نظرية جليسون

في ميكانيكا الكم، يرتبط كل نظام فيزيائي بفضاء هيلبرت . ولأغراض هذه النظرة العامة، يُفترض أن فضاء هيلبرت ذو أبعاد محدودة. في المنهج الذي وضعه جون فون نيومان ، يُمثَّل قياس النظام الفيزيائي بمؤثر ذاتي الترافق على فضاء هيلبرت، ويُسمى أحيانًا "كمية قابلة للرصد". تُشكِّل المتجهات الذاتية لهذا المؤثر أساسًا متعامدًا لفضاء هيلبرت، ويتوافق كل ناتج مُحتمل لهذا القياس مع أحد المتجهات المُكوِّنة لهذا الأساس. مؤثر الكثافة هو مؤثر شبه موجب على فضاء هيلبرت، وأثره يساوي 1. وبلغة فون فايتسكر ، فإن مؤثر الكثافة هو "كتالوج احتمالات": فلكل قياس يُمكن تعريفه، يُمكن حساب توزيع الاحتمالات على نتائج هذا القياس من مؤثر الكثافة. ^{[ 2 ]} الإجراء المُتَّبع في ذلك هو قاعدة بورن ، التي تنص على أن $${\displaystyle P(x_{i})=\operatorname {Tr} (\Pi _{i}\rho ),}$$ أين${\displaystyle \rho }$هو عامل الكثافة، و${\displaystyle \Pi _{i}}$يمثل عامل الإسقاط على متجه الأساس المقابل لنتيجة القياس${\displaystyle x_{i}}$.

تُحدد قاعدة بورن احتمالًا لكل متجه وحدة في فضاء هيلبرت، بحيث يكون مجموع هذه الاحتمالات مساويًا لـ 1 لأي ​​مجموعة من متجهات الوحدة التي تُشكل أساسًا متعامدًا. علاوة على ذلك، فإن الاحتمال المرتبط بمتجه وحدة هو دالة لمؤثر الكثافة ومتجه الوحدة نفسه، وليس لمعلومات إضافية مثل اختيار الأساس الذي يُضمّن فيه ذلك المتجه. تُثبت نظرية غليسون العكس: جميع تعيينات الاحتمالات لمتجهات الوحدة (أو، بشكل مكافئ، للمؤثرات التي تُسقط عليها) التي تُحقق هذه الشروط تأخذ شكل تطبيق قاعدة بورن على مؤثر كثافة ما. تصح نظرية غليسون إذا كان بُعد فضاء هيلبرت 3 أو أكبر؛ وتوجد أمثلة مضادة للبُعد 2.

يجب أن يكون احتمال أي نتيجة قياس على نظام كمومي عددًا حقيقيًا بين 0 و1 شاملًا، ولضمان الاتساق، يجب أن يكون مجموع احتمالات النتائج المختلفة الممكنة لأي قياس فردي مساويًا لـ 1. تُبين نظرية غليسون أن أي دالة تُسند احتمالات لنتائج القياس، كما تُحددها عوامل الإسقاط، يجب أن تكون قابلة للتعبير عنها بدلالة عامل الكثافة وقاعدة بورن. وهذا لا يُعطي قاعدة حساب الاحتمالات فحسب، بل يُحدد أيضًا مجموعة الحالات الكمومية الممكنة.

يترك${\displaystyle f}$لتكن دالة من عوامل الإسقاط إلى الفترة [0, 1] بحيث إذا كانت مجموعة${\displaystyle \{\Pi _{i}\}}$مجموع عوامل الإسقاط يساوي مصفوفة الوحدة (أي إذا كانت تتوافق مع أساس متعامد)، فإن $${\displaystyle \sum _{i}f(\Pi _{i})=1.}$$

تُعبّر هذه الدالة عن إسناد قيم احتمالية لنتائج القياسات، وهو إسناد "غير سياقي" بمعنى أن احتمالية النتيجة لا تعتمد على القياس الذي تندرج ضمنه تلك النتيجة، بل على التمثيل الرياضي لتلك النتيجة تحديدًا، أي مُعامل الإسقاط الخاص بها. ^{[ 3 ] [ 4 ] : ​​§1.3 [ 5 ] : §2.1 [ 6 ]} تنص نظرية غليسون على أنه لأي دالة من هذا القبيل${\displaystyle f}$يوجد مؤثر شبه موجب محدد${\displaystyle \rho }$مع أثر الوحدة بحيث $${\displaystyle f(\Pi _{i})=\operatorname {Tr} (\Pi _{i}\rho ).}$$

ينبع كل من قاعدة بورن وحقيقة أن "فهارس الاحتمالات" هي مؤثرات شبه موجبة ذات أثر يساوي واحدًا من افتراضات أن القياسات ممثلة بقواعد متعامدة، وأن تعيينات الاحتمالات "غير سياقية". ولكي تكون نظرية غليسون قابلة للتطبيق، يجب أن يكون الفضاء الذي تُعرَّف عليه القياسات فضاء هيلبرت حقيقيًا أو مركبًا، أو وحدة نمطية رباعية . ^{[ أ ]} (لا تنطبق حجة غليسون إذا حاولنا، على سبيل المثال، بناء نظير لميكانيكا الكم باستخدام الأعداد p -adic ).

علاوة على ذلك، تكتسب هذه النظرية أهمية تاريخية لدورها في استبعاد إمكانية وجود فئات معينة من المتغيرات الخفية في ميكانيكا الكم. وتفترض نظرية المتغيرات الخفية الحتمية أن احتمال حدوث نتيجة معينة يكون دائمًا إما صفرًا أو واحدًا. على سبيل المثال، سيُظهر قياس شتيرن-غيرلاخ على ذرة ذات لف مغزلي 1 أن الزخم الزاوي للذرة على طول المحور المُختار هو إحدى ثلاث قيم محتملة، والتي يمكن تحديدها بـ${\displaystyle -}$،${\displaystyle 0}$و${\displaystyle +}$في نظرية المتغيرات الخفية الحتمية، توجد خاصية فيزيائية كامنة تحدد النتيجة التي يتم التوصل إليها في القياس. وبناءً على قيمة هذه الخاصية الفيزيائية الكامنة، فإن أي نتيجة معينة (على سبيل المثال، نتيجة من${\displaystyle +}$يجب أن يكون ذلك إما مستحيلاً أو مضموناً. لكن نظرية غليسون تشير إلى أنه لا يمكن أن يكون هناك مقياس احتمالي حتمي كهذا.${\displaystyle u\to \langle \rho u,u\rangle }$تكون الدالة متصلة على كرة الوحدة في فضاء هيلبرت لأي مؤثر كثافة${\displaystyle \rho }$بما أن هذه الكرة الوحدوية متصلة ، فلا يمكن لأي مقياس احتمالي مستمر عليها أن يكون حتميًا. ^{[ 26 ] : §1.3} تشير نظرية غليسون بالتالي إلى أن نظرية الكم تمثل خروجًا عميقًا وأساسيًا عن الحدس الكلاسيكي القائل بأن عدم اليقين ناتج عن الجهل بدرجات الحرية الخفية. ^{[ 27 ]} وبشكل أكثر تحديدًا، تستبعد نظرية غليسون نماذج المتغيرات الخفية "غير السياقية". يجب على أي نموذج للمتغيرات الخفية في ميكانيكا الكم، لتجنب تبعات نظرية غليسون، أن يتضمن متغيرات خفية ليست خصائص تنتمي إلى النظام المقاس وحده، بل تعتمد أيضًا على السياق الخارجي الذي يتم فيه القياس. غالبًا ما يُنظر إلى هذا النوع من الاعتماد على أنه مصطنع أو غير مرغوب فيه؛ وفي بعض الحالات، يتعارض مع النسبية الخاصة . ^{[ 27 ] [ 28 ]}

لإنشاء مثال مضاد لفضاء هيلبرت ثنائي الأبعاد، والمعروف باسم كيوبت ، دع المتغير الخفي يكون متجه وحدة${\displaystyle {\vec {\lambda }}}$في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد. باستخدام كرة بلوخ ، يمكن تمثيل كل قياس ممكن على كيوبت كزوج من النقاط المتقابلة على كرة الوحدة. يُعرَّف احتمال نتيجة القياس بأنه 1 إذا كانت النقطة التي تمثل تلك النتيجة تقع في نفس نصف الكرة الذي تقع فيه النقطة التي تمثل نقطة القياس.${\displaystyle {\vec {\lambda }}}$و0 فيما عدا ذلك ينتج عنه تعيين احتمالات لنتائج القياس بما يتوافق مع افتراضات غليسون. ومع ذلك، فإن تعيين الاحتمال هذا لا يتوافق مع أي عامل كثافة صالح. من خلال إدخال توزيع احتمالي على القيم الممكنة لـ${\displaystyle {\vec {\lambda }}}$يمكن بناء نموذج متغير خفي للكيوبت يعيد إنتاج تنبؤات نظرية الكم. ^{[ 27 ] [ 29 ]}

ألهمت نظرية غليسون أعمالًا لاحقة لجون بيل وإرنست سبيكر وسيمون كوشين ، والتي أفضت إلى النتيجة المعروفة باسم نظرية كوشين-سبيكر ، والتي تُظهر بدورها أن نماذج المتغيرات الخفية غير السياقية لا تتوافق مع ميكانيكا الكم. وكما ذُكر سابقًا، تُبين نظرية غليسون أنه لا يوجد مقياس احتمالي على أشعة فضاء هيلبرت يأخذ القيمتين 0 و1 فقط (طالما أن بُعد هذا الفضاء يتجاوز 2). تُحسّن نظرية كوشين-سبيكر هذه العبارة من خلال إنشاء مجموعة فرعية محدودة محددة من الأشعة لا يُمكن تعريف مثل هذا المقياس الاحتمالي عليها. ^{[ 27 ] [ 30 ]} إن حقيقة وجود مثل هذه المجموعة الفرعية المحدودة من الأشعة تنبع من نظرية غليسون عن طريق حجة التراص المنطقي ، لكن هذه الطريقة لا تُنشئ المجموعة المطلوبة بشكل صريح. ^{[ 20 ] : §1} في النتيجة المتعلقة بعدم وجود متغيرات خفية والمعروفة باسم نظرية بيل ، يُستبدل افتراض أن نظرية المتغيرات الخفية غير سياقية بافتراض أنها محلية . ويمكن أيضًا استخدام مجموعات الأشعة نفسها المستخدمة في إنشاءات كوشين-سبيكر لاستنتاج براهين من نوع بيل. ^{[ 27 ] [ 31 ] [ 32 ]}

يستخدم بيتوفسكي نظرية غليسون ليُجادل بأن ميكانيكا الكم تُمثل نظرية جديدة للاحتمالات، حيث يتم تعديل بنية فضاء الأحداث المُمكنة عن الجبر البولياني الكلاسيكي الخاص بها. وهو يعتبر هذا مُشابهًا للطريقة التي تُعدّل بها النسبية الخاصة حركيات الميكانيكا النيوتونية . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

تم الاستشهاد بنظريتي غليسون وكوشن-سبيكر لدعم العديد من الفلسفات، بما في ذلك الفلسفات النسبية ، والتجريبية البنائية ، والواقعية الفاعلة . ^{[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]}

تُستخدم نظرية غليسون في المنطق الكمومي، الذي يعتمد بشكل كبير على نظرية الشبكات . يتعامل المنطق الكمومي مع ناتج القياس الكمومي كقضية منطقية ، ويدرس العلاقات والبنى التي تُشكلها هذه القضايا المنطقية. تُنظم هذه القضايا في شبكة، حيث يُخفف قانون التوزيع ، الساري في المنطق الكلاسيكي، ليعكس حقيقة أنه في الفيزياء الكمومية، لا يمكن قياس جميع أزواج الكميات في آن واحد . ^{[ 36 ]} تُبين نظرية التمثيل في المنطق الكمومي أن هذه الشبكة متماثلة مع شبكة الفضاءات الجزئية لفضاء متجهي ذي جداء قياسي . ^{[ 5 ] : §2} باستخدام نظرية سولير ، يمكن إثبات أن الحقل ( المائل ) K الذي تُعرَّف عليه فضاء المتجهات، مع فرضيات إضافية، هو إما الأعداد الحقيقية ، أو الأعداد المركبة ، أو الكواترنيونات ، كما هو مطلوب لصحة نظرية جليسون. ^{[ 12 ] : §3 [ 37 ] [ 38 ]}

باستخدام نظرية غليسون، يمكن تقييد شكل دالة الاحتمال على عناصر الشبكة. وبافتراض أن التحويل من عناصر الشبكة إلى الاحتمالات غير مرتبط بالسياق، تُثبت نظرية غليسون أنه يجب أن يكون قابلاً للتعبير عنه باستخدام قاعدة بورن. ^{[ 39 ]}