystyle {\frac {PV}{NT}}=k_{\text{B}},}$$أين${\displaystyle k_{\text{B}}}$يرمز إلى ثابت بولتزمان .

نتيجة مكافئة أخرى، باستخدام حقيقة أن${\displaystyle nR=Nk_{\text{B}}}$، حيث n هو عدد المولات في الغاز و R هو ثابت الغازات العام ، هو: $${\displaystyle PV=nRT,}$$وهو ما يُعرف بقانون الغاز المثالي.

إذا عُرفت ثلاث من المعادلات الست، فمن الممكن استنتاج المعادلات الثلاث المتبقية باستخدام الطريقة نفسها. مع ذلك، ولأن كل معادلة تحتوي على متغيرين، فإن هذا ممكن فقط لمجموعات محددة من ثلاث معادلات. على سبيل المثال، إذا كانت لديك المعادلات ( 1 ) و( 2 ) و( 4 )، فلن تتمكن من استنتاج المزيد لأن دمج أي معادلتين منها سيعطيك المعادلة الثالثة فقط. أما إذا كانت لديك المعادلات ( 1 ) و( 2 ) و( 3 )، فستتمكن من استنتاج المعادلات الست جميعها، لأن دمج ( 1 ) و( 2 ) سيعطي المعادلة ( 4 )، ثم دمج ( 1 ) و( 3 ) سيعطي المعادلة ( 6 )، ثم دمج ( 4 ) و( 6 ) سيعطي المعادلة ( 5 )، وكذلك الحال مع دمج ( 2 ) و( 3 )، كما هو موضح في الرسم التوضيحي التالي:

حيث تمثل الأرقام قوانين الغاز المرقمة أعلاه.

إذا استخدمت نفس الطريقة المستخدمة أعلاه على اثنين من القوانين الثلاثة على رؤوس مثلث واحد يحتوي على حرف "O" بداخله، فستحصل على الثالث.

على سبيل المثال:

قم بتغيير الضغط والحجم أولاً فقط:

$${\displaystyle P_{1}V_{1}=P_{2}V_{2},}$$

1'

ثم الحجم ودرجة الحرارة فقط:

$${\displaystyle {\frac {V_{2}}{T_{1}}}={\frac {V_{3}}{T_{2}}},}$$

2'

ثم بما أننا نستطيع اختيار أي قيمة لـ${\displaystyle V_{3}}$إذا قمنا بتحديد${\displaystyle V_{1}=V_{3}}$تصبح المعادلة ( 2' ) كالتالي:

$${\displaystyle {\frac {V_{2}}{T_{1}}}={\frac {V_{1}}{T_{2}}}.}$$

3'

بدمج المعادلتين ( 1' ) و( 3' ) نحصل على${\displaystyle {\frac {P_{1}}{T_{1}}}={\frac {P_{2}}{T_{2}}}}$، وهي المعادلة ( 4 )، والتي لم نكن نعرف عنها شيئاً قبل هذا الاشتقاق.