نظرية الوحدة لديريشلي

في الرياضيات ، تُعدّ نظرية ديريشليه للوحدات نتيجةً أساسيةً في نظرية الأعداد الجبرية، وهي منسوبة إلى بيتر غوستاف ليجون ديريشليه . ^{[ 1 ]} تُحدّد هذه النظرية رتبة مجموعة الوحدات في الحلقة O _K للأعداد الصحيحة الجبرية لحقل عددي K. والمُنظِّم هو عدد حقيقي موجب يُحدّد مدى كثافة الوحدات.

ينص البيان على أن مجموعة الوحدات مولدة بشكل نهائي ولها رتبة (أقصى عدد من العناصر المستقلة ضربيًا) تساوي

حيث يمثل r1 عدد التضمينات الحقيقية _، ويمثل r2 عدد أزواج _{التضمينات} المركبة المترافقة لـ K. ويستند هذا التوصيف لـ _r1 و r2 على فكرة أن عدد طرق تضمين K في حقل _{الأعداد} المركبة يساوي درجة K.${\displaystyle n=[K:\mathbb {Q} ]}$ستكون هذه إما أعدادًا حقيقية ، أو أزواجًا من التضمينات المرتبطة بالاقتران المركب ، بحيث

لاحظ أنه إذا كانت K هي غالوا على${\displaystyle \mathbb {Q} }$إذن إما أن r ₁ = 0 أو r ₂ = 0 .

_هناك طرق أخرى لتحديد r1 و r2 _وهي

• استخدم نظرية العنصر الأولي لكتابة${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\alpha )}$ثم يكون _r1 هو عدد المرافقات الحقيقية لـ α ، و r2 _هو عدد المرافقات المركبة؛ بعبارة أخرى، إذا كانت f هي متعددة الحدود الدنيا لـ α على${\displaystyle \mathbb {Q} }$، ثم r ₁ هو عدد الجذور الحقيقية و 2r ₂ هو عدد الجذور المركبة غير الحقيقية لـ f (والتي تأتي في أزواج مترافقة مركبة)؛
• اكتب حاصل الضرب الموتري للحقول${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} }$باعتبارها نتاجًا للحقول، حيث يوجد r نسخة _{واحدة من}${\displaystyle \mathbb {R} }$ونسختين من​_​${\displaystyle \mathbb {C} }$.

على سبيل المثال، إذا كان K حقلاً تربيعياً ، فإن رتبته تساوي 1 إذا كان حقلاً تربيعياً حقيقياً، و0 إذا كان حقلاً تربيعياً تخيلياً. وتُعتبر نظرية الحقول التربيعية الحقيقية أساساً نظرية معادلة بيل .

تكون الرتبة موجبة لجميع حقول الأرقام باستثناء${\displaystyle \mathbb {Q} }$والحقول التربيعية التخيلية، التي رتبتها صفر. يُقاس "حجم" الوحدات عمومًا بواسطة مُحدِّد يُسمى المُنظِّم. من حيث المبدأ، يُمكن حساب أساس الوحدات بكفاءة؛ أما عمليًا، فتكون الحسابات مُعقدة للغاية عندما تكون قيمة n كبيرة.

الالتواء في زمرة الوحدات هو مجموعة جميع جذور الوحدة لـ K ، والتي تُشكّل زمرة دورية منتهية . بالنسبة لحقل عددي له تمثيل حقيقي واحد على الأقل، يجب أن يكون الالتواء {1، -1} فقط . توجد حقول عددية، مثل معظم الحقول التربيعية التخيلية ، ليس لها تمثيلات حقيقية، ولكنها تمتلك أيضًا {1، -1} للالتواء في زمرة الوحدات الخاصة بها.

تتميز الحقول الحقيقية تمامًا بخصوصيةٍ فيما يتعلق بالوحدات. إذا كان L / K امتدادًا منتهيًا لحقول الأعداد ذات الدرجة الأكبر من 1، وكانت زمر الوحدات للأعداد الصحيحة في L و K لها نفس الرتبة، فإن K حقل حقيقي تمامًا، و L امتداد تربيعي مركب تمامًا. وينطبق العكس أيضًا. (مثال على ذلك: K يساوي الأعداد النسبية، و L يساوي حقلًا تربيعيًا تخيليًا؛ كلاهما له رتبة وحدة تساوي صفرًا).

لا تنطبق النظرية على الرتبة القصوى O _{K فحسب} ^، بل على أي رتبة O ⊂ O _K. ^{[ 2} ]

يوجد تعميم لنظرية الوحدة من قِبل هيلموت هاس (ولاحقًا كلود شوفالي ) لوصف بنية مجموعة الوحدات- S ، وتحديد رتبة مجموعة الوحدات في توطينات حلقات الأعداد الصحيحة. كذلك، بنية وحدة غالوا لـ${\displaystyle \mathbb {Q} \oplus O_{K,S}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$تم تحديد ذلك. ^{[ 3 ]}

لنفترض أن K حقل عددي و${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{r}}$هي مجموعة مولدات لمجموعة الوحدة لـ K بتردد جذور الوحدة. سيكون هناك r + 1 موضعًا أرخميديًا لـ K ، سواء كانت حقيقية أو مركبة.${\displaystyle u\in K}$، يكتب${\displaystyle u^{(1)},\dots ,u^{(r+1)}}$بالنسبة للتضمينات المختلفة في${\displaystyle \mathbb {R} }$أو${\displaystyle \mathbb {C} }$ونضبط قيمة N _j على 1 أو 2 إذا كان التمثيل المقابل حقيقيًا أو مركبًا على التوالي. ثم المصفوفة r × ( r + 1)$${\displaystyle \left(N_{j}\log \left|u_{i}^{(j)}\right|\right)_{i=1,\dots ,r,\;j=1,\dots ,r+1}}$$تتميز هذه المصفوفة بخاصية أن مجموع أي صف فيها يساوي صفرًا (لأن جميع الوحدات لها معيار يساوي 1، ولوغاريتم المعيار يساوي مجموع عناصر الصف). وهذا يعني أن القيمة المطلقة R لمحدد المصفوفة الفرعية الناتجة عن حذف عمود واحد مستقلة عن ذلك العمود. يُسمى العدد R منظم حقل الأعداد الجبرية (فهو لا يعتمد على اختيار المولدات uᵢ ₎ . وهو يقيس "كثافة" الوحدات: فإذا كان المنظم صغيرًا، فهذا يعني وجود "عدد كبير" من الوحدات.

للمنظم التفسير الهندسي التالي: الخريطة التي تأخذ وحدة u إلى المتجه ذي المدخلات${\textstyle N_{j}\log \left|u^{(j)}\right|}$لها صورة في الفضاء الفرعي ذي الأبعاد r من${\displaystyle \mathbb {R} ^{r+1}}$يتكون من جميع المتجهات التي مجموع عناصرها يساوي صفرًا، وبحسب نظرية ديريشليه للوحدة، فإن الصورة عبارة عن شبكة في هذا الفضاء الجزئي. حجم المجال الأساسي لهذه الشبكة هو${\displaystyle R{\sqrt {r+1}}}$.

يُعدّ حساب مُنظِّم حقل عددي جبري من الدرجة الأكبر من 2 عمليةً معقدةً في العادة، على الرغم من وجود برامج حاسوبية جبرية قادرة على القيام بذلك في كثير من الحالات. عادةً ما يكون حساب حاصل ضرب العدد الفئوي h والمُنظِّم باستخدام صيغة العدد الفئوي أسهل بكثير ، وتكمن الصعوبة الرئيسية في حساب العدد الفئوي لحقل عددي جبري في حساب المُنظِّم نفسه.

أمثلة

• إن منظم الحقل التربيعي التخيلي ، أو الأعداد الصحيحة النسبية، هو 1 (كما أن محدد المصفوفة 0 × 0 هو 1).
• إن منظم الحقل التربيعي الحقيقي هو لوغاريتم وحدته الأساسية : على سبيل المثال، لوغاريتم الحقل الذهبي${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$يكون${\displaystyle \log {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$ويمكن توضيح ذلك على النحو التالي. تُعد النسبة الذهبية وحدة أساسية.${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$وصورها تحت التضمينين في${\displaystyle \mathbb {R} }$نكون${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$و${\textstyle {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1-{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$إذن، المصفوفة r × ( r + 1) هي$${\displaystyle \left[1\times \log \left|{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right|,\quad 1\times \log \left|{\frac {-{\sqrt {5}}+1}{2}}\right|\ \right].}$$
• منظم المجال التكعيبي الدوري${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$، حيث α جذر للمعادلة x³ ⁺ x² ⁻ 2x − 1 ، يساوي تقريبًا 0.5255. أساس مجموعة الوحدات بتردد ^{جذور الوحدة هو} { ε₁ , ε₂ _} حيث _ε₁ = _α₂ + α − 1 و ε₂ = ² − α₂ ^. [ ₄ ]

يشير مصطلح "المنظم الأعلى" إلى بنية لدالة على زمرة جبرية من الرتبة K ذات دليل n > 1 ، تؤدي نفس دور المنظم الكلاسيكي لزمرة الوحدات، وهي زمرة K _1. وقد تم تطوير نظرية لهذه المنظمات، بفضل أعمال أرماند بوريل وآخرين. وتلعب هذه المنظمات الأعلى دورًا، على سبيل المثال، في حدسيات بيلينسون ، ومن المتوقع ظهورها في تقييمات بعض الدوال من الرتبة L عند قيم صحيحة للمتغير. ^{[ 5 ]} انظر أيضًا: منظم بيلينسون .

أدى صياغة تخمينات ستارك إلى قيام هارولد ستارك بتعريف ما يسمى الآن بمنظم ستارك ، وهو مشابه للمنظم الكلاسيكي كمحدد للوغاريتمات الوحدات، مرتبط بأي تمثيل أرتين . ^{[ 6 ] [ 7 ]}

ليكن K حقل أعداد ، ولكل عدد أولي P من K أعلى من عدد أولي نسبي ثابت p ، ليكن U _{_P} يمثل الوحدات المحلية عند P، وليكن U _{_{1, P}} يمثل المجموعة الجزئية للوحدات الرئيسية في U _{_P}.$${\displaystyle U_{1}=\prod _{P|p}U_{1,P}.}$$

ثم لنفترض أن E ₁ تشير إلى مجموعة الوحدات العالمية ε التي يتم تعيينها إلى U ₁ عبر التضمين القطري للوحدات العالمية في E.

بما أن _E1 زمرة جزئية ذات فهرس منتهٍ من زمر الوحدات العامة، فهي زمرة تبديلية من الرتبة r1 ₊ r2 − 1. والمنظم p -adic هو محدد المصفوفة المكونة من اللوغاريتمات p -adic لمولدات هذه الزمرة. _وتنص حدسية ليوبولد على أن هذا المحدد لا يساوي الصفر. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

• الوحدة الإهليلجية
• وحدة السيكلوتومية
• نظرية شينتاني للوحدات

• كوهين، هنري (1993). دورة في نظرية الأعداد الجبرية الحاسوبية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد  138. برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-3-540-55640-4. السيد 1228206 . زبل 0786.11071 .  
• إلسترودت، يورغن (2007). "حياة وأعمال غوستاف ليجون ديريشليه (1805-1859)" (ملف PDF) . وقائع مؤتمر كلاي للرياضيات . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 22 مايو 2021. تاريخ الاسترجاع: 13 يونيو 2010 .
• لانغ، سيرج (1994). نظرية الأعداد الجبرية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد  110 (  الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 0-387-94225-4. Zbl 0811.11001 . 
• نيوكيرتش، يورغن (1999). جبرية زهلينثيوري . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . المجلد.  322. برلين: سبرينغر-فيرلاغ . رقم ISBN 978-3-540-65399-8. السيد 1697859 . زبل 0956.11021 .  
• الأماكن القريبة : شميدت، الكسندر. وينجبيرج ، كاي (2000)، علم التجانس لحقول الأرقام ، Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften ، المجلد.  323، برلين: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-3-540-66671-4، MR 1737196 ، Zbl 0948.11001