انبعاث الإلكترونات الميداني

كما سبق ذكره، كان الدافع وراء العمل التجريبي المبكر على انبعاث الإلكترونات الميداني (1910-1920) ^{[ 7 ]} هو رغبة ليليانفيلد في تطوير أنابيب أشعة سينية مصغرة للتطبيقات الطبية. ومع ذلك، كان الوقت مبكرًا جدًا لنجاح هذه التقنية.

بعد العمل النظري الذي قام به فاولر ونوردهايم عام 1928، تحقق تقدم كبير مع تطوير إروين دبليو مولر عام 1937 لمجهر الإلكترون ذي المجال الكروي (FEM) ^{[ 23 ]} (المعروف أيضًا باسم "مجهر الانبعاث الميداني"). في هذا الجهاز، يكون باعث الإلكترونات عبارة عن سلك مدبب حاد، نصف قطر قمته r . يوضع هذا السلك في حاوية مفرغة من الهواء، مقابل كاشف الصور (الذي كان في الأصل شاشة فسفورية)، على مسافة R منه. تعرض شاشة المجهر صورة إسقاطية لتوزيع كثافة التيار J عبر قمة الباعث، بتكبير يقارب ( R / r )، ويتراوح عادةً بين ^10⁵ و10⁶ . في دراسات ^مجهر الانبعاث الميداني، يتراوح نصف قطر القمة عادةً بين 100  نانومتر و1 ميكرومتر. وقد أطلق على طرف السلك المدبب، عندما يشار إليه كجسم مادي، اسم "باعث المجال" أو "الطرف" أو (مؤخراً) "باعث مولر".

عندما يكون سطح الباعث نظيفًا، فإن صورة العناصر المحدودة هذه تتميز بما يلي:

1. المادة التي يُصنع منها الباعث.
2. اتجاه المادة بالنسبة لمحور الإبرة/السلك؛ و
3. إلى حد ما، شكل نهاية الباعث.

في صورة العناصر المحدودة، تُشير المناطق الداكنة إلى المناطق التي تكون فيها دالة الشغل المحلية φ عالية نسبيًا و/أو مجال الحاجز المحلي F منخفضًا نسبيًا، وبالتالي تكون كثافة التيار J منخفضة نسبيًا؛ بينما تُشير المناطق الفاتحة إلى المناطق التي تكون فيها φ منخفضة نسبيًا و/أو F عالية نسبيًا، وبالتالي تكون كثافة التيار J عالية نسبيًا. وهذا ما تنبأت به أسّ معادلات فاولر-نوردهايم [انظر المعادلة (30) أدناه].

يمكن أن يؤدي امتزاز طبقات من ذرات الغاز (مثل الأكسجين) على سطح الباعث، أو جزء منه، إلى تكوين ثنائيات أقطاب كهربائية سطحية تُغير دالة الشغل المحلية لهذا الجزء من السطح. يؤثر هذا على صورة المجهر الإلكتروني ذي العناصر المحدودة (FEM)؛ كما يمكن قياس تغير دالة الشغل باستخدام مخطط فاولر-نوردهايم (انظر أدناه). وهكذا، أصبح المجهر الإلكتروني ذي العناصر المحدودة أداة رصد مبكرة في علم الأسطح . ^{[ 24 ] [ 25 ]} على سبيل المثال، في ستينيات القرن الماضي، ساهمت نتائج المجهر الإلكتروني ذي العناصر المحدودة بشكل كبير في المناقشات حول التحفيز غير المتجانس . ^{[ 26 ]} كما استُخدم المجهر الإلكتروني ذي العناصر المحدودة في دراسات انتشار الذرات على السطح . مع ذلك، فقد حلت تقنيات علم الأسطح الأحدث محل المجهر الإلكتروني ذي العناصر المحدودة بشكل شبه كامل.

نتيجةً لتطوير طريقة العناصر المحدودة (FEM) والتجارب اللاحقة، أصبح من الممكن تحديد (من خلال فحص صور FEM) متى يكون الباعث "نظيفًا"، وبالتالي إظهار دالة شغله للسطح النظيف كما هو مُثبت بتقنيات أخرى. كان هذا الأمر بالغ الأهمية في التجارب المصممة لاختبار صحة معادلة فاولر-نوردهايم القياسية. ^{[ 27 ] [ 28 ]} استنتجت هذه التجارب قيمة معامل تحويل الجهد إلى مجال الحاجز β من مخطط فاولر-نوردهايم (انظر أدناه)، بافتراض قيمة φ للسطح النظيف للتنغستن، وقارنتها بالقيم المستمدة من ملاحظات المجهر الإلكتروني لشكل الباعث والنمذجة الكهروستاتيكية. وقد تحققت مطابقة في حدود 10% تقريبًا. لم يتسنَّ إجراء المقارنة بالعكس إلا مؤخرًا ^{[ 29 ]} ، وذلك بتقريب مسبار مُجهَّز جيدًا من سطح مُجهَّز جيدًا بحيث يُمكن افتراض هندسة لوحين متوازيين تقريبًا، ويُمكن اعتبار عامل التحويل 1/ W ، حيث W هي المسافة المقاسة بين المسبار والباعث. يُعطي تحليل مخطط فاولر-نوردهايم الناتج قيمة دالة شغل قريبة من دالة شغل الباعث المعروفة بشكل مستقل.

أُبلغ لأول مرة عن قياسات توزيع الطاقة للإلكترونات المنبعثة من المجال في عام 1939. ^{[ 30 ]} وفي عام 1959، أدرك يونغ نظريًا ^{[ 31 ]} ، وأكد يونغ ومولر تجريبيًا ^{[ 32 ]} أن الكمية المقاسة في الهندسة الكروية هي توزيع الطاقة الكلية للإلكترون المنبعث (توزيع طاقته الكلية). ويعود ذلك إلى أن الإلكترونات، في الهندسة الكروية، تتحرك بطريقة تحافظ على الزخم الزاوي حول نقطة في الباعث تقريبًا. وبالتالي، فإن أي طاقة حركية ، عند الانبعاث، تكون في اتجاه موازٍ لسطح الباعث، تتحول إلى طاقة مرتبطة بالاتجاه القطري للحركة. لذا، فإن ما يُقاس في محلل الطاقة هو الطاقة الكلية عند الانبعاث.

مع تطور أجهزة تحليل طاقة الإلكترون الحساسة في ستينيات القرن العشرين، أصبح من الممكن قياس أدق تفاصيل توزيع الطاقة الكلية. وتعكس هذه التفاصيل أدق خصائص فيزياء السطح ، وقد ازدهرت تقنية مطيافية الإلكترون الميداني لفترة من الزمن، قبل أن تحل محلها تقنيات أحدث في علم الأسطح. ^{[ 33 ] [ 34 ]}

لتحقيق دقة عالية في المجاهر الإلكترونية وغيرها من أجهزة حزم الإلكترونات (مثل تلك المستخدمة في الطباعة الحجرية بحزم الإلكترونات )، من المفيد البدء بمصدر إلكتروني صغير الحجم، ساطع بصريًا، ومستقر. وتُعد المصادر القائمة على هندسة باعث مولر مناسبة تمامًا للمعيارين الأولين. وقد أجرى ألبرت كرو ، وج. وول، وج. لانغمور أول رصد لذرة منفردة باستخدام المجهر الإلكتروني عام 1970، ^{[ 35 ]} باستخدام مجهر إلكتروني ماسح نافذ مزود بمدفع انبعاث حقلي مبكر .

منذ خمسينيات القرن العشرين، بُذلت جهودٌ حثيثة لتطوير مصادر الانبعاث الميداني لاستخدامها في مدافع الإلكترونات . ^{[ 36 ] [ 37 ] [ 38 ]} [مثل DD53] وقد طُوّرت طرقٌ لتوليد حزمٍ محورية، إما عن طريق تراكم الباعث المُستحثّ ميدانيًا، أو عن طريق الترسيب الانتقائي لمادةٍ ممتزة ذات دالة شغل منخفضة (عادةً أكسيد الزركونيوم - ZrO) في القمة المسطحة لباعث التنجستن الموجه (100) . ^{[ 39 ]}

تُعاني المصادر التي تعمل في درجة حرارة الغرفة من عيب يتمثل في إمكانية تغطيتها بجزيئات ممتزة قادمة من جدران نظام التفريغ ، مما يستدعي تنظيف الباعث دوريًا عن طريق تسخينه إلى درجة حرارة عالية. في الوقت الحاضر، يشيع استخدام مصادر تعتمد على باعث مولر، والتي تعمل في درجات حرارة مرتفعة، إما في نظام انبعاث شوتكي أو في ما يُعرف بنظام المجال الحراري المتوسط. تستخدم معظم المجاهر الإلكترونية الحديثة عالية الدقة وأجهزة حزم الإلكترونات نوعًا من مصادر انبعاث الإلكترونات الميدانية. وتُبذل حاليًا محاولات لتطوير أنابيب الكربون النانوية (CNTs) كمصادر انبعاث ميداني لمدفع الإلكترونات. ^{[ 40 ] [ 41 ]}

استلزم استخدام مصادر الانبعاث الميداني في الأجهزة البصرية الإلكترونية تطوير نظريات مناسبة لبصريات الجسيمات المشحونة ، ^{[ 37 ] [ 42 ]} وتطوير نماذج ذات صلة. وقد جُرِّبت نماذج شكلية مختلفة لبواعث مولر؛ ويبدو أن أفضلها هو نموذج "الكرة على المخروط المتعامد" (SOC) الذي قدمه دايك، وترولان، ودولان، وبارنز عام 1953. ^{[ 43 ]} وقد أجرى ويزنر وإيفرهارت محاكاة مهمة، تضمنت تتبع المسار باستخدام نموذج باعث SOC. ^{[ 44 ] [ 45 ] [ 46 ]} في الوقت الحاضر، غالبًا ما تُدمج إمكانية محاكاة الانبعاث الميداني من بواعث مولر في برامج البصريات الإلكترونية التجارية المستخدمة لتصميم أجهزة حزم الإلكترونات. ويتطلب تصميم مدافع إلكترونية حديثة وفعالة ذات انبعاث ميداني خبرة متخصصة للغاية.

أصبح من الممكن اليوم تحضير باعثات دقيقة للغاية، بما في ذلك الباعثات التي تنتهي بذرة واحدة. في هذه الحالة، ينبعث الإلكترون من منطقة تبلغ مساحتها ضعف الحجم البلوري للذرة الواحدة تقريبًا. وقد تم إثبات ذلك من خلال مقارنة صور المجهر الإلكتروني الماسح (FEM) ومجهر أيون المجال (FIM) للباعث. ^{[ 47 ]} كما أن باعثات مولر ذات قمة الذرة الواحدة ذات أهمية في مجهر المسح المجهري ومجهر أيون المسح الهيليومي (He SIM). ^{[ 48 ]} وقد خضعت تقنيات تحضيرها للدراسة والبحث لسنوات عديدة. ^{[ 47 ] [ 49 ]} ومن التطورات الحديثة الهامة ذات الصلة، تطوير تقنية آلية (للاستخدام في He SIM) لاستعادة قمة ثلاثية الذرات ("ترايمر") إلى حالتها الأصلية، في حال تفكك الترايمر. ^{[ 48 ]}

كما سبق ذكره، يُعتقد الآن أن أولى مظاهر انبعاث الإلكترونات الميداني كانت التفريغات الكهربائية التي تسببها. بعد دراسة فاولر ونوردهايم، أصبح من المفهوم أن انبعاث الإلكترونات الميداني (CFE) كان أحد الأسباب الرئيسية المحتملة لانهيار الفراغ وظواهر التفريغ الكهربائي. (قد تكون الآليات والمسارات التفصيلية المتضمنة معقدة للغاية، ولا يوجد سبب واحد شامل) ^{[ 60 ]} . عندما يُعرف أن انهيار الفراغ ناتج عن انبعاث الإلكترونات من المهبط، كان الاعتقاد السائد في البداية أن الآلية هي انبعاث الإلكترونات الميداني من نتوءات سطحية صغيرة موصلة تشبه الإبر. وقد استُخدمت (ولا تزال تُستخدم) إجراءات لتنعيم أسطح الأقطاب الكهربائية التي قد تولد تيارات انبعاث إلكترونات ميدانية غير مرغوب فيها. ومع ذلك، أظهرت دراسة لاثام وآخرين ^{[ 51 ]} أن الانبعاث قد يكون مرتبطًا أيضًا بوجود شوائب شبه موصلة في الأسطح الملساء. لا تزال فيزياء كيفية توليد الانبعاث غير مفهومة تمامًا، ولكن ثمة شكوك في أن ما يُسمى بـ "تأثيرات الوصلة الثلاثية" قد تكون متضمنة. يمكن الاطلاع على مزيد من المعلومات في كتاب لاثام ^{[ 51 ]} وفي قائمة المراجع الإلكترونية. ^{[ 60 ]}

في بعض الأجهزة الإلكترونية، ينتقل الإلكترون من مادة إلى أخرى، أو (في حالة النطاقات المائلة) من نطاق إلى آخر (" نفق زينر ")، عبر عملية نفق مستحثة بالمجال، والتي يمكن اعتبارها شكلاً من أشكال نفق فاولر-نوردهايم. على سبيل المثال، يناقش كتاب رودريك النظرية المتعلقة بوصلات المعدن-أشباه الموصلات . ^{[ 61 ]}

بالنسبة للإلكترون، يمكن كتابة معادلة شرودنغر أحادية البعد على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\Psi (x)}{\mathrm {d} x^{2}}}=\left[U(x)-E_{\mathrm {n} }\right]\Psi (x)=M(x)\Psi (x),}$

1

حيث Ψ( x ) هي دالة الموجة الإلكترونية ، معبرًا عنها كدالة للمسافة x المقاسة من السطح الكهربائي للباعث، ^{[ 62 ]} وħ هو ثابت بلانك المختزل ، وm هي كتلة الإلكترون، و U ( x ) هي طاقة الوضع الإلكترونية ، و _En هي الطاقة الإلكترونية الكلية المرتبطة بالحركة في اتجاه x ، و M ( x ) = [ U ( x ) − En _] تُسمى الطاقة الحركية الإلكترونية. ^{[ 63 ]} يمكن تفسير M ( x ) على أنها سالبة الطاقة الحركية الإلكترونية المرتبطة بحركة إلكترون نقطي كلاسيكي افتراضي في اتجاه x ، وتكون موجبة في الحاجز.

يتحدد شكل حاجز النفق الكمومي بكيفية تغير M ( x ) مع الموقع في المنطقة التي يكون فيها M ( x ) > 0. يتمتع نموذجان بمكانة خاصة في نظرية الانبعاث الميداني: حاجز المثلث الدقيق (ET) ، الموضح في ( 2 )؛ وحاجز شوتكي - نوردهايم (SN) ، الموضح في ( 3 ). ^{[ 64 ] [ 65 ]}

${\displaystyle M^{\mathrm {ET} }(x)=h-eFx}$

2

${\displaystyle M^{\rm {SN}}(x)=h-eFx-{\frac {e^{2}}{16\pi \varepsilon _{0}x}},}$

3

هنا، _يُمثل h ارتفاع الحاجز في غياب المجال (أو ارتفاعه قبل التخفيض )، و e الشحنة الموجبة الأولية ، و F مجال الحاجز، و ε₀ ثابت العزل الكهربائي . ويُفترض اصطلاحًا أن F موجب، على الرغم من أن المجال الكهروستاتيكي الكلاسيكي يكون سالبًا. تستخدم معادلة SN طاقة الوضع الكلاسيكية للصورة لتمثيل التأثير الفيزيائي "الترابط والتبادل".

بالنسبة للإلكترون الذي يقترب من حاجز معين من الداخل، فإن احتمال الهروب (أو " معامل النقل " أو "معامل الاختراق") هو دالة لـ h و F ، ويُرمز له بـ D ( h , F ) . الهدف الأساسي لنظرية النفق الكمومي هو حساب D ( h , F ) . بالنسبة لنماذج الحواجز الواقعية فيزيائيًا، مثل حاجز شوتكي-نوردهايم، لا يمكن حل معادلة شرودنغر بدقة بأي طريقة بسيطة. يمكن استخدام ما يُسمى بالنهج "شبه الكلاسيكي" التالي. يمكن تعريف المعامل G ( h , F ) بواسطة تكامل JWKB (جيفريز-وينتزل-كرامرز-بريلوين) : ^{[ 66 ]}

${\displaystyle G(h,F)=g\int M^{1/2}{\mbox{d}}x,}$

4

حيث يتم حساب التكامل عبر الحاجز (أي عبر المنطقة التي يكون فيها M  >  0)، والمعامل g ثابت عالمي يُعطى بواسطة

${\displaystyle g\,=2{\sqrt {2m}}/\hbar \approx 10.24624\;{\rm {eV}}^{-1/2}\;{\rm {nm}}^{-1}.}$

5

أعاد فوربس ترتيب نتيجة أثبتها فرومان وفرومان، لإظهار أنه من الناحية الرسمية - في معالجة أحادية البعد - يمكن كتابة الحل الدقيق لـ D ^{[ 67 ].}

${\displaystyle \,D={\frac {P\mathrm {e} ^{-G}}{1+P\mathrm {e} ^{-G}}},}$

6

حيث يمكن من حيث المبدأ حساب عامل النفق P من خلال عمليات تكامل تكرارية معقدة على طول مسار في الفضاء المركب ، ولكنه يساوي تقريبًا  1 للنماذج البسيطة. ^{[ 67 ] [ 68 ]} في نظام CFE، لدينا (بحسب التعريف) G  ≫  1. لذا، تُختزل المعادلة (6) إلى ما يُسمى بصيغة JWKB البسيطة :

${\displaystyle D\approx P\mathrm {e} ^{-G}\approx \mathrm {e} ^{-G}.}$

7

بالنسبة للحاجز المثلثي الدقيق، فإن وضع المعادلة  ( 2 ) في المعادلة  ( 4 ) ينتج عنه G ^ET = bh ^3/2 / F ، حيث

${\displaystyle b={\frac {2g}{3e}}={\frac {4{\sqrt {2m}}}{3e\hbar }}\approx 6.830890\;{\mathrm {eV} }^{-3/2}\;\mathrm {V} \;{\mathrm {nm} }^{-1}.}$

8

هذا المعامل b هو ثابت عام يُسمى أحيانًا ثابت فاولر - نوردهايم الثاني . بالنسبة للحواجز ذات الأشكال الأخرى، نكتب

${\displaystyle G(h,F)=\nu (h,F)G^{\mathrm {ET} }=\nu (h,F)bh^{3/2}/F,}$

9

حيث ν ( h , F ) هو عامل تصحيح يتم تحديده عن طريق التكامل العددي للمعادلة  ( 4 ).

يُعد حاجز شوتكي-نوردهايم، وهو نموذج الحاجز المستخدم في اشتقاق معادلة فاولر-نوردهايم القياسية، ^{[ 69 ]} حالة خاصة. في هذه الحالة، من المعروف أن عامل التصحيح${\displaystyle {\it {\nu }}}$هي دالة لمتغير واحد f _h ، معرفة بالعلاقة f _h  = F / F _h ، حيث F _h هو الحقل اللازم لتقليل ارتفاع حاجز شوتكي - نوردهايم من h إلى 0. ويُعطى هذا الحقل بالعلاقة التالية: 

${\displaystyle \,F_{h}=(4\pi \epsilon _{0}/e^{3})h^{2}=(0.6944617\;\mathrm {V} \;{\mathrm {nm} }^{-1})(h/{\rm {eV}})^{2}.}$

10

تتراوح المعلمة f _h من 0 إلى 1، ويمكن تسميتها مجال الحاجز المُقاس ، لحاجز شوتكي-نوردهايم ذي ارتفاع المجال الصفري h .

بالنسبة لحاجز شوتكي - نوردهايم، تُعطى ν ( h , F ) بالقيمة الخاصة ν ( fh ) للدالة ν ( ℓ ′ ). هذه الأخيرة دالةٌ في الفيزياء الرياضية بحد ذاتها، ولها متسلسلة صريحة _[ ^{70 ] ،} وقد سُميت دالة حاجز شوتكي - نوردهايم الرئيسية. وقد وُجد التقريب البسيط الجيد التالي لـ ν ( fh _{) :} ^{[ 69 ]}

${\displaystyle v(f_{h})\approx 1-f_{h}+{\tfrac {1}{6}}f_{h}\ln f_{h}.}$

11

يقيس عرض الاضمحلال (بالطاقة)، ​​d _h ، مدى سرعة انخفاض احتمالية الهروب D مع زيادة ارتفاع الحاجز h ؛ ويتم تعريف d _{h على النحو التالي:}

${\displaystyle {\frac {1}{d_{h}}}=-{\frac {\mathrm {d} (\ln D)}{\mathrm {d} h}}.}$

12

عندما تزداد قيمة h بمقدار d _h، فإن احتمال الهروب D ينخفض ​​بمعامل قريب من e (  ≈  2.718282). بالنسبة لنموذج أولي، قائم على الحاجز المثلثي الدقيق، حيث نضع ν  =  1 و P  ≈  1، نحصل على

${\displaystyle d_{h}^{\mathrm {(el)} }={\frac {2F}{3b{\sqrt {h}}}}={\frac {eF}{g{\sqrt {h}}}}.}$

يختلف عرض الاضمحلال d _h المشتق من التعبير الأكثر عمومية ( 12 ) عن هذا بمقدار "معامل تصحيح عرض الاضمحلال" λ _d ، لذا:

${\displaystyle d_{h}=\lambda _{d}d_{h}^{\mathrm {(el)} }={\frac {\lambda _{d}eF}{g{\sqrt {h}}}}.}$

13

عادةً، يمكن تقريب عامل التصحيح إلى الوحدة.

_يُعدّ عرض الاضمحلال dF لحاجز ذي قيمة h تساوي دالة الشغل المحلية φ ذا أهمية خاصة. ويُعطى هذا العرض عدديًا بالصيغة التالية:

${\displaystyle d_{\mathrm {F} }={\frac {\lambda _{d}eF}{g{\sqrt {\phi }}}}\approx {\frac {eF}{g{\sqrt {\phi }}}}\approx 0.09759678\;\mathrm {eV} \,\cdot {\sqrt {\frac {1\ \mathrm {eV} }{\phi }}}\cdot {\frac {F}{1\ \mathrm {V} \ \mathrm {nm} ^{-1}}}.}$

14

بالنسبة للمعادن، تكون قيمة d _F عادةً في حدود 0.2  إلكترون فولت، ولكنها تختلف باختلاف مجال الحاجز F.

من الضروري الإشارة إلى جانب تاريخي. فقد طرح نوردهايم فكرة أن حاجز شوتكي-نوردهايم يحتاج إلى عامل تصحيح، كما في المعادلة ( 9 )، عام 1928 ^{[ 65 ]،} إلا أن تحليله الرياضي لهذا العامل كان خاطئًا. وفي عام 1953، قدم بورغيس وكرويمر وهيوستن ^{[ 71 ]} دالة جديدة (صحيحة) ، ثم طور مورفي وجود رياضياتها عام 1956 ^{[ 72 ]} . تُعرف هذه الدالة المصححة أحيانًا باسم " دالة القطع الناقص لانبعاث المجال الخاص "، وقد عُبِّر عنها كدالة لمتغير رياضي y يُعرف باسم "معامل نوردهايم". ومؤخرًا فقط (بين عامي 2006 و2008)، تبيّن أنه من الأفضل رياضيًا استخدام المتغير ℓ ′ (حيث y = ² ) . ولم يتسنَّ استكمال تعريف ν ( ℓ ′ ) إلا مؤخرًا، وذلك بتطوير وإثبات صحة متسلسلة توسيع دقيقة لهذه الدالة (انطلاقًا من حلول حالات خاصة معروفة لمعادلة غاوس التفاضلية فوق الهندسية ). كما تم التوصل إلى التقريب ( 11 ) مؤخرًا أيضًا. ويتفوق هذا التقريب، ومن المرجح أن يحل محل جميع التقريبات القديمة ذات التعقيد المكافئ. ومن المحتمل أن يكون لهذه التطورات الحديثة ، وآثارها، تأثير كبير على أبحاث الانبعاث الميداني في المستقبل القريب.

يُلخص ما يلي هذه النتائج. بالنسبة للنفق الذي يقع أسفل قمة حاجز ذي ارتفاع معقول، فإن احتمال الهروب D ( h , F ) يُعطى رسميًا بالصيغة التالية:

${\displaystyle D(h,F)\approx P\exp \left[-{\frac {\nu (h,F)bh^{3/2}}{F}}\right],}$

15

حيث ν ( h , F ) هو عامل تصحيح يُحسب عادةً بالتكامل العددي. في حالة حاجز شوتكي-نوردهايم، توجد نتيجة تحليلية، ويُعطى ν ( h , F ) بالعلاقة ν ( f , _h )، كما ذُكر سابقًا؛ والتقريب (11) لـ ν ( f, _h ) كافٍ تمامًا لجميع الأغراض التقنية. العامل P هو أيضًا، من حيث المبدأ، دالة لـ h و(ربما) F ، ولكن بالنسبة للنماذج الفيزيائية البسيطة التي نناقشها هنا، عادةً ما يكون التقريب P  =  1 مُرضيًا. يُعد الحاجز المثلثي الدقيق حالة خاصة حيث يمكن حل معادلة شرودنغر بدقة، كما فعل فاولر ونوردهايم؛ ^{[ 1 ]} في هذه الحالة غير الواقعية فيزيائيًا، ν ( f, _h )  = 1، ويوجد  تقريب تحليلي لـ P.

طُوِّرَ المنهج الموصوف هنا في الأصل لوصف نفق فاولر - نوردهايم من أسطح باعثة مستوية ناعمة ومسطحة كلاسيكيًا. وهو مناسب للأسطح المنحنية الكلاسيكية الناعمة ذات أنصاف أقطار تصل إلى حوالي 10 إلى 20  نانومترًا. ويمكن تكييفه مع الأسطح ذات أنصاف الأقطار الأكثر حدة، ولكن تصبح كميات مثل ν و D حينها دوالًا مهمة للمعامل (المعاملات) المستخدمة لوصف انحناء السطح. عندما يكون الباعث حادًا جدًا بحيث لا يمكن إهمال التفاصيل على المستوى الذري، و/أو عندما يكون حاجز النفق أكثر سمكًا من أبعاد قمة الباعث، يصبح من المستحسن استخدام منهج أكثر تطورًا.

كما ذُكر في البداية، تُهمل تأثيرات البنية الذرية للمواد في المعالجات البسيطة نسبيًا لانبعاث الإلكترونات الميدانية التي نناقشها هنا. ويُعدّ أخذ البنية الذرية في الحسبان بدقة مسألة بالغة الصعوبة، ولم يُحرز سوى تقدم محدود في هذا المجال. ^{[ 33 ]} ومع ذلك، يبدو من المرجح أن التأثيرات الرئيسية على نظرية نفق فاولر-نوردهايم ستكون (فعليًا) تغيير قيم P و ν في المعادلة (15)، بمقادير يصعب تقديرها حاليًا.

تنطبق جميع هذه الملاحظات من حيث المبدأ على  نفق فاولر-نوردهايم من أي موصل حيث يمكن (قبل النفق) التعامل مع الإلكترونات كما لو كانت في حالات موجة متحركة . يمكن تكييف هذا النهج ليُطبق (تقريبًا) على الحالات التي تكون فيها الإلكترونات في البداية في حالات موضعية عند السطح الباعث أو بالقرب منه، ولكن هذا خارج نطاق هذه المقالة.

يشرح القسم السابق كيفية اشتقاق معادلات من نوع فاولر-نوردهايم. وبالتحديد، تنطبق هذه المعادلات فقط على الترسيب الكهروكيميائي من المعادن الصلبة. أما الأفكار الواردة في الأقسام التالية فتُطبّق على الترسيب الكهروكيميائي بشكل أعم، ولكن سيتم استخدام المعادلة (30) لتوضيحها.

في مجال انبعاث الضوء المستقطب، توفر المعالجات النظرية الأساسية علاقة بين كثافة تيار الانبعاث الموضعي J ومجال الحاجز الموضعي F ، عند موضع محدد على سطح الانبعاث. تقيس التجارب تيار الانبعاث i من جزء محدد من سطح الانبعاث، كدالة للجهد V المطبق على قطب كهربائي مضاد. ولربط هذه المتغيرات بـ J و F ، تُستخدم معادلات مساعدة.

يُعرَّف عامل تحويل الجهد إلى مجال الحاجز β كما يلي:

${\displaystyle F=\;\beta V,}$

31

تختلف قيمة F من موضع لآخر على سطح الباعث، وتختلف قيمة β تبعاً لذلك.

بالنسبة لباعث معدني، تكون قيمة β ثابتة عند موضع معين (مستقلة عن الجهد) في ظل الشروط التالية: (1) أن يكون الجهاز عبارة عن ترتيب "ثنائي"، حيث تكون الأقطاب الكهربائية الوحيدة الموجودة هي الباعث ومجموعة من "المحيط"، وجميع أجزائها عند نفس الجهد؛ (2) عدم وجود شحنة فراغية منبعثة من المجال (FEVSC) ذات أهمية (ينطبق هذا إلا عند كثافات تيار انبعاث عالية جدًا، حوالي 10⁹ ^أمبير /م² ^أو أعلى ^{[ 27 ] [ 80 ]} )؛ (3) عدم وجود "مجالات موضعية" ذات أهمية ^{[ 63 ]} نتيجةً لعدم تجانس دالة الشغل المحلية (يُفترض عادةً أن هذا صحيح، ولكنه قد لا يكون كذلك في بعض الظروف). أما بالنسبة للمواد غير المعدنية، فإن التأثيرات الفيزيائية المسماة "اختراق المجال" و" انحناء النطاق " [M084] يمكن أن تجعل β دالةً للجهد المطبق، على الرغم من قلة الدراسات التي تناولت هذا التأثير، وهو أمر مثير للدهشة.

تختلف كثافة تيار الانبعاث J من موضع لآخر على سطح الباعث. يُحسب تيار الانبعاث الكلي i من جزء محدد من الباعث بتكامل J على هذا الجزء. وللحصول على معادلة بسيطة لـ i ( V )، يُستخدم الإجراء التالي: تُختار نقطة مرجعية "r" ضمن هذا الجزء من سطح الباعث (غالبًا ما تكون النقطة التي تكون عندها كثافة التيار أعلى ما يمكن)، ويُرمز لكثافة التيار عند هذه النقطة المرجعية بـ J_{_r} . ثم يُعرَّف المعامل A _{_r} ، المسمى منطقة الانبعاث الافتراضية (بالنسبة للنقطة "r")، كما يلي:

${\displaystyle i=A_{\mathrm {r} }J_{\mathrm {r} }=\int J\mathrm {d} A,}$

32

حيث يتم حساب التكامل عبر جزء الباعث محل الاهتمام.

أُدخل هذا المعامل A _{r في نظرية CFE بواسطة ستيرن وجوسلينج وفاولر عام 1929 (الذين أطلقوا عليه اسم "المساحة المتوسطة المرجحة").} ^{[ 16 ]} بالنسبة للمُشعّات العملية، فإن كثافة تيار الانبعاث المستخدمة في معادلات فاولر-نوردهايم هي دائمًا كثافة التيار عند نقطة مرجعية ما (مع أن هذه النقطة لا تُذكر عادةً). يُشير الاصطلاح المُتّبع منذ زمن طويل إلى كثافة التيار المرجعية هذه بالرمز J ، وإلى المجال المحلي ومعامل التحويل المُقابل بالرمزين F و β ، دون استخدام الرمز السفلي "r" المذكور أعلاه؛ وفيما يلي، سيتم استخدام هذا الاصطلاح.

غالبًا ما تكون مساحة الانبعاث النظرية A _r دالة للمجال المحلي المرجعي (وبالتالي الجهد)، ^{[ 30 ]} وفي بعض الظروف قد تكون دالة مهمة لدرجة الحرارة.

نظرًا لأن A _{_r} له تعريف رياضي، فإنه لا يتطابق بالضرورة مع المساحة التي يُلاحظ منها الانبعاث من باعث نقطي واحد في مجهر إلكتروني حقلي (مجهر انبعاث) . مع باعث ذي مساحة كبيرة، يحتوي على العديد من مواقع الانبعاث الفردية، ستكون A _{_r دائمًا} تقريبًا أقل بكثير من المساحة الهندسية "العيانية" ( AM ) للباعث كما تُرى بالعين المجردة (انظر أدناه).

بإدخال هذه المعادلات المساعدة في المعادلة (30أ) نحصل على

${\displaystyle i=\;A_{\mathrm {r} }a{\phi ^{-1}}{\beta }^{2}V^{2}\exp[-v(f)\;b\phi ^{3/2}/\beta V],}$

33

هذه هي المعادلة القياسية المبسطة من نوع فاولر-نوردهايم، في صيغة i – V. ويمكن الحصول على المعادلة " الكاملة فيزيائيًا" المقابلة بضربها في λ _Z P _F.

تنطبق المعادلات الواردة في القسم السابق على جميع مصادر الانبعاثات الميدانية العاملة في نظام CFE. ومع ذلك، فإن التطورات الإضافية مفيدة لمصادر الانبعاثات واسعة النطاق التي تحتوي على العديد من مواقع الانبعاث الفردية.

بالنسبة لهذه المصادر، ستكون مساحة الانبعاث النظرية دائمًا أقل بكثير من المساحة الهندسية "العيانية" الظاهرية ( A_{_M} ) للمصدر المادي كما تُرى بالعين المجردة. ويمكن تعريف معامل لا بُعدي α_{_r} ، وهو كفاءة مساحة الانبعاث ، على النحو التالي:

${\displaystyle A_{\mathrm {r} }=\;\alpha _{\mathrm {r} }A_{\mathrm {M} }.}$

34

كذلك، يمكن تعريف كثافة تيار انبعاث "مُعَيانية" (أو "متوسطة") J_{_M} (المحسوبة على المساحة الهندسية A_{_M} للباعث)، وربطها بكثافة التيار المرجعية J _{_r} المستخدمة أعلاه، من خلال

${\displaystyle J_{\mathrm {M} }=\;i/A_{\mathrm {M} }=\alpha _{\mathrm {r} }(i/A_{\mathrm {r} })=\alpha _{\mathrm {r} }J_{\mathrm {r} }.}$

35

وهذا يؤدي إلى "إصدارات المناطق الكبيرة" التالية من معادلة فاولر-نوردهايم القياسية المبسطة:

${\displaystyle J_{\mathrm {M} }=\alpha _{\mathrm {r} }a{\phi ^{-1}}F^{2}\exp[-v(f)\;b\phi ^{3/2}/F],}$

36

${\displaystyle i=\;\alpha _{\mathrm {r} }A_{\mathrm {M} }a{\phi ^{-1}}{\beta }^{2}V^{2}\exp[-v(f)\;b\phi ^{3/2}/\beta V],}$

37

تحتوي كلتا المعادلتين على كفاءة مساحة الانبعاث αr _. بالنسبة لأي باعث معين، تكون قيمة هذا المعامل غير معروفة بدقة في العادة. وبشكل عام، تتفاوت _قيمة αr بشكل كبير بين مواد الباعث المختلفة، وبين عينات مختلفة من نفس المادة تم تحضيرها ومعالجتها بطرق مختلفة. ويبدو أن القيم في النطاق من 10⁻¹⁰ ^إلى 10⁻⁶ ^هي الأكثر ترجيحًا، وقد تكون هناك قيم خارج هذا النطاق.

إن وجود α _r في المعادلة (36) يفسر الفرق بين كثافات التيار الكلية التي غالباً ما يتم الاستشهاد بها في الأدبيات (عادة 10 أمبير/م ² للعديد من أشكال الباعثات ذات المساحة الكبيرة بخلاف مصفوفات Spindt ^{[ 50 ]} ) وكثافات التيار المحلية في مواقع الانبعاث الفعلية، والتي يمكن أن تختلف على نطاق واسع ولكن يُعتقد أنها بشكل عام في حدود 109 ^أمبير  /م ² ، أو ربما أقل قليلاً.

يُغفل جزء كبير من الأدبيات التقنية المتعلقة بالبواعث واسعة المساحة التمييز بوضوح بين كثافات التيار المحلية والعيانية، أو بين مساحة الانبعاث النظرية A _{_r} والمساحة العيانية A _{_M}، و/أو يُغفل المعامل α_{_r} من المعادلات المذكورة. لذا، يلزم توخي الحذر لتجنب أخطاء التفسير.

من المفيد أحيانًا تقسيم عامل التحويل βr إلى "جزء كلي _" يتعلق بالهندسة العامة للمُشع ومحيطه، و"جزء محلي" يتعلق بقدرة البنية المحلية جدًا لسطح المُشع على تعزيز المجال الكهربائي. ويتم ذلك عادةً بتعريف "مجال كلي" F _{_M}، وهو المجال الذي سيكون موجودًا في موقع الانبعاث في غياب البنية المحلية التي تُسبب التعزيز. ويرتبط هذا المجال F_{_M} بالجهد المُطبق من خلال "عامل تحويل الجهد إلى المجال الكلي" βM _، والذي يُعرَّف كما يلي:

${\displaystyle F_{\mathrm {M} }=\;\beta _{\mathrm {M} }V.}$

38

في الحالة الشائعة لنظام يتكون من لوحين متوازيين، يفصل بينهما مسافة W ، مع إنشاء هياكل نانوية باعثة على أحدهما، β _M = 1/ W.

ثم يتم تعريف "عامل تعزيز المجال" γ ويرتبط بقيم β _r و β _M بواسطة

${\displaystyle \gamma =\;F_{\mathrm {r} }/F_{\mathrm {M} }=\beta _{\mathrm {r} }/\beta _{\mathrm {M} }.}$

39

باستخدام المعادلة (31)، ينتج عن ذلك الصيغ التالية:

${\displaystyle F=\;\gamma F_{\mathrm {M} }=\beta V;}$

40

${\displaystyle \beta =\;\beta _{\mathrm {M} }\gamma$ ;}

41

حيث تم حذف اللاحقة "r" من المعاملات المتعلقة بنقطة المرجع، وفقًا للاتفاقية المعتادة. توجد صيغ لتقدير γ باستخدام الكهروستاتيكا الكلاسيكية ، لمجموعة متنوعة من أشكال الباعث، ولا سيما "نصف الكرة على عمود". ^{[ 81 ]}

تشير المعادلة (40) إلى أنه يمكن كتابة صيغ من معادلات فاولر-نوردهايم حيث يتم استبدال F أو βV في كل مكان بـ${\displaystyle \gamma F_{\mathrm {M} }}$يُستخدم هذا الأسلوب غالبًا في التطبيقات التكنولوجية التي يكون فيها الاهتمام الأساسي مُنصبًا على خصائص تعزيز المجال في البنية النانوية للباعث المحلي. مع ذلك، في بعض الدراسات السابقة، تسبب عدم التمييز بوضوح بين مجال الحاجز F والمجال الكلي F _{_M} في حدوث لبس أو خطأ.

بشكل عام، تهدف التطورات التكنولوجية في مجال الباعثات الميدانية واسعة المساحة إلى تحسين تجانس الانبعاث عن طريق زيادة قيمة كفاءة الانبعاث السطحية αr _، وتقليل جهد البدء الذي يبدأ عنده الانبعاث بشكل ملحوظ، وذلك بزيادة قيمة β . توضح المعادلة (41) أنه يمكن تحقيق ذلك بطريقتين: إما عن طريق محاولة تطوير هياكل نانوية ذات γ عالية ، أو عن طريق تغيير الهندسة العامة للنظام بحيث تزداد قيمة βM . وتوجد العديد من المقايضات والقيود _.

عملياً، على الرغم من أن تعريف المجال العياني المستخدم أعلاه هو الأكثر شيوعاً، إلا أن أنواعاً أخرى (مُعرّفة بشكل مختلف) من المجال العياني وعامل تعزيز المجال تُستخدم في الأدبيات، لا سيما فيما يتعلق باستخدام المجسات لدراسة خصائص التيار - الجهد للمُشعّات الفردية. ^{[ 82 ]}

في السياقات التقنية، غالبًا ما تُرسم بيانات الانبعاث الميداني باستخدام (تعريف محدد لـ) F_{_M} أو 1/ F _{_M} كإحداثي سيني . مع ذلك، يُفضّل في التحليل العلمي عادةً عدم معالجة البيانات التجريبية مسبقًا، بل رسم بيانات التيار - الجهد الخام المقاسة مباشرةً. بعد ذلك، يمكن الحصول على قيم المعاملات التقنية، مثل (أشكالها المختلفة) γ، من المعاملات المُطابقة لرسم بيانات التيار - الجهد (انظر أدناه)، باستخدام التعريفات ذات الصلة.

تُجرى معظم الاشتقاقات النظرية في نظرية الانبعاث الميداني بافتراض أن الحاجز يأخذ شكل شوتكي-نوردهايم (المعادلة 3). مع ذلك، لا يصح هذا الشكل للحاجز بالنسبة للمُشعّات ذات أنصاف أقطار انحناء R تُقارب طول حاجز النفق. يعتمد طول حاجز النفق على دالة الشغل والمجال، ولكن في الحالات ذات الأهمية العملية، يُمكن اعتبار تقريب حاجز شوتكي-نوردهايم صالحًا للمُشعّات ذات أنصاف أقطار R > 20 نانومتر ، كما هو مُوضّح في الفقرة التالية.

الافتراض الرئيسي لتقريب حاجز SN هو أن مصطلح الجهد الكهروستاتيكي يأخذ الشكل الخطي${\displaystyle \Phi =Fx}$في منطقة الأنفاق. وقد ثبت أن هذا الأخير صحيح فقط إذا${\displaystyle x\ll R}$[ ^{83 ] لذلك ،} إذا كان طول منطقة النفق${\displaystyle L}$،${\displaystyle x<L}$للجميع${\displaystyle x}$وهذا ما يحدد عملية النفق الكمومي؛ وبالتالي إذا${\displaystyle L\ll R}$تتحقق المعادلة (1) ويكون تقريب حاجز SN صالحًا. إذا كان احتمال النفق مرتفعًا بما يكفي لإنتاج انبعاث حقلي قابل للقياس، فإن L لا يتجاوز 1-2  نانومتر. وبالتالي، يكون حاجز SN صالحًا للمُشعّات ذات أنصاف أقطار في حدود عشرات النانومترات.

مع ذلك، تتميز البواعث الحديثة بدقة أعلى بكثير، حيث يبلغ نصف قطرها بضعة نانومترات. لذا، فإن معادلة فاولر-نوردهايم القياسية، أو أي صيغة منها تفترض وجود حاجز SN، تؤدي إلى أخطاء كبيرة في حالة هذه البواعث الدقيقة. وقد تم إثبات ذلك نظريًا ^{[ 84 ] [ 85 ]} وتأكيده تجريبيًا ^{[ 86 ] .}

تناول كيريتساكيس وزانثاكيس ^{[ 83 ]} المشكلة المذكورة أعلاه ، حيث عمما حاجز SN بإضافة التأثيرات الكهروستاتيكية لانحناء الباعث. ويُظهر الشكل العام للحاجز باعثًا بنصف قطر انحناء متوسط.${\displaystyle R}$(معكوس متوسط ​​الانحناءين الرئيسيين) يمكن توسيعه بشكل تقاربي على النحو التالي ^{[ 87 ]}

${\displaystyle M^{KX}(x)=h-eFx\left[1-{\frac {x}{R}}+O\left({\frac {x}{R}}\right)^{2}\right]-{\frac {e^{2}}{16\pi \epsilon _{0}x}}\left[1-{\frac {x}{2R}}+O\left({\frac {x}{R}}\right)^{2}\right]}$.

43

بعد إهمال كل شيء${\displaystyle O(x/R)^{2}}$وباستخدام تقريب JWKB (4) لهذا الحاجز، يأخذ أس غاموف شكلاً يعمم المعادلة (5).

${\displaystyle G(h,F,R)={\frac {bh^{3/2}}{F}}\left(v(f)+\omega (f){\frac {h}{eFR}}\right)}$

44

أين${\displaystyle f}$يتم تعريفها بواسطة (30د)،${\displaystyle v(f)}$يُعطى بالمعادلة (30c) و${\displaystyle \omega (f)}$هي دالة جديدة يمكن تقريبها بطريقة مماثلة لـ (30c) (هناك أخطاء مطبعية في المرجع ^{[ 83 ]} تم تصحيحها هنا):

${\displaystyle \omega (f)\approx {\frac {4}{5}}-{\frac {7}{40}}f+{\frac {1}{200}}\log(f).}$

45

بفرض صيغة أس غاموف كدالة لارتفاع الحاجز الخالي من المجال${\displaystyle h}$يمكن الحصول على كثافة التيار المنبعث لانبعاث المجال البارد من المعادلة (23). وهي تعطي

${\displaystyle J=a{\frac {F^{2}}{\phi }}\left({\frac {1}{\lambda _{d}(f)}}+{\frac {\phi }{eFR}}\psi (f)\right)^{-2}\exp \left[-{\frac {b\phi ^{3/2}}{F}}\left(v(f)+\omega (f){\frac {\phi }{eFR}}\right)\right]}$

46

حيث الوظائف${\displaystyle \lambda _{d}(f)}$و${\displaystyle \psi (f)}$تُعرَّف بأنها

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda _{d}(f)}}\equiv v(f)-{\frac {4}{3}}f{\frac {\partial v}{\partial f}}\approx 1+{\frac {f}{9}}-{\frac {f\log(f)}{22}}}$

47أ

و

${\displaystyle \psi (f)\equiv {\frac {5}{3}}\omega (f)-{\frac {4}{3}}f{\frac {\partial \omega }{\partial f}}\approx {\frac {4}{3}}-{\frac {f}{15}}-{\frac {f\log(f)}{1200}}}$

47ب

في المعادلة (46)، ولأغراض الإكمال، لا يتم تقريب λ _d بالواحد كما في (29) و(30a)، على الرغم من أنه تقريب جيد جدًا في معظم الحالات العملية. إلى جانب ذلك، تتطابق المعادلات (43) و(44) و(46) مع المعادلات المناظرة لها في نظرية فاولر-نوردهايم القياسية (3) و(9) و(30a)، في حالة R → ∞ ؛ وهذا متوقع لأن المعادلات الأولى تعمم المعادلات الأخيرة.

أخيرًا، تجدر الإشارة إلى أن التحليل المذكور أعلاه تقريبي في حالة L ≪ R ، على غرار نظرية فاولر-نوردهايم القياسية باستخدام حاجز SN. مع ذلك، فإن إضافة الحدود التربيعية تجعله أكثر دقة بشكل ملحوظ بالنسبة للمُشعّات ذات أنصاف أقطار انحناء تتراوح بين  5 و20  نانومترًا تقريبًا. أما بالنسبة للمُشعّات الأكثر حدة، فلا يوجد تقريب عام لكثافة التيار. وللحصول على كثافة التيار، يجب حساب الجهد الكهروستاتيكي وتقييم تكامل JWKB عدديًا. ولهذا الغرض، تم تطوير برامج حاسوبية علمية (انظر على سبيل المثال GETELEC ^{[ 88 ]} ).

في المرحلة الحالية من تطور نظرية CFE، من المهم التمييز بين معادلات CFE النظرية ومعادلات CFE التجريبية. تُشتق الأولى من فيزياء المادة المكثفة (وإن كان ذلك في سياقات يصعب فيها تطويرها بالتفصيل). أما معادلة CFE التجريبية، من ناحية أخرى، فتسعى ببساطة إلى تمثيل الشكل التجريبي الفعلي لاعتماد التيار i على الجهد V. 

في عشرينيات القرن العشرين، استُخدمت المعادلات التجريبية لإيجاد أسّ V الذي يظهر في أسّ معادلة شبه لوغاريتمية يُفترض أنها تصف نتائج تجارب CFE. في عام 1928، جُمِعَت النظرية والتجربة معًا لإثبات أن هذا الأسّ (باستثناء، ربما، المُشعّات الحادة جدًا) يساوي ^V⁻¹ . وقد اقتُرِحَ مؤخرًا إجراء تجارب CFE لمحاولة إيجاد أسّ ( κ ) V في الجزء الأسي المسبق لمعادلة CFE التجريبية التالية: ^{[ 89 ]}

${\displaystyle i=\;CV^{\kappa }\exp[-B/V],}$

48

حيث يتم التعامل مع B و C و κ كثوابت.

من المعادلة (42) يمكن إثبات ذلك بسهولة

${\displaystyle -\mathrm {d} \ln i/\mathrm {d} (1/V)=\;\kappa V+B,}$

49

في عشرينيات القرن العشرين، لم تكن التقنيات التجريبية قادرة على التمييز بين النتائج κ = 0 (التي افترضها ميليكان ولورتيسن) ^{[ 13 ]} و κ = 2 (التي تنبأت بها معادلة فاولر-نوردهايم الأصلية). ^{[ 1 ]} ومع ذلك، أصبح من الممكن الآن إجراء قياسات دقيقة نسبيًا لـ dlni/d(1/V) (باستخدام تقنيات مكبر الإشارة المتزامن /الكشف الحساس للطور، والمعدات التي يتم التحكم فيها بواسطة الحاسوب، عند الضرورة)، واستخلاص قيمة κ من ميل منحنى البيانات المناسب. ^{[ 50 ]}

بعد اكتشاف التقريب (30ب)، بات من الواضح تمامًا أنه - حتى بالنسبة لـ CFE من المعادن الصلبة - لا يُتوقع أن تكون قيمة κ = 2. ويمكن إثبات ذلك كما يلي. باستخدام المعادلة (30ج) أعلاه، يمكن تعريف المعامل عديم الأبعاد η كما يلي:

${\displaystyle \eta =b\phi ^{3/2}/F_{\phi }=\;(be^{3}/4\pi \epsilon _{0}){\phi }^{-1/2}\approx 9.836239\;\;(\mathrm {eV} /\phi )^{1/2}.}$

50

عندما تكون φ = 4.50 eV ، تكون قيمة هذا المعامل η = 4.64 . وبما أن f = F / F _φ و v ( f ) معطاة بالمعادلة (30b)، يمكن كتابة الأس في معادلة فاولر-نوردهايم القياسية المبسطة (30) بصيغة بديلة ثم توسيعها كما يلي: ^{[ 69 ]}

${\displaystyle \exp[-v(f)\;b{\phi }^{3/2}/F]\;=\;\exp[-v(f)\;\eta /f]\;\approx \;{\mathrm {e} }^{\eta }f^{-\eta /6}\exp[-\eta /f]\;=\;{\mathrm {e} }^{\eta }f^{-\eta /6}\exp[-b{\phi }^{3/2}/F].}$

51

بافتراض أن عامل التحويل β مستقل عن الجهد، فإن المعامل f له تعريف بديل هو f = V / V _φ ، حيث V _φ هو الجهد اللازم، في نظام تجريبي معين، لتقليل ارتفاع حاجز شوتكي-نوردهايم من φ إلى الصفر. وبالتالي، من الواضح أن العامل v ( f ) في أس المعادلة النظرية (30) يُضيف اعتمادًا إضافيًا على V في الجزء الأسي من المعادلة التجريبية. ومن ثم، (بالنسبة للتأثيرات الناتجة عن حاجز شوتكي-نوردهايم، ولمُشع ذي φ = 4.5 إلكترون فولت ) نحصل على التوقع التالي:

${\displaystyle \kappa \approx 2-\eta /6=2-0.77=1.23.}$

52

بما أنه قد يكون هناك اعتماد على الجهد في عوامل أخرى في معادلة من نوع فاولر-نوردهايم، وخاصة في منطقة الانبعاث النظرية ^{[ 30 ]} A _r وفي دالة الشغل المحلية، فليس من المتوقع بالضرورة أن تكون قيمة κ لـ CFE من معدن ذي دالة شغل محلية 4.5  إلكترون فولت هي κ = 1.23، ولكن بالتأكيد ليس هناك سبب لتوقع أن تكون قيمتها هي قيمة فاولر-نوردهايم الأصلية κ = 2. ^{[ 90 ]}

أجرى كيرك أول اختبار تجريبي لهذا المقترح، مستخدمًا شكلًا أكثر تعقيدًا من تحليل البيانات، ليجد قيمة 1.36 لمعامله κ . يتشابه معامله κ إلى حد كبير مع المعامل κ المستخدم هنا، ولكنه ليس مطابقًا له تمامًا، ومع ذلك، يبدو أن نتائجه تؤكد الفائدة المحتملة لهذا النوع من التحليل. ^{[ 91 ]} 

قد يكون استخدام معادلة CFE التجريبية (42)، وقياس κ ، مفيدًا بشكل خاص للمواد غير المعدنية. من الناحية الدقيقة، تنطبق معادلات فاولر-نوردهايم فقط على الانبعاث من نطاق التوصيل للمواد الصلبة البلورية . مع ذلك، ينبغي أن تنطبق المعادلات التجريبية من الشكل (42) على جميع المواد (مع أنه من المحتمل الحاجة إلى تعديلها للمواد ذات الانبعاث الحاد جدًا). ​​يبدو من المرجح جدًا أن أحد أوجه الاختلاف بين معادلات CFE للمواد الحديثة ومعادلات فاولر-نوردهايم هو اختلاف قوة F (أو V ) في دوالها الأسية المسبقة. قد توفر قياسات κ مؤشرًا تجريبيًا على ذلك.