مجموعة الكذب البسيط

في الرياضيات، زمرة لي البسيطة هي زمرة لي غير تبديلية متصلة G لا تحتوي على زمر جزئية طبيعية متصلة غير تافهة . ويمكن استخدام قائمة زمر لي البسيطة لاستخراج قائمة جبر لي البسيط والفضاءات المتناظرة الريمانية .

بالإضافة إلى زمرة لي التبادلية للأعداد الحقيقية، $\mathbb {R}$ وبالنسبة للأعداد المركبة ذات القيمة المطلقة 1، U(1) (دائرة الوحدة)، فإن زمر لي البسيطة تُعطي "اللبنات الأساسية" الذرية التي تُشكل جميع زمر لي المتصلة (ذات الأبعاد المحدودة) عبر عملية تمديد الزمرة . العديد من زمر لي الشائعة إما بسيطة أو "قريبة" من البساطة: على سبيل المثال، ما يُسمى " الزمرة الخطية الخاصة " SL( n , 1). $\mathbb {R}$ ) من المصفوفات n × n ذات المحدد يساوي 1 بسيط لجميع n الفردية > 1، عندما يكون متماثلًا مع المجموعة الخطية الخاصة الإسقاطية .

كان أول تصنيف لمجموعات لي البسيطة من قِبل ويلهلم كيلينغ ، وقد قام إيلي كارتان بتطوير هذا العمل لاحقًا . ويُشار إلى التصنيف النهائي غالبًا باسم تصنيف كيلينغ-كارتان.

تعريف

لسوء الحظ، لا يوجد تعريف متفق عليه عالميًا لزمرة لي البسيطة. على وجه الخصوص، لا تُعرَّف دائمًا بأنها زمرة لي بسيطة كزمرة مجردة. يختلف المؤلفون حول ما إذا كان يجب أن تكون زمرة لي البسيطة متصلة، أو ما إذا كان يُسمح لها بامتلاك مركز غير تافه، أو ما إذا $\mathbb {R}$ هي مجموعة لي بسيطة.

التعريف الأكثر شيوعًا هو أن زمرة لي بسيطة إذا كانت متصلة، وغير تبديلية، وكل زمرة جزئية طبيعية مغلقة متصلة هي إما الزمرة المحايدّة أو الزمرة بأكملها. وبالتحديد، يُسمح للزمر البسيطة أن يكون لها مركز غير تافه، ولكن $\mathbb {R}$ الأمر ليس بسيطاً.

في هذه المقالة، نُدرج زمر لي البسيطة المتصلة ذات المركز التافه. وبمجرد معرفة هذه الزمر، يسهل إدراج الزمر ذات المركز غير التافه كما يلي. أي زمرة لي بسيطة ذات مركز تافه لها غطاء شامل مركزه هو الزمرة الأساسية لتلك الزمرة البسيطة. ويمكن الحصول على زمر لي البسيطة المقابلة ذات المركز غير التافه كحاصل قسمة هذا الغطاء الشامل على زمرة جزئية من المركز.

البدائل

يُستنتج تعريف مكافئ لزمرة لي البسيطة من تناظر لي : تكون زمرة لي المتصلة بسيطة إذا كان جبر لي الخاص بها بسيطًا . ومن النقاط التقنية المهمة أن زمرة لي البسيطة قد تحتوي على زمر جزئية طبيعية منفصلة . ولهذا السبب، فإن تعريف زمرة لي البسيطة لا يُكافئ تعريف زمرة لي البسيطة كزمرة مجردة .

تشمل زمر لي البسيطة العديد من زمر لي الكلاسيكية ، التي تُوفر أساسًا نظريًا للزمر للهندسة الكروية ، والهندسة الإسقاطية، والهندسات ذات الصلة وفقًا لبرنامج إرلانجن لفيلكس كلاين . وقد تبين خلال تصنيف زمر لي البسيطة وجود العديد من الاحتمالات الاستثنائية التي لا تتوافق مع أي هندسة مألوفة. وتُفسر هذه الزمر الاستثنائية العديد من الأمثلة والتكوينات الخاصة في فروع أخرى من الرياضيات، فضلًا عن الفيزياء النظرية المعاصرة .

كمثال مضاد، فإن المجموعة الخطية العامة ليست بسيطة ولا شبه بسيطة . وذلك لأن مضاعفات عنصر الوحدة تُشكل مجموعة فرعية طبيعية غير تافهة، مما يُخالف التعريف. وبالمثل، فإن جبر لي المقابل له شكل كيلينغ مُنحط ، لأن مضاعفات عنصر الوحدة تُسقط على العنصر الصفري للجبر. وبالتالي، فإن جبر لي المقابل ليس بسيطًا ولا شبه بسيط أيضًا. ومن الأمثلة المضادة الأخرى المجموعات المتعامدة الخاصة في الأبعاد الزوجية. هذه المجموعات لها المصفوفة $-I$ في المركز ، وهذا العنصر متصل مسارياً بالعنصر المحايد، ولذلك فإن هذه المجموعات تفلت من التعريف. كلتاهما مجموعات اختزالية .

أفكار ذات صلة

مجموعات لي شبه البسيطة

الزمرة اللي شبه البسيطة هي زمرة لي متصلة بحيث تكون زمرتها الجزئية الوحيدة المغلقة المتصلة الأبيلية الطبيعية هي الزمرة الجزئية التافهة. كل زمرة لي بسيطة هي زمرة لي شبه بسيطة. وبشكل أعم، أي حاصل ضرب لزمر لي بسيطة هو زمرة لي شبه بسيطة، وأي خارج قسمة لزمرة لي شبه بسيطة على زمرة جزئية مغلقة هو زمرة لي شبه بسيطة. يمكن تكوين أي زمرة لي شبه بسيطة بأخذ حاصل ضرب لزمر لي بسيطة وقسمتها على زمرة جزئية من مركزها. بعبارة أخرى، كل زمرة لي شبه بسيطة هي حاصل ضرب مركزي لزمر لي بسيطة. زمر لي شبه البسيطة هي تحديدًا زمر لي التي تكون جبر لي الخاص بها جبر لي شبه بسيط .

جبر لي البسيط

جبر لي لمجموعة لي بسيطة هو جبر لي بسيط. هذه علاقة تناظرية بين مجموعات لي البسيطة المتصلة ذات المركز التافه وجبر لي البسيط ذي البعد الأكبر من 1. (يختلف المؤلفون حول ما إذا كان ينبغي اعتبار جبر لي أحادي البعد بسيطًا).

تُصنَّف جبر لي شبه البسيط في مجموعة الأعداد المركبة وفقًا لمخططات دينكين الخاصة بها ، من النوع "ABCDEFG". إذا كان L جبر لي بسيطًا حقيقيًا، فإن تحويله إلى جبر لي معقد بسيط هو جبر لي معقد بسيط، إلا إذا كان L هو بالفعل تحويل جبر لي معقد، وفي هذه الحالة يكون تحويل L إلى جبر لي معقد ناتج ضرب نسختين من L. هذا يُختزل مشكلة تصنيف جبر لي البسيط الحقيقي إلى مشكلة إيجاد جميع الأشكال الحقيقية لكل جبر لي بسيط معقد (أي جبر لي حقيقي يكون تحويله إلى جبر لي معقد مُعطى). يوجد دائمًا شكلان على الأقل من هذه الأشكال: شكل مُجزأ وشكل مُدمج، وعادةً ما توجد أشكال أخرى. تتوافق الأشكال الحقيقية المختلفة مع فئات التشاكلات الذاتية من الرتبة 2 على الأكثر لجبر لي المعقد.

فضاء متناظر

تُصنف الفضاءات المتناظرة على النحو التالي.

أولًا، الغطاء الشامل للفضاء المتناظر يظل متناظرًا، لذا يمكننا اختزال المسألة إلى حالة الفضاءات المتناظرة المتصلة ببساطة. (على سبيل المثال، الغطاء الشامل للمستوى الإسقاطي الحقيقي هو كرة).

ثانيًا، إن حاصل ضرب الفضاءات المتناظرة متناظر، لذلك يمكننا ببساطة تصنيف الفضاءات المتصلة ببساطة غير القابلة للاختزال (حيث تعني كلمة غير قابلة للاختزال أنه لا يمكن كتابتها كحاصل ضرب فضاءات متناظرة أصغر).

الفضاءات المتناظرة البسيطة غير القابلة للاختزال هي خط الأعداد الحقيقية، ويوجد فضاءان متناظران فقط لكل زمرة لي بسيطة غير متراصة G ، أحدهما متراص والآخر غير متراص. الفضاء غير المتراص هو غطاء لفضاء القسمة لـ G بواسطة زمرة جزئية متراصة قصوى H ، والفضاء المتراص هو غطاء لفضاء القسمة للشكل المتراص لـ G بواسطة نفس الزمرة الجزئية H. هذه الازدواجية بين الفضاءات المتناظرة المتراصة وغير المتراصة هي تعميم للازدواجية المعروفة بين الهندسة الكروية والهندسة الزائدية.

الفضاءات المتناظرة الهرميتية

يُطلق على الفضاء المتناظر ذي البنية العقدية المتوافقة اسم الفضاء الهرميتي. تنقسم الفضاءات الهرميتية المتناظرة غير القابلة للاختزال، والمتراصة والمتصلة ببساطة، إلى أربع عائلات لانهائية، مع وجود عائلتين استثنائيتين، ولكل منها فضاء ثنائي غير متراص. إضافةً إلى ذلك، يُعد المستوى العقدي أيضًا فضاءً هرميتيًا متناظرًا؛ وهذا يُعطينا القائمة الكاملة للفضاءات الهرميتية المتناظرة غير القابلة للاختزال.

العائلات الأربع هي الأنواع A III و B I و D I لـ p = 2 و D III و C I، والنوعان الاستثنائيان هما E III و E VII من الأبعاد المعقدة 16 و 27.

الترميز

$\mathbb {R,C,H,O}$ تمثل هذه الرموز الأعداد الحقيقية، والأعداد المركبة، والأعداد الرباعية ، والأعداد الثمانية .

في الرموز مثل E ₆^{− 26} للمجموعات الاستثنائية، يمثل الأس − 26 إشارةً لصيغة ثنائية خطية متناظرة ثابتة سالبة التحديد على المجموعة الجزئية المدمجة القصوى. وهو يساوي بُعد المجموعة ناقص ضعف بُعد المجموعة الجزئية المدمجة القصوى.

المجموعة الأساسية المذكورة في الجدول أدناه هي المجموعة الأساسية للمجموعة البسيطة ذات المركز التافه. أما المجموعات البسيطة الأخرى التي لها نفس جبر لي، فهي تمثل مجموعات جزئية من هذه المجموعة الأساسية (باستثناء تأثير مجموعة التشاكل الخارجي).

التصنيف الكامل

تُصنّف مجموعات لي البسيطة تصنيفاً كاملاً. وعادةً ما يُذكر التصنيف في عدة خطوات، وهي:

تصنيف جبر لي البسيط المركب: تصنيف جبر لي البسيط على الأعداد المركبة بواسطة مخططات دينكين .
تصنيف جبر لي الحقيقي البسيط. كل جبر لي معقد بسيط له عدة أشكال حقيقية ، مصنفة حسب الزخارف الإضافية لمخطط دينكين الخاص به والتي تسمى مخططات ساتيك ، نسبة إلى إيشيرو ساتيك .
تصنيف زمر لي البسيطة عديمة المركز لكل جبر لي بسيط (حقيقي أو مركب) ${\mathfrak {g}}$ ، هناك مجموعة لي بسيطة فريدة "بدون مركز" $G$ جبر لي الخاص به هو ${\mathfrak {g}}$ والتي لها مركز تافه .
تصنيف مجموعات لي البسيطة

يمكن إثبات أن المجموعة الأساسية لأي زمرة لي هي زمرة تبديلية منفصلة . بالنظر إلى زمرة جزئية (غير تافهة) $K\subset \pi _{1}(G)$ من المجموعة الأساسية لبعض مجموعات لي $G$ يمكن للمرء استخدام نظرية الفضاءات المغطاة لبناء مجموعة جديدة ${\tilde {G}}^{K}$ مع $K$ في مركزها. الآن، يمكن الحصول على أي زمرة لي (حقيقية أو مركبة) بتطبيق هذا البناء على زمر لي عديمة المركز. لاحظ أن زمر لي الحقيقية التي يتم الحصول عليها بهذه الطريقة قد لا تكون أشكالًا حقيقية لأي زمرة مركبة. مثال مهم جدًا على هذه الزمر الحقيقية هو الزمرة الميتابليكتية ، التي تظهر في نظرية التمثيل اللانهائي الأبعاد والفيزياء. عندما نأخذ لـ $K\subset \pi _{1}(G)$ المجموعة الأساسية الكاملة، ومجموعة لي الناتجة ${\tilde {G}}^{K=\pi _{1}(G)}$ هو الغطاء العالمي لمجموعة لاي عديمة المركز $G$ وهي متصلة ببساطة. على وجه الخصوص، كل جبر لي (حقيقي أو مركب) يتوافق أيضًا مع زمرة لي متصلة وبسيطة الاتصال فريدة من نوعها ${\tilde {G}}$ مع جبر لي هذا، المسمى "مجموعة لي المتصلة ببساطة" المرتبطة بـ ${\mathfrak {g}}.$

مجموعات الكذب المتراصة

لكل جبر لي معقد بسيط شكل حقيقي فريد تكون زمرة لي المقابلة له، والتي لا مركزية، متراصة . ويتضح أن زمرة لي المتصلة ببساطة في هذه الحالات تكون متراصة أيضًا. تتميز زمر لي المتراصة بنظرية تمثيل سهلة المعالجة بفضل نظرية بيتر-ويل . وكما هو الحال مع جبر لي المعقد البسيط، تُصنف زمر لي المتراصة التي لا مركزية باستخدام مخططات دينكين (التي صنفها لأول مرة ويلهلم كيلينغ وإيلي كارتان ).

بالنسبة لسلسلة مخططات دينكين اللانهائية (A، B، C، D)، يمكن وصف زمرة لي المدمجة المتصلة المرتبطة بكل مخطط دينكين بشكل صريح كزمرة مصفوفية، مع وصف زمرة لي المدمجة المقابلة عديمة المركز كحاصل قسمة على زمرة جزئية من المصفوفات العددية. بالنسبة للمخططات من النوعين A وC، يمكننا إيجاد تمثيلات مصفوفية صريحة لزمرة لي البسيطة المتصلة المقابلة كزمر مصفوفية.

نظرة عامة على التصنيف

A _r لها كمجموعة مدمجة متصلة ببساطة المجموعة الوحدوية الخاصة ، SU( r + 1) وكمجموعة مدمجة بدون مركز المجموعة الوحدوية الإسقاطية PU( r + 1) .

تحتوي المجموعة B _r على مجموعات متراصة بدون مركز مرتبطة بها، وهي المجموعات المتعامدة الخاصة الفردية SO ( 2 r + 1) . ومع ذلك، فإن هذه المجموعة ليست متصلة ببساطة: غطاؤها الشامل (المزدوج) هو مجموعة الدوران .

ترتبط المجموعة C _r بمجموعة المصفوفات التبسيطية الوحدوية Sp( r ) ، وبمجموعة لي عديمة المركز $PSp(r) = Sp(r)/{I, -I}$ من المصفوفات التبسيطية الوحدوية الإسقاطية. وتغطي المجموعة التبسيطية غطاءً مزدوجًا بواسطة المجموعة الميتابليكتية .

تحتوي D _r على الزمرة المدمجة المرتبطة بها ، وهي الزمرة المتعامدة الخاصة الزوجية SO(2 r ) ، وعلى الزمرة المدمجة المرتبطة بها، وهي الزمرة المتعامدة الخاصة الإسقاطية $PSO(2 r) = SO(2 r)/{I, -I}$ . وكما هو الحال مع سلسلة B، فإن SO(2 r ) ليست متصلة ببساطة؛ فغطاؤها الشامل هو مرة أخرى زمرة الدوران ، ولكن هذه الأخيرة لها مركز أيضًا (انظر مقالتها).

المخطط D2 _عبارة عن عقدتين معزولتين، وهو نفسه المخطط _A1_∪A1 ، ويتوافق هذا التطابق مع تشاكل التغطية من SU(2) × SU(2) إلى SO(4) المُعطى بضرب الكواترنيونات ؛ انظر الكواترنيونات والدوران المكاني . وبالتالي، فإن SO(4) ليست زمرة بسيطة. كذلك، فإن المخطط D3 _هو نفسه المخطط _A3 ، وهو ما يتوافق مع تشاكل التغطية من SU(4) إلى SO(6).

إضافةً إلى العائلات الأربع _{المذكورة أعلاه}_{، Aᵢ} و Bᵢ و Cᵢ و Dᵢ ، _توجد خمس مخططات دينكين استثنائية، هي _G₂ و F₄ _و E₆ و _E₇ و _E₈ ؛ وترتبط _بهذه _{المخططات} الاستثنائية زمرٌ بسيطة الاتصال وزمرٌ متراصة لا مركزية . مع ذلك، فإن وصف الزمر المرتبطة بالعائلات الاستثنائية أصعب من وصف تلك المرتبطة بالعائلات اللانهائية، ويعود ذلك أساسًا إلى أن وصفها يعتمد على كائنات استثنائية . على سبيل المثال، الزمرة المرتبطة بـ G₂ _هي زمرة التشاكل الذاتي للأوكتونيونات ، والزمرة المرتبطة بـ F₄ _هي زمرة التشاكل الذاتي لجبر ألبرت معين .

انظر أيضًا $\color {Blue}E_{7{\frac {1}{2}}}$ ⁠ .

قائمة

أبيليان

	الأبعاد	مجموعة التماثل الخارجي	أبعاد الفضاء المتناظر	فضاء متناظر	ملاحظات
$\mathbb {R}$ (أبيلية)	1	$\mathbb {R} ^{*}$	1	$\mathbb {R}$	^†

ملحوظات

^† المجموعة

\mathbb {R}

لا تُعتبر هذه المجموعة "بسيطة" كمجموعة مجردة، ووفقًا لمعظم التعريفات (وليس جميعها)، فهي ليست مجموعة لي بسيطة. علاوة على ذلك، لا يعتبر معظم المؤلفين جبر لي الخاص بها جبر لي بسيطًا. وقد أُدرجت هنا لاستكمال قائمة "الفضاءات المتناظرة المتصلة البسيطة غير القابلة للاختزال". لاحظ أن

\mathbb {R}

هو الفضاء المتناظر غير المضغوط الوحيد من نوعه بدون فضاء مزدوج مضغوط (على الرغم من أنه يحتوي على فضاء قسمة مضغوط S ¹ ).

صغير الحجم

	الأبعاد	المجموعة الأساسية	مجموعة التماثل الخارجي	أسماء أخرى	ملاحظات
مجموعة مضغوطة من النوع _n ( $حيث n \geq 1$ )	ن ( ن + 2)	دورية، من الرتبة $n + 1$	1 إذا كان $n = 1$ ، 2 إذا كان $n > 1$ .	المجموعة الوحدوية الخاصة الإسقاطية $PSU(n + 1)$	A ₁ هو نفسه B ₁ و C ₁
B _n ( $n \geq 2$ ) مضغوطة	ن (2 ن + 1)	2	1	المجموعة المتعامدة الخاصة SO_{2 n +1} ( R )	B ₁ هو نفسه A ₁ و C _1.B ₂ هو نفسه C ₂ .
C _n ( $n \geq 3$ ) مضغوطة	ن (2 ن + 1)	2	1	الزمرة التبسيطية المدمجة الإسقاطية PSp( n ), PSp(2n ) , PUSp( n ), PUSp( 2n )	هيرميتي. بنى معقدة لـ H ⁿ . نسخ من الفضاء الإسقاطي المعقد في الفضاء الإسقاطي الرباعي.
D _n ( $n \geq 4$ ) مضغوطة	ن (2 ن − 1)	الرتبة 4 (دورية عندما يكون n فرديًا).	2 إذا كان $n > 4$ ، S ₃ إذا كان $n = 4$	مجموعة إسقاطية خاصة متعامدة PSO _{2 n} ( R )	D ₃ هو نفسه A ₃ ، و D ₂ هو نفسه A ₁² ، و D ₁ تبديلي.
E ₆^{− 78} مضغوط	78	3	2
E ₇^{− 133} مضغوط	133	2	1
E ₈^{− 248} مضغوط	248	1	1
F ₄^{− 52} مضغوط	52	1	1
G ₂^{− 14} مضغوط	14	1	1		هذه هي مجموعة التشاكل الذاتي لجبر كايلي.

ينقسم

	الأبعاد	الرتبة الحقيقية	أكبر مجموعة فرعية مضغوطة	المجموعة الأساسية	مجموعة التشاكل الذاتي الخارجي	أسماء أخرى	أبعاد الفضاء المتناظر	مساحة متناظرة مدمجة	فضاء متناظر غير متراص	ملاحظات
تقسيم A _n I ( n ≥ 1)	ن ( ن + 2)	ن	D _{n /2} أو B _{( n − 1)/2}	دورية لانهائية إذا كان n = 1، و2 إذا كان n ≥ 2	1 إذا كان n = 1، 2 إذا كان n ≥ 2.	الزمرة الخطية الخاصة الإسقاطية PSL_{n +1} (R)	$ن (ن + 3) / 2$	البنى الحقيقية على C ^{n +1} أو مجموعة RP ⁿ في CP ⁿ . هيرميتية إذا كان $n = 1$ ، وفي هذه الحالة تكون الكرة ثنائية الأبعاد.	البنى الإقليدية على R ^{n +1} . هيرميتية إذا كان $n = 1$ ، عندما يكون النصف العلوي من المستوى أو قرص العقدة الوحدة.
B _n I ( n ≥ 2) split	ن (2 ن + 1)	ن	SO( n )SO( n +1)	غير دوري، من الرتبة الرابعة	1	العنصر المحايد للمجموعة المتعامدة الخاصة SO( n , n +1 )	$ن (ن + 1)$			B ₁ هو نفسه A ₁ .
C _n I ( n ≥ 3) split	ن (2 ن + 1)	ن	A _{n − 1}S ¹	دورية لا نهائية	1	الزمرة التبسيطية الإسقاطية PSp _{2 n} ( R ), PSp(2 n , R ), PSp(2 n ), PSp( n , R ), PSp( n )	$ن (ن + 1)$	هيرميتي. بنى معقدة لـ H ⁿ . نسخ من الفضاء الإسقاطي المعقد في الفضاء الإسقاطي الرباعي.	هيرميتي. بنى معقدة على R²ⁿ متوافقة مع شكل تماثلي. مجموعة من الفضاءات الزائدية المعقدة في الفضاء الزائدي الرباعي. نصف فضاء سيجل ^{العلوي .}	C ₂ هو نفسه B ₂ ، و C ₁ هو نفسه B ₁ و A ₁ .
D _n I ( n ≥ 4) split	ن (2 ن − 1)	ن	SO( n )SO( n )	اطلب 4 إذا كان n فرديًا، و8 إذا كان n زوجيًا	2 إذا كان $n > 4$ ، S ₃ إذا كان $n = 4$	المكون المحايد للمجموعة المتعامدة الخاصة الإسقاطية PSO( n , n )	ن ²			D ₃ هو نفسه A ₃ ، و D ₂ هو نفسه A ₁² ، و D ₁ تبديلي.
E ₆⁶ I split	78	6	ج ₄	الطلب رقم 2	الطلب رقم 2	EI	42
E ₇⁷ V split	133	7	7	دوري، من الرتبة 4	الطلب رقم 2		70
E ₈⁸ VIII split	248	8	د ₈	2	1	هـ ٨	128			@ E8
F ₄⁴ I split	52	4	ج ₃ × أ ₁	الطلب رقم 2	1	FI	28	المستويات الإسقاطية الرباعية في مستوى كايلي الإسقاطي.	المستويات الإسقاطية الرباعية الزائدية في المستوى الإسقاطي الزائدي لكايلي.
G ₂² I split	14	2	A ₁ × A ₁	الطلب رقم 2	1	جي آي	8	الجبر الفرعي الرباعي لجبر كايلي. كواتيرنيون-كاهلر.	الجبر الفرعي الرباعي غير القابل للقسمة لجبر كايلي غير القابل للقسمة. كواتيرنيون-كاهلر.

معقد

	البعد الحقيقي	الرتبة الحقيقية	أكبر مجموعة فرعية مضغوطة	المجموعة الأساسية	مجموعة التشاكل الذاتي الخارجي	أسماء أخرى	أبعاد الفضاء المتناظر	مساحة متناظرة مدمجة	فضاء متناظر غير متراص
مركب ( _n ≥ 1)	2 ن ( ن + 2)	ن	أن	دورية، من الرتبة $n + 1$	2 إذا كان $n = 1$ ، 4 (غير دوري) إذا كان $n \geq 2$ .	المجموعة الخطية الخاصة المركبة الإسقاطية PSL_{n +1} ( C )	ن ( ن + 2)	مجموعة مضغوطة أ _ن	الأشكال الهرميتية على C ^{n +1} بحجم ثابت.
B _n ( n ≥ 2) المركب	2 ن (2 ن + 1)	ن	ب _ن	2	الرتبة الثانية (الاقتران المعقد)	مجموعة متعامدة خاصة معقدة SO _{2 n +1} ( C )	ن (2 ن + 1)	المجموعة المدمجة ب _ن
مركب C _n ( n ≥ 3)	2 ن (2 ن + 1)	ن	سي _إن	2	الرتبة الثانية (الاقتران المعقد)	مجموعة إسقاطية معقدة متماثلة PSp _{2 n} ( C )	ن (2 ن + 1)	المجموعة المدمجة C _n
D _n ( n ≥ 4) معقد	2 ن (2 ن − 1)	ن	د _ن	الرتبة 4 (دورية عندما يكون n فرديًا)	غير دوري من الرتبة 4 لـ $n > 4$ ، أو ناتج مجموعة من الرتبة 2 والمجموعة المتناظرة S ₃ عندما $n = 4$ .	مجموعة إسقاطية معقدة خاصة متعامدة PSO _{2 n} ( C )	ن (2 ن − 1)	المجموعة المدمجة D _n
معقد E6	156	6	E ₆	3	الرتبة 4 (غير دورية)		78	المجموعة المدمجة E ₆
معقد E7	266	7	E ₇	2	الرتبة الثانية (الاقتران المعقد)		133	المجموعة المدمجة E ₇
معقد E ₈	496	8	E ₈	1	الرتبة الثانية (الاقتران المعقد)		248	المجموعة المدمجة E ₈
مركب F ₄	104	4	F ₄	1	2		52	المجموعة المدمجة F ₄
مركب G2	28	2	جي ₂	1	الرتبة الثانية (الاقتران المعقد)		14	المجموعة المدمجة G ₂

آحرون

	الأبعاد	الرتبة الحقيقية	أكبر مجموعة فرعية مضغوطة	المجموعة الأساسية	مجموعة التماثل الخارجي	أسماء أخرى	أبعاد الفضاء المتناظر	مساحة متناظرة مدمجة	فضاء متناظر غير متراص	ملاحظات
A _{2 n − 1} II ( n ≥ 2)	$(2 ن - 1)(2 ن + 1)$	ن - 1	سي _إن	الطلب رقم 2		SL _n ( H ), SU ^∗ (2 n )	$(ن - 1)(2 ن + 1)$	البنى الرباعية على C ^{2 n} متوافقة مع البنية الهرميتية	نسخ من الفضاء الزائدي الرباعي (ذي البعد $n - 1$ ) في الفضاء الزائدي المركب (ذي البعد $2 n - 1$ ).
A _n III ( n ≥ 1) p + q = n + 1 (1 ≤ p ≤ q )	ن ( ن + 2)	ص	A _{p − 1}A _{q − 1}S ¹			SU( p , q ), A III	2 pq	هيرميتي . غراسمانيان لـ p فضاءات جزئية من C ^{p + q} . إذا كان p أو q يساوي 2؛ كواترنيون-كاهلر	هيرميتي. غراسماني للفضاءات الجزئية الموجبة المحددة القصوى من C ^{p , q} . إذا كان p أو q يساوي 2، فإن كواترنيون-كاهلر	إذا كان p = q = 1، يتم الانقسام. إذا كان \| p − q \| ≤ 1، يتم الانقسام شبه الكامل.
B _n I ( n > 1) p + q = 2 n +1	ن (2 ن + 1)	min( p , q )	SO( p )SO( q )			SO( p , q )	pq	فضاء غراسمان في R ^p s في R ^{p + q} . إذا كان p أو q يساوي 1، فهو فضاء إسقاطي. إذا كان p أو q يساوي 2، فهو فضاء هيرميتي. إذا كان p أو q يساوي 4، فهو فضاء كواترنيون-كاهلر.	فضاء غراسمان الموجب المحدد R ^p s في R ^{p , q} . إذا كان p أو q يساوي 1، فهو فضاء زائدي. إذا كان p أو q يساوي 2، فهو فضاء هيرميتي. إذا كان p أو q يساوي 4، فهو فضاء كواتيرنيون-كاهلر	إذا كان \| p − q \| ≤ 1، قم بالتقسيم.
ج _ن II ( ن > 2) ن = ص + ف (1 ≥ ص ≥ ف )	ن (2 ن + 1)	min( p , q )	ج _ب ج _ق	الطلب رقم 2	1 إذا كان p ≠ q ، 2 إذا كان p = q .	Sp _{2 p ,2 q} (R)	4 pq	فضاء غراسمان لـ H ^p s في H ^{p + q} . إذا كان p أو q يساوي 1، فهو فضاء إسقاطي رباعي، وفي هذه الحالة يكون فضاء كاهلر رباعي.	H ^p s in H ^{p , q} . إذا كان p أو q يساوي 1، فإن الفضاء الزائدي الرباعي يكون في هذه الحالة فضاء كاهلر الرباعي.
D _n I ( n ≥ 4) p + q = 2 n	ن (2 ن − 1)	min( p , q )	SO( p )SO( q )		إذا كان p و q ≥ 3، فالترتيب 8.	SO( p , q )	pq	فضاء غراسمان في R ^p s في R ^{p + q} . إذا كان p أو q يساوي 1، فهو فضاء إسقاطي. إذا كان p أو q يساوي 2 ، فهو فضاء هيرميتي. إذا كان p أو q يساوي 4، فهو فضاء كواتيرنيون-كاهلر.	فضاء غراسمان الموجب المحدد R ^p s في R ^{p , q} . إذا كان p أو q يساوي 1، فهو فضاء زائدي. إذا كان p أو q يساوي 2، فهو فضاء هيرميتي. إذا كان p أو q يساوي 4، فهو فضاء كواتيرنيون-كاهلر.	إذا كان $p = q$ ، يتم الانقسام. إذا كان \| p − q \| ≤ 2، يتم الانقسام شبه الكامل.
D _n III ( n ≥ 4)	ن (2 ن − 1)	⌊ n /2⌋	A _{n − 1}R ¹	دورية لا نهائية	الطلب رقم 2	SO ^* (2n)	ن ( ن − 1)	هيرميتي. هياكل معقدة على R ^{2 n} متوافقة مع البنية الإقليدية.	هيرميتيان. الأشكال التربيعية الرباعية على R ^{2 n} .
E ₆² II (شبه منقسم)	78	4	أ _٥أ _١	دوري، من الرتبة 6	الطلب رقم 2	E II	40	كواتيرنيون-كاهلر.	كواتيرنيون-كاهلر.	شبه منقسمة ولكنها ليست منقسمة.
E ₆^{− 14} III	78	2	D ₅S ¹	دورية لا نهائية	تافه	إي 3	32	هيرميتي. مستوى إسقاطي إهليلجي روزنفيلد فوق أعداد كايلي المعقدة.	هيرميتي. مستوى إسقاطي زائدي لروزنفيلد فوق أعداد كايلي المعقدة.
E ₆^{− 26} IV	78	2	F ₄	تافه	الطلب رقم 2	هـ 4	26	مجموعة من المستويات الإسقاطية لكايلي في المستوى الإسقاطي فوق أعداد كايلي المعقدة.	مجموعة من المستويات الزائدية لكايلي في المستوى الزائدي فوق أعداد كايلي المعقدة.
E ₇^{− 5} VI	133	4	D ₆A ₁	غير دوري، من الرتبة الرابعة	تافه	هـ 6	64	كواتيرنيون-كاهلر.	كواتيرنيون-كاهلر.
E ₇^{− 25} VII	133	3	E ₆S ¹	دورية لا نهائية	الطلب رقم 2	هـ 7	54	هيرميتي.	هيرميتي.
E ₈^{− 24} IX	248	4	E ₇ × A ₁	الطلب رقم 2	1	إي 9	112	كواتيرنيون-كاهلر.	كواتيرنيون-كاهلر.
F ₄^{− 20} II	52	1	B ₄ (لفة ₉ ( يمين ))	الطلب رقم 2	1	F II	16	المستوى الإسقاطي لكايلي. كواترنيون-كاهلر.	المستوى الإسقاطي لكايلي الزائدي. كواترنيون-كاهلر.

زمر لي البسيطة ذات الأبعاد الصغيرة

يُبيّن الجدول التالي بعض زمر لي ذات جبر لي بسيط ذي بُعد صغير. جميع الزمر على خط مُحدد لها نفس جبر لي. في حالة البُعد 1، تكون الزمر تبديلية وليست بسيطة.

خافت	المجموعات		فضاء متناظر	ثنائي مدمج	رتبة	خافت
1	ℝ , S ¹ = U(1) = SO ₂ ( ℝ ) = Spin(2)	أبيليان، مضغوط	الخط الحقيقي		0	1
3	S ³ = Sp(1) = SU(2) = Spin(3), SO ₃ ( ℝ ) = PSU(2)	صغير الحجم
3	SL ₂ ( ℝ ) = Sp ₂ ( ℝ ), SO _2,1 ( ℝ )	منقسم، هيرميتي، زائدي	المستوى الزائدي $\mathbb {H} ^{2}$	المجال S ²	1	2
6	SL ₂ ( ℂ ) = Sp ₂ ( ℂ ), SO _3,1 ( ℝ ), SO ₃ ( ℂ )	معقد	الفضاء الزائدي $\mathbb {H} ^{3}$	المجال S ³	1	3
8	SL ₃ ( ℝ )	ينقسم	الهياكل الإقليدية على $\mathbb {R} ^{3}$	هياكل حقيقية على $\mathbb {C} ^{3}$	2	5
8	SU(3)	صغير الحجم
8	SU(1,2)	هيرميتي، شبه منقسم، رباعي	المستوى الزائدي المركب	المستوى الإسقاطي المركب	1	4
10	Sp(2) = Spin(5), SO ₅ ( ℝ )	صغير الحجم
10	SO _4,1 ( ℝ ), Sp _2,2 ( ℝ )	زائدية، رباعية	الفضاء الزائدي $\mathbb {H} ^{4}$	المجال S ⁴	1	4
10	SO _3,2 ( ℝ ), Sp ₄ ( ℝ )	سبليت، هيرميتيان	مساحة النصف العلوي من سيجل	هياكل معقدة على $\mathbb {H} ^{2}$	2	6
14	جي ₂	صغير الحجم
14	جي ₂	منقسم، رباعي	الجبر الفرعي الرباعي غير القابل للقسمة للأوكتونيونات غير القابلة للقسمة	الجبر الفرعي الرباعي للأوكتونيون	2	8
15	SU(4) = Spin(6), SO ₆ ( ℝ )	صغير الحجم
15	SL ₄ ( ℝ ), SO _3,3 ( ℝ )	ينقسم	ℝ ³ في ℝ ^3,3	غراسمانيان G (3,3)	3	9
15	SU(3,1), SO*(6)	المنعزل	الفضاء الزائدي المركب	الفضاء الإسقاطي المعقد	1	6
15	SU(2,2), SO _4,2 ( ℝ )	هيرميتي، شبه منقسم، رباعي	ℝ ² في ℝ ^2,4	غراسمانيان G (2,4)	2	8
15	SL ₂ ( ℍ ), SO _5,1 ( ℝ )	القطع الزائد	الفضاء الزائدي $\mathbb {H} ^{5}$	الكرة S ⁵	1	5
16	SL ₃ ( ℂ )	معقد		SU(3)	2	8
20	SO ₅ ( ℂ ), Sp ₄ ( ℂ )	معقد		الدوران ₅ ( ℝ )	2	10
21	SO ₇ ( ℝ )	صغير الحجم
21	SO _6,1 ( ℝ )	القطع الزائد	الفضاء الزائدي $\mathbb {H} ^{6}$	المجال S ⁶
21	SO _5,2 ( ℝ )	المنعزل
21	SO _4,3 ( ℝ )	منقسم، رباعي
21	Sp(3)	صغير الحجم
21	Sp ₆ ( ℝ )	سبليت، هيرميتيان
21	Sp _4,2 ( ℝ )	الرباعي
24	SU(5)	صغير الحجم
24	SL ₅ ( ℝ )	ينقسم
24	SU _4,1	المنعزل
24	SU _3,2	هيرميتي، رباعي
28	SO ₈ ( ℝ )	صغير الحجم
28	SO _7,1 ( ℝ )	القطع الزائد	الفضاء الزائدي $\mathbb {H} ^{7}$	المجال S ⁷
28	SO _6,2 ( ℝ ), SO ^∗₈ ( ℝ )	المنعزل
28	SO _5,3 ( ℝ )	شبه منقسم
28	SO _4,4 ( ℝ )	منقسم، رباعي
28	G ₂ ( ℂ )	معقد
30	SL ₄ ( ℂ )	معقد

مجموعات بسيطة

الزمرة البسيطة المتشابكة هي زمرة لي لا يحتوي مخطط دينكين الخاص بها إلا على روابط بسيطة، وبالتالي فإن جميع الجذور غير الصفرية لجبر لي المقابل لها لها نفس الطول. زمر السلسلة A وD وE جميعها بسيطة متشابكة، ولكن لا توجد زمرة من النوع B أو C أو F أو G بسيطة متشابكة.

انظر أيضاً

مراجع

جاكوبسون، ناثان (1971). جبر لي الاستثنائي . مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 0-8247-1326-5.
فولتون، ويليام ؛ هاريس، جو (2004). نظرية التمثيل: مدخل تمهيدي . سبرينغر. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-1-4612-0979-9.
يوكوتا، إيشيرو (2009). جماعات الكذب الاستثنائية .

للمزيد من القراءة

بيسي، متشعبات أينشتاين . رقم ISBN 0-387-15279-2
هيلجاسون، الهندسة التفاضلية، زمر لي، والفضاءات المتناظرة . ISBN 0-8218-2848-7
فوكس وشفايغرت، التناظرات، وجبر لي، والتمثيلات: دورة دراسات عليا للفيزيائيين. مطبعة جامعة كامبريدج، 2003. ISBN 0-521-54119-0

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗