ديراك

التعريف العام لمادة ديراك هو نظام مادة مكثفة حيث يمكن وصف إثارات الجسيمات شبهية في الزمكان المنحني بواسطة معادلة ديراك المعممة:

${\displaystyle \left[i\hbar v_{\rm {D}}\gamma ^{a}e_{a}^{\mu }d_{\mu }(p)-mv_{\rm {D}}^{2}\right]\Psi =0.}$

في التعريف أعلاه${\displaystyle d_{\mu }}$يشير إلى متجه متغير يعتمد على${\displaystyle (d+1)}$الزخم ذو الأبعاد${\displaystyle p}$(${\displaystyle d}$فضاء${\displaystyle +1}$البعد الزمني)،${\displaystyle e_{a}^{\mu }}$هل يشير مصطلح "الفيربين" إلى انحناء الفضاء؟${\displaystyle m}$كتلة شبه الجسيم و${\displaystyle v_{\rm {D}}}$سرعة ديراك. لاحظ أنه بما أن معادلة ديراك في مادة ديراك تعطي النظرية الفعالة للجسيمات شبه الحقيقية، فإن الطاقة الناتجة عن حد الكتلة هي${\displaystyle mv_{\rm {D}}^{2}}$وليس كتلة السكون${\displaystyle mc^{2}}$من جسيم ضخم .${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$يشير إلى مجموعة من مصفوفات ديراك ، حيث يتم تحديد البنية من خلال علاقة التبادل المضاد.

${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=\eta ^{\mu \nu }I_{d}.}$

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$مقياس مينكوفسكي ذو التوقيع (+ - - -) و${\displaystyle I_{d}}$هو${\displaystyle d\times d}$مصفوفة الوحدة ذات الأبعاد n. في جميع المعادلات، يتم الجمع الضمني على${\displaystyle a}$و${\displaystyle \mu }$يُستخدم ( اتفاقية أينشتاين ). علاوة على ذلك،${\displaystyle \Psi }$هي دالة الموجة . السمة الموحدة لجميع مواد ديراك هي بنية المصفوفة للمعادلة التي تصف إثارات الجسيمات شبهية.

في الحد حيث${\displaystyle d_{\mu }(p)=D_{\mu }}$أي المشتقة المتغيرة ، نحصل على مادة ديراك التقليدية. ومع ذلك، يسمح هذا التعريف العام بوصف المادة ذات علاقات التشتت من الرتبة الأعلى وفي الزمكان المنحني طالما أن الهاميلتوني الفعال يُظهر بنية المصفوفة الخاصة بمعادلة ديراك .

تقع غالبية التجارب العملية لمادة ديراك حتى الآن في حدود${\displaystyle d_{\mu }(p)=D_{\mu }}$وبالتالي، فإن هذا يُعرّف مادة ديراك التقليدية التي تُوصف فيها الجسيمات شبه الحقيقية بمعادلة ديراك في الزمكان المنحني .

${\displaystyle \left[i\hbar v_{\rm {D}}\gamma ^{a}e_{a}^{\mu }D_{\mu }-mv_{\rm {D}}^{2}\right]\Psi =0.}$

هنا،${\displaystyle D_{\mu }}$يرمز إلى المشتقة المتغيرة . على سبيل المثال، بالنسبة للمقياس المسطح، تختلف طاقة جسيم ديراك الحر اختلافًا كبيرًا عن الطاقة الحركية الكلاسيكية حيث تتناسب الطاقة مع مربع الزخم:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Free~Dirac~particle:\;} E&=\pm {\sqrt {\hbar ^{2}v_{\rm {D}}^{2}\mathbf {k} ^{2}+m^{2}c^{4}}}\\\mathrm {Kinetic\;energy:\;} E&={\frac {m|\mathbf {v} |^{2}}{2}}={\frac {|\mathbf {k} |^{2}}{2m}}.\end{aligned}}}$

سرعة ديراك${\displaystyle v_{\rm {D}}}$يعطي تدرج${\displaystyle E-k}$التشتت عند الزخم الكبير${\displaystyle k}$،${\displaystyle m}$هي كتلة الجسيم أو الجسم. في حالة مادة ديراك عديمة الكتلة، مثل الجسيمات شبه الفرميونية في الجرافين أو أشباه المعادن من نوع فايل ، تكون علاقة الطاقة بالزخم خطية.

${\displaystyle E(\mathbf {k} )=\hbar v_{\rm {D}}|\mathbf {k} |}$

لذلك، تشمل مادة ديراك التقليدية جميع الأنظمة التي لها تقاطع خطي أو سلوك خطي في منطقة ما من علاقة الطاقة بالزخم. وتتميز هذه الأنظمة بخصائص تشبه حرف "X"، مائلة أو منحرفة أحيانًا، وأحيانًا أخرى بها فجوة بين الجزء العلوي والسفلي.${\displaystyle \vee }$وأقل${\displaystyle \wedge }$الأجزاء (التي تصبح نقاط تحولها مستديرة إذا كان أصل الفجوة مصطلح كتلة).

تتم مناقشة السمات العامة وبعض الأمثلة المحددة لمادة ديراك التقليدية في الأقسام التالية.

تتمتع مادة ديراك، وخاصة مادة ديراك الفرميونية، بإمكانيات هائلة للتطبيقات التكنولوجية. فعلى سبيل المثال، مُنحت جائزة نوبل في الفيزياء لعام 2010 لأندريه جيم وكونستانتين نوفوسيلوف "لتجاربهما الرائدة المتعلقة بمادة الجرافين". وجاء في البيان الصحفي الرسمي للأكاديمية الملكية السويدية للعلوم ^{[ 6 ]}

[...] باتت مجموعة واسعة من التطبيقات العملية ممكنة الآن، بما في ذلك ابتكار مواد جديدة وتصنيع إلكترونيات متطورة. ومن المتوقع أن تكون ترانزستورات الجرافين أسرع بكثير من ترانزستورات السيليكون الحالية، مما سيؤدي إلى حواسيب أكثر كفاءة.

بشكل عام، يمكن التحكم في خصائص مادة ديراك الفرميونية عديمة الكتلة عن طريق تغيير الكمون الكيميائي باستخدام التطعيم أو ضمن جهاز تأثير المجال . ومن خلال ضبط الكمون الكيميائي ، يُمكن التحكم بدقة في عدد الحالات الموجودة، حيث تتغير كثافة الحالات بطريقة محددة جيدًا مع الطاقة.

بالإضافة إلى ذلك، واعتمادًا على التطبيق المحدد لمادة ديراك، قد يكون من الممكن إدخال حد الكتلة.${\displaystyle m}$يُحدث ذلك فجوة في الطيف - فجوة نطاقية . وبشكل عام، ينتج حد الكتلة عن كسر تناظر محدد للنظام. ويمكن التحكم بدقة في حجم الفجوة النطاقية من خلال التحكم في قوة حد الكتلة.

كثافة حالات​${\displaystyle d}$تتناسب مادة ديراك ذات الأبعاد n بالقرب من نقطة ديراك مع${\displaystyle N(\epsilon )\propto |\epsilon |^{d-1}}$أين${\displaystyle \epsilon }$هي طاقة الجسيم. ^{[ 7 ]} إن تلاشي كثافة الحالات للجسيمات شبه الحقيقية في مادة ديراك يحاكي فيزياء أشباه المعادن للبعد الفيزيائي${\displaystyle d>1}$في الأنظمة ثنائية الأبعاد مثل الجرافين والعوازل الطوبولوجية، تأخذ كثافة الحالات شكل حرف V، مقارنةً بالقيمة الثابتة للجسيمات الضخمة ذات التشتت.${\displaystyle E=\hbar ^{2}k^{2}/2m}$.

غالباً ما تختلف القياسات التجريبية لكثافة الحالات بالقرب من نقطة ديراك باستخدام التقنيات القياسية مثل مجهر المسح النفقي عن الشكل النظري بسبب تأثيرات الاضطراب والتفاعلات. ^{[ 8 ]}

الحرارة النوعية، وهي السعة الحرارية لكل وحدة كتلة، تصف الطاقة اللازمة لتغيير درجة حرارة عينة. الحرارة النوعية الإلكترونية لمادة ديراك عند درجات الحرارة المنخفضة هي${\displaystyle C(T\to 0)\sim T^{d}}$وهو ما يختلف عن${\displaystyle C(T\to 0)\sim T}$^{[ 7 ]} لذلك، بالنسبة للأنظمة التي يكون بُعدها الفيزيائي أكبر من 1، يمكن أن توفر الحرارة النوعية بصمة واضحة لطبيعة ديراك الكامنة للجسيمات شبه الحقيقية .

يشير تكميم لاندو إلى تكميم مدارات السيكلوترون للجسيمات المشحونة في المجالات المغناطيسية. ونتيجةً لذلك، لا يمكن للجسيمات المشحونة أن تشغل إلا مدارات ذات قيم طاقة منفصلة، ​​تُسمى مستويات لاندو. بالنسبة للأنظمة ثنائية الأبعاد ذات المجال المغناطيسي العمودي، تُعطى طاقة مستويات لاندو للمادة العادية، التي تصفها معادلة شرودنغر، ولمادة ديراك، بالمعادلة ^{[ 7 ].}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ordinary\;matter:\;} E&=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right),\\\mathrm {Dirac\;Matter:\;} E&=\hbar \omega _{c}{\sqrt {|n|}}.\end{aligned}}}$

هنا،${\displaystyle \omega _{c}}$يمثل تردد السيكلوترون، وهو يعتمد خطيًا على المجال المغناطيسي المطبق وشحنة الجسيم. ثمة سمتان مميزتان بين تكميم مستويات لانداو لفيرميونات شرودنغر ثنائية الأبعاد (المادة العادية) وفيرميونات ديراك ثنائية الأبعاد. أولًا، تعتمد طاقة فيرميونات شرودنغر خطيًا على العدد الكمي الصحيح.${\displaystyle n}$بينما تُظهر فرميونات ديراك اعتمادًا على الجذر التربيعي. يلعب هذا الاختلاف الجوهري دورًا هامًا في التحقق التجريبي من مادة ديراك. ^{[ 9 ] [ 10 ]} علاوة على ذلك، بالنسبة لـ${\displaystyle n=0}$يوجد مستوى طاقة صفري لفيرميونات ديراك، وهو مستقل عن تردد السيكلوترون.${\displaystyle \omega _{c}}$ومع تأثير المجال المغناطيسي المُطبَّق. على سبيل المثال، يؤدي وجود مستوى لاندو الصفري إلى ظهور تأثير هول الكمومي حيث تكون موصلية هول مُكمَّمة عند قيم نصف عدد صحيح . ^{[ 11 ] [ 7 ]}

الجرافين هو شكل بلوري ثنائي الأبعاد من أشكال الكربون ، حيث تترتب ذرات الكربون في شبكة سداسية . تشكل كل ذرة كربون${\displaystyle \sigma }$- ترتبط بالذرات الثلاث المجاورة التي تقع في مستوى الجرافين بزوايا 120${\displaystyle ^{\circ }}$تتوسط هذه الروابط ثلاثة من إلكترونات الكربون الأربعة ، بينما يشغل الإلكترون الرابع موقعًا آخر.${\displaystyle \mathrm {p} _{z}}$يُساهم المدار pz في تكوين رابطة π خارج المستوى، مما يؤدي إلى ظهور نطاقات إلكترونية عند مستوى فيرمي . وتُعزى خصائص النقل الفريدة والحالة شبه المعدنية للجرافين إلى الإلكترونات غير المتمركزة التي تشغل هذه المدارات _{pz .} ^{[ 12 ]}

تتوافق الحالة شبه المعدنية مع تقاطع خطي لنطاقات الطاقة عند${\displaystyle K}$و${\displaystyle K'}$نقاط منطقة بريلوين السداسية للجرافين . عند هاتين النقطتين، يمكن وصف البنية الإلكترونية بشكل فعال بواسطة الهاميلتوني.

${\displaystyle {\cal {H}}=\hbar v_{\rm {D}}\left(\tau k_{x}\sigma _{x}+k_{y}\sigma _{y}\right).}$

هنا،${\displaystyle \sigma _{x}}$و${\displaystyle \sigma _{y}}$هما اثنتان من مصفوفات باولي الثلاث . العامل${\displaystyle \tau =+/-}$يشير إلى ما إذا كان الهاميلتوني الموصوف متمركزًا على${\displaystyle K}$أو${\displaystyle K'}$وادي عند زاوية منطقة بريلوين السداسية . بالنسبة للجرافين، تبلغ سرعة ديراك حوالي${\displaystyle \hbar v_{\rm {D}}\approx 5.8}$إلكترون فولت${\displaystyle \mathrm {\AA} }$[ ^{12 ]} يمكن الحصول على فجوة الطاقة في تشتت الجرافين من هاميلتوني منخفض الطاقة على النحو التالي ^:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\cal {H}}=\hbar v_{\rm {D}}(\tau k_{x}\sigma _{x}+k_{y}\sigma _{y})+M\sigma _{z},\end{aligned}}}$

والذي يحتوي الآن على مصطلح الكتلة${\displaystyle M}$توجد عدة طرق متميزة لإدخال حد الكتلة، وتختلف النتائج في خصائصها. ^{[ 13 ] [ 14 ]} إن أكثر الطرق عملية لإنشاء فجوة (إدخال حد الكتلة) هي كسر تناظر الشبكة الفرعية للشبكة حيث تختلف كل ذرة كربون قليلاً عن أقرب ذرة كربون إليها ولكنها متطابقة مع ذرات الكربون التي تليها مباشرة؛ وهو تأثير قد ينتج عن تأثيرات الركيزة.

العازل الطوبولوجي مادة تتصرف كعازل في باطنها (كتلتها)، لكن سطحها يحتوي على حالات موصلة. تمثل هذه الخاصية ترتيبًا طوبولوجيًا غير بديهي محمي بالتناظر . ونتيجة لذلك، لا تستطيع الإلكترونات في العوازل الطوبولوجية التحرك إلا على طول سطح المادة. في كتلة العازل الطوبولوجي غير المتفاعل، يقع مستوى فيرمي ضمن الفجوة بين نطاقي التوصيل والتكافؤ . على السطح، توجد حالات خاصة ضمن فجوة الطاقة في الكتلة ، والتي يمكن وصفها بفعالية بواسطة هاميلتوني ديراك.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\cal {H}}=\hbar v_{\rm {D}}(\mathbf {k} \times {\boldsymbol {\sigma }})\cdot {\hat {\mathbf {z} }}\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$عمودي على السطح و${\displaystyle {\mathbf {\sigma } }}$يقع في أساس الدوران الحقيقي . ومع ذلك، إذا قمنا بتدوير الدوران بواسطة مؤثر وحدوي ،${\displaystyle U={\rm {diag}}[1,i]}$، سننتهي بالصيغة القياسية لهاملتونيان ديراك،${\displaystyle {\cal {H}}=\hbar v_{\rm {D}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\mathbf {k} }}$وقد لوحظت مخاريط ديراك هذه، التي تظهر على سطح البلورات ثلاثية الأبعاد، في التجارب، على سبيل المثال: سيلينيد البزموت (Bi${\displaystyle _{2}}$سي${\displaystyle _{3}}$), ^{[ 15 ] [ 16 ]} تيلوريد القصدير (SnTe) ^{[ 17 ]} والعديد من المواد الأخرى. ^{[ 18 ]}

يمكن وصف خصائص الطاقة المنخفضة لبعض الطبقات الأحادية من ثنائي الكالكوجينيد المعدني الانتقالي شبه الموصل بواسطة هاميلتوني ديراك ثنائي الأبعاد ضخم (فجوة) مع حد إضافي يصف اقتران الدوران المداري القوي : ^{[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\cal {H}}=\hbar v_{\rm {D}}(\tau k_{x}\sigma _{x}+k_{y}\sigma _{y})+\Delta \sigma _{z}+\lambda (1-\sigma _{z})\tau s+(\alpha +\beta \sigma _{z})(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}).\end{aligned}}}$

اقتران الدوران المداري${\displaystyle \lambda }$يُحدث انقسامًا كبيرًا في نطاق التكافؤ و${\displaystyle s}$يشير ذلك إلى درجة حرية الدوران . أما بالنسبة للجرافين،${\displaystyle \tau }$يمنح الوادي درجة من الحرية - سواء كان بالقرب من${\displaystyle K}$أو${\displaystyle K^{\prime }}$نقطة في منطقة بريلوين السداسية. غالبًا ما تُناقش طبقات ثنائي الكالكوجينيد للمعادن الانتقالية الأحادية في سياق التطبيقات المحتملة في إلكترونيات الوادي .

أشباه المعادن من نوع ويل ، على سبيل المثال زرنيخيد التنتالوم (TaAs) والمواد ذات الصلة، ^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]} سيليسيد السترونتيوم (SrSi${\displaystyle _{2}}$) ^{[ 29 ]} لها هاميلتوني مشابه جدًا لهاميلتوني الجرافين، ولكنه يشمل الآن جميع مصفوفات باولي الثلاثة وتحدث التقاطعات الخطية في ثلاثة أبعاد:

${\displaystyle {\cal {H}}=\hbar v_{\rm {D}}(k_{x}\sigma _{x}+k_{y}\sigma _{y}+k_{z}\sigma _{z}).}$

بما أن مصفوفات باولي الثلاث موجودة، فلا توجد مصفوفة باولي أخرى يمكنها إحداث فجوة في الطيف، وبالتالي فإن نقاط فايل محمية طوبولوجيًا . ^{[ 7 ]} يؤدي ميل المخاريط الخطية، بحيث تتغير سرعة ديراك، إلى أشباه فلزات فايل من النوع الثاني. ^{[ 30 ] [ 31 ]} إحدى السمات المميزة والقابلة للملاحظة تجريبيًا لأشباه فلزات فايل هي أن حالات السطح تُشكّل أقواس فيرمي، لأن سطح فيرمي لا يُشكّل حلقة مغلقة.

على الرغم من أن معادلة فايل قد اشتُقت في الأصل للأبعاد المكانية الفردية، فإن تعميم حالة فرميون فايل ثلاثية الأبعاد في بعدين يؤدي إلى حالة طوبولوجية مميزة للمادة، تُعرف باسم أشباه فلزات فايل ثنائية الأبعاد. تُعد أشباه فلزات فايل ثنائية الأبعاد نظائر مستقطبة مغزليًا للجرافين، مما يُتيح الوصول إلى الخصائص الطوبولوجية لفرميونات فايل في الزمكان ذي البعدين (2+1). في عام 2024، تم اكتشاف شبه فلز فايل ثنائي الأبعاد جوهري ذي مخاريط فايل مستقطبة مغزليًا وسلاسل فرمي طوبولوجية (نظير أحادي البعد لأقواس فرمي) في طبقة أحادية من البزموثين المُرَسَّبة فوقيًا. ^{[ 32 ]}

في البلورات المتناظرة تحت الانعكاس والانعكاس الزمني ، تكون نطاقات الطاقة الإلكترونية متماثلة ثنائيًا. يُشار إلى هذا التماثل باسم تماثل كرامرز . لذلك، تُظهر أشباه الفلزات ذات التقاطعات الخطية لنطاقي طاقة (تماثل ثنائي) عند طاقة فيرمي تماثلًا رباعيًا عند نقطة التقاطع. يمكن كتابة الهاميلتوني الفعال لهذه الحالات على النحو التالي:

${\displaystyle {\cal {H}}=\hbar v_{\rm {D}}\left({\begin{array}{cc}\mathbf {k} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}&0\\0&-\mathbf {k} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\end{array}}\right).}$

يمتلك هذا التركيب المصفوفي تمامًا لمادة ديراك. ومن الأمثلة على أشباه المعادن ديراك التي تم تحقيقها تجريبيًا بزموتيد الصوديوم (Na${\displaystyle _{3}}$Bi) ^{[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]} وأرسينيد الكادميوم (Cd${\displaystyle _{3}}$مثل${\displaystyle _{2}}$) ^{[ 36 ] [ 37 ] [ 38 ]}