ملحق قابل للفصل

في نظرية الحقول ، وهي فرع من فروع الجبر ، امتداد جبري للحقول${\displaystyle E/F}$يُطلق عليه اسم امتداد قابل للفصل إذا كان لكل${\displaystyle \alpha \in E}$، الحد الأدنى لكثير الحدود لـ${\displaystyle \alpha }$كثير الحدود القابل للفصل على F هو متعدد حدود قابل للفصل (أي أنه أولي نسبيًا مع مشتقته الشكلية ، أو بعبارة أخرى، ليس له جذور متكررة في أي حقل امتداد). ^{[ 1 ]} يوجد أيضًا تعريف أكثر عمومية ينطبق عندما لا يكون E جبريًا بالضرورة على F. يُقال إن الامتداد غير القابل للفصل غير قابل للفصل .

كل امتداد جبري لحقل ذي خاصية صفرية قابل للفصل، وكل امتداد جبري لحقل منتهٍ قابل للفصل. ^{[ 2 ]} ويترتب على ذلك أن معظم الامتدادات التي تُدرس في الرياضيات قابلة للفصل. ومع ذلك، فإن مفهوم قابلية الفصل مهم، إذ يُعد وجود امتدادات غير قابلة للفصل العائق الرئيسي أمام تعميم العديد من النظريات المُثبتة في الخاصية الصفرية إلى الخصائص غير الصفرية. على سبيل المثال، تُعد النظرية الأساسية لنظرية غالوا نظريةً حول الامتدادات العادية ، والتي تظل صحيحة في الخصائص غير الصفرية فقط إذا افترضنا أن الامتدادات قابلة للفصل أيضًا. ^{[ 3 ]}

يظهر المفهوم المعاكس، وهو الامتداد غير القابل للفصل تمامًا ، بشكل طبيعي أيضًا، حيث يمكن تحليل كل امتداد جبري بشكل فريد كامتداد غير قابل للفصل تمامًا لامتداد قابل للفصل. الامتداد الجبري${\displaystyle E/F}$تكون مجموعة الحقول ذات الخاصية p غير الصفرية امتدادًا غير قابل للفصل تمامًا إذا وفقط إذا كان لكل${\displaystyle \alpha \in E\setminus F}$، الحد الأدنى لكثير الحدود لـ${\displaystyle \alpha }$ليست متعددة الحدود القابلة للفصل على F ، أو بصورة مكافئة، لكل عنصر x من E ، يوجد عدد صحيح موجب k بحيث${\displaystyle x^{p^{k}}\in F}$[ ^{4 ]​}

أبسط مثال غير تافه على امتداد غير قابل للفصل (بشكل كامل) هو${\displaystyle E=\mathbb {F} _{p}(x)\supseteq F=\mathbb {F} _{p}(x^{p})}$حقول الدوال الكسرية في المتغير غير المحدد x بمعاملات في الحقل المنتهي${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /(p)}$العنصر${\displaystyle x\in E}$له متعدد حدود أدنى${\displaystyle f(X)=X^{p}-x^{p}\in F[X]}$، بعد${\displaystyle f'(X)=0}$وجذر متعدد من الرتبة p ، كما${\displaystyle f(X)=(Xx)^{p}\in E[X]}$هذا امتداد جبري بسيط للدرجة p ، كما${\displaystyle E=F[x]}$لكنها ليست امتدادًا عاديًا لأن مجموعة غالوا${\displaystyle {\text{Gal}}(E/F)}$أمر تافه .

يُقال إن متعددة الحدود f ذات المعاملات في حقل ما F لها جذور مختلفة أو أنها خالية من المربعات إذا كان لها جذور من الدرجة f في حقل امتداد ما${\displaystyle E\supseteq F}$على سبيل المثال، لكثيرة الحدود g ( X ) = X² - ​​1 ^جذران فقط من الدرجة g = 2 في المستوى المركب ، وهما 1 و -1 ، وبالتالي فهي تمتلك جذورًا مختلفة. من جهة أخرى، فإن كثيرة الحدود h ( X ) = ( X - 2) ^² ، وهي مربع كثيرة حدود غير ثابتة، لا تمتلك جذورًا مختلفة، لأن درجتها اثنان، و 2 هو جذرها الوحيد.

يمكن تحليل كل متعددة حدود إلى عوامل خطية على إغلاق جبري لحقل معاملاتها. لذلك، لا تمتلك متعددة الحدود جذورًا مميزة إذا وفقط إذا كانت قابلة للقسمة على مربع متعددة حدود من درجة موجبة. ويتحقق ذلك إذا وفقط إذا كان القاسم المشترك الأكبر لمتعددة الحدود ومشتقتها ليس ثابتًا. وبالتالي، لاختبار ما إذا كانت متعددة الحدود خالية من المربعات، ليس من الضروري النظر صراحةً في أي امتداد للحقل أو حساب الجذور.

في هذا السياق، تتطلب حالة كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال بعض الحذر. قد يبدو للوهلة الأولى أن قابلية القسمة على مربع أمر مستحيل بالنسبة لكثيرة حدود غير قابلة للاختزال ، والتي ليس لها قاسم غير ثابت سوى نفسها. مع ذلك، تعتمد عدمية الاختزال على الحقل المحيط، وقد تكون كثيرة الحدود غير قابلة للاختزال على F وقابلة للاختزال على امتداد ما لـ F. وبالمثل، تعتمد قابلية القسمة على مربع على الحقل المحيط. إذا كانت كثيرة الحدود غير القابلة للاختزال f على F قابلة للقسمة على مربع على امتداد ما للحقل، فإن القاسم المشترك الأكبر لـ f ومشتقتها f ′ (كما ذُكر أعلاه) ليس ثابتًا. تجدر الإشارة إلى أن معاملات f ′ تنتمي إلى نفس حقل معاملات f ، وأن القاسم المشترك الأكبر لكثيرتي حدود مستقل عن الحقل المحيط ، لذا فإن معاملات القاسم المشترك الأكبر لـ f و f ′ تنتمي إلى F. بما أن الدالة f غير قابلة للاختزال في F ، فإن القاسم المشترك الأكبر لها هو بالضرورة f نفسها. ولأن درجة f ′ أقل تمامًا من درجة f ، فإن مشتقة f تساوي صفرًا، مما يعني أن خاصية الحقل هي عدد أولي p ، ويمكن كتابة f على النحو التالي:

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{k}a_{i}x^{pi}.}$

تُسمى كثيرة الحدود التي يكون مشتقها الرسمي صفرًا، مثل هذه، غير قابلة للفصل . أما كثيرات الحدود التي لا تكون غير قابلة للفصل فتُسمى قابلة للفصل . والامتداد القابل للفصل هو امتداد يمكن توليده بواسطة عناصر قابلة للفصل ، أي عناصر تكون كثيرات حدودها الدنيا قابلة للفصل.

تكون كثيرة الحدود غير القابلة للاختزال f في F [ X ] قابلة للفصل إذا وفقط إذا كان لها جذور مختلفة في أي امتداد لـ F. أي إذا كانت حاصل ضرب عوامل خطية مختلفة X - a في إغلاق جبري ما لـ F. ^{[ 5 ]} ليكن f في F [ X ] كثيرة حدود غير قابلة للاختزال، و f ' مشتقتها الشكلية . عندئذٍ ، تكون الشروط التالية متكافئة لكي تكون كثيرة الحدود غير القابلة للاختزال f قابلة للفصل:

• إذا كانت E امتدادًا لـ F حيث f عبارة عن حاصل ضرب عوامل خطية، فلا يوجد مربع لهذه العوامل يقسم f في E [ X ] (أي أن f خالية من المربعات على E ). ^{[ 6 ]}
• يوجد امتداد E لـ F بحيث يكون لـ f ^جذور متميزة مثنى مثنى في E. [ ^{6 ]}
• الثابت 1 هو القاسم المشترك الأكبر لكثير الحدود f و f ' . ^{[ 7 ]}
• المشتقة الرسمية f ' للدالة f ليست متعددة الحدود الصفرية. ^{[ 8 ]}
• إما أن تكون خاصية الدالة F تساوي صفرًا، أو أن تكون الخاصية p ، وبالتالي فإن f ليست من الشكل${\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{k}a_{i}X^{p^{i}}.}$

بما أن المشتقة الرسمية لكثيرة حدود من الدرجة الموجبة لا يمكن أن تساوي صفرًا إلا إذا كان الحقل ذا خاصية أولية، فلكي تكون كثيرة الحدود غير القابلة للاختزال غير قابلة للفصل، يجب أن تقع معاملاتها في حقل ذي خاصية أولية. وبشكل أعم، فإن كثيرة الحدود غير القابلة للاختزال (غير الصفرية) f في F [ X ] غير قابلة للفصل، إذا وفقط إذا كانت خاصية F عددًا أوليًا (غير صفري) p ، و f ( X ) = g ( Xp ⁾ لكثيرة حدود غير قابلة للاختزال g في F [ X ] . ^{[ 9 ]} بتطبيق هذه الخاصية بشكل متكرر، يتبين أنه في الواقع،${\displaystyle f(X)=g(X^{p^{n}})}$لعدد صحيح غير سالب n وبعض كثيرات الحدود غير القابلة للفصل g في F [ X ] (حيث يُفترض أن F لها خاصية أولية p ). ^{[ 10 ]}

إذا كان تحويل فروبينيوس الداخلي${\displaystyle x\mapsto x^{p}}$إذا لم تكن F شاملة، فهناك عنصر${\displaystyle a\in F}$هذا ليس قوة من الرتبة p لعنصر من F. في هذه الحالة، تكون كثيرة الحدود${\displaystyle X^{p}-a}$غير قابل للاختزال وغير قابل للفصل. على العكس من ذلك، إذا وُجدت متعددة حدود غير قابلة للفصل وغير قابلة للاختزال (غير صفرية)${\displaystyle \textstyle f(X)=\sum a_{i}X^{ip}}$في F [ X ] ، لا يمكن أن يكون التشاكل الداخلي لفروبينيوس لـ F تشاكلاً ذاتياً ، لأنه بخلاف ذلك، لكان لدينا${\displaystyle a_{i}=b_{i}^{p}}$بالنسبة للبعض${\displaystyle b_{i}}$ويمكن تحليل متعددة الحدود f إلى${\displaystyle \textstyle \sum a_{i}X^{ip}=\left(\sum b_{i}X^{i}\right)^{p}.}$^{[ 11 ]}

إذا كان K حقلاً منتهياً ذا خاصية أولية p ، وكان X متغيراً غير محدد ، فإن حقل الدوال الكسرية على K ، أي ^K ( X ) ، يكون بالضرورة غير كامل ، وتكون كثيرة الحدود f ( Y ) = Yp - X غير قابلة للفصل (مشتقتها الشكلية في Y تساوي صفرًا). ^{[ 1 ]} وبشكل أعم، إذا كان F أي حقل ذي خاصية أولية (غير صفرية) لا يكون فيه التشكل الداخلي لفروبينيوس تشكلاً ذاتياً، فإن F يمتلك امتداداً جبرياً غير قابل للفصل. ^{[ 12 ]}

يكون الحقل F مثاليًا إذا وفقط إذا كانت جميع كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال قابلة للفصل. ويترتب على ذلك أن F مثالي إذا وفقط إذا كان إما أن يكون لـ F خاصية صفرية، أو أن يكون لـ F خاصية أولية (غير صفرية) p، وكان تشاكل فروبينيوس الداخلي لـ F تشاكلًا ذاتيًا. وهذا يشمل كل حقل منتهٍ.

يترك${\displaystyle E\supseteq F}$أن يكون امتدادًا للحقل. عنصر${\displaystyle \alpha \in E}$تكون قابلة للفصل على F إذا كانت جبرية على F ، ويكون كثير الحدود الأدنى الخاص بها قابلاً للفصل (كثير الحدود الأدنى لعنصر ما يكون بالضرورة غير قابل للاختزال).

لو${\displaystyle \alpha ,\beta \in E}$إذا كانت قابلة للفصل على F ، فإن${\displaystyle \alpha +\beta }$،${\displaystyle \alpha \beta }$و${\displaystyle 1/\alpha }$قابلة للفصل على F.

وبالتالي فإن مجموعة جميع العناصر في E ^{القابلة} للفصل على F تشكل حقلًا فرعيًا من E ، يسمى الإغلاق القابل للفصل لـ F في E. ^{[ 13} ]

يُطلق على الإغلاق القابل للفصل لـ F في إغلاق جبري لـ F ببساطة اسم الإغلاق القابل للفصل لـ F. ومثل الإغلاق الجبري، فهو فريد حتى تماثل، وعمومًا، هذا التماثل ليس فريدًا.

توسيع المجال${\displaystyle E\supseteq F}$تكون المجموعة قابلة للفصل إذا كانت E هي الإغلاق القابل للفصل للمجموعة F في E. ويتحقق هذا إذا وفقط إذا كانت E مولدة على F بواسطة عناصر قابلة للفصل.

لو${\displaystyle E\supseteq L\supseteq F}$إذا كانت امتدادات للحقول، فإن E قابلة للفصل على F إذا وفقط إذا كانت E قابلة ^للفصل على L و L قابلة للفصل على F. [ ^{14 ]}

لو${\displaystyle E\supseteq F}$إذا كان امتدادًا محدودًا (أي أن E هو فضاء متجهي F ذو بُعد محدود )، فإن ما يلي يكون متكافئًا.

1. E قابلة للفصلعلى F.
2. ${\displaystyle E=F(a_{1},\ldots ,a_{r})}$أين${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{r}}$هي عناصر منفصلة من E.
3. ${\displaystyle E=F(a)}$حيث a عنصر قابل للفصل من E.
4. إذا كان K إغلاقًا جبريًا لـ F ، فإن عدد عناصره يساوي بالضبط${\displaystyle [E:F]}$تماثلات الحقول من E إلى K التي تثبت F.
5. لأي امتداد طبيعي K لـ F يحتوي على E ، فإن عدد${\displaystyle [E:F]}$تماثلات الحقول من E إلى K التي تثبت F.

تُعرف تكافؤ الخاصيتين 3 و1 بنظرية العنصر الأولي أو نظرية آرتين للعناصر الأولية. أما الخاصيتان 4 و5 فهما أساس نظرية غالوا ، وبالأخص أساس النظرية الأساسية لنظرية غالوا .

يترك${\displaystyle E\supseteq F}$ليكن امتدادًا جبريًا لحقول ذات خاصية p . الإغلاق القابل للفصل لـ F في E هو${\displaystyle S=\{\alpha \in E\mid \alpha {\text{ is separable over }}F\}.}$لكل عنصر${\displaystyle x\in E\setminus S}$يوجد عدد صحيح موجب k بحيث${\displaystyle x^{p^{k}}\in S,}$وبالتالي فإن E هو امتداد غير قابل للفصل تمامًا لـ S. ويترتب على ذلك أن S هو الحقل الوسيط الوحيد القابل للفصل فوق F والذي يكون E غير قابل للفصل تمامًا فوقه . ^{[ 15 ]}

لو${\displaystyle E\supseteq F}$هو امتداد محدود ، ودرجته [ E :  F ] هي حاصل ضرب الدرجتين [ S  : F ] و [ E  : S ] . يُشار إلى الأولى، والتي يُرمز لها غالبًا بـ [ E  : F ] _sep ، بالجزء القابل للفصل من [ E  : F ] ، أو بـالدرجة القابلة للفصل من E / F ؛ ويُشار إلى الأخيرة بالجزءغير القابل للفصلمن الدرجة أودرجة عدم الانفصال . ^{[ 16 ]} درجة عدم الانفصال تساوي 1 في الخاصية الصفرية وقوة p في الخاصية p >0. ^{[ 17 ]}

من ناحية أخرى، امتداد جبري عشوائي${\displaystyle E\supseteq F}$قد لا يمتلك امتدادًا وسيطًا K غير قابل للفصل تمامًا على F ويكون E قابلًا للفصل عليه . ومع ذلك، قد يوجد مثل هذا الامتداد الوسيط إذا، على سبيل المثال،${\displaystyle E\supseteq F}$هو امتداد طبيعي ذو درجة منتهية (في هذه الحالة، K هو الحقل الثابت لمجموعة غالوا لـ E على F ). لنفترض أن مثل هذا الامتداد الوسيط موجود، وأن [ E  : F ] منتهٍ، فإن [ S  : F  ] = [ E : K ] ، حيث S هو الإغلاق القابل للفصل لـ F في E. ^{[ 18 ]} تستخدم البراهين المعروفة لهذه المساواة حقيقة أنه إذا${\displaystyle K\supseteq F}$هو امتداد غير قابل للفصل تمامًا، وإذا كانت f متعددة حدود غير قابلة للفصل وغير قابلة للاختزال في F [ X ] ، فإن f تظل غير قابلة للاختزال في K [ X ] ^{[ 19 ]} . هذه المساواة تعني أنه إذا كانت [ E  : F ] منتهية، وكان U حقلًا وسيطًا بين F و E ، فإن [ E  : F ] _sep = [ E  : U ] _sep ⋅ [ U  : F ] _sep . ^{[ 20 ]}

الإغلاق القابل للفصل F ^sep للحقل F هو الإغلاق القابل للفصل لـ F في إغلاق جبري لـ F. وهو امتداد غالوا الأقصى لـ F. بحسب التعريف، يكون F مثاليًا إذا وفقط إذا تطابق إغلاقه القابل للفصل مع إغلاقه الجبري.

قد تنشأ مشاكل الفصل عند التعامل مع الامتدادات المتسامية . وهذا هو الحال عادةً بالنسبة للهندسة الجبرية على حقل ذي خاصية أولية، حيث يكون لحقل الدوال لمتنوعة جبرية درجة تسامٍ على الحقل الأساسي تساوي بُعد المتنوعة.

لتحديد قابلية فصل الامتداد المتسامي، من الطبيعي استخدام حقيقة أن كل امتداد حقل هو امتداد جبري لامتداد متسامي بحت . وهذا يؤدي إلى التعريف التالي.

أساس التجاوز الفاصل للامتداد${\displaystyle E\supseteq F}$F(T) هي أساس التجاوز T لـ E بحيث يكون E امتدادًا جبريًا قابلًا للفصل لـ F ( T ) . يكون امتداد الحقل المولد نهائيًا قابلًا للفصل إذا وفقط إذا كان له أساس تجاوز فاصل؛ ويُسمى الامتداد غير المولد نهائيًا قابلًا للفصل إذا كان لكل امتداد فرعي مولد نهائيًا أساس تجاوز فاصل. ^{[ 21 ]}

يترك${\displaystyle E\supseteq F}$ليكن امتدادًا حقليًا للأس المميز p (أي أن p = 1 في الخاصية الصفرية، وفيما عدا ذلك، فإن p هو الخاصية). الخصائص التالية متكافئة:

• E هو امتداد قابل للفصل لـ F ،
• ${\displaystyle E^{p}}$و F منفصلتان خطيًا على${\displaystyle F^{p},}$
• ${\displaystyle F^{1/p}\otimes _{F}E}$يتم تقليله ،
• ${\displaystyle L\otimes _{F}E}$يتم تقليلها لكل امتداد حقل L من E ،

أين${\displaystyle \otimes _{F}}$يرمز إلى حاصل الضرب الموتري للحقول ،${\displaystyle F^{p}}$هو حقل القوى من الرتبة p لعناصر F (لأي حقل F )، و${\displaystyle F^{1/p}}$هو الحقل الذي تم الحصول عليه عن طريق ضم الجذر النوني لجميع عناصره إلى F (انظر الجبر القابل للفصل لمزيد من التفاصيل).

يمكن دراسة قابلية الفصل باستخدام الاشتقاقات . ليكن E امتدادًا حقليًا مولدًا نهائيًا للحقل F. بالدلالة على${\displaystyle \operatorname {Der} _{F}(E,E)}$في فضاء المتجهات E للمشتقات الخطية F لـ E ، يكون لدينا

${\displaystyle \dim _{E}\operatorname {Der} _{F}(E,E)\geq \operatorname {tr.deg} _{F}E,}$

ويتحقق التساوي إذا وفقط إذا كان E قابلاً للفصل على F (هنا "tr.deg" تشير إلى درجة التجاوز ).

على وجه الخصوص، إذا${\displaystyle E/F}$إذا كان امتدادًا جبريًا،${\displaystyle \operatorname {Der} _{F}(E,E)=0}$إذا وفقط إذا${\displaystyle E/F}$قابل للفصل. ^{[ 22 ]}

يترك${\displaystyle D_{1},\ldots ,D_{m}}$أن يكون أساسًا لـ${\displaystyle \operatorname {Der} _{F}(E,E)}$و${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m}\in E}$. ثم${\displaystyle E}$هي قابلة للفصل جبريًا على${\displaystyle F(a_{1},\ldots ,a_{m})}$إذا وفقط إذا كانت المصفوفة${\displaystyle D_{i}(a_{j})}$قابلة للعكس. على وجه الخصوص، عندما${\displaystyle m=\operatorname {tr.deg} _{F}E}$تكون هذه المصفوفة قابلة للعكس إذا وفقط إذا${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{m}\}}$هو أساس للفصل والتجاوز.

• بوريل، أ. المجموعات الجبرية الخطية ، الطبعة الثانية.
• بي إم كوهن (2003). الجبر الأساسي
• فرايد، مايكل د . جاردن، موشيه (2008). الحساب الميداني . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. فولج. المجلد.  11 (  الطبعة الثالثة). سبرينغر-فيرلاغ . رقم ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl 1145.12001 . 
• إسحاق، مارتن (1993). الجبر، دورة دراسات عليا (  الطبعة الأولى). شركة بروكس/كول للنشر. رقم ISBN 0-534-19002-2.
• كابلانسكي، إيرفينغ (1972). الحقول والحلقات . محاضرات شيكاغو في الرياضيات (  الطبعة الثانية). مطبعة جامعة شيكاغو. الصفحات 55-59 . ISBN  0-226-42451-0. Zbl 1001.16500 . 
• لانغ، سيرج (2002)، الجبر ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  211 (الطبعة الثالثة المنقحة  )، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-95385-4MR 1878556​ 
• م. ناجاتا (1985). نظرية الحقول التبادلية: طبعة جديدة، شوكابو. (باللغة اليابانية)
• سيلفرمان، جوزيف (1993). حساب المنحنيات الإهليلجية . سبرينغر. ISBN 0-387-96203-4.

• "امتداد قابل للفصل لحقل k" ، موسوعة الرياضيات ، مطبعة EMS ، 2001 [1994]