احتكار ثنائي

في عام 1838، نشر أنطوان أوغستين كورنو كتابًا بعنوان "أبحاث في المبادئ الرياضية لنظرية الثروة"، حيث قدم وطوّر هذا النموذج لأول مرة. يُعرف احتكار كورنو الثنائي (أو منافسة كورنو)، كنموذج للمنافسة غير الكاملة، حيث تتنافس شركتان لهما دوال تكلفة متطابقة بمنتجات متجانسة في سياق ثابت، باسم منافسة كورنو . ^{[ 1 ]} يُظهر نموذج كورنو أن الشركتين تفترضان إنتاج بعضهما البعض وتعتبرانه كمية ثابتة، وتنتجان في شركتهما وفقًا لذلك. يعتمد نموذج احتكار كورنو الثنائي على الافتراضات التالية: ^{[ 2 ]}

• تختار كل شركة كمية الإنتاج بشكل مستقل
• تتخذ جميع الشركات هذا الخيار في وقت واحد.
• تُعتبر هياكل التكاليف الخاصة بالشركات معلومات عامة.

في هذا النموذج، تتنافس شركتان، تختار كل منهما كمية إنتاجها الخاصة، مع مواجهة تكاليف هامشية ومتوسطة ثابتة. ^{[ 3 ]} ويُحدد سعر السوق بمجموع إنتاج الشركتين.${\displaystyle P(Q)=a-bQ}$^{[ 4 ]} هي معادلة دالة الطلب في السوق.

• سوق يضم شركتين i = 1، 2 بتكلفة هامشية ثابتة c _i
• الطلب العكسي في السوق على سلعة متجانسة: P ( Q ) = a − bQ
• حيث Q هو مجموع مستويات إنتاج الشركتين _: Q = q1 ₊ q2
• تختار الشركات الكمية التي تنتجها في وقت واحد (لعبة ثابتة)
• الشركات تسعى إلى تحقيق أقصى قدر من الأرباح:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Pi _{1}(q_{1},q_{2})&=\left(P(q_{1}+q_{2})-c_{1}\right)*q_{1}\,,\\\Pi _{2}(q_{1},q_{2})&=\left(P(q_{1}+q_{2})-c_{2}\right)*q_{2}\end{aligned}}}$$

تُتبع العملية العامة للحصول على توازن ناش للعبة باستخدام أفضل دوال الاستجابة ، وذلك لاكتشاف توازن ناش لنموذج كورنو لدالة تكلفة ودالة طلب محددتين. توازن ناش لنموذج كورنو هو (${\textstyle q_{1}^{*},q_{2}^{*}}$) بحيث

بالنسبة لـ${\textstyle q_{1}^{*}}$،${\textstyle q_{2}^{*}}$يحل:

$$\displaystyle \begin{aligned}\operatorname {MAX} _{q1}\Pi _{1}(q_{1},q_{2}^{*})&=(P(q_{1}+q_{2}^{*})-c_{1})q_{1}\,,\\\operatorname {MAX} _{q2}\Pi _{2}(q_{1}^{*},q_{2})&=(P(q_{1}^{*}+q_{2})-c_{1})q_{2}\end{aligned}}}$$

بالنظر إلى الكمية المثلى للشركة الأخرى، تسعى كل شركة إلى تعظيم ربحها على حساب الطلب العكسي المتبقي. في حالة التوازن، لا تستطيع أي شركة زيادة أرباحها بتغيير مستوى إنتاجها. يُعدّ الشرطان الأولان اللذان يساويان الصفر أفضل استجابة . ^{[ 5 ]}

شكّل نموذج احتكار القلة لكورنو بدايةً لدراسة احتكارات القلة، وتحديدًا احتكار القلة، فضلًا عن توسيع نطاق أبحاث هياكل السوق، التي كانت تركز سابقًا على طرفي نقيض: المنافسة الكاملة والاحتكار. في نموذج احتكار القلة لكورنو، تختار الشركات كمية الإنتاج التي تنتجها في آنٍ واحد، مع الأخذ في الاعتبار كمية الإنتاج التي ينتجها منافسها. يعتمد ربح كل شركة على إجمالي الإنتاج الذي تنتجه الشركتان معًا، ويُحدد سعر السوق بمجموع إنتاجهما. يهدف كل شركة إلى تعظيم ربحها بالنظر إلى إنتاج الشركة الأخرى. تستمر هذه العملية حتى تصل الشركتان إلى توازن ناش، حيث لا يكون لدى أي منهما حافز لتغيير مستوى إنتاجها بالنظر إلى إنتاج الشركة الأخرى.

طُوِّرت مسابقة برتراند على يد عالم الرياضيات الفرنسي جوزيف لويس فرانسوا برتراند بعد بحثه في ادعاءات نموذج كورنو في كتابه "أبحاث في المبادئ الرياضية لنظرية الثروة، 1838". ^{[ 4 ]} وفقًا لنموذج كورنو، تستطيع الشركات في سوق احتكاري ثنائي الحفاظ على أسعار أعلى من التكلفة الحدية، وبالتالي تحقيق أرباح طائلة. ^{[ 6 ]} اعترض برتراند على هذا النموذج. ففي هذا الهيكل السوقي، لا تستطيع أي شركة اختيار سوى كميات كاملة، ولا تحصل أي شركة على أي عوائد عندما يتجاوز إجمالي الطلب حجم الكمية التي تتقاسمها مع الشركات الأخرى. دالة طلب السوق هي${\displaystyle Q(P)=a-bP}$. يشترك نموذج برتراند في افتراضات مماثلة لنموذج كورنو:

• شركتان
• منتجات متجانسة
• كلا الشركتين على دراية بمنحنى طلب السوق
• لكن على عكس نموذج كورنو، يفترض هذا النموذج أن الشركات لديها نفس التكلفة الحدية (MC). كما يفترض أن التكلفة الحدية ثابتة.

في نموذج برتراند، تتنافس شركتان في لعبة سعرية بدلاً من الإنتاج. تفترض كل منهما أن الأخرى لن تغير أسعارها استجابةً لتخفيضاتها. وعندما تستخدم الشركتان هذا المنطق، فإنهما ستصلان إلى توازن ناش .

• لنفترض وجود منافسة سعرية بين شركتين ( i = 1، 2 ) تبيعان سلعة متجانسة
• الطلب السوقي ذو الميل السالب D ( p ) ، حيث D ′ ( p ) < 0
• التكلفة الحدية الثابتة والمتماثلة c ₁ = c ₂ = c
• لعبة ثابتة: تحدد الشركات الأسعار في وقت واحد
• قاعدة ترشيد الطلب:

1. الشركة الأقل سعراً تفوز بجميع الطلبات بسعرها
2. إذا كانت الأسعار ثابتة، فإن كل شركة تحصل على نصف الطلب في السوق عند هذا السعر.

• أرباح الشركة i :${\textstyle \Pi _{i}=(p_{i}-c)D_{i}(p_{i},p_{j})}$

لنفترض أن سعر الاحتكار هو p ^{m ،}${\textstyle p^{m}=\اسم المشغل {argmax} _{p}(pc)D(p)}$

• أفضل استجابة للشركة i هي R _i ( p _j ) هي:

$${\displaystyle R_{i}(p_{j})={\begin{cases}p^{m},&{\text{if }}p_{j}>p^{m}\\p_{j}-c,&{\text{if }}c<p_{j}\leq p^{m}\\c,&{\text{if }}p_{j}\leq c\end{cases}}}$$

عندما تكون أسعار المنافسين أعلى من التكلفة، يكون لدى كل شركة حافز لخفض أسعارها عن المنافسين للحصول على كامل الطلب. أما إذا كانت أسعار المنافسين أقل من التكلفة، فإن الشركات تتكبد خسائر عند جذب الطلب؛ ويكون من الأفضل للشركة أن تبيع بسعر التكلفة. توازن ناش هو: السعر ₁ = السعر ₂ = التكلفة .

في ظل منافسة سعرية ثابتة مع منتجات متجانسة وتكلفة هامشية ثابتة ومتماثلة، تُسعّر الشركات منتجاتها عند مستوى التكلفة الهامشية ولا تحقق أي أرباح اقتصادية . على النقيض من نموذج كورنو، يفترض نموذج احتكار القلة لبرتراند أن الشركات تتنافس على السعر لا الكمية. تُحدد كل شركة سعرها في الوقت نفسه، متوقعةً أن الشركة الأخرى لن تُغير سعرها استجابةً لذلك. عندما تستخدم الشركتان هذا المنطق، فإنهما ستصلان إلى توازن ناش، حيث لا يكون لدى أي منهما حافز لتغيير سعرها نظرًا للسعر الذي حددته الشركة الأخرى. في هذا النموذج، تميل الشركات إلى تسعير منتجاتها عند مستوى تكلفتها الهامشية، مما يؤدي إلى أرباح اقتصادية صفرية، وهي ظاهرة تُعرف باسم مفارقة برتراند .