رقم فيرما

في الرياضيات ، يُعرف عدد فيرما ، الذي سُمي على اسم بيير دي فيرما (1601-1665)، وهو أول من عُرف بدراسته لهذه الأعداد، بأنه عدد صحيح موجب على الصورة التالية:${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1,}$حيث n عدد صحيح غير سالب . أعداد فيرما القليلة الأولى هي: 3 ، 5 ، 17 ، 257 ، 65537 ، 4294967297، 18446744073709551617، 340282366920938463463374607431768211457، ... (المتتالية A000215 في OEIS ) .

إذا كان 2k ⁺ 1 عددًا أوليًا و k > 0 ، فإن k نفسه يجب أن يكون قوة للعدد 2، ^{[ 1 ]} لذا فإن ^2k + 1 هو عدد فيرما؛ وتسمى هذه الأعداد الأولية بأعداد فيرما الأولية . اعتبارًا من عام 2026، الأعداد الأولية الوحيدة المعروفة لفيرما هي F ₀ = 3 ، F ₁ = 5 ، F ₂ = 17 ، F ₃ = 257 ، و F ₄ = 65537 (التسلسل A019434 في OEIS ) .

تحقق أعداد فيرما العلاقات التكرارية التالية :

${\displaystyle F_{n}=(F_{n-1}-1)^{2}+1}$

${\displaystyle F_{n}=F_{0}F_{1}\cdots F_{n-1}+2}$

لـ n ≥ 1،

${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+2^{2^{n-1}}F_{0}F_{1}\cdots F_{n-2}}$

${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}^{2}-2(F_{n-2}-1)^{2}}$

لـ n ≥ 2. يمكن إثبات كل علاقة من هذه العلاقات بالاستقراء الرياضي . من المعادلة الثانية، نستنتج نظرية غولدباخ (نسبةً إلى كريستيان غولدباخ ): لا يوجد عددان من أعداد فيرما يشتركان في عامل صحيح أكبر من 1. لإثبات ذلك، لنفترض أن 0 ≤ i < j وأن F_{_i} و F _{_j} يشتركان في عامل a > 1. عندئذٍ يقسم a كلا العددين .

${\displaystyle F_{0}F_{1}\cdots F_{j-1}}$

و F _j ؛ ومن ثمّ فإنّ a يقسم الفرق بينهما، وهو 2. وبما أنّ a > 1 ، فإنّ هذا يُجبر a = 2. وهذا تناقض ، لأنّ كلّ عدد من أعداد فيرما فرديٌّ بوضوح. وكنتيجةٍ لذلك ، نحصل على برهانٍ آخر على لانهائيّة الأعداد الأوّليّة : لكلّ F _n ، نختار عاملًا أوّليًّا p _n ؛ عندئذٍ تكون المتتالية { p _n } متتاليةً لانهائيّةً من الأعداد الأوّليّة المختلفة.

درس بيير دي فيرما أعداد فيرما وأعداد فيرما الأولية لأول مرة، حيث افترض أن جميع أعداد فيرما أولية. وبالفعل، من السهل إثبات أن أعداد فيرما الخمسة الأولى F0 ، ...، F4 أولية _. وقد دحض ليونارد أويلر فرضية فيرما في عام 1732 عندما أثبت، من خلال القسمة على 641، _أن

${\displaystyle F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=641\times 6700417.}$

أثبت أويلر أن كل عامل من عوامل F _n يجب أن يكون له الشكل k 2 ^{n +1} + 1 (تم تحسينه لاحقًا إلى k 2 ^{n +2} + 1 بواسطة لوكاس ) لـ n ≥ 2 .

يمكن استنتاج أن 641 عامل من عوامل ^F 5 _، ^بالنظر إلى الماضي، كما يلي: من المتساويتين 641  =  27 × 5 + 1 و 641 = 24 + 54. يترتب على المساواة الأولى أن ²⁷ × 5 ≡ -1 (mod 641) ^، وبالتالي (بالرفع إلى القوة الرابعة) أن ²²⁸ × 54 ≡ ¹ (mod 641). من جهة أخرى، تشير المساواة الثانية إلى أن 54 ^≡ -24 ( mod 641 ) . هذه التطابقات تعني أن ²³² ≡ ^-1 (mod 641 ) .                            

ربما كان فيرما على دراية بصيغة العوامل التي أثبتها أويلر لاحقًا، لذا يبدو من الغريب أنه لم يكمل الحساب المباشر لإيجاد العامل. ^{[ 2 ]} أحد التفسيرات الشائعة هو أن فيرما ارتكب خطأً حسابيًا.

لا توجد أعداد أولية أخرى معروفة من نوع فيرما F _n حيث n > 4 ، ولكن لا يُعرف الكثير عن أعداد فيرما للأعداد الكبيرة n . ^{[ 3 ]} في الواقع، كل مما يلي يمثل مشكلة مفتوحة:

• هل F _n دالة مركبة لجميع قيم n > 4 ؟
• هل يوجد عدد لا نهائي من أعداد فيرما الأولية؟ ( أيزنشتاين 1844 ^{[ 4 ]} )
• هل يوجد عدد لا نهائي من أعداد فيرما المركبة؟
• هل يوجد عدد فيرما غير خالٍ من المربعات ؟

اعتبارًا من ديسمبر 2025 من المعروف أن F _{_n} عدد مركب عندما يكون n بين 5 و32 ، مع العلم أن التحليلات الكاملة لـ F _{_n} معروفة فقط عندما يكون n بين 0 و11 ، ولا توجد عوامل أولية معروفة عندما يكون n = 20 و 24 . ^{[ 5 ]} أكبر عدد فيرما معروف بأنه عدد مركب هو F_{_18233954} ، وقد تم اكتشاف عامله الأولي 7 × 2 ^{^18233956} + 1 في أكتوبر 2020.

بسبب ضخامة أعداد فيرما، يصعب تحليلها إلى عواملها الأولية أو حتى التحقق من كونها أولية. يوفر اختبار بيبان شرطًا ضروريًا وكافيًا لأولية أعداد فيرما، ويمكن تنفيذه بواسطة الحواسيب الحديثة. تُعد طريقة المنحنى الإهليلجي طريقة سريعة لإيجاد القواسم الأولية الصغيرة للأعداد. وقد وجد مشروع الحوسبة الموزعة Fermatsearch بعض عوامل أعداد فيرما. proth.exeكما استُخدمت طريقة إيف غالوت لإيجاد عوامل أعداد فيرما الكبيرة. وفي عام 1878، أثبت إدوارد لوكاس ، بتحسينه لنتيجة أويلر المذكورة أعلاه، أن كل عامل من عوامل عدد فيرما هو عامل أولي .${\displaystyle F_{n}}$، حيث n ≥ 2، يكون على الشكل التالي${\displaystyle k\times 2^{n+2}+1}$(انظر عدد بروث )، حيث k عدد صحيح موجب. وهذا بحد ذاته يسهل إثبات أولية أعداد فيرما الأولية المعروفة.

تحليل الأعداد الاثني عشر الأولى من أعداد فيرما إلى عواملها الأولية هو:

F 0	=	2 1	+	1	=	3 عدد أولي
F 1	=	2 2	+	1	=	5 عدد أولي
F 2	=	2 4	+	1	=	17 هو عدد أولي
F 3	=	2 8	+	1	=	257 عدد أولي
F 4	=	2 16	+	1	=	65537 هو أكبر عدد أولي معروف من أعداد فيرما
F 5	=	2 32	+	1	=	4,294,967,297
					=	641 × 6,700,417 (محلل بالكامل إلى 1732 [ 8 ] )
F 6	=	2 64	+	1	=	18,446,744,073,709,551,617 (20 رقمًا)
					=	274,177 × 67,280,421,310,721 (14 رقمًا) (تم تحليل العدد 1855 إلى عوامله الكاملة)
F 7	=	2 128	+	1	=	340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,457 (39 رقمًا)
					=	59,649,589,127,497,217 (17 رقمًا) × 5,704,689,200,685,129,054,721 (22 رقمًا) (تم تحليله بالكامل إلى عوامله الأولية 1970)
F 8	=	2256​	+	1	=	115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,937 (78 رقمًا)
					=	1,238,926,361,552,897 (16 رقمًا) × 93,461,639,715,357,977,769,163,558,199,606,896,584,051,237,541,638,188,580,280,321 (62 رقمًا) (تم تحليله بالكامل إلى عوامله الأولية 1980)
F 9	=	2 512	+	1	=	13,407,807,929,942,597,099,574,024,998,205,846,127,479,365,820,592,393,377,723,561,443,721,764,0 30,073,546,976,801,874,298,166,903,427,690,031,858,186,486,050,853,753,882,811,946,569,946,433,6 49,006,084,097 (155 رقمًا)
					=	2,424,833 × 7,455,602,825,647,884,208,337,395,736,200,454,918,783,366,342,657 (49 رقمًا) × 741,640,062,627,530,801,524,787,141,901,937,474,059,940,781,097,519,023,905,821,316,144,415,759,504,705,008,092,818,711,693,940,737 (99 رقمًا) (محلل بالكامل إلى عوامله الأولية 1990)
F 10	=	2 1024	+	1	=	179,769,313,486,231,590,772,930...304,835,356,329,624,224,137,217 (309 أرقام)
					=	45,592,577 × 6,487,031,809 × 4,659,775,785,220,018,543,264,560,743,076,778,192,897 (40 رقمًا) × 130,439,874,405,488,189,727,484...806,217,820,753,127,014,424,577 (252 رقمًا) (محلل بالكامل 1995)
F 11	=	2 2048	+	1	=	32,317,006,071,311,007,300,714,8...193,555,853,611,059,596,230,657 (617 رقمًا)
					=	319,489 × 974,849 × 167,988,556,341,760,475,137 (21 رقمًا) × 3,560,841,906,445,833,920,513 (22 رقمًا) × 173,462,447,179,147,555,430,258...491,382,441,723,306,598,834,177 (564 رقمًا) (محلل بالكامل 1988)

اعتبارًا من يناير 2025 تم تحليل الأعداد من F0 إلى F11 فقط تحليلاً كاملاً _{. [} 5 ] يبحث مشروع الحوسبة الموزعة ^{Fermat Search عن} عوامل جديدة لأعداد فيرما. [ 9 ^{] مجموعة جميع} عوامل فيرما هي A050922 (أو، بعد الترتيب، A023394 ) في OEIS .

كانت العوامل التالية لأعداد فيرما معروفة قبل عام 1950 (ومنذ ذلك الحين، ساعدت الحواسيب الرقمية في إيجاد المزيد من العوامل):

سنة	فايندر	رقم فيرما	عامل
1732	أويلر	${\displaystyle F_{5}}$	${\displaystyle 5\cdot 2^{7}+1}$
1732	أويلر	${\displaystyle F_{5}}$(محلل بالكامل)	${\displaystyle 52347\cdot 2^{7}+1}$
1855	كلاوسن	${\displaystyle F_{6}}$	${\displaystyle 1071\cdot 2^{8}+1}$
1855	كلاوسن	${\displaystyle F_{6}}$(محلل بالكامل)	${\displaystyle 262814145745\cdot 2^{8}+1}$
1877	بيرفوشين	${\displaystyle F_{12}}$	${\displaystyle 7\cdot 2^{14}+1}$
1878	بيرفوشين	${\displaystyle F_{23}}$	${\displaystyle 5\cdot 2^{25}+1}$
1886	سيلهوف	${\displaystyle F_{36}}$	${\displaystyle 5\cdot 2^{39}+1}$
1899	كانينغهام	${\displaystyle F_{11}}$	${\displaystyle 39\cdot 2^{13}+1}$
1899	كانينغهام	${\displaystyle F_{11}}$	${\displaystyle 119\cdot 2^{13}+1}$
1903	الغربي	${\displaystyle F_{9}}$	${\displaystyle 37\cdot 2^{16}+1}$
1903	الغربي	${\displaystyle F_{12}}$	${\displaystyle 397\cdot 2^{16}+1}$
1903	الغربي	${\displaystyle F_{12}}$	${\displaystyle 973\cdot 2^{16}+1}$
1903	الغربي	${\displaystyle F_{18}}$	${\displaystyle 13\cdot 2^{20}+1}$
1903	كولين	${\displaystyle F_{38}}$	${\displaystyle 3\cdot 2^{41}+1}$
1906	مورهيد	${\displaystyle F_{73}}$	${\displaystyle 5\cdot 2^{75}+1}$
1925	كرايتشيك	${\displaystyle F_{15}}$	${\displaystyle 579\cdot 2^{21}+1}$

اعتبارًا من ديسمبر 2025 يُعرف 375 عاملاً أولياً لأعداد فيرما، كما يُعرف 330 عدداً من أعداد فيرما بأنها أعداد مركبة. ^{[ 5 ]} ويتم اكتشاف العديد من عوامل فيرما الجديدة كل عام. ^{[ 10 ]}

مثل الأعداد المركبة من الشكل 2p ^- 1، فإن كل عدد مركب من أعداد فيرما هو عدد أولي زائف قوي للأساس 2. وذلك لأن جميع الأعداد الأولية الزائفة القوية للأساس 2 هي أيضًا أعداد أولية زائفة من أعداد فيرما .

${\displaystyle 2^{F_{n}-1}\equiv 1{\pmod {F_{n}}}}$

لجميع أعداد فيرما. ^{[ 11 ]}

في عام 1904، أثبت سيبولا أن حاصل ضرب عددين أوليين أو مركبين مختلفين على الأقل من أعداد فيرما${\displaystyle F_{a}F_{b}\dots F_{s},}$${\displaystyle a>b>\dots >s>1}$سيكون عددًا أوليًا زائفًا من نوع فيرما للأساس 2 إذا وفقط إذا${\displaystyle 2^{s}>a}$[ ^{12 ]​}

لا يمكن أن يكون عدد فيرما عددًا كاملاً أو جزءًا من زوج من الأعداد المتآلفة . ( لوكا 2000 )

سلسلة مقلوبات جميع القواسم الأولية لأعداد فيرما متقاربة . ( كريزيك، لوكا وسومر 2002 )

إذا كان n عددًا أوليًا، وكان ⁿ + 1 عددًا أوليًا،${\displaystyle n\geq 2}$يوجد عدد صحيح m بحيث يكون n = 2 ^{m .} في هذه الحالة، تتحقق المعادلة n + ⁿ + 1 = F _{(2 ^m + m ) .} ^{[ 13 ] [ 14 ]}

ليكن أكبر عامل أولي لعدد فيرما Fn _هو P ( Fn ₎ . عندئذٍ،

${\displaystyle P(F_{n})\geq 2^{n+2}(4n+9)+1.}$( جريتشوك، لوكا وفوجتوفيتش 2001 )

طوّر كارل فريدريش غاوس نظرية الدورات الغاوسية في كتابه "Disquisitiones Arithmeticae" ، وصاغ شرطًا كافيًا لإمكانية إنشاء المضلعات المنتظمة. وذكر غاوس أن هذا الشرط ضروري أيضًا ، ^{[ 15 ]} لكنه لم ينشر برهانًا عليه. وقدّم بيير وانتزل برهانًا كاملًا على الضرورة في عام 1837. وتُعرف هذه النتيجة باسم نظرية غاوس-وانتزل .

يمكن إنشاء مضلع منتظم ذو n ضلع باستخدام الفرجار والمسطرة إذا وفقط إذا كان n هو ناتج قوة العدد 2 وأعداد فيرما الأولية المختلفة: بعبارة أخرى، إذا وفقط إذا كان n على الشكل n = 2 ^k p ₁ p ₂ ... p _s ، حيث k و s أعداد صحيحة غير سالبة و p _i أعداد فيرما الأولية المختلفة.

يكون العدد الصحيح الموجب n على الشكل المذكور أعلاه إذا وفقط إذا كان معامله φ ( n ) قوة للعدد 2.

أرقام من الشكل${\displaystyle {\frac {a^{2^{n}}+b^{2^{n}}}{gcd(a+b,2)}}}$تُسمى الأعداد التي يكون فيها a و b عددين صحيحين أوليين فيما بينهما ، a > b > 0 ، أعداد فيرما المعممة . يكون العدد الأولي الفردي p عدد فيرما معممًا إذا وفقط إذا كان p متطابقًا مع 1 (mod 4) . (هنا نأخذ في الاعتبار فقط الحالة n > 0 ، لذا 3 =${\displaystyle 2^{2^{0}}\!+1}$(ليس مثالاً مضاداً.)

مثال على عدد أولي محتمل من هذا الشكل هو 200 ²⁶²¹⁴⁴ + 119 ²⁶²¹⁴⁴ (وجده كيلين شينتون). ^{[ 16 ]}

قياسًا على أعداد فيرما العادية، من الشائع كتابة أعداد فيرما المعممة على النحو التالي:${\displaystyle a^{2^{\overset {n}{}}}\!\!+1}$كما في F _n ( a ). في هذه الصيغة، على سبيل المثال، يُكتب العدد 100,000,001 على الصورة F ₃ (10 ). فيما يلي، سنقتصر على الأعداد الأولية من هذا الشكل.${\displaystyle a^{2^{\overset {n}{}}}\!\!+1}$وتسمى هذه الأعداد الأولية "أعداد فيرما الأولية ذات الأساس a ". وبالطبع، لا توجد هذه الأعداد الأولية إلا إذا كان a عددًا زوجيًا .

أعداد فيرما الأولية المعممة من الشكل F _n ( a )

نظراً لسهولة إثبات أوليتها، أصبحت أعداد فيرما الأولية المعممة في السنوات الأخيرة موضوعاً للبحث في مجال نظرية الأعداد. والعديد من أكبر الأعداد الأولية المعروفة اليوم هي أعداد فيرما الأولية المعممة.

لا يمكن أن تكون أعداد فيرما المعممة أولية إلا إذا كان a زوجيًا ، لأنه إذا كان a فرديًا ، فإن كل عدد من أعداد فيرما المعممة سيكون قابلاً للقسمة على 2. أصغر عدد أولي${\displaystyle F_{n}(a)}$مع${\displaystyle n>4}$يكون${\displaystyle F_{5}(30)}$أو 30 ³² + 1. بالإضافة إلى ذلك، يمكننا تعريف "أعداد فيرما المعممة النصفية" لقاعدة فردية، حيث يكون عدد فيرما المعمم النصفي للقاعدة a (لـ a فردي ) هو${\displaystyle {\frac {a^{2^{n}}\!+1}{2}}}$ومن المتوقع أيضاً أن يكون هناك عدد محدود فقط من الأعداد الأولية المعممة النصفية لفيرما لكل أساس فردي.

في هذه القائمة، أعداد فيرما المعممة (${\displaystyle F_{n}(a)}$) إلى واحد حتى أ${\displaystyle a^{2^{n}}\!+1}$، بالنسبة للحرف a الفردي ، فهم${\displaystyle {\frac {a^{2^{n}}\!\!+1}{2}}}$إذا كان a قوة مثالية ذات أس فردي (المتتالية A070265 في OEIS ) ، فإن جميع أعداد فيرما المعممة يمكن تحليلها جبريًا، لذلك لا يمكن أن تكون أولية.

انظر ^{[ 17 ] و[ 18 ]} للأساسات الزوجية حتى 1000، و ^{[ 19 ]} للأساسات الفردية. لأصغر عدد${\displaystyle n}$بحيث${\displaystyle F_{n}(a)}$هو عدد أولي، انظر (التسلسل A253242 في OEIS ) .

${\displaystyle a}$	أرقام${\displaystyle n}$بحيث${\displaystyle F_{n}(a)}$هو عدد أولي	${\displaystyle a}$	أرقام${\displaystyle n}$بحيث${\displaystyle F_{n}(a)}$هو عدد أولي	${\displaystyle a}$	أرقام${\displaystyle n}$بحيث${\displaystyle F_{n}(a)}$هو عدد أولي	${\displaystyle a}$	أرقام${\displaystyle n}$بحيث${\displaystyle F_{n}(a)}$هو عدد أولي
2	٠، ١، ٢، ٣، ٤، ...	18	0، ...	34	2، ...	50	...
3	٠، ١، ٢، ٤، ٥، ٦، ...	19	1، ...	35	1، 2، 6، ...	51	1، 3، 6، ...
4	٠، ١، ٢، ٣، ...	20	1، 2، ...	36	0، 1، ...	52	0، ...
5	٠، ١، ٢، ...	21	٠، ٢، ٥، ...	37	0، ...	53	3، ...
6	٠، ١، ٢، ...	22	0، ...	38	...	54	1، 2، 5، ...
7	2، ...	23	2، ...	39	1، 2، ...	55	...
8	(لا أحد)	24	1، 2، ...	40	0، 1، ...	56	1، 2، ...
9	٠، ١، ٣، ٤، ٥، ...	25	0، 1، ...	41	4، ...	57	٠، ٢، ...
10	0، 1، ...	26	1، ...	42	0، ...	58	0، ...
11	1، 2، ...	27	(لا أحد)	43	3، ...	59	1، ...
12	0، ...	28	٠، ٢، ...	44	4، ...	60	0، ...
13	٠، ٢، ٣، ...	29	1، 2، 4، ...	45	0، 1، ...	61	٠، ١، ٢، ...
14	1، ...	30	0، 5، ...	46	٠، ٢، ٩، ...	62	...
15	1، ...	31	...	47	3، ...	63	...
16	٠، ١، ٢، ...	32	(لا أحد)	48	2، ...	64	(لا أحد)
17	2، ...	33	٠، ٣، ...	49	1، ...	65	1، 2، 5، ...

بالنسبة لأصغر قاعدة زوجية a بحيث${\displaystyle F_{n}(a)}$هو عدد أولي، انظر (التسلسل A056993 في OEIS ) .

يُعد العدد الأولي المعمم لفيرما F ₁₄ (71) أكبر عدد أولي معمم معروف لفيرما في القواعد b ≤ 1000، وقد ثبت أوليته من خلال إثبات أولية المنحنى الإهليلجي . ^{[ 20 ]}

${\displaystyle n}$	أسس بحيث​${\displaystyle F_{n}(a)}$أولي (فقط ضع في اعتبارك العدد الزوجي أ )	تسلسل OEIS
0	2، 4، 6، 10، 12، 16، 18، 22، 28، 30، 36، 40، 42، 46، 52، 58، 60، 66، 70، 72، 78، 82، 88، 96، 100، 102، 106، 108، 112، 126، 130، 136، 138، 148، 150، ...	A006093
1	2، 4، 6، 10، 14، 16، 20، 24، 26، 36، 40، 54، 56، 66، 74، 84، 90، 94، 110، 116، 120، 124، 126، 130، 134، 146، 150، 156، 160، 170، 176، 180، 184، ...	A005574
2	2، 4، 6، 16، 20، 24، 28، 34، 46، 48، 54، 56، 74، 80، 82، 88، 90، 106، 118، 132، 140، 142، 154، 160، 164، 174، 180، 194، 198، 204، 210، 220، 228، ...	A000068
3	2، 4، 118، 132، 140، 152، 208، 240، 242، 288، 290، 306، 378، 392، 426، 434، 442، 508، 510، 540، 542، 562، 596، 610، 664، 680، 682، 732، 782، ...	A006314
4	2، 44، 74، 76، 94، 156، 158، 176، 188، 198، 248، 288، 306، 318، 330، 348، 370، 382، 396، 452، 456، 470، 474، 476، 478، 560، 568، 598، 642، ...	A006313
5	30، 54، 96، 112، 114، 132، 156، 332، 342، 360، 376، 428، 430، 432، 448، 562، 588، 726، 738، 804، 850، 884، 1068، 1142، 1198، 1306، 1540، 1568، ...	A006315
6	102، 162، 274، 300، 412، 562، 592، 728، 1084، 1094، 1108، 1120، 1200، 1558، 1566، 1630، 1804، 1876، 2094، 2162، 2164، 2238، 2336، 2388، ...	A006316
7	120، 190، 234، 506، 532، 548، 960، 1738، 1786، 2884، 3000، 3420، 3476، 3658، 4258، 5788، 6080، 6562، 6750، 7692، 8296، 9108، 9356، 9582، ...	A056994
8	278، 614، 892، 898، 1348، 1494، 1574، 1938، 2116، 2122، 2278، 2762، 3434، 4094، 4204، 4728، 5712، 5744، 6066، 6508، 6930، 7022، 7332، ...	A056995
9	46، 1036، 1318، 1342، 2472، 2926، 3154، 3878، 4386، 4464، 4474، 4482، 4616، 4688، 5374، 5698، 5716، 5770، 6268، 6386، 6682، 7388، 7992، ...	A057465
10	824، 1476، 1632، 2462، 2484، 2520، 3064، 3402، 3820، 4026، 6640، 7026، 7158، 9070، 12202، 12548، 12994، 13042، 15358، 17646، 17670، ...	A057002
11	150، 2558، 4650، 4772، 11272، 13236، 15048، 23302، 26946، 29504، 31614، 33308، 35054، 36702، 37062، 39020، 39056، 43738، 44174، 45654، ...	A088361
12	1534، 7316، 17582، 18224، 28234، 34954، 41336، 48824، 51558، 51914، 57394، 61686، 62060، 89762، 96632، 98242، 100540، 101578، 109696، ...	A088362
13	30406، 71852، 85654، 111850، 126308، 134492، 144642، 147942، 150152، 165894، 176206، 180924، 201170، 212724، 222764، 225174، 241600، ...	A226528
14	67234، 101830، 114024، 133858، 162192، 165306، 210714، 216968، 229310، 232798، 422666، 426690، 449732، 462470، 468144، 498904، 506664، ...	A226529
15	70906، 167176، 204462، 249830، 321164، 330716، 332554، 429370، 499310، 524552، 553602، 743788، 825324، 831648، 855124، 999236، 1041870، 1074542، 1096382، 1113768، 1161054، 1167528، 1169486، 1171824، 1210354، 1217284، 1277444، 1519380، 1755378 1909372، 1922592، 1986700، ...	A226530
16	48594، 108368، 141146، 189590، 255694، 291726، 292550، 357868، 440846، 544118، 549868، 671600، 843832، 857678، 1024390، 1057476، 1087540، 1266062، 1361846، 1374038، 1478036، 1483076، 1540550، 1828502، 1874512، 1927034، 1966374، ...	A251597
17	62722، 130816، 228188، 386892، 572186، 689186، 909548، 1063730، 1176694، 1361244، 1372930، 1560730، 1660830، 1717162، 1722230، 1766192، 1955556، 2194180، 2280466، 2639850، 3450080، 3615210، 3814944، 4085818، 4329134، 4893072، 4974408، ...	A253854
18	24518، 40734، 145310، 361658، 525094، 676754، 773620، 1415198، 1488256، 1615588، 1828858، 2042774، 2514168، 2611294، 2676404، 3060772، 3547726، 3596074، 3673932، 3853792، 3933508، 4246258، 4489246، ...	A244150
19	75898، 341112، 356926، 475856، 1880370، 2061748، 2312092، 2733014، 2788032، 2877652، 2985036، 3214654، 3638450، 4896418، 5897794، 6339004، 8630170، 9332124، 10913140، 11937916، 12693488، 12900356، ...	A243959
20	919444، 1059094، 1951734، 1963736، 3843236، 5336284، ...	A321323
21	2524190، ...

أصغر عدد زوجي أساسه b بحيث يكون F _n ( b ) = b ^{2 n} + 1 (لأي n = 0، 1، 2، ...) عددًا أوليًا هو

2، 2، 2، 2، 2، 30، 102، 120، 278، 46، 824، 150، 1534، 30406، 67234، 70906، 48594، 62722، 24518، 75898، 919444، 2524190، ... (التسلسل A056993 في OEIS )

أصغر عدد فردي ذي أساس b بحيث يكون F _n ( b ) = ( b ^{2 n} + 1)/2 (لعدد معطى n = 0، 1، 2، ...) عددًا أوليًا (أو عددًا أوليًا محتملًا ) هو

3، 3، 3، 9، 3، 3، 3، 113، 331، 513، 827، 799، 3291، 5041، 71، 220221، 23891، 11559، 187503، 35963، ... (التسلسل A275530 في OEIS )

وعلى العكس من ذلك، فإن أصغر قيمة لـ k بحيث يكون (2n ) k ⁺ 1 (لقيمة n المعطاة ) عددًا أوليًا هي

1، 1، 1، 0، 1، 1، 2، 1، 1، 2، 1، 2، 2، 1، 1، 0، 4، 1، ... (الحد التالي غير معروف) (التسلسل A079706 في OEIS ) (انظر أيضًا (التسلسل A228101 في OEIS ) و (التسلسل A084712 في OEIS ) )

يمكن استخدام نظرية أكثر تفصيلاً للتنبؤ بعدد القواعد التي${\displaystyle F_{n}(a)}$سيكون ذلك مثالياً للإصلاح${\displaystyle n}$من المتوقع أن ينخفض ​​عدد أعداد فيرما الأولية المعممة إلى النصف تقريبًا عندما${\displaystyle n}$يتم زيادتها بمقدار 1.

أعداد فيرما الأولية المعممة من الشكل F _n ( a , b )

من الممكن أيضًا بناء أعداد فيرما الأولية المعممة على النحو التالي:${\displaystyle a^{2^{n}}+b^{2^{n}}}$كما هو الحال عندما يكون b = 1، فإن الأعداد من هذا الشكل ستكون دائمًا قابلة للقسمة على 2 إذا كان a + b زوجيًا، ولكن لا يزال من الممكن تعريف أعداد أولية نصف فيرما معممة من هذا النوع. بالنسبة لأصغر عدد أولي من الشكل${\displaystyle F_{n}(a,b)}$(للأعداد الفردية)${\displaystyle a+b}$)، انظر أيضًا (التسلسل A111635 في OEIS ) .

${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	أرقام${\displaystyle n}$بحيث${\displaystyle F_{n}(a,b)={\frac {a^{2^{n}}+b^{2^{n}}}{\gcd(a+b,2)}}}$هو عدد أولي [ 21 ]
2	1	٠، ١، ٢، ٣، ٤، ...
3	1	٠، ١، ٢، ٤، ٥، ٦، ...
3	2	٠، ١، ٢، ...
4	1	٠، ١، ٢، ٣، ... (ما يعادل${\displaystyle F_{n}(2,1)}$)
4	3	٠، ٢، ٤، ...
5	1	٠، ١، ٢، ...
5	2	٠، ١، ٢، ...
5	3	1، 2، 3، ...
5	4	1، 2، ...
6	1	٠، ١، ٢، ...
6	5	٠، ١، ٣، ٤، ...
7	1	2، ...
7	2	1، 2، ...
7	3	٠، ١، ٨، ...
7	4	٠، ٢، ...
7	5	1، 4،
7	6	٠، ٢، ٤، ...
8	1	(لا أحد)
8	3	٠، ١، ٢، ...
8	5	٠، ١، ٢، ...
8	7	1، 4، ...
9	1	٠، ١، ٣، ٤، ٥، ... (ما يعادل${\displaystyle F_{n}(3,1)}$)
9	2	٠، ٢، ...
9	4	0، 1، ... (ما يعادل${\displaystyle F_{n}(3,2)}$)
9	5	٠، ١، ٢، ...
9	7	2، ...
9	8	٠، ٢، ٥، ...
10	1	0، 1، ...
10	3	٠، ١، ٣، ...
10	7	٠، ١، ٢، ...
10	9	٠، ١، ٢، ...
11	1	1، 2، ...
11	2	٠، ٢، ...
11	3	٠، ٣، ...
11	4	1، 2، ...
11	5	1، ...
11	6	٠، ١، ٢، ...
11	7	2، 4، 5، ...
11	8	0، 6، ...
11	9	1، 2، ...
11	10	5، ...
12	1	0، ...
12	5	٠، ٤، ...
12	7	٠، ١، ٣، ...
12	11	0، ...

• المضلع القابل للإنشاء : يعتمد تحديد المضلعات المنتظمة القابلة للإنشاء جزئيًا على أعداد فيرما الأولية.
• دالة أسية مزدوجة
• نظرية لوكاس
• عدد ميرسين الأولي
• بيربونت برايم
• اختبار الأسبقية
• نظرية بروث
• عدد أولي زائف
• رقم سيربينسكي
• تسلسل سيلفستر

• غولومب، إس دبليو (1 يناير 1963)، "حول مجموع مقلوب أعداد فيرما واللاعقلانية ذات الصلة"، المجلة الكندية للرياضيات ، 15 : 475-478 ، doi : 10.4153/CJM-1963-051-0 ، S2CID 123138118 
• غريتشوك، أ.؛ لوكا، ف.؛ وويتوفيتش، م. (2001)، "ملاحظة أخرى حول أكبر العوامل الأولية لأعداد فيرما"، نشرة جنوب شرق آسيا للرياضيات ، 25 (1): 111-115 ، doi : 10.1007/s10012-001-0111-4 ، S2CID 122332537 
• جاي، ريتشارد ك. (2004)، مسائل غير محلولة في نظرية الأعداد ، سلسلة كتب المسائل في الرياضيات، المجلد  1 (  الطبعة الثالثة)، نيويورك: سبرينغر فيرلاغ ، الصفحات  A3، A12، B21، ISBN 978-0-387-20860-2
• كريزيك، ميخال؛ لوكا، فلوريان وسومر، لورانس (2001)، 17 محاضرة حول أعداد فيرما: من نظرية الأعداد إلى الهندسة ، كتب الجمعية الرياضية الكندية في الرياضيات، المجلد  10، نيويورك: سبرينغر، ISBN 978-0-387-95332-8- يحتوي هذا الكتاب على قائمة مراجع شاملة.
• كريزيك، ميخال؛ لوكا، فلوريان وسومر، لورانس (2002)، "حول تقارب متسلسلات مقلوب الأعداد الأولية المتعلقة بأعداد فيرما"، مجلة نظرية الأعداد ، 97 (1): 95-112 ، doi : 10.1006/jnth.2002.2782
• لوكا، فلوريان (2000)، "عدد فيرما المعادي للمجتمع" ، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 107 (2): 171-173 ، doi : 10.2307/2589441 ، JSTOR 2589441 
• ريبنبوم، باولو (1996)، الكتاب الجديد لسجلات الأعداد الأولية (  الطبعة الثالثة)، نيويورك: سبرينغر، رقم ISBN 978-0-387-94457-9
• روبنسون، رافائيل م. (1954)، "أعداد ميرسين وفيرما"، وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية ، 5 (5): 842-846 ، doi : 10.2307/2031878 ، JSTOR 2031878 
• يابوتا، م. (2001)، "برهان بسيط لنظرية كارمايكل حول القواسم الأولية" (ملف PDF) ، مجلة فيبوناتشي الفصلية ، 39 (5): 439-443 ، doi : 10.1080/00150517.2001.12428701 ، مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 2022-10-09

• كريس كالدويل، معجم الأعداد الأولية: عدد فيرما في صفحات الأعداد الأولية .
• لويجي موريللي، تاريخ أعداد فيرما
• جون كوسغريف، توحيد أعداد ميرسين وفيرما
• ويلفريد كيلر، العوامل الأولية لأعداد فيرما
• وايسشتاين، إريك دبليو. "عدد فيرما" . عالم الرياضيات .
• وايسستين، إريك دبليو. “فيرمات برايم” . عالم الرياضيات .
• وايسشتاين، إريك دبليو. "عدد فيرما المعمم" . عالم الرياضيات .
• إيف غالوت، بحث فيرما الأولي المعمم
• مارك س. ماناس، التحليل الكامل للعدد التاسع من أعداد فيرما (الإعلان الأصلي)
• بيتون هايسليت، أكبر إعلان معروف عن عدد فيرما الأولي المعمم