اهتزاز

لبدء دراسة نظام الكتلة-النابض-المخمد، نفترض أن التخميد مهمل وأنه لا توجد قوة خارجية تؤثر على الكتلة (أي اهتزاز حر). تتناسب القوة المؤثرة على الكتلة بواسطة النابض طرديًا مع مقدار استطالة النابض "x" (بافتراض أن النابض مضغوط مسبقًا بفعل وزن الكتلة). ثابت التناسب، k، هو صلابة النابض ووحدته هي القوة/المسافة (مثل رطل/بوصة أو نيوتن/متر). تشير الإشارة السالبة إلى أن القوة تعاكس دائمًا حركة الكتلة المتصلة بها.

${\displaystyle F_{s}=-kx.\!}$

تتناسب القوة الناتجة عن الكتلة طردياً مع تسارع الكتلة وفقاً لقانون نيوتن الثاني للحركة :

${\displaystyle \Sigma \ F=ma=m{\ddot {x}}=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}.}$

ينتج عن مجموع القوى المؤثرة على الكتلة هذه المعادلة التفاضلية العادية :${\displaystyle \ m{\ddot {x}}+kx=0.}$

بافتراض أن بدء الاهتزاز يبدأ بتمديد الزنبرك بمسافة A ثم تركه، فإن حل المعادلة أعلاه التي تصف حركة الكتلة هو:

${\displaystyle x(t)=A\cos(2\pi f_{n}t).\!}$

يُشير هذا الحل إلى أن الجسم سيتذبذب بحركة توافقية بسيطة ذات سعة A وتردد f _{_n} . يُسمى التردد f_{_n} بالتردد الطبيعي غير المخمد . بالنسبة لنظام الكتلة والنابض البسيط، يُعرَّف f_{_n كما يلي:}

${\displaystyle f_{n}={1 \over {2\pi }}{\sqrt {k \over m}}.\!}$

ملاحظة: يُستخدم التردد الزاوي ω (ω = 2πf ) بوحدة راديان/ثانية في المعادلات غالبًا لتبسيطها، ولكنه يُحوّل عادةً إلى التردد العادي (بوحدة هرتز أو ما يعادلها من دورات / ثانية) عند تحديد تردد النظام. إذا عُرفت كتلة النظام وصلابته، يُمكن للصيغة أعلاه تحديد التردد الذي يهتز عنده النظام بعد تحريكه بفعل اضطراب أولي. لكل نظام مهتز تردد طبيعي واحد أو أكثر يهتز عنده فور تعرضه للاضطراب. يُمكن استخدام هذه العلاقة البسيطة لفهم ما يحدث لنظام أكثر تعقيدًا عند إضافة كتلة أو صلابة. على سبيل المثال، تُفسر الصيغة أعلاه لماذا يكون نظام التعليق في السيارة أو الشاحنة "أكثر ليونة" عند تحميلها بالكامل مقارنةً بحالة عدم التحميل - فقد زادت الكتلة، مما قلل من التردد الطبيعي للنظام.

عند إضافة مخمد الصدمات ، يتم محاكاة مصادر التخميد عن طريق توليد قوة تتناسب مع سرعة الكتلة. يُطلق على ثابت التناسب c اسم معامل التخميد، ووحدته هي القوة مقسومة على السرعة (رطل.ثانية/بوصة أو نيوتن.ثانية/متر).

${\displaystyle F_{\text{d}}=-cv=-c{\dot {x}}=-c{\frac {dx}{dt}}.}$

ينتج عن جمع القوى المؤثرة على الكتلة المعادلة التفاضلية العادية التالية:

${\displaystyle m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=0.}$

يعتمد حل هذه المعادلة على مقدار التخميد. إذا كان التخميد ضئيلاً، فإن النظام سيظل يهتز، ولكنه سيتوقف عن الاهتزاز تدريجيًا مع مرور الوقت. تُسمى هذه الحالة بالتخميد الناقص، وهي مهمة في تحليل الاهتزازات. إذا زاد التخميد إلى الحد الذي يتوقف عنده النظام عن الاهتزاز، يكون النظام قد وصل إلى نقطة التخميد الحرج. أما إذا زاد التخميد عن نقطة التخميد الحرج، فإن النظام يكون مُخمدًا بشكل زائد. القيمة التي يجب أن يصل إليها معامل التخميد للتخميد الحرج في نموذج الكتلة والنابض والمخمد هي:

${\displaystyle c_{\text{c}}=2{\sqrt {km}}}$

تُستخدم نسبة التخميد لتحديد مقدار التخميد في النظام. وهي نسبة التخميد الفعلي إلى مقدار التخميد المطلوب للوصول إلى التخميد الحرج. صيغة نسبة التخميد (${\displaystyle \zeta }$) نموذج الكتلة والنابض والمخمد هو:

${\displaystyle \zeta ={c \over 2{\sqrt {km}}}.}$

على سبيل المثال، تتميز الهياكل المعدنية (مثل هياكل الطائرات، وأعمدة مرفق المحركات) بمعاملات تخميد أقل من 0.05، بينما تتراوح معاملات التخميد في أنظمة تعليق السيارات بين 0.2 و0.3. ويكون حل نظام التخميد الناقص لنموذج الكتلة والنابض والمخمد كما يلي:

${\displaystyle x(t)=Xe^{-\zeta \omega _{n}t}\cos \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n}t-\phi \right),\qquad \omega _{n}=2\pi f_{n}.}$

قيمة X ، والمقدار الأولي، و${\displaystyle \phi ,}$يتم تحديد إزاحة الطور بمقدار تمدد الزنبرك. ويمكن إيجاد صيغ هذه القيم في المراجع.

الترددات الطبيعية المخمدة وغير المخمدة

أهم النقاط التي يجب ملاحظتها في الحل هي الحد الأسي ودالة جيب التمام. يحدد الحد الأسي سرعة "تخميد" النظام - فكلما زادت نسبة التخميد، زادت سرعة التخميد حتى الصفر. أما دالة جيب التمام فهي الجزء المتذبذب من الحل، لكن تردد التذبذبات يختلف عن حالة عدم التخميد.

يُطلق على التردد في هذه الحالة اسم "التردد الطبيعي المخمد".${\displaystyle f_{\text{d}},}$وترتبط بالتردد الطبيعي غير المخمد بالصيغة التالية:

${\displaystyle f_{\text{d}}=f_{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}.}$

يكون التردد الطبيعي المخمد أقل من التردد الطبيعي غير المخمد، ولكن في كثير من الحالات العملية تكون نسبة التخميد صغيرة نسبيًا، وبالتالي يكون الفرق ضئيلاً. لذلك، غالبًا ما يتم حذف وصفي "مخمد" و"غير مخمد" عند ذكر التردد الطبيعي (على سبيل المثال، مع نسبة تخميد 0.1، يكون التردد الطبيعي المخمد أقل بنسبة 1% فقط من التردد الطبيعي غير المخمد).

توضح الرسوم البيانية الجانبية كيف تؤثر نسب التخميد 0.1 و0.3 على كيفية انخفاض رنين النظام بمرور الوقت. في الممارسة العملية، يُقاس الاهتزاز الحر تجريبيًا بعد التعرض لصدمة (باستخدام مطرقة مثلاً)، ثم يُحدد التردد الطبيعي للنظام بقياس معدل التذبذب، وكذلك نسبة التخميد بقياس معدل التضاؤل. لا يقتصر دور التردد الطبيعي ونسبة التخميد على الاهتزاز الحر فحسب، بل يُحددان أيضًا سلوك النظام تحت تأثير الاهتزاز القسري.

يمكن تقدير كل من الترددات الطبيعية المخمدة وغير المخمدة عندما لا تكون أشكال الوضع معروفة باستخدام معامل رايلي .

كتلة زنبركية غير مخمدة

كتلة زنبركية مخمدة بشكل ناقص

كتلة نابضية مخمدة بشكل حرج

كتلة نابضية مخمدة بشكل مفرط

^{[ 11 ]}

يتغير سلوك نموذج المخمد الزنبركي الكتلي بإضافة قوة توافقية. يمكن توليد قوة من هذا النوع، على سبيل المثال، عن طريق عدم توازن دوراني.

${\displaystyle F=F_{0}\sin(2\pi ft).\!}$

ينتج عن جمع القوى المؤثرة على الكتلة المعادلة التفاضلية العادية التالية:

${\displaystyle m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=F_{0}\sin(2\pi ft).}$

يمكن كتابة حل الحالة المستقرة لهذه المسألة على النحو التالي:

${\displaystyle x(t)=X\sin(2\pi ft+\phi ).\!}$

تشير النتيجة إلى أن الكتلة ستتذبذب بنفس التردد، f ، للقوة المطبقة، ولكن مع إزاحة طورية${\displaystyle \phi .}$

يتم تحديد سعة الاهتزاز "X" من خلال الصيغة التالية.

${\displaystyle X={F_{0} \over k}{1 \over {\sqrt {(1-r^{2})^{2}+(2\zeta r)^{2}}}}.}$

حيث يتم تعريف "r" على أنه نسبة تردد القوة التوافقية إلى التردد الطبيعي غير المخمد لنموذج الكتلة والنابض والمخمد.

${\displaystyle r={\frac {f}{f_{n}}}.}$

إزاحة الطور،${\displaystyle \phi ,}$يتم تعريفها بالصيغة التالية.

${\displaystyle \phi =\arctan \left({\frac {-2\zeta r}{1-r^{2}}}\right).}$

يمثل رسم هذه الدوال، والذي يُطلق عليه "استجابة تردد النظام"، إحدى أهم سمات الاهتزاز القسري. في نظام ذي تخميد خفيف، عندما يقترب تردد الإجبار من التردد الطبيعي (${\displaystyle r\approx 1}$قد تصل سعة الاهتزاز إلى مستويات عالية للغاية. تُعرف هذه الظاهرة بالرنين (ويُشار إلى التردد الطبيعي للنظام غالبًا بتردد الرنين). في أنظمة محامل الدوار، تُسمى أي سرعة دوران تُثير تردد الرنين بالسرعة الحرجة .

إذا حدث رنين في نظام ميكانيكي، فقد يكون ضارًا للغاية، ويؤدي في النهاية إلى انهيار النظام. لذا، فإن أحد الأسباب الرئيسية لتحليل الاهتزازات هو التنبؤ بموعد حدوث هذا النوع من الرنين، ومن ثم تحديد الخطوات اللازمة لمنعه. وكما يوضح مخطط السعة، فإن إضافة التخميد يمكن أن يقلل بشكل كبير من مقدار الاهتزاز. كما يمكن تقليل المقدار أيضًا إذا أمكن تغيير التردد الطبيعي بعيدًا عن تردد القوة المؤثرة عن طريق تغيير صلابة النظام أو كتلته. وإذا تعذر تغيير النظام، فربما يمكن تغيير تردد القوة المؤثرة (على سبيل المثال، تغيير سرعة الآلة المولدة للقوة).

فيما يلي بعض النقاط الأخرى المتعلقة بالاهتزاز القسري الموضح في مخططات استجابة التردد.

• عند نسبة تردد معينة، تتناسب سعة الاهتزاز، X ، تناسباً طردياً مع سعة القوة.${\displaystyle F_{0}}$(على سبيل المثال، إذا ضاعفت القوة، فإن الاهتزاز يتضاعف)
• مع وجود تخميد ضئيل أو معدوم، يكون الاهتزاز متوافقًا في الطور مع تردد القوة عندما تكون نسبة التردد r  <  1، ويكون خارج الطور بمقدار 180 درجة عندما تكون نسبة التردد r  >  1
• عندما تكون قيمة r  ≪  1، فإن السعة هي مجرد انحراف الزنبرك تحت تأثير القوة الساكنة.${\displaystyle F_{0}.}$ يُطلق على هذا الانحراف اسم الانحراف الساكن.${\displaystyle \delta _{st}.}$وبالتالي، عندما تكون قيمة r  ≪  1، تكون تأثيرات المخمد والكتلة ضئيلة.
• عندما تكون قيمة r  أكبر بكثير  من 1، فإن سعة الاهتزاز تكون في الواقع أقل من الانحراف الساكن.${\displaystyle \delta _{st}.}$ في هذه المنطقة، تهيمن القوة الناتجة عن الكتلة ( F  = ma ) لأن التسارع الذي تتعرض له الكتلة يزداد مع التردد. وبما أن الانحراف الذي يتعرض له النابض ( X ) يقل في هذه المنطقة، فإن القوة التي ينقلها النابض ( F = kx ) إلى القاعدة تقل أيضًا. لذلك، يعمل نظام الكتلة-النابض-المخمد على عزل القوة التوافقية عن قاعدة التثبيت، وهو ما يُعرف بعزل الاهتزاز . في الواقع، يؤدي زيادة التخميد إلى تقليل تأثيرات عزل الاهتزاز عندما يكون r ≫ 1، لأن قوة التخميد ( F = cv ) تنتقل أيضًا إلى القاعدة.       
• مهما كان التخميد، فإن الاهتزاز يكون خارج الطور بمقدار 90 درجة مع تردد الإجبار عندما تكون نسبة التردد r  =  1، وهو أمر مفيد للغاية عندما يتعلق الأمر بتحديد التردد الطبيعي للنظام.
• مهما كانت قيمة التخميد، فعندما تكون r  ≫  1، يكون الاهتزاز خارج الطور بمقدار 180 درجة مع تردد القوة
• مهما كانت قيمة التخميد، فعندما تكون r  ≪  1، يكون الاهتزاز متوافقًا في الطور مع تردد القوة المؤثرة.

تطبيق قوى "معقدة" على نموذج الكتلة والنابض والمخمد

في قسم سابق، طُبقت قوة توافقية بسيطة على النموذج، ولكن يمكن توسيع نطاق ذلك بشكل كبير باستخدام أداتين رياضيتين قويتين. الأولى هي تحويل فورييه الذي يأخذ الإشارة كدالة للزمن ( مجال الزمن ) ويحللها إلى مكوناتها التوافقية كدالة للتردد ( مجال التردد ). على سبيل المثال، بتطبيق قوة على نموذج الكتلة-النابض-المخمد، تتكرر الدورة التالية: قوة تساوي 1 نيوتن لمدة 0.5 ثانية، ثم لا قوة لمدة 0.5 ثانية. هذا النوع من القوة له شكل موجة مربعة بتردد 1 هرتز .    

يُنتج تحويل فورييه للموجة المربعة طيفًا تردديًا يُظهر مقدار التوافقيات المكونة للموجة المربعة (يُنتج أيضًا الطور، ولكنه عادةً ما يكون أقل أهمية، ولذلك لا يُرسم غالبًا). يُمكن استخدام تحويل فورييه أيضًا لتحليل الدوال غير الدورية ، مثل الظواهر العابرة (كالنبضات) والدوال العشوائية. يُحسب تحويل فورييه دائمًا تقريبًا باستخدام خوارزمية تحويل فورييه السريع (FFT) الحاسوبية مع دالة نافذة .

في حالة قوة الموجة المربعة، يكون المكون الأول قوة ثابتة مقدارها 0.5 نيوتن، ويُمثَّل بقيمة عند 0  هرتز في طيف التردد. أما المكون الثاني فهو  موجة جيبية بتردد 1 هرتز وسعة 0.64، ويُمثَّل بالخط عند 1  هرتز. تقع المكونات المتبقية عند ترددات فردية، ويتطلب توليد موجة مربعة مثالية عددًا لا نهائيًا من الموجات الجيبية. لذا، يسمح تحويل فورييه بتفسير القوة على أنها مجموع قوى جيبية مُطبَّقة، بدلًا من كونها قوة "معقدة" (مثل الموجة المربعة).

في القسم السابق، عُرض حل الاهتزاز لقوة توافقية واحدة، لكن تحويل فورييه يُعطي عمومًا حلولًا لقوى توافقية متعددة. أما الأداة الرياضية الثانية، وهي مبدأ التراكب ، فتسمح بجمع حلول القوى المتعددة إذا كان النظام خطيًا . في حالة نموذج الزنبرك-الكتلة-المخمد، يكون النظام خطيًا إذا كانت قوة الزنبرك متناسبة مع الإزاحة، وكان التخميد متناسبًا مع السرعة ضمن نطاق الحركة المطلوب. لذا، فإن حل المسألة مع الموجة المربعة هو جمع الاهتزاز المتوقع من كل قوة توافقية موجودة في طيف تردد الموجة المربعة.

نموذج استجابة التردد

يمكن النظر إلى حل مشكلة الاهتزاز على أنه علاقة بين المدخلات والمخرجات، حيث تمثل القوة المدخلات والاهتزازات هي المخرجات. ويتيح تمثيل القوة والاهتزازات في مجال التردد (المقدار والطور) العلاقة التالية:

${\displaystyle X(i\omega )=H(i\omega )\cdot F(i\omega ){\text{ or }}H(i\omega )={X(i\omega ) \over F(i\omega )}.}$

${\displaystyle H(i\omega )}$تُسمى هذه الدالة دالة استجابة التردد (وتُعرف أيضًا بدالة النقل ، ولكن ليس هذا المصطلح دقيقًا من الناحية التقنية)، ولها مُركبة مقدارية ومركبة طورية (إذا مُثّلت كعدد مُركب ، فلها مُركبة حقيقية ومركبة تخيلية). وقد عُرض مقدار دالة استجابة التردد (FRF) سابقًا لنظام الكتلة والنابض والمخمد.

${\displaystyle |H(i\omega )|=\left|{X(i\omega ) \over F(i\omega )}\right|={1 \over k}{1 \over {\sqrt {(1-r^{2})^{2}+(2\zeta r)^{2}}}},{\text{ where }}r={\frac {f}{f_{n}}}={\frac {\omega }{\omega _{n}}}.}$

وقد تم عرض مرحلة FRF سابقًا على النحو التالي:

${\displaystyle \angle H(i\omega )=-\arctan \left({\frac {2\zeta r}{1-r^{2}}}\right).}$

على سبيل المثال، لحساب استجابة التردد لنظام كتلة-نابض-مخمد بكتلة 1  كجم، وصلابة نابض 1.93  نيوتن/مم، ونسبة تخميد 0.1، نحصل على تردد طبيعي قدره 7  هرتز لهذا النظام. بتطبيق  الموجة المربعة بتردد 1 هرتز المذكورة سابقًا، يُمكن حساب الاهتزاز المتوقع للكتلة. يوضح الشكل الاهتزاز الناتج. في هذا المثال، يقع التوافقي الرابع للموجة المربعة عند 7  هرتز. لذا، تُظهر استجابة التردد لنظام الكتلة-النابض-المخمد  اهتزازًا عاليًا بتردد 7 هرتز، على الرغم من أن قوة الإدخال لها  توافقي منخفض نسبيًا عند 7 هرتز. يُبرز هذا المثال أن الاهتزاز الناتج يعتمد على كلٍ من دالة القوة والنظام الذي تُطبق عليه القوة.

يُظهر الشكل أيضًا تمثيل المجال الزمني للاهتزاز الناتج. ويتم ذلك بإجراء تحويل فورييه العكسي الذي يحوّل بيانات المجال الترددي إلى المجال الزمني. عمليًا، نادرًا ما يُستخدم هذا التحويل لأن طيف التردد يوفر جميع المعلومات اللازمة.

لا يشترط بالضرورة حساب دالة استجابة التردد (FRF) بناءً على معرفة كتلة النظام، وتخميده، وصلابته، بل يمكن قياسها تجريبياً. على سبيل المثال، عند تطبيق قوة معلومة ضمن نطاق ترددي محدد، وقياس الاهتزازات المصاحبة لها، يمكن حساب دالة استجابة التردد، وبالتالي تحديد خصائص النظام. تُستخدم هذه التقنية في مجال التحليل النمطي التجريبي لتحديد خصائص اهتزازات المنشآت.

يُعدّ نموذج الكتلة-النابض-المخمد البسيط أساس تحليل الاهتزازات. يُطلق على النموذج الموصوف أعلاه نموذج درجة حرية واحدة (SDOF) نظرًا لأن الكتلة تُفترض أنها تتحرك لأعلى ولأسفل فقط. في الأنظمة الأكثر تعقيدًا، يجب تقسيم النظام إلى كتل متعددة تتحرك في أكثر من اتجاه، مما يُضيف درجات حرية. يمكن فهم المفاهيم الرئيسية لدرجات الحرية المتعددة (MDOF) من خلال النظر إلى نموذج درجتي حرية فقط كما هو موضح في الشكل.

تم التوصل إلى معادلات الحركة لنظام ذي درجتي حرية على النحو التالي:

${\displaystyle m_{1}{\ddot {x_{1}}}+(c_{1}+c_{2}){\dot {x_{1}}}-c_{2}{\dot {x_{2}}}+(k_{1}+k_{2})x_{1}-k_{2}x_{2}=f_{1},}$

${\displaystyle m_{2}{\ddot {x_{2}}}-c_{2}{\dot {x_{1}}}+(c_{2}+c_{3}){\dot {x_{2}}}-k_{2}x_{1}+(k_{2}+k_{3})x_{2}=f_{2}.\!}$

يمكن إعادة كتابة هذا في شكل مصفوفة :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}m_{1}&0\\0&m_{2}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {x_{1}}}\\{\ddot {x_{2}}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}c_{1}+c_{2}&-c_{2}\\-c_{2}&c_{2}+c_{3}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\dot {x_{1}}}\\{\dot {x_{2}}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}k_{1}+k_{2}&-k_{2}\\-k_{2}&k_{2}+k_{3}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}f_{1}\\f_{2}\end{Bmatrix}}.}$

يمكن كتابة صيغة أكثر اختصارًا لهذه المعادلة المصفوفية على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {x}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}C\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\dot {x}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}f\end{Bmatrix}}}$

أين${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}},}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}C\end{bmatrix}},}$و${\displaystyle {\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}}$هي مصفوفات متناظرة تُعرف على التوالي بمصفوفات الكتلة والتخميد والصلابة. وهي مصفوفات مربعة من الرتبة N×N، حيث N هو عدد درجات حرية النظام.

يتناول التحليل التالي حالة انعدام التخميد وانعدام القوى المؤثرة (أي الاهتزاز الحر). أما حل نظام التخميد اللزج فهو أكثر تعقيداً بعض الشيء. ^{[ 12 ]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {x}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}=0.}$

يمكن حل هذه المعادلة التفاضلية بافتراض نوع الحل التالي:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}e^{i\omega t}.}$

ملاحظة: باستخدام الحل الأسي لـ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}e^{i\omega t}}$هي حيلة رياضية تُستخدم لحل المعادلات التفاضلية الخطية. باستخدام صيغة أويلر وأخذ الجزء الحقيقي فقط من الحل، نحصل على نفس حل جيب التمام لنظام ذي درجة حرية واحدة. يُستخدم الحل الأسي فقط لأنه أسهل في التعامل معه رياضياً.

تصبح المعادلة حينها:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-\omega ^{2}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}e^{i\omega t}=0.}$

منذ${\displaystyle e^{i\omega t}}$لا يمكن أن تساوي صفرًا، وبالتالي فإن المعادلة تختزل إلى ما يلي.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}-\omega ^{2}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}=0.}$

يُشار إلى هذا في الرياضيات بمسألة القيم الذاتية، ويمكن صياغته بالصيغة القياسية عن طريق ضرب المعادلة من اليسار بـ${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}^{-1}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}-\omega ^{2}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}=0}$

وإذا:${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A\end{bmatrix}}}$و${\displaystyle \lambda =\omega ^{2}\,}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}A\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}I\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}=0.}$

ينتج عن حل المشكلة N قيمة ذاتية (أي${\displaystyle \omega _{1}^{2},\omega _{2}^{2},\cdots \omega _{N}^{2}}$حيث N يمثل عدد درجات الحرية. توفر القيم الذاتية الترددات الطبيعية للنظام. عند استبدال هذه القيم الذاتية في مجموعة المعادلات الأصلية، فإن قيم${\displaystyle {\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}}$تُسمى المتجهات الذاتية التي تُقابل كل قيمة ذاتية بالمتجهات الذاتية . تُمثل هذه المتجهات الذاتية أنماط اهتزاز النظام. قد يكون حل مسألة القيم الذاتية معقدًا للغاية (خاصةً للمسائل ذات درجات الحرية الكثيرة)، ولكن لحسن الحظ، تحتوي معظم برامج التحليل الرياضي على إجراءات خاصة بالقيم الذاتية.

غالباً ما تُكتب القيم الذاتية والمتجهات الذاتية في شكل المصفوفة التالي، وهي تصف النموذج النمطي للنظام:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }\omega _{r\diagdown }^{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\omega _{1}^{2}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &\omega _{N}^{2}\end{bmatrix}}{\text{ and }}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}\psi _{1}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\psi _{2}\end{Bmatrix}}\cdots {\begin{Bmatrix}\psi _{N}\end{Bmatrix}}\end{bmatrix}}.}$

يمكن لمثال بسيط باستخدام نموذج ذي درجتي حرية أن يساعد في توضيح المفاهيم. لنفترض أن كتلة كل من الكتلتين تساوي 1  كجم، وأن صلابة النوابض الثلاثة تساوي 1000 نيوتن/متر. عندئذٍ، تكون مصفوفة الكتلة والصلابة لهذه المسألة كما يلي:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$و${\displaystyle {\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2000&-1000\\-1000&2000\end{bmatrix}}.}$

ثم${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2000&-1000\\-1000&2000\end{bmatrix}}.}$

القيم الذاتية لهذه المسألة، والتي يتم الحصول عليها بواسطة روتين القيم الذاتية، هي:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }\omega _{r\diagdown }^{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1000&0\\0&3000\end{bmatrix}}.}$

تكون الترددات الطبيعية بوحدة الهرتز (مع الأخذ في الاعتبار ما يلي) ${\displaystyle \scriptstyle \omega =2\pi f}$)${\displaystyle \scriptstyle f_{1}=5.033\mathrm {\ Hz} }$و${\displaystyle \scriptstyle f_{2}=8.717{\text{ Hz}}.}$

يُعطى شكلا النمط للترددات الطبيعية المعنية على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}\psi _{1}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\psi _{2}\end{Bmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}-0.707\\-0.707\end{Bmatrix}}_{1}{\begin{Bmatrix}0.707\\-0.707\end{Bmatrix}}_{2}\end{bmatrix}}.}$

بما أن النظام ذو درجتي حرية، فإنه يمتلك نمطين اهتزازيين بتردداتهما الطبيعية وأشكالهما الخاصة. لا تمثل متجهات شكل النمط الحركة المطلقة، بل تصف الحركة النسبية لدرجات الحرية. في حالتنا، يشير متجه شكل النمط الأول إلى أن الكتلتين تتحركان معًا في نفس الطور نظرًا لتطابق قيمتهما وإشارتهما. أما في حالة متجه شكل النمط الثاني، فتتحرك كل كتلة في اتجاه معاكس وبنفس السرعة.

عند وجود درجات حرية متعددة، تتمثل إحدى طرق تصوير أشكال الاهتزاز في تحريكها باستخدام برامج تحليل الهياكل مثل Femap أو ANSYS أو VA One من ESI Group . يوضح الشكل أدناه مثالًا على تحريك أشكال الاهتزاز لعتبة ناتئة، كما هو موضح باستخدام تحليل الأنماط على برنامج ANSYS. في هذه الحالة، استُخدمت طريقة العناصر المحدودة لإنشاء تقريب لمصفوفات الكتلة والصلابة عن طريق تقسيم الجسم محل الاهتمام إلى شبكة لحل مسألة القيم الذاتية المنفصلة . تجدر الإشارة إلى أن طريقة العناصر المحدودة في هذه الحالة توفر تقريبًا للسطح المُقسّم (الذي يوجد له عدد لا نهائي من أنماط الاهتزاز والترددات). لذلك، يوفر هذا النموذج البسيط نسبيًا، الذي يحتوي على أكثر من 100 درجة حرية، وبالتالي عدد مماثل من الترددات الطبيعية وأشكال الاهتزاز، تقريبًا جيدًا لأولى الترددات الطبيعية والأنماط ^. عمومًا، تُعد الأنماط القليلة الأولى فقط مهمة للتطبيقات العملية.

يوضح هذا الجدول أنماط الاهتزاز الأولى والثانية (أعلى وأسفل على التوالي) للانحناء الأفقي (يسارًا)، والالتوائي (وسطًا)، والانحناء الرأسي (يمينًا) لشعاع Ɪ . كما توجد أنماط اهتزاز أخرى ينضغط فيها الشعاع أو يتمدد في اتجاهات الارتفاع والعرض والطول على التوالي.
أشكال الوضع لشعاع I ناتئ

^ لاحظ أنه عند إجراء تقريب عددي لأي نموذج رياضي، يجب التأكد من تقارب المعلمات ذات الأهمية.

تتمتع المتجهات الذاتية بخصائص بالغة الأهمية تُعرف بخصائص التعامد. ويمكن استخدام هذه الخصائص لتبسيط حل نماذج متعددة درجات الحرية بشكل كبير. ويمكن إثبات أن المتجهات الذاتية تتمتع بالخصائص التالية:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}^{\diagdown }m_{r\diagdown }\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}^{\diagdown }k_{r\diagdown }\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }m_{r\diagdown }\end{bmatrix}}}$و${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }k_{r\diagdown }\end{bmatrix}}}$هي مصفوفات قطرية تحتوي على قيم الكتلة والصلابة لكل نمط من الأنماط. (ملاحظة: بما أن المتجهات الذاتية (أشكال الأنماط) يمكن تغيير مقياسها بشكل تعسفي، فغالبًا ما تُستخدم خصائص التعامد لتغيير مقياس المتجهات الذاتية بحيث تكون قيمة الكتلة لكل نمط مساوية لـ 1. وبالتالي، فإن مصفوفة الكتلة هي مصفوفة الوحدة ).

يمكن استخدام هذه الخصائص لتبسيط حل نماذج درجات الحرية المتعددة بشكل كبير عن طريق إجراء تحويل الإحداثيات التالي.

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}.}$

يؤدي استخدام تحويل الإحداثيات هذا في معادلة الاهتزاز الحر التفاضلية الأصلية إلى المعادلة التالية.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {q}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}=0.}$

بالاستفادة من خصائص التعامد عن طريق ضرب هذه المعادلة من اليسار بـ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {q}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}=0.}$

ثم تُبسط خصائص التعامد هذه المعادلة إلى:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }m_{r\diagdown }\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {q}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}^{\diagdown }k_{r\diagdown }\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}=0.}$

تُشكّل هذه المعادلة أساس تحليل الاهتزازات لأنظمة متعددة درجات الحرية. ويمكن استخلاص نتيجة مماثلة للأنظمة المخمدة. ^{[ 12 ]} يكمن جوهر الأمر في أن مصفوفات الكتلة والصلابة النمطية هي مصفوفات قطرية، وبالتالي فقد تم فصل المعادلات. بعبارة أخرى، تم تحويل المسألة من مسألة معقدة ومتعددة درجات الحرية إلى مسائل عديدة ذات درجة حرية واحدة، يمكن حلها باستخدام الطرق نفسها المذكورة أعلاه.

يتم استبدال حل x بحل q ، ويشار إليه باسم الإحداثيات النموذجية أو عوامل المشاركة النموذجية.

قد يكون من الأسهل فهم ذلك إذا ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}}$تُكتب على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x_{n}\end{Bmatrix}}=q_{1}{\begin{Bmatrix}\psi \end{Bmatrix}}_{1}+q_{2}{\begin{Bmatrix}\psi \end{Bmatrix}}_{2}+q_{3}{\begin{Bmatrix}\psi \end{Bmatrix}}_{3}+\cdots +q_{N}{\begin{Bmatrix}\psi \end{Bmatrix}}_{N}.}$

بهذه الصيغة، يتضح أن الاهتزاز عند كل درجة من درجات الحرية هو مجرد مجموع خطي لأشكال الأنماط. علاوة على ذلك، فإن مقدار "مشاركة" كل نمط في الاهتزاز النهائي يُحدد بواسطة q، وهو عامل مشاركة النمط.

يتعرض نظام متعدد درجات الحرية غير مقيد لحركة انتقالية و/أو دورانية واهتزازية صلبة. ينتج عن وجود نمط حركة صلبة تردد طبيعي صفري. يُطلق على شكل النمط المقابل اسم نمط الحركة الصلبة.