مبدأ فيرما

لنفترض أن:

1. ينتشر الاضطراب بشكل متسلسل عبر وسط (  فراغ أو مادة ما، ليست بالضرورة متجانسة أو متساوية الخواص )، دون تأثير على مسافة بعيدة ؛
2. أثناء الانتشار، يكون لتأثير الاضطراب عند أي نقطة وسيطة P على النقاط المحيطة به انتشار زاوي غير صفري (كما لو كانت P مصدرًا)، بحيث يصل الاضطراب الناشئ من أي نقطة A إلى أي نقطة أخرى B عبر عدد لا نهائي من المسارات، والتي من خلالها تتلقى B عددًا لا نهائيًا من النسخ المتأخرة للاضطراب عند A ؛ ^{[ ملاحظة 1 ]} و
3. ستعزز هذه النسخ المتأخرة من الاضطراب بعضها البعض عند النقطة B إذا كانت متزامنة ضمن هامش معين من التسامح.

عندئذٍ ، ستتعاون مسارات الانتشار المختلفة من النقطة أ إلى النقطة ب ، أو ستتداخل بشكل بنّاء، إذا اتفقت أزمنة اجتيازها ضمن التفاوت المسموح به. في حالة التفاوت الصغير (في الحالة الحدية)، يكون نطاق التباينات المسموح به للمسار في أقصى حد له إذا كان المسار بحيث يكون زمن اجتيازه ثابتًا بالنسبة للتباينات، بحيث لا يتسبب أي تباين في المسار إلا في تغيير من الدرجة الثانية على الأكثر في زمن الاجتياز. ^{[ 5 ]}

أوضح مثال على ثبات زمن الاجتياز هو الحد الأدنى (المحلي أو العالمي) - أي المسار ذو أقل زمن، كما في الصيغة "القوية" لمبدأ فيرما. لكن هذا الشرط ليس أساسيًا للحجة. ^{[ ملاحظة 2 ]}

بعد أن ثبت أن مسارًا ذا زمن اجتياز ثابت يتعزز بوجود ممر واسع للغاية من المسارات المجاورة، يبقى أن نوضح كيف يتوافق هذا التعزيز مع المفاهيم البديهية للشعاع. ولكن، اختصارًا للشرح، يُعرَّف مسار الشعاع أولًا بأنه مسار ذو زمن اجتياز ثابت.

إذا كان ممر المسارات الذي يعزز مسار شعاع من النقطة أ إلى النقطة ب مسدودًا بشكل كبير، فسيؤدي ذلك إلى تغيير ملحوظ في التشويش الواصل إلى النقطة ب من النقطة أ ، على عكس وجود عائق مماثل الحجم خارج هذا الممر، والذي يحجب المسارات التي لا تعزز بعضها بعضًا. سيؤثر العائق الأول بشكل كبير على الإشارة الواصلة إلى النقطة ب من النقطة أ ، بينما لن يؤثر العائق الثاني؛ وبالتالي، يُمثل مسار الشعاع مسار إشارة . إذا كانت الإشارة ضوءًا مرئيًا، فسيؤثر العائق الأول بشكل كبير على مظهر الجسم عند النقطة أ كما يراه مراقب عند النقطة ب ، بينما لن يؤثر العائق الثاني؛ لذا، يُمثل مسار الشعاع خط رؤية .

في التجارب البصرية، يُفترض عادةً أن خط الرؤية هو مسار شعاع. ^{[ 6 ]}

إذا كان ممر المسارات الذي يدعم مسار شعاع من النقطة أ إلى النقطة ب مسدودًا بشكل كبير، فسيؤثر ذلك بشكل ملحوظ على الطاقة ^{[ ملاحظة 3 ]} التي تصل إلى النقطة ب من النقطة أ - على عكس وجود عائق مماثل الحجم خارج أي ممر من هذا القبيل. وبالتالي، يُمثل مسار الشعاع مسارًا للطاقة - كما هو الحال مع الحزمة الضوئية.

لنفترض أن جبهة موجة تتوسع من النقطة A تمر بالنقطة P ، التي تقع على مسار شعاع من النقطة A إلى النقطة B. بحسب التعريف، فإن جميع النقاط على جبهة الموجة لها نفس زمن الانتشار من A. الآن، لنفترض أن جبهة الموجة محجوبة باستثناء نافذة مركزها P ، وصغيرة بما يكفي لتقع ضمن ممر المسارات التي تعزز مسار الشعاع من A إلى B. عندئذٍ، ستكون لجميع النقاط على الجزء غير المحجوب من جبهة الموجة أزمنة انتشار متساوية تقريبًا إلى B ، ولكن ليس إلى النقاط في الاتجاهات الأخرى، بحيث تكون B في اتجاه ذروة شدة الشعاع الداخل عبر النافذة. ^{[ 7 ]} إذن، يحدد مسار الشعاع مسار الشعاع. وفي التجارب البصرية، يُعتبر الشعاع عادةً مجموعة من الأشعة أو (إذا كان ضيقًا) تقريبًا لشعاع (الشكل 3). ^{[ 8 ]}

وفقًا للصيغة "القوية" لمبدأ فيرما، فإن مشكلة إيجاد مسار شعاع ضوئي من النقطة أ في وسط ينتشر فيه الضوء بسرعة أكبر، إلى النقطة ب في وسط ينتشر فيه الضوء ببطء ( الشكل 1 )، تُشابه المشكلة التي يواجهها المنقذ في تحديد نقطة دخوله الماء للوصول إلى السباح الغارق بأسرع وقت ممكن، علمًا بأن المنقذ يستطيع الجري أسرع من السباحة. ^{[ 9 ]} إلا أن هذا التشبيه لا يُفسر سلوك الضوء تفسيرًا وافيًا، لأن المنقذ قادر على التفكير في المشكلة (ولو للحظة وجيزة)، بينما يُفترض أن الضوء غير قادر على ذلك. ولا يُسهم اكتشاف قدرة النمل على إجراء حسابات مماثلة ^{[ 10 ]} في سد الفجوة بين الكائنات الحية والجمادات.

وعلى النقيض من ذلك، فإن الافتراضات المذكورة أعلاه (1) إلى (3) تنطبق على أي اضطراب يشبه الموجة وتشرح مبدأ فيرما من الناحية الميكانيكية البحتة ، دون أي إسناد للمعرفة أو الغرض.

ينطبق هذا المبدأ على الموجات عمومًا، بما في ذلك (على سبيل المثال) الموجات الصوتية في السوائل والموجات المرنة في المواد الصلبة. ^{[ 11 ]} وبصيغة معدلة، ينطبق أيضًا على موجات المادة : ففي ميكانيكا الكم ، يمكن الحصول على المسار الكلاسيكي للجسيم بتطبيق مبدأ فيرما على الموجة المرتبطة به ، إلا أنه نظرًا لأن التردد قد يتغير بتغير المسار، فإن الثبات يكمن في فرق الطور (أو عدد الدورات) وليس بالضرورة في الزمن. ^{[ 12 ] [ 13 ]}

يُعدّ مبدأ فيرما أكثر شيوعًا في حالة الضوء المرئي ، فهو الرابط بين البصريات الهندسية ، التي تصف بعض الظواهر البصرية من حيث الأشعة ، ونظرية الموجات الضوئية (أو البصريات الفيزيائية)، التي تفسر الظواهر نفسها على أساس فرضية أن الضوء يتكون من موجات . كما تُوصف الانسدادات الجزئية أيضًا في سياق الحيود .

في وسط متجانس الخواص، ولأن سرعة الانتشار مستقلة عن الاتجاه، فإن الجبهات الموجية الثانوية التي تتوسع من نقاط على جبهة موجية أولية في زمن متناهي الصغر تكون كروية الشكل، ^{[ 18 ]} بحيث تكون أنصاف أقطارها عمودية على سطحها المماسي المشترك عند نقاط التماس. لكن أنصاف أقطارها تحدد اتجاهات الأشعة، وسطحها المماسي المشترك هو جبهة موجية عامة. وبالتالي، تكون الأشعة عمودية (متعامدة) على الجبهات الموجية. ^{[ 26 ]}

نظراً لأن جزءاً كبيراً من تدريس علم البصريات يركز على الأوساط المتجانسة، ويتعامل مع الأوساط غير المتجانسة كموضوع اختياري، فإن افتراض أن الأشعة عمودية على جبهات الموجة قد يصبح شائعاً لدرجة أن مبدأ فيرما نفسه يُفسر في ضوء هذا الافتراض، على الرغم من أن مبدأ فيرما في الواقع أكثر عمومية. ^{[ 27 ]}

في وسط متجانس (يُسمى أيضًا وسطًا منتظمًا )، تكون جميع الجبهات الموجية الثانوية التي تتوسع من جبهة موجية أولية معينة W خلال فترة زمنية معينة Δt متطابقة ومتشابهة في الاتجاه، بحيث يمكن اعتبار غلافها W ′ غلافًا لجبهة موجية ثانوية واحدة تحافظ على اتجاهها بينما يتحرك مركزها (مصدرها) فوق W. إذا كان P هو مركزها و P ′ هي نقطة تماسها مع W ′ ، فإن P ′ تتحرك موازية لـ P ، بحيث يكون المستوى المماس لـ W ′ عند P ′ موازيًا للمستوى المماس لـ W عند P. لنفترض أن جبهة موجية ثانوية أخرى (متطابقة ومتشابهة في الاتجاه) مركزها P ′ ، وتتحرك مع P ، ولنفترض أنها تلتقي بغلافها W ″ عند النقطة P ″ . عندئذٍ، وبنفس المنطق، يكون المستوى المماس لـ W ″ عند P ″ موازيًا للمستويين الآخرين. وبالتالي، ونظرًا للتطابق والتشابه في التوجهات، فإن اتجاهي الشعاعين PP′ و P′P″ متطابقان ( ولكن ليس بالضرورة عموديين على جبهات الموجة، لأن جبهات الموجة الثانوية ليست كروية بالضرورة). يمكن تكرار هذا التركيب عددًا غير محدود من المرات، مما ينتج عنه شعاع مستقيم بأي طول. وهكذا، يسمح الوسط المتجانس بمرور الأشعة المستقيمة. ^{[ 28 ]}

لنفترض أن المسار Γ يمتد من النقطة A إلى النقطة B. ولنفترض أن s هو طول القوس المقاس على طول المسار من A ، وأن t هو الزمن المستغرق لقطع طول هذا القوس بسرعة الشعاع.${\displaystyle v_{\mathrm {r} }}$(أي، بالسرعة الشعاعية للجبهة الموجية الثانوية المحلية، لكل موقع واتجاه على المسار). عندئذٍ يكون زمن اجتياز المسار بأكمله Γ هو

$${\displaystyle T=\int _{A}^{B}\!dt=\int _{A}^{B}{\frac {ds}{\,v_{\mathrm {r} }\,}}}$$

1

(حيث تشير A و B ببساطة إلى نقطتي النهاية ولا ينبغي اعتبارهما قيمتين لـ t أو s ). الشرط لكي يكون Γ مسارًا شعاعيًا هو أن يكون التغير من الدرجة الأولى في T الناتج عن تغير في Γ مساويًا للصفر؛ أي، $${\displaystyle \delta T=\,\delta \int _{A}^{B}{\frac {ds}{\,v_{\mathrm {r} }\,}}\,=\,0\,.}$$

يُعرَّف الطول البصري لمسار معين ( طول المسار البصري ، OPL ) بأنه المسافة التي يقطعها شعاع ضوئي في وسط مرجعي متجانس ومتناحٍ (مثل الفراغ) في نفس الزمن الذي يستغرقه لقطع المسار نفسه بسرعة الشعاع المحلية. ^{[ 29 ]} وبالتالي، إذا كانت c تُمثل سرعة الانتشار في الوسط المرجعي (مثل سرعة الضوء في الفراغ)، فإن الطول البصري لمسار يُقطع في زمن dt هو dS = c/ dt ، والطول البصري لمسار يُقطع في زمن T هو S = cT . لذا، بضرب المعادلة (1) في c، نحصل على  $${\displaystyle S\,=\int _{A}^{B}\!dS\,=\int _{A}^{B}{\frac {\,c\,}{v_{\mathrm {r} }}}\,ds=\int _{A}^{B}\!n_{\mathrm {r} }\,ds\,,}$$ أين${\displaystyle \,n_{\mathrm {r} }=c/v_{\mathrm {r} }\,}$هو معامل الشعاع – أي معامل الانكسار المحسوب بناءً على سرعة الشعاع بدلاً من سرعة الطور المعتادة (سرعة الموجة العمودية). ^{[ 30 ]} بالنسبة لمسار متناهي الصغر،${\displaystyle dS=n_{\mathrm {r} \,}ds\,,\,}$يشير هذا إلى أن الطول البصري هو الطول الفيزيائي مضروبًا في معامل الشعاع: الطول البصري هو كمية هندسية افتراضية ، تم استبعاد الزمن منها. بدلالة الطول البصري، يصبح شرط أن يكون Γ مسارًا شعاعيًا (مبدأ فيرما)

$${\displaystyle \delta S=\delta \int _{A}^{B}\!n_{\mathrm {r} }\,ds=0.}$$

2

يتخذ هذا شكل مبدأ موبيرتوي في الميكانيكا الكلاسيكية (لجسيم واحد)، حيث يأخذ مؤشر الشعاع في علم البصريات دور الزخم أو السرعة في الميكانيكا. ^{[ 31 ]}

في وسط متجانس الخواص، حيث تكون سرعة الشعاع هي نفسها سرعة الطور، ^{[ ملاحظة 7 ]} يمكن استبدال معامل الانكسار المعتاد n بـ n _r . ^{[ 32 ] [ 33 ]} 

إذا كانت x و y و z إحداثيات ديكارتية والنقطة العلوية تشير إلى التفاضل بالنسبة إلى s ، فيمكن كتابة مبدأ فيرما (2) ^{[ 34 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta S&=\,\delta \int _{A}^{B}\!n_{\mathrm {r} }\,{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}\\&=\,\delta \int _{A}^{B}\!n_{\mathrm {r} }\,{\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}~ds\,=\,0\,.\end{محاذاة}}}$$ في حالة الوسط المتجانس، يمكن استبدال n _{_r} بمعامل الانكسار الطبيعي n ( x , y , z ) ، وهو ببساطة حقل قياسي . بتعريف لاغرانجيان البصري ^{[ 35 ]} على النحو التالي: $${\displaystyle L(x,y,z,{\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}})\,=\,n(x,y,z)\,{\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}\,,}$$ يصبح مبدأ فيرما ^{[ 36 ]}$${\displaystyle \delta S=\,\delta \int _{A}^{B}\!L(x,y,z,{\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}})\,ds\,=\,0\,.}$$ إذا كان اتجاه الانتشار دائمًا بحيث يمكن استخدام z بدلاً من s كمعامل للمسار (والنقطة العلوية للدلالة على التفاضل بالنسبة إلى z بدلاً من s )، فيمكن كتابة لاغرانجيان البصري بدلاً من ذلك ^{[ 37 ].} $${\displaystyle L{\big (}x(z),y(z),{\dot {x}}(z),{\dot {y}}(z),z{\big )}=n(x,y,z)\,{\sqrt {1+{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}\,,}$$ وبذلك يصبح مبدأ فيرما $${\displaystyle \delta S=\,\delta \int _{A}^{B}\!L{\big (}x(z),y(z),{\dot {x}}(z),{\dot {y}}(z),z{\big )}\,dz\,=\,0.}$$ يتخذ هذا شكل مبدأ هاميلتون في الميكانيكا الكلاسيكية، باستثناء غياب بُعد الزمن: إذ يحلّ الإحداثي المكاني الثالث في البصريات محلّ الزمن في الميكانيكا. ^{[ 38 ]} دالة لاغرانج البصرية هي الدالة التي، عند تكاملها بالنسبة  لمعامل المسار، تُعطي طول المسار البصري (OPL)؛ وهي أساس البصريات اللاغرانجية والهاميلتونية . ^{[ 39 ]}

قام ابن الهيثم ، وهو عالم موسوعي من القرن الحادي عشر، بتوسيع هذا المبدأ ليشمل الانكسار، مما أدى إلى تقديم نسخة مبكرة من مبدأ فيرما. ^{[ 41 ] [ 42 ] [ 43 ]}

في عام 1657، تلقى بيير دي فيرما من مارين كوريو دي لا شامبر نسخة من أطروحة نُشرت حديثًا،  أشار فيها لا شامبر إلى مبدأ هيرو واشتكى من أنه لا يعمل في الانكسار. ^{[ 45 ]}

أجاب فيرما بأنه يمكن إدخال الانكسار ضمن الإطار نفسه بافتراض أن الضوء يسلك مسار المقاومة الأقل ، وأن الأوساط المختلفة تُظهر مقاومة متفاوتة. وقد فسّر حله النهائي، الموصوف في رسالة إلى لا  شامبر بتاريخ 1  يناير 1662، "المقاومة" على أنها تتناسب عكسيًا مع السرعة، بحيث يسلك الضوء مسار الزمن الأقل . وأدت هذه الفرضية إلى قانون الانكسار العادي، بشرط أن ينتقل الضوء ببطء أكبر في الوسط الأكثر كثافة ضوئية. ^{[ 46 ] [ ملاحظة 8 ]}

كان حل فيرما علامة فارقة لأنه وحّد قوانين البصريات الهندسية المعروفة آنذاك تحت مبدأ التغير أو مبدأ الفعل ، مما أرسى سابقة لمبدأ الفعل الأدنى في الميكانيكا الكلاسيكية والمبادئ المقابلة في مجالات أخرى (انظر تاريخ مبادئ التغير في الفيزياء ). ^{[ 47 ]} وكانت أهميته الأبرز لأنه استخدم طريقة التساوي ، والتي يمكن فهمها، بالنظر إلى الماضي، على أنها إيجاد النقطة التي يكون عندها ميل وتر متناهي الصغر مساويًا للصفر، ^{[ 48 ]} دون الحاجة إلى خطوة وسيطة تتمثل في إيجاد تعبير عام للميل ( المشتقة ).

أثار هذا الأمر جدلاً واسعاً منذ البداية. نُسب قانون الانكسار العادي آنذاك إلى رينيه ديكارت (توفي عام 1650)، الذي حاول تفسيره بافتراض أن الضوء قوة تنتشر آنياً ، أو أن الضوء يُشبه كرة تنس تتحرك بسرعة أكبر في الوسط الأكثر كثافة، ^{[ 49 ] [ 50 ]} وكلا الافتراضين يتعارض مع فرضية فيرما. انتقد كلود كليرسيلييه ، أبرز المدافعين عن ديكارت ، فيرما لنسبه المعرفة والقصد إلى الطبيعة، ولعجزه عن تفسير سبب تفضيل الطبيعة للوقت على المسافة. كتب كليرسيلييه في جزء من رده:

1. إن المبدأ الذي تتخذه أساسًا لبرهانك، وهو أن الطبيعة تتصرف دائمًا بأقصر وأبسط الطرق، ليس إلا مبدأً أخلاقيًا وليس مبدأً ماديًا؛ فهو ليس، ولا يمكن أن يكون، سببًا لأي أثر في الطبيعة  ... وإلا لنسبنا المعرفة إلى الطبيعة؛ ولكننا هنا، بكلمة "الطبيعة"، نفهم فقط هذا النظام وهذا القانون القائم في العالم كما هو، والذي يعمل دون استبصار، ودون اختيار، وبحكمة حتمية.

٢. هذا المبدأ نفسه سيجعل الطبيعة مترددة  ... فأنا أسألكم  ... عندما يتعين على شعاع ضوئي أن ينتقل من نقطة في وسط خفيف إلى نقطة في وسط كثيف، ألا يوجد سبب يدعو الطبيعة للتردد إذا كان عليها، وفقًا لمبدأكم، أن تختار الخط المستقيم فورًا كما تختار الخط المنحني، لأنه إذا ثبت أن الأخير أقصر في الزمن، فإن الأول أقصر وأبسط في الطول؟ من سيحسم الأمر ومن سيُعلنه؟ ^{[ ٥١ ]}

لم يكن فيرما، لجهله بالأسس الميكانيكية لمبدأه، في وضع يسمح له بالدفاع عنه إلا باعتباره قضية هندسية وحركية بحتة . [ ^{52 ] [ 53 ] وقد}  احتوت نظرية الموجة للضوء ، التي اقترحها روبرت هوك لأول مرة في عام وفاة فيرما، ^{[ 54 ]} والتي سرعان ما طورها إغناس-غاستون بارديس ^{[ 55 ]} و(خاصة) كريستيان هويغنز ، ^{[ 56 ]} على الأسس اللازمة؛ لكن إدراك هذه الحقيقة كان بطيئًا بشكل مثير للدهشة.

في عام 1678، اقترح هويغنز أن كل نقطة يصل إليها اضطراب ضوئي تُصبح مصدرًا لموجة كروية؛ ويُحدد مجموع هذه الموجات الثانوية شكل الموجة في أي وقت لاحق. ^{[ 57 ]} أشار هويغنز مرارًا وتكرارًا إلى غلاف جبهات موجاته الثانوية باعتباره نهاية الحركة، ^{[ 58 ]} بمعنى أن جبهة الموجة اللاحقة هي الحد الخارجي الذي يمكن أن يصل إليه الاضطراب في وقت معين، ^{[ 59 ]} وهو بالتالي الحد الأدنى للوقت الذي يمكن فيه الوصول إلى كل نقطة على جبهة الموجة اللاحقة. لكنه لم يجادل بأن اتجاه الحد الأدنى للوقت هو الاتجاه من المصدر الثانوي إلى نقطة التماس؛ بل استنتج اتجاه الشعاع من امتداد سطح التماس المشترك المقابل لامتداد معين لجبهة الموجة الأولية. ^{[ 60 ]} كان تأييده الوحيد لمبدأ فيرما محدود النطاق: فبعد أن استنتج قانون الانكسار العادي، الذي تكون فيه الأشعة عمودية على جبهات الموجة، ^{[ 61 ]} قدم هيغنز برهانًا هندسيًا على أن الشعاع المنكسر وفقًا لهذا القانون يسلك مسارًا زمنيًا أقصر. ^{[ 62 ]} ما كان ليظن ذلك ضروريًا لو علم أن مبدأ الزمن الأقصر يتبع مباشرةً من نفس بناء المماس المشترك الذي استنتج من خلاله ليس فقط قانون الانكسار العادي، بل أيضًا قوانين الانتشار المستقيم والانعكاس العادي (المعروفة أيضًا بأنها تتبع مبدأ فيرما)، وقانون الانكسار غير العادي غير المعروف سابقًا - الأخير عن طريق جبهات موجة ثانوية كروية الشكل وليست بيضاوية، مما يجعل الأشعة مائلة عمومًا على جبهات الموجة. وكأن هيغنز لم يلاحظ أن بناءه يتضمن مبدأ فيرما، بل وكأنه ظن أنه وجد استثناءً لهذا المبدأ. تشير الأدلة المخطوطة التي استشهد بها آلان إي. شابيرو إلى أن هيغنز كان يعتقد أن مبدأ أقل زمن غير صالح "في الانكسار المزدوج، حيث لا تكون الأشعة عمودية على جبهات الموجة". ^{[ 63 ] [ ملاحظة 9 ]}

ويذكر شابيرو كذلك أن السلطات الثلاث الوحيدة التي قبلت "مبدأ هيغنز" في القرنين السابع عشر والثامن عشر، وهم فيليب دي لا هير ، ودينيس بابان ، وغوتفريد فيلهلم لايبنتز ، فعلت ذلك لأنه يفسر الانكسار الاستثنائي لبلورة أيسلندا (الكالسيت) بنفس طريقة قوانين البصريات الهندسية المعروفة سابقًا. ^{[ 64 ]} ولكن، في ذلك الوقت، لم يُلتفت إلى التوسع المقابل لمبدأ فيرما.

في 30 يناير 1809، ^{[ 65 ]} ادعى بيير سيمون لابلاس ، في تقريره عن عمل تلميذه إتيان لويس مالوس ، أن الانكسار غير العادي للكالسيت يمكن تفسيره وفقًا لنظرية الجسيمات الضوئية بالاستعانة بمبدأ الفعل الأدنى لموبيرتوي : وهو أن تكامل السرعة بالنسبة للمسافة يكون في حده الأدنى. وكانت سرعة الجسيمات التي تحقق هذا المبدأ تتناسب مع مقلوب سرعة الشعاع المعطاة بنصف قطر كروي هيغنز. وتابع لابلاس:

بحسب هيغنز، فإن سرعة الشعاع غير العادي في البلورة تُعبر عنها ببساطة بنصف قطر الشكل الكروي؛ وبالتالي فإن فرضيته لا تتفق مع مبدأ أقل زمن ممكن؛ ولكن من اللافت للنظر أنها تتفق مع مبدأ فيرما، الذي ينص على أن الضوء ينتقل من نقطة معينة خارج البلورة إلى نقطة معينة داخلها في أقل زمن ممكن؛ إذ يسهل ملاحظة أن هذا المبدأ يتطابق مع مبدأ أقل زمن ممكن، إذا عكسنا تعبير السرعة. ^{[ 66 ]}

كان تقرير لابلاس موضوع رد واسع النطاق من قبل توماس يونغ ، الذي كتب جزئياً:

إن مبدأ فيرما، على الرغم من أن ذلك الرياضي افترضه على أسس افتراضية، أو حتى خيالية، إلا أنه في الواقع قانون أساسي فيما يتعلق بالحركة التموجية، وهو أساس كل تحديد في نظرية هيوجين ... يبدو أن السيد لابلاس غير مطلع على هذا المبدأ الجوهري لإحدى النظريتين اللتين يقارن بينهما؛ إذ يقول إنه "من اللافت للنظر" أن قانون هيوجين للانكسار غير العادي يتفق مع مبدأ فيرما؛ وهو أمر ما كان ليلاحظه لو كان على دراية بأن القانون نتيجة مباشرة للمبدأ. ^{[ 67 ]} 

في الواقع، كان لابلاس على دراية بأن مبدأ فيرما يتبع من بناء هيغنز في حالة الانكسار من وسط متجانس إلى وسط غير متجانس؛ وقد تم تضمين برهان هندسي في النسخة الطويلة من تقرير لابلاس، الذي طُبع عام 1810. ^{[ 68 ]}

كان ادعاء يونغ أكثر عمومية من ادعاء لابلاس، كما أنه أيّد مبدأ فيرما حتى في حالة الانكسار غير العادي، حيث لا تكون الأشعة  عمودية على جبهات الموجة. مع ذلك، وللأسف، فإن الجملة الوسطى المحذوفة من الفقرة المقتبسة ليونغ بدأت بعبارة "يجب أن تكون حركة كل تموج بالضرورة في اتجاه عمودي على سطحه  ..." (التشديد مُضاف)، ولذلك كان من المحتم أن تُثير اللبس بدلًا من الوضوح.

لا يوجد مثل هذا الالتباس في "المذكرة الثانية" لأوغستين-جان فرينل حول الانكسار المزدوج ( فرينل،  1827 )، والتي تتناول مبدأ فيرما في عدة مواضع (دون ذكر اسم فيرما)، بدءًا من الحالة الخاصة التي تكون فيها الأشعة عمودية على جبهات الموجة، وصولًا إلى الحالة العامة التي تكون فيها الأشعة مسارات ذات زمن أقصر أو زمن ثابت. (في الملخص التالي، تشير أرقام الصفحات إلى ترجمة ألفريد دبليو هوبسون ).

• في حالة انكسار موجة مستوية ساقطة بشكل متوازٍ على أحد وجهي إسفين بلوري غير متناحٍ (ص 291-292)، ولتحديد "الشعاع الأول الذي وصل" إلى نقطة رصد تقع خلف الوجه الآخر للإسفين، يكفي اعتبار الأشعة خارج البلورة عمودية على جبهات الموجة، وداخل البلورة الاقتصار على دراسة جبهات الموجة الموازية فقط (بغض النظر عن اتجاه الشعاع). لذا، في هذه الحالة، لا يحاول فرينل تتبع مسار الشعاع بالكامل. ^{[ ملاحظة 10 ]}
• بعد ذلك، يتناول فرينل شعاعًا منكسرًا من مصدر نقطي M داخل بلورة، مرورًا بنقطة A على سطحها، وصولًا إلى نقطة رصد B خارجها (ص 294-296). ووفقًا لبنية هيغنز، فإن السطح المار بالنقطة B ، والذي يُعرف بـ"موضع الاضطرابات التي تصل أولًا"، يكون عموديًا على "الشعاع AB الأسرع وصولًا". لكن هذه البنية تتطلب معرفة "سطح الموجة" (أي جبهة الموجة الثانوية) داخل البلورة.
• ثم يتناول جبهة موجة مستوية تنتشر في وسط ذي جبهات موجية ثانوية غير كروية، موجهة بحيث لا يكون مسار الشعاع المحدد وفقًا لبنية هيغنز - من مصدر جبهة الموجة الثانوية إلى نقطة تماسها مع جبهة الموجة الأولية اللاحقة - عموديًا على جبهات الموجة الأولية (ص 296). ويُبين أن هذا المسار مع ذلك هو "مسار الوصول الأسرع للاضطراب" من جبهة الموجة الأولية السابقة إلى نقطة التماس.
• في عنوان لاحق (صفحة 305)، يُصرّح بأنّ "بناء هيغنز، الذي يُحدّد مسار الوصول الأسرع" ينطبق على الجبهات الموجية الثانوية مهما كان شكلها. ثمّ يُشير إلى أنّه عند تطبيق بناء هيغنز على الانكسار في بلورة ذات جبهة موجية ثانوية ثنائية الطبقات، ورسم الخطوط من نقطتي التماس إلى مركز الجبهة الموجية الثانوية، "سنحصل على اتجاهي مساري الوصول الأسرع، وبالتالي اتجاهي الشعاع العادي والشعاع غير العادي".
• تحت عنوان "تعريف كلمة شعاع " (ص 309)، يخلص إلى أنه يجب تطبيق هذا المصطلح على الخط الذي يربط مركز الموجة الثانوية بنقطة على سطحها، بغض النظر عن ميل هذا الخط بالنسبة للسطح.
• كـ"اعتبار جديد" (ص 310-311)، يشير إلى أنه إذا مُرِّرَت جبهة موجية مستوية عبر ثقب صغير مركزه النقطة E ، فإن اتجاه ED الذي يحقق أقصى شدة للشعاع الناتج سيكون هو الاتجاه الذي تصل فيه الموجة الثانوية المنطلقة من E "أولاً"، وتصل فيه الجبهات الموجية الثانوية القادمة من جانبي الثقب المتقابلين (المتساوية البعد عن E ) "إلى D في الوقت نفسه". ولا يُفترض أن يكون هذا الاتجاه عموديًا على أي جبهة موجية.

وهكذا، أثبت فرينل، حتى في الأوساط غير المتجانسة، أن مسار الشعاع المحدد بنموذج هيغنز هو المسار الأقصر بين المواضع المتتالية لجبهة موجية مستوية أو متباعدة، وأن سرعات الشعاع هي أنصاف أقطار " سطح الموجة " الثانوي بعد وحدة الزمن، وأن زمن العبور الثابت يحدد اتجاه أقصى شدة للشعاع. مع ذلك، كان إثبات التكافؤ العام بين نموذج هيغنز ومبدأ فيرما سيتطلب مزيدًا من دراسة مبدأ فيرما من منظور نقطة إلى نقطة.

استنتج هندريك لورنتز ، في ورقة بحثية كتبها عام 1886 وأعيد نشرها عام 1907، ^{[ 69 ]} مبدأ أقل زمن في صيغة نقطة إلى نقطة من بناء هيغنز. إلا أن جوهر حجته كان غامضًا إلى حد ما بسبب اعتماده الواضح على الأثير وسحب الأثير .

استُشهد بعمل لورنتز عام ١٩٥٩ من قِبل أدريان ج.  دي ويت، الذي قدّم حجته الخاصة، والتي "مع أنها في جوهرها متطابقة، يُعتقد أنها أكثر إقناعًا وأشمل".  ويُعدّ تناول دي ويت أكثر أصالةً مما قد يوحي به هذا الوصف، على الرغم من اقتصاره على بُعدين؛ إذ يستخدم حساب التفاضل والتكامل لإظهار أن بناء هيغنز ومبدأ فيرما يؤديان إلى المعادلة التفاضلية نفسها لمسار الشعاع، وأن العكس صحيح في حالة مبدأ فيرما.  كما لاحظ دي ويت أن "هذه المسألة يبدو أنها لم تُغطَّ في الكتب الدراسية". ^{[ ٧٠ ]}