المرونة الخطية

المرونة الخطية هي نموذج رياضي يصف كيفية تشوه الأجسام الصلبة وتعرضها للإجهاد الداخلي نتيجةً لظروف تحميل محددة. وهي تبسيط لنظرية المرونة غير الخطية الأكثر عمومية، وفرع من فروع ميكانيكا الأوساط المتصلة .

تتمثل الافتراضات الأساسية للمرونة الخطية في الانفعالات المتناهية الصغر - أي التشوهات "الصغيرة" - والعلاقات الخطية بين مركبات الإجهاد والانفعال ، ومن هنا جاءت كلمة "خطية" في اسمها. لا تصح المرونة الخطية إلا في حالات الإجهاد التي لا تؤدي إلى الخضوع . وتُعدّ افتراضاتها منطقية بالنسبة للعديد من المواد الهندسية وسيناريوهات التصميم الهندسي. لذا، تُستخدم المرونة الخطية على نطاق واسع في التحليل الإنشائي والتصميم الهندسي، وغالبًا ما يتم ذلك بالاستعانة بتحليل العناصر المحدودة .

الصياغة الرياضية

تعتمد المعادلات التي تحكم مسألة القيم الحدية المرنة الخطية على ثلاث معادلات تفاضلية جزئية موترية لتوازن الزخم الخطي وست علاقات بين الانفعال والإزاحة المتناهية الصغر . ويكتمل نظام المعادلات التفاضلية بمجموعة من العلاقات التكوينية الجبرية الخطية .

الشكل المباشر للموتر

في شكل الموتر المباشر المستقل عن اختيار نظام الإحداثيات، تكون هذه المعادلات الحاكمة كما يلي: ^{[ 1 ]}

معادلة كوشي للزخم ، وهي تعبير عن قانون نيوتن الثاني . وتُكتب في صيغتها الحملية على النحو التالي: ${\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {F} =\rho {\ddot {\mathbf {u} }}$
معادلات الإجهاد والإزاحة : ${\boldsymbol {\varepsilon}}={\tfrac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right]$
المعادلات التكوينية . بالنسبة للمواد المرنة، يمثل قانون هوك سلوك المادة ويربط بين الإجهادات والانفعالات المجهولة. المعادلة العامة لقانون هوك هي: ${\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {C}}:{\boldsymbol {\varepsilon }},$

أين ${\boldsymbol {\sigma }}$ هو موتر إجهاد كوشي ، ${\boldsymbol {\varepsilon }}$ هو موتر الإجهاد المتناهي الصغر ، $\mathbf {u}$ هو متجه الإزاحة ، ${\mathsf {C}}$ هو موتر الصلابة من الرتبة الرابعة ، $\mathbf {F}$ هي قوة الجسم لكل وحدة حجم، $\rho$ هي كثافة الكتلة، ${\boldsymbol {\nabla }}$ يمثل عامل نابلا ، $(\bullet )^{\mathrm {T} }$ يمثل عملية نقل ، ${\ddot {(\bullet )}}$ يمثل المشتق المادي الثاني بالنسبة للزمن، و ${\mathsf {A}}:{\mathsf {B}}=A_{ij}B_{ij}$ هو حاصل الضرب الداخلي لموترين من الدرجة الثانية (يفترض الجمع على المؤشرات المتكررة).

شكل الإحداثيات الديكارتية

المعادلات الحاكمة للمرونة الخطية، معبر عنها بدلالة المكونات بالنسبة لنظام إحداثيات ديكارتية مستطيلة، هي: ^{[ 1 ]}

معادلة الحركة : $\sigma _{ji,j}+F_{i}=\rho \partial _{tt}u_{i}$ حيث ${(\bullet )}_{,j}$ الرمز السفلي هو اختصار لـ $\partial {(\bullet )}/\partial x_{j}$ و $\partial _{tt}$ يشير $\partial ^{2}/\partial t^{2}$ ، $\sigma _{ij}=\sigma _{ji}$ هو موتر إجهاد كوشي ، $F_{i}$ هي كثافة قوة الجسم ، $\rho$ هي كثافة الكتلة، و $u_{i}$ هو الإزاحة.
هذه ثلاث معادلات مستقلة بستة مجاهيل مستقلة (إجهادات).
في المصطلحات الهندسية، هي: ${\begin{aligned}{\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial t^{2}}}\\{\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}+F_{y}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial t^{2}}}\\{\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+F_{z}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}$
معادلات الإجهاد والإزاحة : $\varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}(u_{j,i}+u_{i,j})$ أين $\varepsilon _{ij}=\varepsilon _{ji}\,\!$ يمثل الإجهاد. هذه 6 معادلات مستقلة تربط الإجهادات والإزاحات مع 9 مجاهيل مستقلة (الإجهادات والإزاحات).
في المصطلحات الهندسية، هي: ${\begin{aligned}\epsilon _{x}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\\\epsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\\\epsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\end{aligned}}\qquad {\begin{aligned}\gamma _{xy}={\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\\\gamma _{yz}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\\\gamma _{zx}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\end{aligned}}$
المعادلات التكوينية . معادلة قانون هوك هي: $\sigma _{ij}=C_{ijkl}\,\varepsilon _{kl}$ أين $C_{ijkl}$ يمثل موتر الصلابة. هذه ست معادلات مستقلة تربط الإجهادات والانفعالات. يؤدي شرط تناظر موترات الإجهاد والانفعال إلى تساوي العديد من الثوابت المرنة، مما يقلل عدد العناصر المختلفة إلى 21 ^{[ 2 ].} $C_{ijkl}=C_{klij}=C_{jikl}=C_{ijlk}$ .

تُعدّ مسألة القيمة الحدية المرنة الساكنة لوسط متجانس الخواص نظامًا من 15 معادلة مستقلة، ولكل منها عدد متساوٍ من المجاهيل (3 معادلات اتزان، و6 معادلات إزاحة-انفعال، و6 معادلات تأسيسية). وبتحديد الشروط الحدية، تُصبح مسألة القيمة الحدية مُعرّفة تعريفًا كاملًا. ولحلّ هذا النظام، يُمكن اتباع منهجين وفقًا للشروط الحدية لمسألة القيمة الحدية: صياغة الإزاحة ، وصياغة الإجهاد .

شكل الإحداثيات الأسطوانية

في الإحداثيات الأسطوانية ( $r,\theta ,z$ ) معادلات الحركة هي ^{[ 1 ]} ${\begin{aligned}&{\frac {\partial \sigma _{rr}}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \sigma _{rz}}{\partial z}}+{\cfrac {1}{r}}(\sigma _{rr}-\sigma _{\theta \theta })+F_{r}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \sigma _{\theta z}}{\partial z}}+{\frac {2}{r}}\sigma _{r\theta }+F_{\theta }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\theta }}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{rz}}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta z}}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}+{\frac {1}{r}}\sigma _{rz}+F_{z}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}$ علاقات الإجهاد والإزاحة هي ${\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}~;~~\varepsilon _{\theta \theta }={\frac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)~;~~\varepsilon _{zz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\\varepsilon _{r\theta }&={\frac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\theta }}{r}}\right)~;~~\varepsilon _{\theta z}={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial z}}+{\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial \theta }}\right)~;~~\varepsilon _{zr}={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{r}}{\partial z}}+{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial r}}\right)\end{aligned}}$ والعلاقات التكوينية هي نفسها كما في الإحداثيات الديكارتية، باستثناء أن المؤشرات 1 و2 و3 تشير الآن إلى $r$ ، $\theta$ ، $z$ ، على التوالى.

شكل الإحداثيات الكروية

في الإحداثيات الكروية ( $r,\theta ,\phi$ ) معادلات الحركة هي ^{[ 1 ]} ${\begin{aligned}&{\frac {\partial \sigma _{rr}}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{r\phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}(2\sigma _{rr}-\sigma _{\theta \theta }-\sigma _{\phi \phi }+\sigma _{r\theta }\cot \theta )+F_{r}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \theta }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{\theta \phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}[(\sigma _{\theta \theta }-\sigma _{\phi \phi })\cot \theta +3\sigma _{r\theta }]+F_{\theta }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\theta }}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\phi }}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \phi }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{\phi \phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}(2\sigma _{\theta \phi }\cot \theta +3\sigma _{r\phi })+F_{\phi }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\phi }}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}$

موتر الإجهاد في الإحداثيات الكروية هو ${\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}\\\varepsilon _{\theta \theta }&={\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{\phi \phi }&={\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}+u_{r}\sin \theta +u_{\theta }\cos \theta \right)\\\varepsilon _{r\theta }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\frac {u_{\theta }}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta \phi }&={\frac {1}{2r}}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \phi }}+\left({\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \theta }}-u_{\phi }\cot \theta \right)\right]\\\varepsilon _{r\phi }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}-{\frac {u_{\phi }}{r}}\right).\end{aligned}}$

الأوساط (غير) المتجانسة (غير) المتجانسة

في الأوساط المتجانسة ، يُحدد موتر الصلابة العلاقة بين الإجهادات (الإجهادات الداخلية الناتجة) والانفعالات (التشوهات الناتجة). في الوسط المتجانس، لا يوجد اتجاه مفضل لموتر الصلابة: فالقوة المطبقة تُحدث نفس الإزاحات (بالنسبة لاتجاه القوة) بغض النظر عن اتجاه تطبيقها. في حالة الوسط المتجانس، يمكن كتابة موتر الصلابة على النحو التالي: $C_{ijkl}=K\,\delta _{ij}\,\delta _{kl}+\mu \,(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}-{\tfrac {2}{3}}\,\delta _{ij}\,\delta _{kl})$ أين $\delta _{ij}$ يمثل δ معامل كرونكر ، وK معامل الحجم (أو عدم الانضغاط)، و $\mu$ يمثل معامل القص (أو الصلابة)، ومعاملين مرنين . إذا كان الوسط غير متجانس، فإن النموذج المتناحي يكون مناسبًا إما إذا كان الوسط ثابتًا جزئيًا أو غير متجانس بشكل طفيف؛ أما في النموذج الأملس غير المتجانس بشدة، فيجب مراعاة التباين. إذا كان الوسط متجانسًا ، فإن المعاملات المرنة ستكون مستقلة عن الموضع في الوسط. يمكن الآن كتابة المعادلة التكوينية على النحو التالي: $\sigma _{ij}=K\delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\delta _{ij}\varepsilon _{kk}\right).$

يفصل هذا التعبير الإجهاد إلى جزء قياسي على اليسار، والذي قد يرتبط بضغط قياسي، وجزء عديم الأثر على اليمين، والذي قد يرتبط بقوى القص. وهناك تعبير أبسط: ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} $\sigma _{ij}=\lambda \delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \varepsilon _{ij}$ حيث λ هو المعامل الأول للامي . وبما أن المعادلة التكوينية هي ببساطة مجموعة من المعادلات الخطية، فيمكن التعبير عن الانفعال كدالة للإجهادات على النحو التالي: ^{[ 5 ]} $\varepsilon _{ij}={\frac {1}{9K}}\delta _{ij}\sigma _{kk}+{\frac {1}{2\mu }}\left(\sigma _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\delta _{ij}\sigma _{kk}\right)$ وهذا يعني، مرة أخرى، جزءًا قياسيًا على اليسار وجزء قص عديم الأثر على اليمين. بعبارة أبسط: $\varepsilon _{ij}={\frac {1}{2\mu }}\sigma _{ij}-{\frac {\nu }{E}}\delta _{ij}\sigma _{kk}={\frac {1}{E}}[(1+\nu )\sigma _{ij}-\nu \delta _{ij}\sigma _{kk}]$ أين $\nu$ نسبة بواسون و $E$ هو معامل يونغ .

علم المرونة الساكنة

علم المرونة الساكنة هو دراسة المرونة الخطية في ظل شروط التوازن، حيث يكون مجموع جميع القوى المؤثرة على الجسم المرن مساويًا للصفر، ولا تكون الإزاحات دالة للزمن. وتكون معادلات التوازن عندئذٍ $\sigma _{ji,j}+F_{i}=0.$ في الترميز الهندسي (مع اعتبار تاو إجهاد القص )،

${\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}=0$
${\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}+F_{y}=0$
${\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+F_{z}=0$

سيناقش هذا القسم الحالة المتجانسة متساوية الخواص فقط.

صياغة الإزاحة

في هذه الحالة، تُحدد الإزاحات مسبقًا في جميع أنحاء الحدود. في هذا النهج، تُحذف الانفعالات والإجهادات من الصيغة، وتبقى الإزاحات هي المجاهيل التي يجب إيجادها في المعادلات الحاكمة. أولًا، تُستبدل معادلات الانفعال-الإزاحة في المعادلات التكوينية (قانون هوك)، مما يؤدي إلى حذف الانفعالات كمجاهيل. $\sigma _{ij}=\lambda \delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \varepsilon _{ij}=\lambda \delta _{ij}u_{k,k}+\mu \left(u_{i,j}+u_{j,i}\right).$ الاشتقاق (بافتراض $\lambda$ و $\mu$ (متجانسة مكانيًا) ينتج عنها: $\sigma _{ij,j}=\lambda u_{k,ki}+\mu \left(u_{i,jj}+u_{j,ij}\right).$ بالتعويض في معادلة التوازن نحصل على: $\lambda u_{k,ki}+\mu \left(u_{i,jj}+u_{j,ij}\right)+F_{i}=0$ أو (استبدال المؤشرات المزدوجة (الوهمية) (=الجمع) k,k بـ j,j وتبديل المؤشرات ij إلى ji بعد ذلك، بموجب نظرية شوارتز ) $\mu u_{i,jj}+(\mu +\lambda )u_{j,ji}+F_{i}=0$ أين $\lambda$ و $\mu$ هي معاملات لاميه . وبهذه الطريقة، تبقى الإزاحات هي المجاهيل الوحيدة، ومن هنا جاء اسم هذه الصيغة. تُسمى المعادلات الحاكمة التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة معادلات المرونة الساكنة ، وهي حالة خاصة من معادلات نافيير-كوشي المستقرة المذكورة أدناه.

اشتقاق معادلات نافيير-كوشي المستقرة باستخدام الترميز الهندسي

أولاً، $x$ سيتم النظر في الاتجاه -. يتم استبدال معادلات الإجهاد والإزاحة في معادلة التوازن في $x$ -الاتجاه الذي لدينا $\sigma _{x}=2\mu \varepsilon _{x}+\lambda (\varepsilon _{x}+\varepsilon _{y}+\varepsilon _{z})=2\mu {\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+\lambda \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)$ $\tau _{xy}=\mu \gamma _{xy}=\mu \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)$ $\tau _{xz}=\mu \gamma _{zx}=\mu \left({\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\right)$

ثم يتم استبدال هذه المعادلات في معادلة التوازن في $x\,\!$ -الاتجاه الذي لدينا ${\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}=0$ ${\frac {\partial }{\partial x}}\left(2\mu {\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+\lambda \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)\right)+\mu {\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)+\mu {\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\right)+F_{x}=0$

بافتراض أن $\mu$ و $\lambda$ إذا كانت الثوابت، يمكننا إعادة ترتيبها والحصول على: $\left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial z^{2}}}\right)+F_{x}=0$

باتباع نفس الإجراء لـ $y\,\!$ -الاتجاه و $z\,\!$ -الاتجاه الذي لدينا $\left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial z^{2}}}\right)+F_{y}=0$ $\left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial z^{2}}}\right)+F_{z}=0$

هذه المعادلات الثلاث الأخيرة هي معادلات نافيير-كوشي المستقرة، والتي يمكن التعبير عنها أيضًا باستخدام الترميز المتجهي كما يلي: $(\lambda +\mu )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} +\mathbf {F} ={\boldsymbol {0}}$

بمجرد حساب مجال الإزاحة، يمكن استبدال الإزاحات في معادلات الإجهاد والإزاحة لحساب الإجهادات، والتي تستخدم لاحقًا في المعادلات التكوينية لحساب الإجهادات.

معادلة ثنائية التوافق

يمكن كتابة معادلة المرونة الساكنة على النحو التالي: $(\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,ij}+\beta ^{2}u_{i,mm}=-F_{i}.$

بأخذ تباعد طرفي معادلة المرونة الساكنة، وبافتراض أن قوى الجسم لها تباعد صفري (متجانسة في المجال) ( $F_{i,i}=0\,\!$ ) لدينا $(\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,iij}+\beta ^{2}u_{i,imm}=0.$

مع ملاحظة أن مجموع المؤشرات لا يلزم أن يتطابق، وأن المشتقات الجزئية تتبادل، يتضح أن الحدين التفاضليين متماثلان، وبالتالي لدينا: $\alpha ^{2}u_{j,iij}=0$ ومن ذلك نستنتج ما يلي: $u_{j,iij}=0.$

بأخذ لابلاس طرفي معادلة المرونة الساكنة، وبافتراض بالإضافة إلى ذلك $F_{i,kk}=0\,\!$ لدينا $(\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,kkij}+\beta ^{2}u_{i,kkmm}=0.$

من معادلة التباعد، يكون الحد الأول على اليسار صفرًا (ملاحظة: مرة أخرى، لا يشترط أن تتطابق المؤشرات المجمعة) ولدينا: $\beta ^{2}u_{i,kkmm}=0$ ومن ذلك نستنتج ما يلي: $u_{i,kkmm}=0$ أو، في تدوين بدون إحداثيات $\nabla ^{4}\mathbf {u} =0$ وهي ببساطة معادلة ثنائية التوافق في $\mathbf {u} \,\!$ .

صياغة الإجهاد

في هذه الحالة، تُحدد قوى الشد السطحية في جميع أنحاء حدود السطح. في هذا النهج، تُحذف الانفعالات والإزاحات، وتبقى الإجهادات هي المجاهيل التي يجب إيجادها في المعادلات الحاكمة. بمجرد إيجاد مجال الإجهاد، تُحسب الانفعالات باستخدام المعادلات التكوينية.

يوجد ستة مكونات مستقلة لموتر الإجهاد يجب تحديدها، بينما في صيغة الإزاحة، يوجد ثلاثة مكونات فقط لمتجه الإزاحة. هذا يعني وجود قيود يجب فرضها على موتر الإجهاد لتقليل عدد درجات الحرية إلى ثلاثة. باستخدام المعادلات التكوينية، تُشتق هذه القيود مباشرةً من القيود المقابلة التي يجب أن تنطبق على موتر الانفعال، والذي يحتوي أيضًا على ستة مكونات مستقلة. يمكن اشتقاق القيود المفروضة على موتر الانفعال مباشرةً من تعريفه كدالة لحقل متجه الإزاحة ، مما يعني أن هذه القيود لا تُضيف أي مفاهيم أو معلومات جديدة. القيود المفروضة على موتر الانفعال هي الأسهل فهمًا. إذا تم تصور الوسط المرن كمجموعة من المكعبات متناهية الصغر في الحالة غير المُجهدة، فبعد إجهاد الوسط، يجب أن يُنتج أي موتر انفعال حالةً تظل فيها المكعبات المشوهة متطابقة دون تداخل. بمعنى آخر، بالنسبة لإجهاد معين، يجب أن يوجد حقل متجهي متصل (الإزاحة) يمكن من خلاله اشتقاق موتر الإجهاد. وقد اكتشف سان فينان القيود المفروضة على موتر الإجهاد اللازمة لضمان ذلك، وتُعرف هذه القيود باسم " معادلات توافق سان فينان ". وهي عبارة عن 81 معادلة، منها 6 معادلات مستقلة غير تافهة، تربط بين مكونات الإجهاد المختلفة. ويتم التعبير عنها باستخدام ترميز الفهرس كما يلي: $\varepsilon _{ij,km}+\varepsilon _{km,ij}-\varepsilon _{ik,jm}-\varepsilon _{jm,ik}=0.$ في المصطلحات الهندسية، هي: ${\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{xy}}{\partial x\partial y}}\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial y^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{yz}}{\partial y\partial z}}\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{zx}}{\partial z\partial x}}\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y\partial z}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(-{\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}-{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}-{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\end{aligned}}$

تُعبّر الانفعالات في هذه المعادلة بدلالة الإجهادات باستخدام المعادلات التكوينية، مما ينتج عنه القيود المقابلة على موتر الإجهاد. تُعرف هذه القيود على موتر الإجهاد بمعادلات بلترامي-ميشيل للتوافق. $\sigma _{ij,kk}+{\frac {1}{1+\nu }}\sigma _{kk,ij}+F_{i,j}+F_{j,i}+{\frac {\nu }{1-\nu }}\delta _{i,j}F_{k,k}=0.$ في الحالة الخاصة التي تكون فيها قوة الجسم متجانسة، فإن المعادلات المذكورة أعلاه تختزل إلى ^{[ 6 ]} $(1+\nu )\sigma _{ij,kk}+\sigma _{kk,ij}=0.$

الشرط الضروري، ولكنه غير كافٍ، لتحقيق التوافق في ظل هذه الحالة هو ${\boldsymbol {\nabla }}^{4}{\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {0}}$ أو $\sigma _{ij,kk\ell \ell }=0$ [ ¹^]

تسمح هذه القيود، إلى جانب معادلة التوازن (أو معادلة الحركة في علم المرونة الديناميكية)، بحساب مجال موتر الإجهاد . وبمجرد حساب مجال الإجهاد من هذه المعادلات، يمكن الحصول على الانفعالات من المعادلات التكوينية، ومجال الإزاحة من معادلات الانفعال-الإزاحة.

تتمثل إحدى تقنيات الحل البديلة في التعبير عن موتر الإجهاد بدلالة دوال الإجهاد ، مما يؤدي تلقائيًا إلى حل معادلة التوازن. وتخضع دوال الإجهاد بعد ذلك لمعادلة تفاضلية واحدة تتوافق مع معادلات التوافق.

حلول لحالات المرونة الساكنة

حل طومسون - قوة نقطية في وسط متجانس لانهائي

يُعدّ حل طومسون، أو حل كلفن، أهم حلول معادلة نافيير-كوشي، أو معادلة المرونة الساكنة، لتأثير قوة عند نقطة في وسط متجانس لانهائي. وقد اكتشف هذا الحل ويليام طومسون (الذي أصبح لاحقًا اللورد كلفن) عام 1848 (طومسون 1848). ويُشابه هذا الحل قانون كولوم في علم الكهرباء الساكنة . وقد ورد اشتقاقه في كتاب لاندو وليفشيتز ^{[ 7 ]}^{: §8} تعريف $a=1-2\nu$ $b=2(1-\nu )=a+1$ أين $\nu$ إذا كانت نسبة بواسون هي ، فيمكن التعبير عن الحل على النحو التالي $u_{i}=G_{ik}F_{k}$ أين $F_{k}$ يمثل متجه القوة المطبق عند النقطة، و $G_{ik}$ هي دالة غرين الموترية التي يمكن كتابتها في الإحداثيات الديكارتية على النحو التالي: $G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}\left[\left(1-{\frac {1}{2b}}\right)\delta _{ik}+{\frac {1}{2b}}{\frac {x_{i}x_{k}}{r^{2}}}\right]$

ويمكن كتابتها أيضاً بشكل مختصر على النحو التالي: $G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu }}\left[{\frac {\delta _{ik}}{r}}-{\frac {1}{2b}}{\frac {\partial ^{2}r}{\partial x_{i}\partial x_{k}}}\right]$ ويمكن كتابتها صراحة على النحو التالي: $G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}{\begin{bmatrix}1-{\frac {1}{2b}}+{\frac {1}{2b}}{\frac {x^{2}}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {xy}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {xz}{r^{2}}}\\{\frac {1}{2b}}{\frac {yx}{r^{2}}}&1-{\frac {1}{2b}}+{\frac {1}{2b}}{\frac {y^{2}}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {yz}{r^{2}}}\\{\frac {1}{2b}}{\frac {zx}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {zy}{r^{2}}}&1-{\frac {1}{2b}}+{\frac {1}{2b}}{\frac {z^{2}}{r^{2}}}\end{bmatrix}}$

في الإحداثيات الأسطوانية ( $\rho ,\phi ,z\,\!$ ) ويمكن كتابتها على النحو التالي: $G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}{\begin{bmatrix}1-{\frac {1}{2b}}{\frac {z^{2}}{r^{2}}}&0&{\frac {1}{2b}}{\frac {\rho z}{r^{2}}}\\0&1-{\frac {1}{2b}}&0\\{\frac {1}{2b}}{\frac {z\rho }{r^{2}}}&0&1-{\frac {1}{2b}}{\frac {\rho ^{2}}{r^{2}}}\end{bmatrix}}$ حيث $r$ هي المسافة الإجمالية إلى النقطة.

من المفيد بشكل خاص كتابة الإزاحة في الإحداثيات الأسطوانية لقوة نقطية $F_{z}$ موجهة على طول المحور z. تحديد ${\hat {\boldsymbol {\rho }}}$ و ${\hat {\mathbf {z} }}$ كمتجهات وحدة في $\rho$ و $z$ تؤدي الاتجاهات على التوالي إلى: $\mathbf {u} ={\frac {F_{z}}{4\pi \mu r}}\left[{\frac {1}{4(1-\nu )}}\,{\frac {\rho z}{r^{2}}}{\hat {\boldsymbol {\rho }}}+\left(1-{\frac {1}{4(1-\nu )}}\,{\frac {\rho ^{2}}{r^{2}}}\right){\hat {\mathbf {z} }}\right]$

يُلاحظ وجود مركبة للإزاحة في اتجاه القوة، تتناقص، كما هو الحال بالنسبة للجهد في الكهرباء الساكنة، بنسبة 1/ r عند قيم r الكبيرة . كما توجد مركبة إضافية موجهة نحو ρ.

دالة غرين في مجال التردد

أعد كتابة معادلات نافيير-كوشي في شكل مكونات ^{[ 8 ]}

$(\lambda +\mu )\partial _{i}\partial _{j}u_{j}+\mu \partial _{j}\partial _{j}u_{i}=-F_{i}$

حوّل هذا إلى مجال التردد، حيث المشتق $\partial _{i}$ خرائط إلى ${\sqrt {-1}}q_{i}$ ، أين $q$ هو متجه الموجة $(\lambda +\mu )q_{i}q_{j}u_{j}+\mu |q|^{2}u_{i}=F_{i}$

دالة غرين لتحويل القوة إلى إزاحة في مجال التردد المكاني هي معكوس الدالة المذكورة أعلاه.

$G_{ij}(q)={\frac {1}{\mu }}{\bigg [}{\frac {\delta _{ij}}{|q|^{2}}}-{\frac {1}{b}}{\frac {q_{i}q_{j}}{|q|^{4}}}{\bigg ]}$

الضغط على وظيفة غرين $\Gamma$ هو ^{[ 9 ]} $\Gamma _{khij}={\frac {1}{4\mu |q|^{2}}}(\delta _{ki}q_{h}q_{j}+\delta _{hi}q_{k}q_{j}+\delta _{kj}q_{h}q_{i}+\delta _{hj}q_{k}q_{i})-{\frac {\lambda +\mu }{\mu (\lambda +2\mu )}}{\frac {q_{i}q_{j}q_{k}q_{h}}{|q|^{4}}}$

أين $\epsilon _{kh}=\Gamma _{khij}\sigma _{ij}$

حل بوسينسك-سيروتي - قوة نقطية عند أصل نصف فضاء متجانس لانهائي

يُعدّ حل قوة نقطية تؤثر على سطح نصف فضاء لانهائي حلاً مفيداً آخر. ^{[ 6 ]} وقد اشتقّه بوسينسك ^{[ 10 ]} للقوة العمودية، وسيروتي للقوة المماسية، كما ورد اشتقاقه في لاندو وليفشيتز. ^{[ 7 ]}^{: §8.} في هذه الحالة، يُكتب الحل مرة أخرى على شكل موتر غرين الذي يؤول إلى الصفر عند اللانهاية، ويتلاشى مركّب موتر الإجهاد العمودي على السطح. ويمكن كتابة هذا الحل في الإحداثيات الديكارتية كما يلي: [تذكّر: $a=(1-2\nu )$ و $b=2(1-\nu )$ ، $\nu$ = نسبة بواسون]:

$G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}{\begin{bmatrix}{\frac {br+z}{r+z}}+{\frac {(2r(\nu r+z)+z^{2})x^{2}}{r^{2}(r+z)^{2}}}&{\frac {(2r(\nu r+z)+z^{2})xy}{r^{2}(r+z)^{2}}}&{\frac {xz}{r^{2}}}-{\frac {ax}{r+z}}\\{\frac {(2r(\nu r+z)+z^{2})yx}{r^{2}(r+z)^{2}}}&{\frac {br+z}{r+z}}+{\frac {(2r(\nu r+z)+z^{2})y^{2}}{r^{2}(r+z)^{2}}}&{\frac {yz}{r^{2}}}-{\frac {ay}{r+z}}\\{\frac {zx}{r^{2}}}+{\frac {ax}{r+z}}&{\frac {zy}{r^{2}}}+{\frac {ay}{r+z}}&b+{\frac {z^{2}}{r^{2}}}\end{bmatrix}}$

حلول أخرى

قوة نقطية داخل نصف فضاء متجانس لانهائي. ^{[ 11 ]}
تلامس جسمين مرنين: حل هيرتز (انظر كود ماتلاب ). ^{[ 12 ]} انظر أيضًا صفحة ميكانيكا التلامس .

الديناميكا المرنة من حيث الإزاحات

علم المرونة الديناميكية هو دراسة الموجات المرنة ، ويتضمن المرونة الخطية مع تغيرها مع الزمن. الموجة المرنة هي نوع من الموجات الميكانيكية التي تنتشر في المواد المرنة أو اللزجة المرنة . توفر مرونة المادة قوة الاستعادة للموجة. عندما تحدث هذه الموجات في باطن الأرض نتيجة زلزال أو اضطراب آخر، تُسمى عادةً بالموجات الزلزالية .

إن معادلة الزخم الخطي هي ببساطة معادلة التوازن مع إضافة حد القصور الذاتي: $\sigma _{ji,j}+F_{i}=\rho \,{\ddot {u}}_{i}=\rho \,\partial _{tt}u_{i}.$

إذا كانت المادة تخضع لقانون هوك غير المتجانس (مع تجانس موتر الصلابة في جميع أنحاء المادة)، فسيتم الحصول على معادلة الإزاحة للديناميكا المرنة : $\left(C_{ijkl}u_{(k},_{l)}\right),_{j}+F_{i}=\rho {\ddot {u}}_{i}.$

إذا كانت المادة متجانسة ومتساوية الخواص، فسيتم الحصول على معادلة نافيير-كوشي (العامة أو العابرة) : $\mu u_{i,jj}+(\mu +\lambda )u_{j,ij}+F_{i}=\rho \partial _{tt}u_{i}\quad {\text{or}}\quad \mu \nabla ^{2}\mathbf {u} +(\mu +\lambda )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\mathbf {F} =\rho {\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}.$

يمكن أيضًا التعبير عن معادلة الموجة المرنة الديناميكية على النحو التالي $\left(\delta _{kl}\partial _{tt}-A_{kl}[\nabla ]\right)u_{l}={\frac {1}{\rho }}F_{k}$ أين $A_{kl}[\nabla ]={\frac {1}{\rho }}\,\partial _{i}\,C_{iklj}\,\partial _{j}$ هو المؤثر التفاضلي الصوتي ، و $\delta _{kl}$ هي دلتا كرونكر .

في الأوساط المتجانسة ، يكون لموتر الصلابة الشكل التالي: $C_{ijkl}=K\,\delta _{ij}\,\delta _{kl}+\mu \,(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}-{\frac {2}{3}}\,\delta _{ij}\,\delta _{kl})$ أين $K$ هو معامل الحجم (أو عدم الانضغاط)، و $\mu$ يمثل معامل القص (أو الصلابة)، ومعاملين مرنين . إذا كانت المادة متجانسة (أي أن موتر الصلابة ثابت في جميع أنحاء المادة)، فإن المؤثر الصوتي يصبح: $A_{ij}[\nabla ]=\alpha ^{2}\partial _{i}\partial _{j}+\beta ^{2}(\partial _{m}\partial _{m}\delta _{ij}-\partial _{i}\partial _{j})$

بالنسبة للموجات المستوية ، يصبح المؤثر التفاضلي أعلاه هو المؤثر الجبري الصوتي : $A_{ij}[\mathbf {k} ]=\alpha ^{2}k_{i}k_{j}+\beta ^{2}(k_{m}k_{m}\delta _{ij}-k_{i}k_{j})$ أين $\alpha ^{2}=\left(K+{\frac {4}{3}}\mu \right)/\rho \qquad \beta ^{2}=\mu /\rho$ هي القيم الذاتية لـ $A[{\hat {\mathbf {k} }}]$ مع المتجهات الذاتية ${\hat {\mathbf {u} }}$ موازٍ ومتعامد لاتجاه الانتشار ${\hat {\mathbf {k} }}\,\!$ على التوالي. تُسمى الموجات المصاحبة لها الموجات المرنة الطولية وموجات القص المرنة . في الأدبيات الزلزالية، تُسمى الموجات المستوية المقابلة موجات P وموجات S (انظر الموجة الزلزالية ).

الديناميكا المرنة من حيث الإجهادات

يؤدي حذف الإزاحات والانفعالات من المعادلات الحاكمة إلى معادلة إغناكزاك للديناميكا المرنة ^{[ 13 ].} $\left(\rho ^{-1}\sigma _{(ik},_{k}\right),_{j)}-S_{ijkl}{\ddot {\sigma }}_{kl}+\left(\rho ^{-1}F_{(i}\right),_{j)}=0.$

في حالة التناظر الموضعي، يختزل هذا إلى $\left(\rho ^{-1}\sigma _{(ik},_{k}\right),_{j)}-{\frac {1}{2\mu }}\left({\ddot {\sigma }}_{ij}-{\frac {\lambda }{3\lambda +2\mu }}{\ddot {\sigma }}_{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\rho ^{-1}F_{(i}\right),_{j)}=0.$

تشمل الخصائص الرئيسية لهذه الصيغة ما يلي: (1) تجنب تدرجات الامتثال ولكن إدخال تدرجات كثافة الكتلة؛ (2) يمكن اشتقاقها من مبدأ تبايني؛ (3) إنها مفيدة لمعالجة مسائل القيمة الحدية الأولية للجر، (4) تسمح بتصنيف موتر للموجات المرنة، (5) توفر مجموعة من التطبيقات في مسائل انتشار الموجات المرنة؛ (6) يمكن توسيعها لتشمل ديناميكيات المواد الصلبة الكلاسيكية أو الميكروقطبية ذات الحقول المتفاعلة من أنواع متنوعة (المرنة حرارياً، المسامية المشبعة بالسوائل، الكهروإجهادية المرنة ...) بالإضافة إلى الوسائط غير الخطية.

الأوساط المتجانسة غير المتجانسة

بالنسبة للأوساط غير المتجانسة، يكون موتر الصلابة $C_{ijkl}$ الأمر أكثر تعقيداً. تناظر موتر الإجهاد $\sigma _{ij}$ يعني ذلك أن هناك ستة عناصر مختلفة على الأكثر للإجهاد. وبالمثل، هناك ستة عناصر مختلفة على الأكثر لموتر الانفعال. $\varepsilon _{ij}\,\!$ ومن ثم موتر الصلابة من الرتبة الرابعة $C_{ijkl}$ يمكن كتابتها على شكل مصفوفة $C_{\alpha \beta }$ (موتر من الدرجة الثانية). يُعدّ ترميز فويغت هو الترميز القياسي لمؤشرات الموترات. ${\begin{matrix}ij&=\\\Downarrow &\\\alpha &=\end{matrix}}{\begin{matrix}11&22&33&23,32&13,31&12,21\\\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\\1&2&3&4&5&6\end{matrix}}$

باستخدام هذه الرموز، يمكن كتابة مصفوفة المرونة لأي وسط مرن خطيًا على النحو التالي: $C_{ijkl}\Rightarrow C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}.$

كما هو موضح، المصفوفة $C_{\alpha \beta }$ إذا كانت متناظرة، فهذا نتيجة لوجود دالة كثافة طاقة الإجهاد التي تحقق الشرط التالي: $\sigma _{ij}={\frac {\partial W}{\partial \varepsilon _{ij}}}$ وبالتالي، يوجد على الأكثر 21 عنصرًا مختلفًا من $C_{\alpha \beta }\,\!$ .

تحتوي الحالة الخاصة المتناحية على عنصرين مستقلين: $C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}K+4\mu \ /3&K-2\mu \ /3&K-2\mu \ /3&0&0&0\\K-2\mu \ /3&K+4\mu \ /3&K-2\mu \ /3&0&0&0\\K-2\mu \ /3&K-2\mu \ /3&K+4\mu \ /3&0&0&0\\0&0&0&\mu \ &0&0\\0&0&0&0&\mu \ &0\\0&0&0&0&0&\mu \ \end{bmatrix}}.$

أبسط حالة غير متناحية، وهي حالة التناظر المكعب، تحتوي على 3 عناصر مستقلة: $C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{12}&C_{11}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{44}\end{bmatrix}}.$

حالة التناظر المستعرض ، والتي تسمى أيضًا التناظر القطبي، (مع محور واحد (المحور 3) للتناظر) تحتوي على 5 عناصر مستقلة: $C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{11}-2C_{66}&C_{13}&0&0&0\\C_{11}-2C_{66}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}.$

عندما يكون التناظر المستعرض ضعيفًا (أي قريبًا من التناظر)، فإن استخدام معلمات تومسن البديلة يكون مناسبًا لصيغ سرعات الموجة.

حالة التناظر المتعامد (تناظر الطوبة) تحتوي على 9 عناصر مستقلة: $C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}.$

ديناميكا المرونة

يمكن التعبير عن معادلة الموجة المرنة الديناميكية للوسط غير المتجانس على النحو التالي: $(\delta _{kl}\partial _{tt}-A_{kl}[\nabla ])\,u_{l}={\frac {1}{\rho }}F_{k}$ أين $A_{kl}[\nabla ]={\frac {1}{\rho }}\,\partial _{i}\,C_{iklj}\,\partial _{j}$ هو المؤثر التفاضلي الصوتي ، و $\delta _{kl}$ هي دلتا كرونكر .

الموجات المستوية ومعادلة كريستوفيل

تتخذ الموجة المستوية الشكل التالي $\mathbf {u} [\mathbf {x} ,\,t]=U[\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega \,t]\,{\hat {\mathbf {u} }}$ مع ${\hat {\mathbf {u} }}\,\!$ بطول وحدة واحدة. وهو حل لمعادلة الموجة مع انعدام القوة، إذا وفقط إذا $\omega ^{2}$ و ${\hat {\mathbf {u} }}$ يشكل زوجًا من القيم الذاتية/المتجهات الذاتية للمؤثر الجبري الصوتي $A_{kl}[\mathbf {k} ]={\frac {1}{\rho }}\,k_{i}\,C_{iklj}\,k_{j}.$ يمكن كتابة شرط الانتشار هذا (المعروف أيضًا باسم معادلة كريستوفيل ) على النحو التالي $A[{\hat {\mathbf {k} }}]\,{\hat {\mathbf {u} }}=c^{2}\,{\hat {\mathbf {u} }}$ أين ${\hat {\mathbf {k} }}=\mathbf {k} /{\sqrt {\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} }}$ يشير إلى اتجاه الانتشار و $c=\omega /{\sqrt {\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} }}$ هي سرعة الطور.

بعض الحلول الكلاسيكية للمرونة الخطية ثنائية الأبعاد

فيما يلي

${\begin{aligned}G&={\frac {E}{2(1+\nu )}}\quad {\text{(Shear modulus)}}\\\kappa &={\begin{cases}{\dfrac {3-\nu }{1+\nu }}&{\text{Plane stress}}\\[6pt]3-4\nu &{\text{Plane strain}}\end{cases}}\end{aligned}}$

هنا، $E$ هو معامل يونغ و $\nu$ هي نسبة بواسون.

صفيحة ثنائية الأبعاد لا نهائية بها ثقب خالٍ من الاحتكاك نصف قطره $a$ تعرض لمجال إجهاد بعيد $\sigma _{xx}=\sigma$

يتم تحديد مجالات الإجهاد والإزاحة بواسطة (الاتجاه) $\theta =0$ ، على طول $x$ -محور) ^{[ 14 ]}

${\begin{aligned}\sigma _{rr}(r,\theta )&={\frac {\sigma }{2}}\left(1-{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)+{\frac {\sigma }{2}}\left(1-{\frac {4a^{2}}{r^{2}}}+{\frac {3a^{4}}{r^{4}}}\right)\cos 2\theta \\\sigma _{\theta \theta }(r,\theta )&={\frac {\sigma }{2}}\left(1+{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)-{\frac {\sigma }{2}}\left(1+{\frac {3a^{4}}{r^{4}}}\right)\cos 2\theta \\\sigma _{r\theta }(r,\theta )&=-{\frac {\sigma }{2}}\left(1+{\frac {2a^{2}}{r^{2}}}-{\frac {3a^{4}}{r^{4}}}\right)\sin 2\theta \end{aligned}}$

${\begin{aligned}u_{r}(r,\theta )&={\frac {\sigma }{4G}}{\Bigg [}{\frac {r}{2}}\left({\frac {\kappa -1}{2}}+\cos 2\theta \right)+{\frac {a^{2}}{r}}\left(1+\cos 2\theta \right)-{\frac {a^{4}}{2r^{3}}}\cos 2\theta {\Bigg ]}\\u_{\theta }(r,\theta )&={\frac {\sigma }{4G}}{\Bigg [}-{\frac {r}{2}}\sin 2\theta +{\frac {a^{2}}{r}}\left({\frac {\kappa +1}{2}}\right)\sin 2\theta -{\frac {a^{4}}{2r^{3}}}\sin 2\theta {\Bigg ]}\end{aligned}}$

على حدود الحفرة:

${\begin{aligned}\sigma _{rr}(a,\theta )&=0,\quad \sigma _{r\theta }(a,\theta )=0\\\sigma _{\theta \theta }(a,\theta )&=\sigma (1-2\cos 2\theta )\end{aligned}}$

يحدث أقصى إجهاد محيطي عند $\theta =\pi /2$ ؛

$\sigma _{\theta \theta }^{\text{max}}=3\sigma$

وبالتالي، فإن عامل تركيز الإجهاد (SCF) هو 3.

محلول فلامان: نصف فضاء تحت قوى سطحية مركزة

انظر مقال حل فلامانت

نصف فضاء تحت تأثير حمل عمودي منتظم $\sigma _{yy}=-p$ العمل على $-a\leq x\leq a$ و $y=0$

ليكن نصف المستوى في الموضع $y\geq 0$ يتم تطبيق حمل ضغط منتظم بحيث $\sigma _{yy}=-p$ العمل على $-a\leq x\leq a$ .

تُعطى حقول الإجهاد بواسطة

${\begin{aligned}\sigma _{xx}=-{\frac {p}{2\pi }}\left[2(\theta _{2}-\theta _{1})+(\sin 2\theta _{2}-\sin 2\theta _{1})\right]\\\sigma _{yy}=-{\frac {p}{2\pi }}\left[2(\theta _{2}-\theta _{1})-(\sin 2\theta _{2}-\sin 2\theta _{1})\right]\\\sigma _{xy}={\frac {p}{2\pi }}\left[(\cos 2\theta _{2}-\cos 2\theta _{1})\right]\\\end{aligned}}$

أين

$\tan \theta _{1,2}={\frac {z}{x\mp a}}$ .

يتم تحديد الإجهادات الرئيسية بواسطة

$\sigma _{1,2}=-{\frac {p}{\pi }}(\alpha \mp \sin \alpha )$

أين $\alpha =\theta _{1}-\theta _{2}$ أقصى إجهاد قص هو $\tau _{max}={\frac {p}{\pi }}\sin \alpha$

انظر أيضاً

مراجع

1 2 3 4 5 سلوتر، ويليام س. (2002). النظرية الخطية للمرونة . بوسطن، ماساتشوستس: بيركهاوزر بوسطن. doi : 10.1007/978-1-4612-0093-2 . ISBN 978-1-4612-6608-2.
^ بيلينكي؛ سالايف (1988). "تأثيرات التشوه في بلورات الطبقة" . Uspekhi Fizicheskikh Nauk . 155 (5): 89-127 . دوى : 10.3367/UFNr.0155.198805c.0089 .
↑ آكي، كيتي ؛ ريتشاردز، بول ج. (2002). علم الزلازل الكمي ( الطبعة الثانية). ميل فالي، كاليفورنيا: منشورات جامعة العلوم. ISBN 978-1-891389-63-4.
↑ ميكانيكا الأوساط المتصلة للمهندسين 2001، ماس، المعادلة 5.12-2
↑ سومرفيلد، أرنولد (1964). ميكانيكا الأجسام القابلة للتشوه . نيويورك: أكاديميك برس.
1 2 تريبونيت (2017-02-16). "التشوه المرن" . علم الاحتكاك . تم الاسترجاع في 2017-02-16 .
1 2 لاندو، إل دي ؛ ليفشيتز، إي إم (1986). نظرية المرونة ( الطبعة الثالثة). أكسفورد، إنجلترا: باتروورث هاينمان. ISBN 0-7506-2633-X.
↑ بوشبايندر، إران (5 مايو 2021). "المرونة الخطية 1 (فيزياء الأوساط المتصلة غير المتوازنة)" (ملف PDF) . معهد وايزمان للعلوم . قسم الفيزياء الكيميائية والبيولوجية . تاريخ الاسترجاع: 20 مايو 2025 .
↑ مولينيك، هـ.؛ سوكيه، ب. (1994). "طريقة عددية سريعة لحساب الخصائص الميكانيكية الخطية وغير الخطية للمواد المركبة" (ملف PDF) . Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série II . 318 : 1417–1423 . تاريخ الاسترجاع: 17 مايو 2025 .
^ بوسينسق، جوزيف (1885). تطبيق الإمكانات على دراسة التوازن وحركة المواد الصلبة المرنة . باريس، فرنسا: غوتييه فيلار. مؤرشف من الأصل بتاريخ 2024-09-03 . تم الاسترجاع 2007-12-19 .
↑ ميندلين، آر دي (1936). "القوة عند نقطة داخل جسم صلب شبه لانهائي" . الفيزياء . 7 (5): 195-202 . Bibcode : 1936Physi...7..195M . doi : 10.1063/1.1745385 . مؤرشف من الأصل في 23 سبتمبر 2017.
^ هيرتز، هاينريش (1882). “الاتصال بين الأجسام المرنة الصلبة”. مجلة für die reine und angewandte الرياضيات . 92 .
↑ أوستوجا-ستارزيفسكي، م. ، (2018)، معادلة إغناتشاك للديناميكا المرنة ، الرياضيات وميكانيكا المواد الصلبة. doi : 10.1177/1081286518757284
↑ ساد، مارتن (2014). المرونة: النظرية والتطبيقات والتحليل العددي . ISBN 978-0443132452.{{cite book}}: صيانة CS1: التاريخ والسنة ( رابط )

[Slau-1] 1 2 3 4 5 سلوتر، ويليام س. (2002). النظرية الخطية للمرونة . بوسطن، ماساتشوستس: بيركهاوزر بوسطن. doi : 10.1007/978-1-4612-0093-2 . ISBN 978-1-4612-6608-2.

[2] بيلينكي؛ سالايف (1988). "تأثيرات التشوه في بلورات الطبقة" . Uspekhi Fizicheskikh Nauk . 155 (5): 89-127 . دوى : 10.3367/UFNr.0155.198805c.0089 .

[3] آكي، كيتي ؛ ريتشاردز، بول ج. (2002). علم الزلازل الكمي ( الطبعة الثانية). ميل فالي، كاليفورنيا: منشورات جامعة العلوم. ISBN 978-1-891389-63-4.

[4] ميكانيكا الأوساط المتصلة للمهندسين 2001، ماس، المعادلة 5.12-2

[5] سومرفيلد، أرنولد (1964). ميكانيكا الأجسام القابلة للتشوه . نيويورك: أكاديميك برس.

[tribonet-6] 1 2 تريبونيت (2017-02-16). "التشوه المرن" . علم الاحتكاك . تم الاسترجاع في 2017-02-16 .

[LL-7] 1 2 لاندو، إل دي ؛ ليفشيتز، إي إم (1986). نظرية المرونة ( الطبعة الثالثة). أكسفورد، إنجلترا: باتروورث هاينمان. ISBN 0-7506-2633-X.

[8] بوشبايندر، إران (5 مايو 2021). "المرونة الخطية 1 (فيزياء الأوساط المتصلة غير المتوازنة)" (ملف PDF) . معهد وايزمان للعلوم . قسم الفيزياء الكيميائية والبيولوجية . تاريخ الاسترجاع: 20 مايو 2025 .

[9] مولينيك، هـ.؛ سوكيه، ب. (1994). "طريقة عددية سريعة لحساب الخصائص الميكانيكية الخطية وغير الخطية للمواد المركبة" (ملف PDF) . Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série II . 318 : 1417–1423 . تاريخ الاسترجاع: 17 مايو 2025 .

[10] بوسينسق، جوزيف (1885). تطبيق الإمكانات على دراسة التوازن وحركة المواد الصلبة المرنة . باريس، فرنسا: غوتييه فيلار. مؤرشف من الأصل بتاريخ 2024-09-03 . تم الاسترجاع 2007-12-19 .

[11] ميندلين، آر دي (1936). "القوة عند نقطة داخل جسم صلب شبه لانهائي" . الفيزياء . 7 (5): 195-202 . Bibcode : 1936Physi...7..195M . doi : 10.1063/1.1745385 . مؤرشف من الأصل في 23 سبتمبر 2017.

[12] هيرتز، هاينريش (1882). “الاتصال بين الأجسام المرنة الصلبة”. مجلة für die reine und angewandte الرياضيات . 92 .

[13] أوستوجا-ستارزيفسكي، م. ، (2018)، معادلة إغناتشاك للديناميكا المرنة ، الرياضيات وميكانيكا المواد الصلبة. doi : 10.1177/1081286518757284

[14] ساد، مارتن (2014). المرونة: النظرية والتطبيقات والتحليل العددي . ISBN 978-0443132452.{{cite book}}: صيانة CS1: التاريخ والسنة ( رابط )

[ 1 ]

[ 2 ].

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ].

[ 14 ]