نظرية التشاكلات الذاتية لهرويتز

في الرياضيات ، تحدد نظرية هورويتز للتشاكلات الذاتية رتبة مجموعة التشاكلات الذاتية ، عبر التحويلات المطابقة الحافظة للاتجاه ، لسطح ريمان مضغوط من جنس g > 1، حيث تنص على أن عدد هذه التشاكلات الذاتية لا يمكن أن يتجاوز 84( g - 1). تُسمى المجموعة التي تحقق هذه القيمة القصوى مجموعة هورويتز ، ويُسمى سطح ريمان المقابل سطح هورويتز . ولأن أسطح ريمان المضغوطة مرادفة للمنحنيات الجبرية الإسقاطية المعقدة غير المنفردة ، يُمكن أيضًا تسمية سطح هورويتز بمنحنى هورويتز . ^{[ 1 ]} سُميت النظرية نسبةً إلى أدولف هورويتز ، الذي أثبتها في ( هورويتز 1893 ) .

ينطبق حد هورويتز أيضًا على المنحنيات الجبرية فوق حقل ذي خاصية صفرية، وعلى حقول ذات خاصية موجبة p > 0 للمجموعات التي رتبتها أولية نسبيًا مع p ، ولكنه قد لا ينطبق على حقول ذات خاصية موجبة p > 0 عندما يقسم p رتبة المجموعة. على سبيل المثال ، الغطاء المزدوج للخط الإسقاطي y² = xⁿp - ^x المتفرع عند جميع ^النقاط المعرفة على الحقل الأولي له جنس g = ( p - 1)/2 ولكنه يخضع لتأثير المجموعة PGL² ₍ p ) من الرتبة p³ ^- p .

يُعدّ التقسيم الثلاثي بين مشعبات ريمان ذات الانحناء الموجب، والصفري، والسالب K أحد المواضيع الأساسية في الهندسة التفاضلية. ويتجلى هذا التقسيم في العديد من الحالات المتنوعة وعلى مستويات متعددة. في سياق أسطح ريمان المدمجة X ، ومن خلال نظرية توحيد ريمان ، يمكن اعتبار هذا التقسيم تمييزًا بين أسطح ذات طوبولوجيات مختلفة.

• X كرة ، سطح ريمان مضغوط من النوع صفر مع K > 0؛
• X طارة مسطحة ، أو منحنى إهليلجي ، سطح ريمان من النوع واحد مع K = 0؛
• و X سطح زائدي ، والذي له جنس أكبر من واحد و K < 0.

في حين أن السطح X في الحالتين الأوليين يقبل عددًا لا نهائيًا من التشاكلات المطابقة (في الواقع، زمرة التشاكلات المطابقة هي زمرة لي معقدة ذات بُعد ثلاثة للكرة وبُعد واحد للسطح الحلقي)، فإن سطح ريمان الزائدي لا يقبل إلا مجموعة منفصلة من التشاكلات. وتنص نظرية هورويتز على أن الأمر في الواقع أكثر من ذلك: فهي توفر حدًا موحدًا لرتبة زمرة التشاكلات كدالة للجنس، وتحدد أسطح ريمان التي يكون هذا الحد فيها دقيقًا .

نظرية : ليكن${\displaystyle X}$أن يكون سطح ريمان أملسًا ومضغوطًا من جنس${\displaystyle g\geq 2}$ثم زمرة التشاكل الذاتي الخاصة بها${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$حجمه في أقصى حد${\displaystyle 84(g-1)}$.

البرهان: افترض الآن أن${\displaystyle G=\operatorname {Aut} (X)}$هي محدودة (سيتم إثبات ذلك في النهاية).

• ضع في اعتبارك خريطة القسمة${\displaystyle X\to X/G}$. منذ${\displaystyle G}$إذا تم التعامل مع الدوال التحليلية، فإن الناتج يكون محليًا على الشكل التالي:${\displaystyle z\to z^{n}}$والناتج${\displaystyle X/G}$هو سطح ريمان أملس. خريطة القسمة${\displaystyle X\to X/G}$هو غطاء متفرع، وسنرى لاحقًا أن نقاط التفرع تتوافق مع المدارات التي لها مُثبِّت غير تافه. ليكن${\displaystyle g_{0}}$أن يكون جنس${\displaystyle X/G}$.
• باستخدام صيغة ريمان-هرويتز ،$${\displaystyle 2g-2\ =\ |G|\cdot \left(2g_{0}-2+\sum _{i=1}^{k}\left(1-{\frac {1}{e_{i}}}\right)\right)}$$حيث يكون المجموع على${\displaystyle k}$نقاط التفرع${\displaystyle p_{i}\in X/G}$لخريطة القسمة${\displaystyle X\to X/G}$مؤشر التفرع${\displaystyle e_{i}}$في${\displaystyle p_{i}}$هذا مجرد ترتيب مجموعة المثبتات، لأن${\displaystyle e_{i}f_{i}=\deg(X/\,X/G)}$أين${\displaystyle f_{i}}$عدد الصور الأولية لـ${\displaystyle p_{i}}$(عدد النقاط في المدار)، و${\displaystyle \deg(X/\,X/G)=|G|}$بحسب تعريف نقاط التفرع،${\displaystyle e_{i}\geq 2}$للجميع${\displaystyle k}$مؤشرات التفرع.

والآن اتصل بالجانب الأيمن${\displaystyle |G|R}$ومنذ ذلك الحين${\displaystyle g\geq 2}$يجب أن يكون لدينا${\displaystyle R>0}$بإعادة ترتيب المعادلة نجد:

• لو${\displaystyle g_{0}\geq 2}$ثم${\displaystyle R\geq 2}$، و${\displaystyle |G|\leq (g-1)}$
• لو${\displaystyle g_{0}=1}$، ثم${\displaystyle k\geq 1}$ و${\displaystyle R\geq 0+1-1/2=1/2}$لهذا السبب.${\displaystyle |G|\leq 4(g-1)}$،
• لو${\displaystyle g_{0}=0}$، ثم${\displaystyle k\geq 3}$و
  • لو${\displaystyle k\geq 5}$ثم${\displaystyle R\geq -2+k(1-1/2)\geq 1/2}$، لهذا السبب${\displaystyle |G|\leq 4(g-1)}$
  • لو${\displaystyle k=4}$ثم${\displaystyle R\geq -2+4-1/2-1/2-1/2-1/3=1/6}$، لهذا السبب${\displaystyle |G|\leq 12(g-1)}$،
  • لو${\displaystyle k=3}$ثم اكتب${\displaystyle e_{1}=p,\,e_{2}=q,\,e_{3}=r}$يمكننا أن نفترض${\displaystyle 2\leq p\leq q\ \leq r}$.
    • لو${\displaystyle p\geq 3}$ثم${\displaystyle R\geq -2+3-1/3-1/3-1/4=1/12}$لهذا السبب.${\displaystyle |G|\leq 24(g-1)}$،
    • لو${\displaystyle p=2}$ثم
      • لو${\displaystyle q\geq 4}$ثم${\displaystyle R\geq -2+3-1/2-1/4-1/5=1/20}$لهذا السبب.${\displaystyle |G|\leq 40(g-1)}$،
      • لو${\displaystyle q=3}$ثم${\displaystyle R\geq -2+3-1/2-1/3-1/7=1/42}$لهذا السبب.${\displaystyle |G|\leq 84(g-1)}$.

ختاماً،${\displaystyle |G|\leq 84(g-1)}$.

لإثبات ذلك${\displaystyle G}$لاحظ أن الكمية محدودة.${\displaystyle G}$تؤثر على علم التماثل${\displaystyle H^{*}(X,\mathbf {C} )}$الحفاظ على تحلل هودج والشبكة${\displaystyle H^{1}(X,\mathbf {Z} )}$.

• وعلى وجه الخصوص، إجراءاتها بشأن${\displaystyle V=H^{0,1}(X,\mathbf {C} )}$يعطي تشاكلاً${\displaystyle h:G\to \operatorname {GL} (V)}$مع صورة منفصلة${\displaystyle h(G)}$.
• بالإضافة إلى ذلك، الصورة${\displaystyle h(G)}$يحافظ على المنتج الداخلي الهرميتي الطبيعي غير المتدهور${\textstyle (\omega ,\eta )=i\int {\bar {\omega }}\wedge \eta }$على${\displaystyle V}$وخاصة الصورة${\displaystyle h(G)}$يحتوي على المجموعة الوحدوية${\displaystyle \operatorname {U} (V)\subset \operatorname {GL} (V)}$وهي مضغوطة . وبالتالي الصورة${\displaystyle h(G)}$ليس منفصلاً فحسب، بل محدود أيضاً.
• يبقى إثبات ذلك${\displaystyle h:G\to \operatorname {GL} (V)}$لها نواة منتهية. في الواقع، سنثبت ذلك.${\displaystyle h}$دالة أحادية. افترض${\displaystyle \varphi \in G}$يعمل كهوية على${\displaystyle V}$. لو${\displaystyle \operatorname {fix} (\varphi )}$إذا كانت محدودة، فبحسب نظرية ليفشيتز للنقطة الثابتة ،$${\displaystyle |\operatorname {fix} (\varphi )|=1-2\operatorname {tr} (h(\varphi ))+1=2-2\operatorname {tr} (\mathrm {id} _{V})=2-2g<0.}$$

هذا تناقض، ولذا${\displaystyle \operatorname {fix} (\varphi )}$لا نهائي. بما أن${\displaystyle \operatorname {fix} (\varphi )}$هي مجموعة فرعية معقدة مغلقة ذات بُعد موجب و${\displaystyle X}$هو منحنى متصل أملس (أي${\displaystyle \dim _{\mathbf {C} }(X)=1}$يجب أن يكون لدينا${\displaystyle \operatorname {fix} (\varphi )=X}$. هكذا${\displaystyle \varphi }$هي الهوية، ونستنتج أن${\displaystyle h}$هو حقني و${\displaystyle G\cong h(G)}$محدود. وهو المطلوب إثباته.

نتيجة البرهان : سطح ريمان${\displaystyle X}$من جنس${\displaystyle g\geq 2}$لديه${\displaystyle 84(g-1)}$التشاكلات الذاتية إذا وفقط إذا${\displaystyle X}$هو غطاء متفرع${\displaystyle X\to \mathbf {P} ^{1}}$بثلاث نقاط تفرع، ذات مؤشرات 2 و 3 و 7 .

بحسب نظرية التوحيد، فإن أي سطح زائدي X - أي أن انحناء غاوس لـ X يساوي سالب واحد عند كل نقطة - يُغطى بالمستوى الزائدي . وتتوافق التحويلات المطابقة للسطح مع التشاكلات الذاتية الحافظة للاتجاه للمستوى الزائدي. وبحسب نظرية غاوس-بونيه ، فإن مساحة السطح هي

أ( X ​​) = − 2π χ( X ) = 4π( ز − 1).

لجعل زمرة التشاكل الذاتي G للمجموعة X أكبر ما يمكن، نريد أن تكون مساحة نطاقها الأساسي D لهذا التأثير أصغر ما يمكن. إذا كان النطاق الأساسي مثلثًا بزوايا رؤوسه π/p و π/q و π/r، يُحدد تبليطًا للمستوى الزائدي، فإن p و q و r أعداد صحيحة أكبر من واحد، وتكون المساحة هي

أ( د ) = π(1 − 1/ ص − 1/ ف − 1/ ص ).

وبالتالي، فإننا نطلب أعدادًا صحيحة تجعل التعبير

1 − 1/ p − 1/ q − 1/ r

موجبة تمامًا وأصغر ما يمكن. هذه القيمة الدنيا هي 1/42، و

1 − 1/2 − 1/3 − 1/7 = 1/42

يُعطي هذا ثلاثية فريدة من هذه الأعداد الصحيحة. وهذا يُشير إلى أن رتبة | G | لمجموعة التشاكلات الذاتية محدودة بـ

A( X )/A( D ) ≤ 168( g − 1).

مع ذلك، يُظهر تحليلٌ أكثر دقة أن هذا التقدير مُبالغ فيه بمقدار الضعف، لأن المجموعة G قد تحتوي على تحويلات تعكس الاتجاه. أما بالنسبة للتشاكلات المطابقة التي تحافظ على الاتجاه، فإن الحد هو 84( g - 1).

بناء

للحصول على مثال لمجموعة هورويتز، لنبدأ بتبليط (2، 3، 7) للمستوى الزائدي. مجموعة التناظر الكاملة لهذه المجموعة هي مجموعة المثلثات (2، 3، 7) الكاملة الناتجة عن انعكاسات أضلاع مثلث أساسي واحد بزوايا π/2، π/3، وπ/7. بما أن الانعكاس يقلب المثلث ويغير اتجاهه، يمكننا ضم المثلثات في أزواج والحصول على مضلع تبليط يحافظ على الاتجاه. يُحصل على سطح هورويتز بـ"إغلاق" جزء من هذا التبليط اللانهائي للمستوى الزائدي إلى سطح ريمان مضغوط من النوع g . وهذا يتطلب بالضرورة 84( g - 1) بلاطة مثلثية مزدوجة.

تتمتع التبليطتان المنتظمتان التاليتان بمجموعة التناظر المطلوبة؛ تتوافق مجموعة الدوران مع الدوران حول حافة ورأس ووجه، بينما تشمل مجموعة التناظر الكاملة أيضًا الانعكاس. المضلعات في التبليط ليست مجالات أساسية - فالتبليط بالمثلثات (2، 3، 7) يُحسّن كليهما وهو غير منتظم.

التبليط السباعي من الرتبة 3

تبليط مثلثي من الرتبة 7

تُنتج بنى ويثوف المزيد من التبليطات المنتظمة ، مما ينتج عنه ثمانية تبليطات منتظمة ، بما في ذلك التبليطين المنتظمين المذكورين هنا. وتؤدي جميع هذه التبليطات إلى أسطح هورويتز، مما ينتج عنه تبليطات للأسطح (التثليث، والتبليط بواسطة سباعيات الأضلاع، وما إلى ذلك).

من الحجج السابقة، يمكن استنتاج أن زمرة هورويتز G تتميز بخاصية كونها خارج قسمة منتهية لزمرة ذات مولدين a و b وثلاث علاقات

${\displaystyle a^{2}=b^{3}=(ab)^{7}=1,}$

وبالتالي، فإن G هي زمرة منتهية مولدة بواسطة عنصرين من الرتبتين الثانية والثالثة، وحاصل ضربهما من الرتبة السابعة. بتعبير أدق، يمكن الحصول على أي سطح هورويتز، أي سطح زائدي يحقق أعلى رتبة لزمرة التشاكل الذاتي لأسطح جنس معين، من خلال البناء المذكور. هذا هو الجزء الأخير من نظرية هورويتز.

أصغر زمرة هورويتز هي الزمرة الخطية الخاصة الإسقاطية PSL(2,7) ، من الرتبة 168، والمنحنى المقابل لها هو منحنى كلاين الرباعي . هذه الزمرة متماثلة أيضًا مع PSL(3,2) .

يلي ذلك منحنى ماكبيث ، مع زمرة التشاكل الذاتي PSL(2,8) من الرتبة 504. العديد من الزمر البسيطة المنتهية الأخرى هي زمر هورويتز؛ على سبيل المثال، جميع الزمر المتناوبة باستثناء 64 هي زمر هورويتز، وأكبر مثال غير هورويتز هو من الدرجة 167. أصغر زمرة متناوبة هي زمرة هورويتز هي A ₁₅ .

معظم الزمر الخطية الخاصة الإسقاطية ذات الرتبة الكبيرة هي زمر هورويتز ( لوتشيني، تامبوريني، وويلسون ، 2000 ) . أما بالنسبة للرتب الأدنى، فعدد هذه الزمر أقل. بالنسبة لرتبة p _بتردد 7 ، فإن PSL(2, q ) تكون زمرة هورويتز إذا وفقط إذا كان q = 7 أو q = p ^{n _p} . في الواقع، PSL(3, q ) تكون زمرة هورويتز إذا وفقط إذا كان q = 2، و PSL(4, q ) لا تكون زمرة هورويتز أبدًا، وPSL(5, q ) تكون زمرة هورويتز إذا وفقط إذا كان q = 7 ⁴ أو q = p ^{n _p} ( تامبوريني وفيسيميرنوف ، 2006 ) .

وبالمثل، فإن العديد من زمر لي هي زمر هورويتز. فالزمر الكلاسيكية المنتهية ذات الرتبة الكبيرة هي زمر هورويتز ( لوتشيني وتامبوريني ، 1999 ) . أما زمر لي الاستثنائية من النوع G2 وزمر ري من النوع 2G2 فهي زمر هورويتز في أغلب الأحيان ( مالي، 1990 ) . وقد تبين أن عائلات أخرى من زمر لي الاستثنائية والملتوية ذات الرتبة المنخفضة هي زمر هورويتز ( مالي، 1995 ) .

هناك 12 مجموعة متفرقة يمكن توليدها كمجموعات هورويتز: مجموعات جانكو J ₁ و J ₂ و J ₄ ، ومجموعات فيشر Fi ₂₂ و Fi' ₂₄ ، ومجموعة رودفاليس ، ومجموعة هيلد ، ومجموعة طومسون ، ومجموعة هارادا-نورتون ، ومجموعة كونواي الثالثة Co ₃ ، ومجموعة ليونز ، ومجموعة الوحش ( ويلسون 2001 ) .

أكبر قيمة لـ |Aut( X )| (التسلسل A346293 في OEIS ) يمكن الحصول عليها لسطح ريمان X من الجنس g موضحة أدناه، لـ 2 ≤ g ≤ 10، إلى جانب سطح X ₀ مع |Aut( X ₀ )| القصوى.

في هذا النطاق، لا يوجد سوى منحنى هورويتز في الجنس g = 3 و g = 7 (التسلسل A179982 في OEIS ) .

يمكن تعميم مفهوم سطح هورويتز بعدة طرق للوصول إلى تعريف له أمثلة في جميع الأجناس باستثناء عدد قليل منها. ولعلّ أكثرها طبيعية هو السطح "المتناظر إلى أقصى حد": وهو السطح الذي لا يمكن تعديله بشكل متواصل عبر أسطح متناظرة بنفس القدر إلى سطح يحتوي تناظره بشكل صحيح على تناظر السطح الأصلي. وهذا ممكن لجميع الأجناس المدمجة القابلة للتوجيه (انظر القسم أعلاه "مجموعات التشاكل الذاتي في الأجناس الدنيا").

• مجموعة المثلثات (2، 3، 7)