E 7 (الرياضيات)

في الرياضيات ، يُطلق الرمز E7 على عدة زمر لي مترابطة ترابطًا وثيقًا _، أو زمر جبرية خطية ، أو جبر لي الخاص بها e7 _، وجميعها ذات بُعد 133. ويُستخدم الرمز E7 نفسه للإشارة إلى شبكة الجذور المقابلة _،والتي لها رتبة 7. ويأتي هذا التصنيف E7 _من تصنيف كارتان-كيلينغ لجبر لي البسيط المركب ، والذي ينقسم إلى أربع متسلسلات لانهائية مُصنَّفة An _، وBn _، وCn _، وDn _، وخمس حالات استثنائية مُصنَّفة E6 ، وE7 _،_و E8 ، و _F4 _، و G2 _._{وبالتالي ،} يُعد جبر E7 أحد هذه الحالات الاستثنائية الخمس.

الزمرة الأساسية للصيغة المركبة (المرافقة)، أو الصيغة الحقيقية المدمجة، أو أي صيغة جبرية أخرى لـ E7 _هي الزمرة الدورية Z /2Z ، وزمرة التشاكل الذاتي الخارجية لها هي الزمرة التافهة . بُعد تمثيلها الأساسي هو 56.

أشكال حقيقية ومعقدة

يوجد جبر لي معقد فريد من نوعه من النوع E ₇ ، يقابل زمرة معقدة ذات بُعد معقد 133. يمكن اعتبار زمرة لي المرافقة المعقدة E ₇ ذات البُعد المعقد 133 زمرة لي حقيقية بسيطة ذات بُعد حقيقي 266. تمتلك هذه الزمرة الأساسية Z /2 Z ، ولها زمرة جزئية مضغوطة قصوى هي الشكل المضغوط (انظر أدناه) لـ E ₇ ، ولها زمرة تماثل خارجي من الرتبة 2 مولدة بواسطة الاقتران المعقد.

بالإضافة إلى زمرة لي المعقدة من النوع E ₇ ، هناك أربعة أشكال حقيقية لجبر لي، وعلى نحو مماثل أربعة أشكال حقيقية للزمرة ذات المركز التافه (جميعها لها غطاء مزدوج جبري، وثلاثة منها لها أغطية غير جبرية إضافية، مما يعطي أشكالًا حقيقية إضافية)، وكلها ذات بُعد حقيقي 133، على النحو التالي:

الشكل المضغوط (وهو الشكل المقصود عادةً إذا لم يتم تقديم أي معلومات أخرى)، والذي يحتوي على المجموعة الأساسية Z /2 Z وله مجموعة التماثل الخارجي التافهة.
الشكل المنفصل، EV (أو E ₇₍₇₎ )، والذي يحتوي على مجموعة فرعية مضغوطة قصوى SU(8)/{±1}، ومجموعة أساسية دورية من الرتبة 4 ومجموعة تماثل خارجي من الرتبة 2.
EVI (أو E _7(-5) )، والتي تحتوي على مجموعة فرعية مضغوطة قصوى SU(2)·SO(12)/(center)، ومجموعة أساسية غير دورية من الرتبة 4 ومجموعة تماثل خارجي تافهة.
EVII (أو E _7(-25) )، والتي تحتوي على مجموعة فرعية مضغوطة قصوى SO(2)·E ₆ /(المركز)، ومجموعة أساسية دورية لانهائية ومجموعة تماثل خارجي من الرتبة 2.

للاطلاع على قائمة كاملة بالأشكال الحقيقية لجبر لي البسيط، انظر قائمة مجموعات لي البسيطة .

الشكل الحقيقي المضغوط للفضاء E7 _هو زمرة التناظر للفضاء الريماني المتناظر المضغوط الاستثنائي ذي الأبعاد 64، EVI (وفقًا لتصنيف كارتان ). يُعرف هذا الفضاء بشكل غير رسمي باسم " المستوى الإسقاطي الرباعي الثماني " لأنه يُمكن بناؤه باستخدام جبر هو حاصل الضرب الموتري للرباعيات والثمانيات ، ويُعرف أيضًا باسم المستوى الإسقاطي لروزنفيلد ، على الرغم من أنه لا يخضع للبديهيات المعتادة للمستوى الإسقاطي. يُمكن ملاحظة ذلك بشكل منهجي باستخدام بناء يُعرف باسم المربع السحري ، والذي يعود الفضل فيه إلى هانز فرويدنتال وجاك تيتس .

يمكن وصف الغطاء الجبري المزدوج للشكل المركب، أو للشكل الحقيقي المنفصل، أو لـ EVII بأنه مجموعة التشاكلات الذاتية لنظام فرويدنتال الثلاثي، وهو نوع خاص من الأنظمة الثلاثية المعرفة على فضاء متجهي ذي 56 بُعدًا. ^{[ 1 ]}

ينتج بناء تيتس -كوشر أشكالًا من جبر لي E ₇ من جبر ألبرت ، وجبر جوردان الاستثنائي ذو 27 بُعدًا .

E ₇ كمجموعة جبرية

باستخدام أساس شيڤالي لجبر لي، يمكن تعريف E7 _{كمجموعة} جبرية خطية على الأعداد الصحيحة، وبالتالي على أي حلقة تبديلية، وعلى وجه الخصوص على أي حقل: وهذا يُعرّف ما يُسمى بالشكل المرافق المنفصل (المعروف أحيانًا باسم "غير الملتوي") لـ E7 _. على حقل مغلق جبريًا، يُعد هذا الشكل وغطاؤه المزدوج الشكلين الوحيدين؛ ومع ذلك، على حقول أخرى، غالبًا ما توجد العديد من الأشكال الأخرى، أو "الالتواءات" لـ E7 _، والتي تُصنف في الإطار العام لعلم التماثل لغالوا (على حقل كامل k ) بواسطة المجموعة H1 ⁽k , Aut(E7 ₎ )، والتي، نظرًا لأن مخطط دينكين لـ E7 ₍ انظر أدناه ) لا يحتوي على أي تشاكلات ذاتية، تتطابق مع H1 ( ^k, E7 _{, ad} ). ^{[ 2 ]}

في حقل الأعداد الحقيقية، يتطابق المكون الحقيقي لهوية هذه الأشكال الملتوية جبريًا لـ E ₇ مع مجموعات لي الحقيقية الثلاث المذكورة أعلاه ، ولكن مع دقة تتعلق بالمجموعة الأساسية: جميع الأشكال المرافقة لـ E ₇ لها مجموعة أساسية Z /2 Z بمعنى الهندسة الجبرية، مما يعني أنها تقبل غطاءً مزدوجًا واحدًا فقط؛ وبالتالي فإن أشكال مجموعة لي الحقيقية غير المدمجة الأخرى لـ E ₇ ليست جبرية ولا تقبل أي تمثيلات أمينة ذات أبعاد محدودة.

في الحقول المنتهية، تشير نظرية لانغ-شتاينبرغ إلى أن H ¹ ( k , E ₇ ) = 0، مما يعني أن E ₇ ليس لها أشكال ملتوية: انظر أدناه .

الجبر

مخطط دينكين

يُعطى مخطط دينكين لـ E ₇ بواسطة .

نظام الجذور

على الرغم من أن الجذور تمتد على مساحة ذات 7 أبعاد، إلا أنه من الأكثر تناظرًا وملاءمة تمثيلها كمتجهات تقع في فضاء فرعي ذي 7 أبعاد من فضاء متجهي ذي 8 أبعاد.

الجذور هي جميع التباديل 8×7 للمعادلة (1، -1، 0، 0، 0، 0، 0) وجميع ${\begin{pmatrix}8\\4\end{pmatrix}}$ تباديل ( ⁠ 1 / 2 ⁠ , ⁠ 1 / 2 ⁠ , ⁠ 1 / 2 ⁠ , − ⁠ 1 / 2 ⁠ , − ⁠ 1 / 2 ⁠ , − ⁠ 1 / 2 ⁠ , − ⁠ 1 / 2 ⁠ )

لاحظ أن الفضاء الجزئي ذو الأبعاد السبعة هو الفضاء الجزئي الذي يكون فيه مجموع جميع الإحداثيات الثمانية صفرًا. يوجد 126 جذرًا.

الجذور البسيطة هي

(0,−1,1,0,0,0,0,0)

(0,0,−1,1,0,0,0,0)

(0,0,0,−1,1,0,0,0)

(0,0,0,0,−1,1,0,0)

(0,0,0,0,0,−1,1,0)

(0,0,0,0,0,0,−1,1)

( ⁠ 1 2 ⁠ , ⁠ 1 2 ⁠ , ⁠ 1 2 ⁠ , − ⁠ 1 2 ⁠ , − ⁠ 1 2 ⁠ , − ⁠ 1 2 ⁠ , − ⁠ 1 2 )

يتم إدراجها بحيث يتم ترتيب العقد المقابلة لها في مخطط دينكين من اليسار إلى اليمين (في الرسم التخطيطي الموضح أعلاه) مع وجود العقدة الجانبية في النهاية.

وصف بديل

الوصف البديل (ذي الأبعاد السبعة) لنظام الجذر، والذي يفيد في اعتبار E ₇ × SU(2) مجموعة فرعية من E ₈ ، هو التالي:

الجميع $4\times {\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}}$ تباديل (±1، ± 1 ، 0، 0، 0 ، 0 ) مع الحفاظ على الصفر في العنصر الأخير، وجميع الجذور التالية التي تحتوي على عدد زوجي من + 1/2

\left(\pm {1 \over 2},\pm {1 \over 2},\pm {1 \over 2},\pm {1 \over 2},\pm {1 \over 2},\pm {1 \over {\sqrt {2}}}\right)

والجذران التاليان

\left(0,0,0,0,0,0,\pm {\sqrt {2}}\right).

وبالتالي، تتكون المولدات من جبر فرعي so (12) ذي 66 بُعدًا، بالإضافة إلى 64 مولدًا تتحول على هيئة اثنين من سبينورات فايل ذاتية الترافق ذات اللف المغزلي (12) ذات كيرالية متعاكسة، ومولد الكيرالية الخاص بهما، ومولدين آخرين للكيرالية. $\pm {\sqrt {2}}$ .

بالنظر إلى مصفوفة كارتان E ₇ (أدناه) وترتيب عقد مخطط دينكين كما يلي:

أحد الخيارات للجذور البسيطة يُعطى بواسطة صفوف المصفوفة التالية:

{\begin{bmatrix}1&-1&0&0&0&0&0\\0&1&-1&0&0&0&0\\0&0&1&-1&0&0&0\\0&0&0&1&-1&0&0\\0&0&0&0&1&1&0\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\0&0&0&0&1&-1&0\\\end{bmatrix}}.

مخطط هاس لمجموعة الجذور الجزئية _E7 مع تسميات الحواف التي تحدد موضع الجذر البسيط المضاف

مجموعة ويل

مجموعة ويل لـ E ₇ هي من الرتبة 2903040: وهي ناتج مباشر للمجموعة الحلقية من الرتبة 2 والمجموعة البسيطة الوحيدة من الرتبة 1451520 (والتي يمكن وصفها بأنها PSp ₆ (2) أو PSΩ ₇ (2)). ^{[ 3 ]}

مصفوفة كارتان

{\begin{bmatrix}2&-1&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&0\\0&0&-1&2&-1&0&-1\\0&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&0&-1&2&0\\0&0&0&-1&0&0&2\end{bmatrix}}.

الجبر الفرعي والتمثيلات المهمة

E ₇ لديها جبر فرعي SU(8)، كما يتضح من خلال ملاحظة أنه في الوصف ذي الأبعاد الثمانية لنظام الجذر، فإن المجموعة الأولى من الجذور متطابقة مع جذور SU(8) (مع نفس الجبر الفرعي Cartan كما هو الحال في E ₇ ).

بالإضافة إلى التمثيل المرافق ذي الأبعاد 133، يوجد تمثيل "متجه" ذو أبعاد 56 ، والذي يمكن العثور عليه في التمثيل المرافق E ₈ .

تُعطى خصائص التمثيلات ذات الأبعاد المحدودة لجبر لي الحقيقي والمركب ومجموعات لي بواسطة صيغة خصائص فايل . أبعاد أصغر التمثيلات غير القابلة للاختزال هي (المتتالية A121736 في OEIS ) :

1 ، 56، 133 ، 912، 1463 ، 1539 ، 6480، 7371 ، 8645 ، 24320، 27664، 40755، 51072 ، 86184، 150822 ، 152152 ، 238602 ، 253935 ، 293930 ، 320112، 362880، 365750 ، 573440 ، 617253 ، 861840، 885248، 915705 ، 980343 ، 2273920، 2282280، 2785552، 3424256 3635840...

تمثل الحدود المسطرة في المتتالية أعلاه أبعاد التمثيلات غير القابلة للاختزال التي يمتلكها الشكل المرافق لـ E7 ₍ أو ما يعادله، تلك التي تنتمي أوزانها إلى شبكة جذور E7 ₎ ، بينما تعطي المتتالية الكاملة أبعاد التمثيلات غير القابلة للاختزال للشكل البسيط المتصل لـ E7 _. توجد تمثيلات غير قابلة للاختزال غير متماثلة بأبعاد 1903725824، 16349520330، إلخ.

التمثيلات الأساسية هي تلك التي لها أبعاد 133، 8645، 365750، 27664، 1539، 56 و912 (المقابلة للعقد السبعة في مخطط دينكين بالترتيب المختار لمصفوفة كارتان أعلاه، أي أن العقد تُقرأ في سلسلة العقد الست أولاً، مع توصيل العقدة الأخيرة بالعقدة الثالثة).

يتم عرض تضمينات المجموعات الفرعية القصوى لـ E ₇ حتى البعد 133 على اليمين.

E ₇ الثوابت متعددة الحدود

E7 هي زمرة التشاكل الذاتي للزوج التالي من كثيرات الحدود في 56 متغيرًا غير تبديلي. نقسم المتغيرات إلى مجموعتين من 28 متغيرًا، ( _p, P ) و( q , Q )، حيث p و q متغيران حقيقيان، و P و Q مصفوفتان هيرميتيتان ثمانيتان من الرتبة 3×3 . إذن، الثابت الأول هو الثابت التبادلي لـ Sp(56, R ).

C_{1}=pq-qp+Tr[PQ]-Tr[QP]

الثابت الثاني الأكثر تعقيدًا هو متعدد الحدود الرباعي المتناظر :

C_{2}=(pq+Tr[P\circ Q])^{2}+pTr[Q\circ {\tilde {Q}}]+qTr[P\circ {\tilde {P}}]+Tr[{\tilde {P}}\circ {\tilde {Q}}]

أين ${\tilde {P}}\equiv \det(P)P^{-1}$ ويُعرَّف عامل الدائرة الثنائية بواسطة $A\circ B=(AB+BA)/2$ .

يستخدم ثابت متعدد الحدود الرباعي البديل الذي أنشأه كارتان مصفوفتين متماثلتين 8x8 تحتوي كل منهما على 28 مكونًا.

C_{2}=Tr[(XY)^{2}]-{\dfrac {1}{4}}Tr[XY]^{2}+{\frac {1}{96}}\epsilon _ {ijklmnop}\left(X^{ij}X^{kl}X^{mn}X^{op}+Y^{ij}Y^{kl}Y^{mn}Y^{op}\right)

مجموعات شيڤالي من النوع E ₇

تُشكّل النقاط الموجودة على حقل منتهٍ يحتوي على q عنصرًا من المجموعة الجبرية (المنقسمة) E7 ₍ انظر أعلاه )، سواءً كانت من الشكل المرافق (بدون مركز) أو الشكل المتصل ببساطة (غطائها الجبري الشامل)، مجموعة شيڤالي منتهية . ترتبط هذه المجموعة ارتباطًا وثيقًا بالمجموعة المكتوبة E7 ₍ q ) ، إلا أن هناك غموضًا في هذه الصيغة، التي يمكن أن تدل على عدة معانٍ.

المجموعة المنتهية التي تتكون من النقاط الموجودة على F _q من الشكل المتصل ببساطة لـ E ₇ (للتوضيح، يمكن كتابة هذا $E 7,sc (q)$ وهو معروف باسم مجموعة شيڤالي "العالمية" من النوع E ₇ على F _q ).
(نادرًا) المجموعة المنتهية التي تتكون من النقاط فوق F _q للشكل المرافق لـ E ₇ (للتوضيح، يمكن كتابة هذا $E 7,ad (q)$ ، ويُعرف باسم مجموعة شيڤالي "المرافقة" من النوع E ₇ فوق F _q )، أو
المجموعة المنتهية التي هي صورة الخريطة الطبيعية من الأولى إلى الأخيرة: هذا ما سيتم الإشارة إليه بـ $E 7 (q)$ فيما يلي، كما هو شائع في النصوص التي تتناول المجموعات المنتهية.

من منظور المجموعة المنتهية، يمكن تلخيص العلاقة بين هذه المجموعات الثلاث، والتي تشبه إلى حد كبير العلاقة بين SL( n , q ) و PGL( n , q ) و PSL( n , q )، على النحو التالي: $E7 (q) بسيطة$ لأي قيمة لـ q ، $و E7,sc (q)$ هي غطاء شور الخاص بها ، و $E7,ad (q)$ تقع في مجموعة التشاكل الذاتي الخاصة بها؛ علاوة على ذلك، عندما تكون q قوة للعدد 2، تتطابق المجموعات الثلاث، وإلا (عندما تكون q فردية) $،$ $فإن$ مضاعف شور لـ $E7 (q)$ هو 2 ويكون $E7 (q)$ من الدليل 2 في $E7$ $,ad$ $($ $q$ $)$ ، مما يفسر سبب كتابة $E7$ $,sc$ $($ $q$ $)$ و $E7$ $,ad$ $($ $q$ $)$ غالبًا على النحو $2\cdot$ $E7$ $($ $q$ $)$ و $E7$ $($ $q$ ) $\cdot2$ $.$ من منظور المجموعة الجبرية، من غير الشائع أن يشير E ₇ ( q ) إلى المجموعة البسيطة المنتهية، لأن الأخيرة ليست بطريقة طبيعية مجموعة نقاط المجموعة الجبرية على F _q على عكس $E$ $7,sc$ $($ $q$ $)$ و $E$ $7,ad$ $($ $q$ $)$ .

كما ذُكر أعلاه، فإن E7 ₍ q ) بسيطة لأي قيمة لـ q ، ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} وهي تُشكّل إحدى العائلات اللانهائية التي يتناولها تصنيف الزمر البسيطة المنتهية . ويُعطى عدد عناصرها بالصيغة (المتتالية A008870 في OEIS ) :

{\frac {1}{\mathrm {gcd} (2,q-1)}}q^{63}(q^{18}-1)(q^{14}-1)(q^{12}-1)(q^{10}-1)(q^{8}-1)(q^{6}-1)(q^{2}-1)

يمكن الحصول على رتبة $E 7,sc (q)$ أو $E 7,ad (q)$ (كلاهما متساويان) بإزالة عامل القسمة gcd(2, q −1) (المتتالية A008869 في OEIS ) . مضاعف شور لـ E ₇ ( q ) هو gcd(2, q −1)، ومجموعة التشاكل الذاتي الخارجية لها هي حاصل ضرب مجموعة التشاكل الذاتي القطرية $Z /gcd(2, q -1) Z$ (المعطاة بفعل $E 7,ad (q)$ ) ومجموعة تشاكلات الحقول (أي دورية من الرتبة f إذا كان q = p ^f حيث p عدد أولي).

الأهمية في الفيزياء

تُقرّ نظرية الجاذبية الفائقة N = 8 في أربعة أبعاد، وهي اختزال بُعدي من نظرية الجاذبية الفائقة ذات أحد عشر بُعدًا ، بتناظر بوزوني عالمي E7 _{وتناظر بوزوني}محلي SU(8) . تُمثّل الفرميونات في تمثيلات SU(8)، وتُمثّل حقول القياس في تمثيل E7 _، وتُمثّل الكميات القياسية في تمثيل لكليهما (الجرافيتونات هي حالات مفردة بالنسبة لكليهما). تُمثّل الحالات الفيزيائية في تمثيلات المجموعة المشاركة _E7 / SU(8) .

في نظرية الأوتار ، يظهر E7 _كجزء من زمرة القياس لأحد إصدارات الأوتار غير المتجانسة (غير المستقرة وغير المتناظرة الفائقة ) . ويمكن أن يظهر أيضًا في زمرة القياس غير المنكسرة _E8 × E7 _في التكثيفات السداسية الأبعاد لنظرية الأوتار غير المتجانسة، على سبيل المثال على السطح رباعي الأبعاد K3 .

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ انظر سبرينغر.
↑ بلاتونوف، فلاديمير؛ رابينتشوك، أندريه (1994) [1991]، الزمر الجبرية ونظرية الأعداد ، الرياضيات البحتة والتطبيقية، المجلد 139، بوسطن، ماساتشوستس: أكاديميك برس ، ISBN 978-0-12-558180-6MR 1278263 (النسخة الأصلية: بلاتونوف، فلاديمير بي.؛ رابينتشوك، أندريه سي. (1991). المجموعات الجبريّة والنظرية . ناوكا. ISBN 5-02-014191-7.)، §2.2.4
↑ كونواي، جون هورتون ؛ كورتيس، روبرت تيرنر؛ نورتون، سيمون فيليبس ؛ باركر، ريتشارد أ ؛ ويلسون، روبرت أرنوت (1985). أطلس الزمر المنتهية : الزمر الجزئية القصوى والخصائص العادية للزمر البسيطة . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 46. ISBN 0-19-853199-0.
↑ كارتر، روجر و. (1989). مجموعات بسيطة من نوع لي . مكتبة وايلي كلاسيكس. جون وايلي وأولاده. ISBN 0-471-50683-4.
↑ ويلسون، روبرت أ. (2009). الزمر البسيطة المنتهية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد 251. سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-1-84800-987-5.

مراجع

آدامز، ج. فرانك (1996)، محاضرات حول زمر لي الاستثنائية ، سلسلة محاضرات شيكاغو في الرياضيات، مطبعة جامعة شيكاغو ، رقم ISBN 978-0-226-00526-3MR 1428422
جون بايز ، الأوكتونيونات ، القسم 4.5: E ₇ ، نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات 39 (2002)، 145-205 . نسخة HTML متاحة على الإنترنت على الرابط التالي : http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node18.html
إي. كريمر وب. جوليا، نظرية الجاذبية الفائقة N = 8. 1. لاغرانجيان ، رسائل الفيزياء B80 :48، 1978. نسخة ممسوحة ضوئياً متاحة على الإنترنت على الرابط التالي: http://ac.els-cdn.com/0370269378903039/1-s2.0-0370269378903039-main.pdf?_tid=79273f80-539d-11e4-a133-00000aab0f6c&acdnat=1413289833_5f3539a6365149b108ddcec889200964
سبرينغر، تي إيه (2006). "بعض الزمر من النوع E ₇ ". مجلة ناغويا الرياضية . 182 : 259-284 . doi : 10.1017/S0027763000026891 .

[1] انظر سبرينغر.

[2] بلاتونوف، فلاديمير؛ رابينتشوك، أندريه (1994) [1991]، الزمر الجبرية ونظرية الأعداد ، الرياضيات البحتة والتطبيقية، المجلد 139، بوسطن، ماساتشوستس: أكاديميك برس ، ISBN 978-0-12-558180-6MR 1278263 (النسخة الأصلية: بلاتونوف، فلاديمير بي.؛ رابينتشوك، أندريه سي. (1991). المجموعات الجبريّة والنظرية . ناوكا. ISBN 5-02-014191-7.)، §2.2.4

[3] كونواي، جون هورتون ؛ كورتيس، روبرت تيرنر؛ نورتون، سيمون فيليبس ؛ باركر، ريتشارد أ ؛ ويلسون، روبرت أرنوت (1985). أطلس الزمر المنتهية : الزمر الجزئية القصوى والخصائص العادية للزمر البسيطة . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 46. ISBN 0-19-853199-0.

[4] كارتر، روجر و. (1989). مجموعات بسيطة من نوع لي . مكتبة وايلي كلاسيكس. جون وايلي وأولاده. ISBN 0-471-50683-4.

[5] ويلسون، روبرت أ. (2009). الزمر البسيطة المنتهية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد 251. سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-1-84800-987-5.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗