وحدة مجانية

في الرياضيات ، الوحدة الحرة هي وحدة لها أساس ، أي مجموعة مولدة مستقلة خطيًا . كل فضاء متجهي هو وحدة حرة، ^{[ 1 ]} ولكن، إذا لم تكن حلقة المعاملات حلقة قسمة (أي ليست حقلًا في الحالة التبديلية )، فإنه توجد وحدات غير حرة.

بالنظر إلى أي مجموعة S وحلقة R ، يوجد R- وحدة حرة ذات أساس S ، والتي تسمى الوحدة الحرة على S أو وحدة R الرسمية - تركيبات خطية لعناصر S.

الزمرة الأبيلية الحرة هي بالضبط وحدة حرة فوق الحلقة${\displaystyle \mathbb {Z} }$من الأعداد الصحيحة .

لخاتم​${\displaystyle R}$و${\displaystyle R}$- وحدة${\displaystyle M}$المجموعة${\displaystyle E\subseteq M}$يشكل أساسًا لـ${\displaystyle M}$لو:

• ${\displaystyle E}$هي مجموعة مولدة لـ${\displaystyle M}$أي بمعنى آخر، كل عنصر من عناصر${\displaystyle M}$هو مجموع محدود من عناصر${\displaystyle E}$مضروبًا في المعاملات في${\displaystyle R}$؛ و
• ${\displaystyle E}$مستقل خطيًا : لكل مجموعة${\displaystyle \{e_{1},\dots ,e_{n}\}\subset E}$من عناصر متميزة،${\displaystyle r_{1}e_{1}+r_{2}e_{2}+\cdots +r_{n}e_{n}=0_{M}}$يشير ذلك إلى أن${\displaystyle r_{1}=r_{2}=\cdots =r_{n}=0_{R}}$(أين${\displaystyle 0_{M}}$هو العنصر الصفري من${\displaystyle M}$و${\displaystyle 0_{R}}$هو العنصر الصفري من${\displaystyle R}$).

الوحدة البرمجية الحرة هي وحدة برمجية ذات أساس. ^{[ 2 ]}

ومن النتائج المباشرة للنصف الثاني من التعريف أن المعاملات في النصف الأول فريدة لكل عنصر من عناصر M.

لو${\displaystyle R}$إذا كان لأي قاعدة عدد أساسي ثابت ، فإن أي قاعدتين لهما نفس العدد الأصلي. على سبيل المثال، الحلقات التبديلية غير الصفرية لها عدد أساسي ثابت. يُطلق على عدد أي قاعدة (وبالتالي كل قاعدة) اسم رتبة الوحدة الحرة.${\displaystyle M}$إذا كانت هذه الكاردينالية محدودة، يقال إن الوحدة النمطية الحرة خالية من الرتبة المحدودة ، أو خالية من الرتبة n إذا كانت الرتبة معروفة بأنها n .

ليكن R حلقة.

• R هو وحدة نمطية حرة من الرتبة واحد على نفسه (سواء كوحدة نمطية يسارية أو يمينية)؛ أي عنصر وحدة هو أساس.
• بشكل أعم، إذا كانت R تبديلية، فإن المثالي غير الصفري I في R يكون حراً إذا وفقط إذا كان مثالياً رئيسياً مولداً بواسطة قاسم غير صفري ، مع كون المولد أساساً. ^{[ 3 ]}
• على نطاق مثالي رئيسي (على سبيل المثال،${\displaystyle \mathbb {Z} }$)، الوحدة الفرعية من الوحدة الحرة تكون حرة.
• إذا كانت R تبديلية، فإن حلقة كثيرات الحدود${\displaystyle R[X]}$في حالة عدم التحديد ، X هو وحدة حرة ذات أساس محتمل 1، X ، X2 ^، ....
• يترك${\displaystyle A[t]}$ليكن A حلقة متعددة الحدود فوق حلقة تبديلية A ، و f متعددة حدود أحادية من الدرجة d هناك،${\displaystyle B=A[t]/(f)}$و${\displaystyle \xi }$صورة t في B. إذن، تحتوي B على A كحلقة فرعية وتكون حرة كوحدة نمطية A ذات أساس.${\displaystyle 1,\xi ,\dots ,\xi ^{d-1}}$.
• لأي عدد صحيح غير سالب n ،${\displaystyle R^{n}=R\times \cdots \times R}$إنّ حاصل الضرب الديكارتي لـ n نسخة من R كوحدة نمطية يسارية R ، حرّ. إذا كان لـ R عدد أساس ثابت ، فإنّ رتبته هي n .
• المجموع المباشر للوحدات الحرة يكون حراً، في حين أن حاصل الضرب الديكارتي اللانهائي للوحدات الحرة ليس حراً بشكل عام (انظر مجموعة باير-سبيكر ).
• تكون الوحدة المولدة نهائياً على حلقة محلية تبديلية حرة إذا وفقط إذا كانت مسطحة بأمانة . ^{[ 4 ]} كما تنص نظرية كابلانسكي على أن الوحدة الإسقاطية على حلقة محلية (قد تكون غير تبديلية) تكون حرة.
• أحيانًا، يكون تحديد ما إذا كانت وحدة ما حرة أم لا أمرًا غير قابل للحسم من منظور نظرية المجموعات. ومن الأمثلة الشهيرة على ذلك مسألة وايتهيد ، التي تسأل عما إذا كانت زمرة وايتهيد حرة أم لا. وكما اتضح، فإن هذه المسألة مستقلة عن نظرية ZFC.

بفرض وجود مجموعة E وحلقة R ، يوجد نموذج R حر له E كأساس: وهو المجموع المباشر لنسخ R المفهرسة بواسطة E

${\displaystyle R^{(E)}=\bigoplus _{e\in E}R.}$

بشكل صريح، هو الوحدة الفرعية من حاصل الضرب الديكارتي${\textstyle \prod _{E}R}$( يُنظر إلى R على أنها وحدة يسارية، على سبيل المثال) تتكون من العناصر التي لها عدد محدود فقط من المكونات غير الصفرية. يمكن تضمين E في R ^{( E )} كمجموعة جزئية بتحديد عنصر e مع عنصر من R ^{( E )} يكون مكونه e هو 1 (وحدة R ) وجميع المكونات الأخرى صفر. عندئذٍ، يمكن كتابة كل عنصر من R ^{( E ) بشكل فريد على النحو التالي:}

${\displaystyle \sum _{e\in E}c_{e}e,}$

حيث عدد محدود فقط${\displaystyle c_{e}}$هي عناصر غير صفرية. ويُطلق عليها اسم توليفة خطية رسمية لعناصر المجموعة E.

تُظهر حجة مماثلة أن كل وحدة R حرة يسارية (على التوالي يمينية) متماثلة مع مجموع مباشر لنسخ من R كوحدة يسارية (على التوالي يمينية).

رسم خرائط التضمين${\displaystyle \iota :E\to R^{(E)}}$التعريف المذكور أعلاه عام بالمعنى التالي. بالنظر إلى دالة اختيارية${\displaystyle f:E\to N}$من مجموعة E إلى وحدة نمطية يسارية R - N ، يوجد تماثل نمطي فريد${\displaystyle {\overline {f}}:R^{(E)}\to N}$بحيث${\displaystyle f={\overline {f}}\circ \iota }$أي،${\displaystyle {\overline {f}}}$يتم تعريفها بالصيغة التالية:

${\displaystyle {\overline {f}}\left(\sum _{e\in E}r_{e}e\right)=\sum _{e\in E}r_{e}f(e)}$

و${\displaystyle {\overline {f}}}$يقال إنه يتم الحصول عليه عن طريق تمديد${\displaystyle f}$بسبب الخطية. تعني التفردية أن كل خريطة خطية R${\displaystyle R^{(E)}\to N}$يتم تحديدها بشكل فريد من خلال تقييدها على E.

وكما هو معتاد بالنسبة للخصائص العامة، فإن هذا يُعرّف R ^{( E )} حتى تماثل قانوني . وكذلك تكوين${\displaystyle \iota :E\to R^{(E)}}$يحدد كل مجموعة E دالة

${\displaystyle R^{(-)}:{\textbf {Set}}\to R{\text{-}}{\mathsf {Mod}},\,E\mapsto R^{(E)}}$،

من فئة المجموعات إلى فئة الوحدات النمطية اليسرى R. يُطلق عليه اسم الدالة الحرة ويحقق علاقة طبيعية: لكل مجموعة E ووحدة نمطية يسارية N ،

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\textbf {Set}}(E,U(N))\simeq \operatorname {Hom} _{R}(R^{(E)},N),\,f\mapsto {\overline {f}}}$

أين${\displaystyle U:R{\text{-}}{\mathsf {Mod}}\to {\textbf {Set}}}$هو الدالة النسيانية ، بمعنى${\displaystyle R^{(-)}}$هو المرافق الأيسر للدالة النسيانية.

تنطبق العديد من العبارات الصحيحة على الوحدات الحرة على فئات أوسع من الوحدات. الوحدات الإسقاطية هي مجموع مباشر للوحدات الحرة. تُعرَّف الوحدات المسطحة بأنها تحافظ على المتتاليات التامة عند ضربها بالموتر. تشكل الوحدات الخالية من الالتواء فئة أوسع. بالنسبة لوحدة مولدة نهائيًا على فضاء متعدد الأوجه (مثل Z )، فإن خصائص الحرية والإسقاطية والتسطيح والخالية من الالتواء متكافئة.

انظر إلى الخاتم المحلي ، والخاتم المثالي ، وخاتم ديديكيند .

• كائن حر
• عرض تقديمي مجاني
• دقة عرض مجانية
• نظرية كويلين-سوسلين
• وحدة نمطية مستقرة وخالية من التبعيات
• حرية عامة

تتضمن هذه المقالة مواد من فضاء المتجهات الحرة على مجموعة على موقع PlanetMath ، وهو مرخص بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .

• آدمسون، إيان ت. (1972). الحلقات والوحدات الأولية . نصوص الرياضيات الجامعية. أوليفر وبويد. ص 65-66 . ISBN  0-05-002192-3MR 0345993​​ 
• كيون، ر. (1975). مقدمة في نظرية تمثيل المجموعات . الرياضيات في العلوم والهندسة. المجلد  116. دار النشر الأكاديمية. ISBN 978-0-12-404250-6MR 0387387​​ 
• جوفوروف، في إي (2001) [1994]، "الوحدة الحرة" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر إي إم إس.
• ماتسومورا، هيديوكي (1986). نظرية الحلقات التبادلية . دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة. المجلد  8. مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-36764-6. السيد 0879273 . زبل 0603.13001 .