المعادلة التربيعية

في الرياضيات ، المعادلة التربيعية ( من اللاتينية quadratus ' مربع ' ) هي معادلة يمكن إعادة ترتيبها في الشكل القياسي على النحو التالي ^[¹^] $ax^{2}+bx+c=0\,,$ حيث المتغير ⁠ $x$ يمثل عددًا مجهولًا، بينما $تمثل a$ و $b$ و $c$ أعدادًا معلومة، حيث $a \neq 0.$ (إذا كانت $a = 0$ و $b \neq 0،$ فإن المعادلة خطية وليست تربيعية). الأعداد $a$ و $b$ و $c$ هي معاملات المعادلة، ويمكن تمييزها بتسميتها على التوالي: المعامل التربيعي ، والمعامل الخطي ، والمعامل الثابت أو الحد الحر .^{[ 2 ]}

قيم ⁠ $x$ تُسمى القيم التي تحقق المعادلة حلولًا لها ، بينما تُسمى جذور أو أصفار الدالة التربيعية في طرفها الأيسر. للمعادلة التربيعية حلان على الأكثر. إذا كان هناك حل واحد فقط، يُقال إنه جذر مضاعف . إذا كانت جميع المعاملات أعدادًا حقيقية ، فإما أن يكون هناك حلان حقيقيان، أو جذر مضاعف حقيقي، أوحلان مركبان مترافقان . للمعادلة التربيعية دائمًا جذران، إذا أُخذت الجذور المركبة في الاعتبار، واحتُسب الجذر المضاعف كجذرين. يمكن تحليل المعادلة التربيعية إلى معادلة مكافئة^{[ 3 ].} $ax^{2}+bx+c=a(x-r)(x-s)=0$ حيث يمثل $r$ و $s$ حلولًا لـ $x$ ⁠ .

الصيغة التربيعية $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ تعبر عن الحلول بدلالة $a$ و $b$ و $c$ . إكمال المربع هو إحدى الطرق العديدة لاستنتاج الصيغة.

كانت حلول المشكلات التي يمكن التعبير عنها بدلالة المعادلات التربيعية معروفة منذ عام 2000 قبل الميلاد. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

تحتوي المعادلة التربيعية على قوى فقط من $x$ بما أن هذه الحدود أعداد صحيحة غير سالبة، فإنها بالتالي معادلة متعددة الحدود . وبالتحديد، هي معادلة متعددة الحدود من الدرجة الثانية ، لأن أكبر قوة لها هي اثنان.

حل المعادلة التربيعية

يمكن أن يكون للمعادلة التربيعية التي معاملاتها أعداد حقيقية صفر أو حل واحد أو حلان حقيقيان مختلفان، يُطلق عليهما أيضًا الجذران . عندما يكون هناك جذر واحد مختلف فقط، يمكن تفسيره على أنه جذران لهما نفس القيمة، ويُطلق عليهما الجذر المزدوج . عندما لا توجد جذور حقيقية، يمكن اعتبار المعاملات أعدادًا مركبة ذات جزء تخيلي يساوي صفرًا ، وتبقى للمعادلة التربيعية جذران مركبان، وهما مترافقان مركبان لهما جزء تخيلي غير صفري. أما المعادلة التربيعية التي معاملاتها أعداد مركبة عشوائية، فلها دائمًا جذران مركبان، وقد يكونان مختلفين أو غير مختلفين.

يمكن إيجاد حلول المعادلة التربيعية بعدة طرق بديلة.

التمويل عن طريق الفحص

قد يكون من الممكن التعبير عن المعادلة التربيعية $ax² +$ $bx + c = 0 على$ شكل حاصل ضرب $(px + q)(rx + s) = 0.$ في بعض الحالات، يمكن، بمجرد النظر، تحديد قيم p و q و r و s التي تجعل الشكلين متكافئين. إذا كُتبت المعادلة التربيعية بالشكل الثاني، فإن "خاصية العامل الصفري" تنص على أن المعادلة التربيعية تتحقق إذا كان $px + q = 0$ أو $rx + s = 0.$ حل هاتين المعادلتين الخطيتين يُعطي جذور المعادلة التربيعية.

بالنسبة لمعظم الطلاب، يُعدّ التحليل بالمعاينة أول طريقة لحل المعادلات التربيعية التي يتعرضون لها. ^{[ 6 ]}^{: 202-207.} إذا أُعطيت معادلة تربيعية على الصورة $x² + bx + c = 0 ، فإن$ التحليل المطلوب يكون على الصورة $(x + q)(x + s)$ ، ويتعين إيجاد عددين $q$ و $s$ مجموعهما يساوي $b$ وحاصل ضربهما يساوي $c$ (يُطلق على هذا أحيانًا "قاعدة فييتا" ^[⁷^] ، وهي مرتبطة بصيغ فييتا ). على سبيل المثال، تُحلل المعادلة $x²$ $+ 5x$ $+$ $6$ إلى $($ $x$ $+ 3)($ $x$ $+ 2)$ . أما الحالة الأكثر عمومية، حيث لا يساوي $a$ $واحدًا،$ $فقد$ تتطلب جهدًا كبيرًا في التجربة والخطأ، بافتراض إمكانية تحليلها بالمعاينة أصلًا.

باستثناء حالات خاصة مثل عندما يكون $b = 0$ أو $c = 0$ ، فإن التحليل بالمعاينة لا يصلح إلا للمعادلات التربيعية ذات الجذور النسبية. وهذا يعني أن الغالبية العظمى من المعادلات التربيعية التي تظهر في التطبيقات العملية لا يمكن حلها بالتحليل بالمعاينة. ^{[ 6 ]}^{: 207}

إكمال المربع

يوضح الشكل 2 رسمًا بيانيًا xy للدالة التربيعية f لـ x يساوي x تربيع ناقص x ناقص 2. إحداثيات x للنقاط التي يتقاطع فيها الرسم البياني مع المحور x، x يساوي -1 و x يساوي 2، هي حلول المعادلة التربيعية x تربيع ناقص x ناقص 2 يساوي صفرًا. — الشكل 2. بالنسبة للدالة التربيعية $y = x 2 - x - 2$ ، فإن النقاط التي يتقاطع فيها الرسم البياني مع المحور $x$ ، $x = -1$ و $x = 2$ ، هي حلول المعادلة التربيعية $x 2 - x - 2 = 0$ .

تعتمد عملية إكمال المربع على المتطابقة الجبرية $x^{2}+2hx+h^{2}=(x+h)^{2},$ وهو ما يمثل خوارزمية محددة جيدًا يمكن استخدامها لحل أي معادلة تربيعية. ^{[ 6 ]}^{: 207} بدءًا من معادلة تربيعية في صورتها القياسية، $ax²$ $+ bx + c = 0$

اقسم كل طرف على $a$ ، وهو معامل الحد التربيعي.
اطرح الحد الثابت $c / a$ من كلا الطرفين.
أضف مربع نصف $b / a$ ، وهو معامل $x$ ، إلى كلا الطرفين. هذا "يكمل المربع"، محولاً الطرف الأيسر إلى مربع كامل.
اكتب الجانب الأيسر على شكل مربع وقم بتبسيط الجانب الأيمن إذا لزم الأمر.
قم بإنتاج معادلتين خطيتين عن طريق مساواة الجذر التربيعي للطرف الأيسر مع الجذور التربيعية الموجبة والسالبة للطرف الأيمن.
حل كل من المعادلتين الخطيتين.

نوضح استخدام هذه الخوارزمية بحل المعادلة $2x²$ $+ 4x - 4 = 0$ $2x^{2}+4x-4=0$ $\ x^{2}+2x-2=0$ $\ x^{2}+2x=2$ $\ x^{2}+2x+1=2+1$ $\left(x+1\right)^{2}=3$ $\ x+1=\pm {\sqrt {3}}$ $\ x=-1\pm {\sqrt {3}}$

يشير رمز الزائد والناقص "±" إلى أن كلا ${\textstyle x=-1+{\sqrt {3}}}$ و ${\textstyle x=-1-{\sqrt {3}}}$ هي حلول للمعادلة التربيعية. ^{[ 8 ]}

الصيغة التربيعية واشتقاقها

يمكن استخدام إكمال المربع لاستنتاج صيغة عامة لحل المعادلات التربيعية، تُسمى الصيغة التربيعية. ^{[ 9 ]} سنلخص الآن البرهان الرياضي بإيجاز. [ 10 ^{] من السهل} ملاحظة، من خلال توسيع كثير الحدود ، أن المعادلة التالية مكافئة للمعادلة التربيعية: $\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}.$ بأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين، وعزل $x$ ، نحصل على: $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

$تستخدم بعض المصادر، ولا سيما القديمة منها ،$ صيغًا بديلة للمعادلة التربيعية، مثل $ax² + 2bx$ $+ c = 0 أو ax²$ − $2bx + c = 0 ،$ [ ^{11 ] حيث} يكون مقدار $b نصف المقدار الأكثر شيوعًا، وربما بإشارة معاكسة. ينتج$ $عن$ هذه الصيغ أشكال مختلفة قليلاً للحل، لكنها متكافئة فيما عدا ذلك.

توجد في المراجع العلمية عدة اشتقاقات بديلة . هذه البراهين أبسط من طريقة إكمال المربع القياسية، وتمثل تطبيقات مثيرة للاهتمام لتقنيات أخرى شائعة الاستخدام في الجبر، أو تقدم رؤى ثاقبة في مجالات أخرى من الرياضيات.

تُعطي صيغة تربيعية أقل شهرة، كما هو مستخدم في طريقة مولر ، نفس الجذور عبر المعادلة $x={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}.$ يمكن استنتاج ذلك من الصيغة التربيعية القياسية باستخدام صيغ فييتا ، التي تنص على أن حاصل ضرب الجذور هو $c / a$ . ويترتب ذلك أيضًا من قسمة المعادلة التربيعية على $x^{2}$ أعطِ $cx^{-2}+bx^{-1}+a=0,$ حل هذه المشكلة لـ $x^{-1},$ ثم عكسها.

إحدى خصائص هذه الصيغة أنها تُعطي جذرًا صحيحًا واحدًا عندما تكون قيمة $a تساوي صفرًا$ ، بينما يحتوي الجذر الآخر على قسمة على صفر، لأنه عندما تكون $a تساوي صفرًا$ ، تتحول المعادلة التربيعية إلى معادلة خطية لها جذر واحد. في المقابل، في هذه الحالة، تحتوي الصيغة الأكثر شيوعًا على قسمة على صفر لأحد الجذرين وقيمة غير محددة $(0/0)$ للجذر الآخر. من ناحية أخرى، عندما تكون قيمة $c تساوي صفرًا$ ، تُعطي الصيغة الأكثر شيوعًا جذرين صحيحين، بينما تُعطي هذه الصيغة الجذر الصفري وقيمة غير محددة $(0/0)$ .

عندما لا يكون أي من $a$ أو $c$ يساوي صفرًا، فإن التساوي بين الصيغة التربيعية القياسية وطريقة مولر، ${\frac {2c}{-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,,$ يمكن التحقق من ذلك عن طريق الضرب التبادلي ، وبالمثل بالنسبة للاختيار الآخر للإشارات.

معادلة تربيعية مختزلة

من المفيد أحيانًا تبسيط المعادلة التربيعية بحيث يكون معاملها الرئيسي واحدًا. ويتم ذلك بقسمة طرفي المعادلة على $a$ ، وهو أمر ممكن دائمًا لأن $a$ لا يساوي صفرًا. ينتج عن ذلك المعادلة التربيعية المُبسّطة التالية : ^{[ 12 ]}

$x^{2}+px+q=0,$

حيث $p = b / a$ و $q = c / a$ . هذه المعادلة متعددة الحدود أحادية الحد لها نفس حلول المعادلة الأصلية.

الصيغة التربيعية لحلول المعادلة التربيعية المختزلة، المكتوبة بدلالة معاملاتها، هي $x=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}\,.$

تمييزي

في الصيغة التربيعية، يُطلق على التعبير الموجود أسفل علامة الجذر التربيعي اسم المميز للمعادلة التربيعية، وغالبًا ما يتم تمثيله باستخدام الحرف $D$ الكبير أو الحرف اليوناني دلتا الكبير : ^{[ 13 ]} $\Delta =b^{2}-4ac.$ يمكن أن يكون للمعادلة التربيعية ذات المعاملات الحقيقية جذر حقيقي واحد أو جذران حقيقيان مختلفان، أو جذران مركبان مختلفان. في هذه الحالة، يحدد المميز عدد الجذور وطبيعتها. وهناك ثلاث حالات:

إذا كان المميز موجبًا، فسيكون هناك جذران مختلفان ${\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}},$ كلاهما أعداد حقيقية. بالنسبة للمعادلات التربيعية ذات المعاملات النسبية ، إذا كان المميز عددًا مربعًا ، فإن الجذور تكون نسبية - وفي حالات أخرى قد تكون أعدادًا تربيعية غير نسبية .
إذا كان المميز يساوي صفرًا، فإنه يوجد جذر حقيقي واحد فقط $-{\frac {b}{2a}},$ يُطلق عليه أحيانًا الجذر المتكرر أو الجذر المزدوج أو الجذرين المتساويين.
إذا كان المميز سالباً، فلا توجد جذور حقيقية. بل يوجد جذران مركبان مختلفان (غير حقيقيين) ^{[ 14 ]} $-{\frac {b}{2a}}+i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}}\quad {\text{and}}\quad -{\frac {b}{2a}}-i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}},$ وهي مترافقة معقدة لبعضها البعض. في هذه التعبيرات، $i$ هي الوحدة التخيلية .

وبالتالي فإن الجذور تكون متميزة إذا وفقط إذا كان المميز غير صفري، والجذور تكون حقيقية إذا وفقط إذا كان المميز غير سالب.

التفسير الهندسي

الدالة $f (x) = ax² + bx + c$ هي دالة تربيعية . ^{[ 16 ]} يكون لمنحنى أي دالة تربيعية نفس الشكل العام، والذي يُسمى قطعًا مكافئًا . يعتمد موقع وحجم القطع المكافئ، واتجاه فتحه، على قيم $a$ $و$ $b$ و $c$ . إذا كانت $a > 0$ ، فإن للقطع المكافئ نقطة صغرى ويكون مفتوحًا لأعلى. إذا كانت $a < 0$ ، فإن للقطع المكافئ نقطة عظمى ويكون مفتوحًا لأسفل. تُقابل النقطة القصوى للقطع المكافئ، سواء كانت صغرى أو عظمى، رأسه . يقع الإحداثي السيني للرأس عند هذه النقطة $.$ $\scriptstyle x={\tfrac {-b}{2a}}$ ويمكن إيجاد الإحداثي $الصادي$ للرأس بتعويض قيمة $x$ هذه في الدالة. ويقع المقطع $الصادي$ عند النقطة ( $0، ج$ ) $.$

حلول المعادلة التربيعية $ax² + bx + c = 0$ تُقابل جذور الدالة f $(x) = ax² + bx + c$ ، لأنها قيم $x$ التي تحقق $f (x) = 0.$ إذا $كانت a$ و $b$ و $c$ أعدادًا حقيقية $،$ وكان مجال f هو مجموعة الأعداد الحقيقية، فإن جذور $f$ $هي$ إحداثيات x $للنقاط$ التي يتقاطع عندها منحنى الدالة مع محور $x$ . إذا كان المميز موجبًا، فإن منحنى الدالة يتقاطع مع محور $x$ في نقطتين؛ وإذا كان صفرًا، فإنه يتقاطع في نقطة واحدة؛ وإذا كان سالبًا، فإنه لا يتقاطع مع $محور$ $x$ .

التحليل التربيعي

على المدى $x-r$ هو عامل من عوامل كثيرة الحدود $ax^{2}+bx+c$ إذا وفقط إذا كان $r$ جذرًا للمعادلة التربيعية $ax^{2}+bx+c=0.$ ويترتب على ذلك من الصيغة التربيعية أن $ax^{2}+bx+c=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right).$ في الحالة الخاصة $b² = 4ac$ حيث يكون للمعادلة التربيعية جذر واحد مميز فقط ( أي أن المميز يساوي صفرًا)، يمكن تحليل كثيرة الحدود التربيعية إلى عواملها الأولية $.$ $ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}.$

الحل الرسومي

دالة تربيعية بدون جذر حقيقي: ص = ( س - ٥) ^² + ٩. الرقم "٣" هو الجزء التخيلي من نقطة تقاطع المنحنى *مع محور السينات* . أما الجزء الحقيقي فهو إحداثي س لرأس القطع المكافئ. وبالتالي، فإن الجذرين هما ٥ ± ٣i .

حلول المعادلة التربيعية $ax^{2}+bx+c=0$ يمكن الحصول على ذلك من رسم الدالة التربيعية $f(x)=ax^{2}+bx+c,$ وهو قطع مكافئ .

إذا تقاطع القطع المكافئ مع المحور $السيني$ في نقطتين، فهناك جذران حقيقيان ، وهما إحداثيات $س$ لهاتين النقطتين (وتسمى أيضًا نقطة التقاطع مع المحور $السيني$ ).

إذا كان القطع المكافئ مماسًا للمحور $السيني$ ، فهناك جذر مزدوج، وهو الإحداثي $السيني$ لنقطة التماس بين الرسم البياني والقطع المكافئ.

إذا لم يتقاطع القطع المكافئ مع المحور $السيني$ ، فإنه يوجد جذران مركبان مترافقان . على الرغم من أنه لا يمكن تمثيل هذين الجذرين بيانيًا، إلا أنه يمكن تمثيل جزئيهما الحقيقي والتخيلي . ^{[ 17 ]}

لنفترض أن $h$ و $k$ هما على التوالي الإحداثي $السيني$ والإحداثي $الصادي$ لرأس القطع المكافئ (أي النقطة ذات الإحداثي $الصادي$ الأقصى أو الأدنى ). يمكن إعادة كتابة الدالة التربيعية على النحو التالي: $y=a(x-h)^{2}+k.$ لنفترض أن $d$ هي المسافة بين النقطة ذات $الإحداثي الصادي$ 2k $على$ محور القطع المكافئ، ونقطة أخرى على القطع المكافئ لها نفس $الإحداثي الصادي (انظر الشكل؛ توجد نقطتان من هذا القبيل، تعطيان نفس المسافة، بسبب تناظر القطع المكافئ). عندئذٍ$ $،$ يكون الجزء الحقيقي من الجذور هو $h$ ، وجزؤها التخيلي هو $\pm d$ . أي أن الجذور هي $h+id\quad {\text{and}}\quad h-id,$ أو في حالة مثال الشكل $5+3i\quad {\text{and}}\quad 5-3i.$

تجنب فقدان الأهمية

على الرغم من أن الصيغة التربيعية تُقدّم حلاً دقيقاً، إلا أن النتيجة لا تكون دقيقة تماماً إذا تم تقريب الأعداد الحقيقية أثناء الحساب، كما هو معتاد في التحليل العددي ، حيث تُقرّب الأعداد الحقيقية بأعداد الفاصلة العائمة (تُسمى "الأعداد الحقيقية" في العديد من لغات البرمجة ). في هذا السياق، لا تكون الصيغة التربيعية مستقرة تماماً .

$يحدث هذا عندما يكون$ للجذرين رتبتان مختلفتان من حيث المقدار ، أو بعبارة أخرى، عندما يكون $b²$ و $b²$ $-$ $4ac$ متقاربين في المقدار. في هذه الحالة، سيؤدي طرح عددين متقاربين إلى فقدان الدلالة أو إلغاء الجذر الأصغر بشكل كارثي . لتجنب ذلك $،$ يمكن حساب الجذر الأصغر، $r ، على النحو التالي:$ $(c/a)/R$ حيث $R$ هو الجذر الأكبر قيمة. وهذا يعادل استخدام الصيغة

$x={\frac {-2c}{b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}$

استخدام علامة الجمع إذا $b>0$ وعلامة السالب إذا $b<0.$

قد يحدث نوع ثانٍ من الحذف بين الحدين $b² و$ $4ac للمميز$ ، أي عندما يكون الجذران متقاربين جدًا. وقد يؤدي ذلك إلى فقدان ما يصل إلى نصف الأرقام المعنوية الصحيحة في الجذور ^.^{[ 11} ] ^{[ 18 ]}

أمثلة وتطبيقات

{\displaystyle x=v_{x}t} — يكون مسار الشخص الذي يقفز من الجرف مكافئًا لأن الإزاحة الأفقية دالة خطية للزمن $x=v_{x}t$ بينما الإزاحة الرأسية هي دالة تربيعية للزمن $y={\tfrac {1}{2}}at^{2}+v_{y}t+h$ ونتيجة لذلك، يتبع المسار معادلة تربيعية $y={\tfrac {a}{2v_{x}^{2}}}x^{2}+{\tfrac {v_{y}}{v_{x}}}x+h$ ، أين $v_{x}$ و $v_{y}$ يمثل كل من و المركبتين الأفقية والرأسية للسرعة الأصلية، $و a$ هو تسارع الجاذبية الأرضية ، و $h$ هو الارتفاع الأصلي. يجب اعتبار قيمة $a$ سالبة هنا، لأن اتجاهها (للأسفل) معاكس لاتجاه قياس الارتفاع (للأعلى).

تُحسب النسبة الذهبية كحل موجب للمعادلة التربيعية $x^{2}-x-1=0.$

إن معادلات الدائرة والقطوع المخروطية الأخرى - القطع الناقصة والقطع المكافئ والقطع الزائد - هي معادلات تربيعية في متغيرين.

بمعرفة جيب التمام أو جيب الزاوية، فإن إيجاد جيب التمام أو جيب الزاوية التي تساوي نصف حجم الزاوية الأصلية يتطلب حل معادلة تربيعية.

تتضمن عملية تبسيط التعبيرات التي تتضمن الجذر التربيعي لتعبير يتضمن الجذر التربيعي لتعبير آخر إيجاد الحلين لمعادلة تربيعية.

تنص نظرية ديكارت على أنه بالنسبة لكل أربع دوائر متلامسة (متماسة بشكل متبادل)، فإن أنصاف أقطارها تحقق معادلة تربيعية معينة.

يمكن التعبير عن المعادلة التي تنص عليها نظرية فوس ، والتي تربط بين نصف قطر الدائرة الداخلية لشكل رباعي ثنائي المركز ، ونصف قطر الدائرة المحيطة به ، والمسافة بين مركزي هاتين الدائرتين، كمعادلة تربيعية يكون أحد حلولها هو المسافة بين مركزي الدائرتين بدلالة أنصاف أقطارهما. أما الحل الآخر للمعادلة نفسها بدلالة أنصاف الأقطار، فيعطي المسافة بين مركز الدائرة المحيطة ومركز الدائرة الخارجية لشكل رباعي مماس خارجي .

يتم إيجاد النقاط الحرجة للدالة التكعيبية ونقاط الانعطاف للدالة الرباعية عن طريق حل معادلة تربيعية.

في الفيزياء ، بالنسبة للحركة ذات التسارع الثابت $a$ الإزاحة أو الموضع $x$ يمكن التعبير عن تسارع الجسم المتحرك كدالة تربيعية للزمن $t$ بالنظر إلى الوضع الأولي $x_{0}$ والسرعة الابتدائية $v_{0}$ : ${\textstyle x=x_{0}+v_{0}t+{\frac {1}{2}}at^{2}}$ .

في الكيمياء ، يمكن حساب الرقم الهيدروجيني لمحلول حمض ضعيف من اللوغاريتم السالب ذي الأساس 10 للجذر الموجب لمعادلة تربيعية بدلالة ثابت الحموضة والتركيز التحليلي للحمض.

تاريخ

استطاع علماء الرياضيات البابليون ، منذ عام 2000 قبل الميلاد (كما هو موضح على ألواح الطين البابلية القديمة )، حلّ مسائل تربط مساحات وأضلاع المستطيلات. وتشير الأدلة إلى أن هذه الخوارزمية تعود إلى عهد الأسرة الثالثة في أور . ^[¹⁹^] وبالتدوين الحديث، كانت المسائل تتضمن عادةً حلّ معادلتين آنيتين على النحو التالي: $x+y=p,\ \ xy=q,$ وهو ما يعادل القول بأن $x$ و $y$ هما جذرا المعادلة: ^{[ 20 ]}^{: 86} $z^{2}+q=pz.$

كانت الخطوات التي قدمها الكتبة البابليون لحل مسألة المستطيل المذكورة أعلاه، بدلالة $x$ و $y$ ، كما يلي:

احسب نصف قيمة p .
قم بتربيع النتيجة.
اطرح q .
أوجد الجذر التربيعي (الموجب) باستخدام جدول المربعات.
اجمع نتائج الخطوتين (1) و (4) للحصول على قيمة $x$ .

في التدوين الحديث، هذا يعني حساب $x={\frac {p}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}$ ، وهو ما يعادل الصيغة التربيعية الحديثة للجذر الحقيقي الأكبر (إن وجد). $x={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ مع $a = 1$ ، $b = - p$ ، و $c = q$ .

استُخدمت الطرق الهندسية لحل المعادلات التربيعية في بابل ومصر واليونان والصين والهند. تحتوي بردية برلين المصرية ، التي يعود تاريخها إلى عصر الدولة الوسطى (2050 ق.م. إلى 1650 ق.م.)، على حل معادلة تربيعية ذات حدين. ^{[ 21 ]} استخدم علماء الرياضيات البابليون منذ حوالي 400 ق.م. وعلماء الرياضيات الصينيون منذ حوالي 200 ق.م. طرق التجزئة الهندسية لحل المعادلات التربيعية ذات الجذور الموجبة. ^{[ 22 ]}^{[ 23 ]} وُضعت قواعد المعادلات التربيعية في كتاب "الفصول التسعة في الفن الرياضي" ، وهو كتاب صيني في الرياضيات. ^{[ 23 ]}^{[ 24 ]} لا يبدو أن هذه الطرق الهندسية المبكرة كانت تمتلك صيغة عامة. قدّم إقليدس ، عالم الرياضيات اليوناني ، طريقة هندسية أكثر تجريدًا حوالي 300 ق.م. وبنهج هندسي بحت، ابتكر فيثاغورس وإقليدس إجراءً عامًا لإيجاد حلول المعادلة التربيعية. في كتابه "الحساب" ، قام عالم الرياضيات اليوناني ديوفانتوس بحل المعادلة التربيعية، لكنه لم يعطي سوى جذر واحد، حتى عندما كان كلا الجذرين موجبين. ^{[ 25 ]}

في عام 628 ميلادي، قدّم عالم الرياضيات الهندي براهمغوبتا في كتابه "براهمسفوتاسيدانتا" $أول$ حل صريح (وإن لم يكن عامًا تمامًا) للمعادلة التربيعية $ax²$ $+$ $bx$ $=$ $c$ على النحو التالي: "إلى العدد المطلق مضروبًا في أربعة أضعاف معامل المربع، أضف مربع معامل الحد الأوسط؛ الجذر التربيعي لنفس العدد مطروحًا منه معامل الحد الأوسط، مقسومًا على ضعف معامل المربع هو القيمة." ^[²⁶^] وهذا يكافئ $x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}.$ تحتوي مخطوطة باخشالي المكتوبة في الهند في القرن السابع الميلادي على صيغة جبرية لحل المعادلات التربيعية، بالإضافة إلى المعادلات الخطية غير المحددة (في الأصل من النوع $ax / c = y$ ).

وضع محمد بن موسى الخوارزمي (القرن التاسع الميلادي) مجموعة من الصيغ التي تُجدي نفعًا مع الحلول الموجبة. وقد ذهب الخوارزمي أبعد من ذلك، إذ قدّم حلًا كاملًا للمعادلة التربيعية العامة، مُتقبِّلًا حلًا عدديًا واحدًا أو اثنين لكل معادلة تربيعية، مع تقديم براهين هندسية في الوقت نفسه. ^{[ 27 ]} كما وصف طريقة إكمال المربع، وأقرّ بأن المميز يجب أن يكون موجبًا، ^{[ 27 ]}^{[ 28 ]}^{: 230} ، وهو ما أثبته معاصره عبد الحميد بن ترك (آسيا الوسطى، القرن التاسع الميلادي) الذي قدّم أشكالًا هندسية لإثبات أنه إذا كان المميز سالبًا، فلا حل للمعادلة التربيعية. ^{[ 28 ]}^{: 234.} وبينما لم يقبل الخوارزمي نفسه الحلول السالبة، فقد قبلها علماء الرياضيات المسلمون الذين خلفوه، ^{[ 27 ]}^{: 191،} بالإضافة إلى الأعداد غير النسبية كحلول. ^{[ 29 ]} كان أبو كامل شجاع بن أسلم (مصر، القرن العاشر الميلادي) أول من قبل الأعداد غير النسبية (غالباً في صورة جذر تربيعي أو جذر تكعيبي أو جذر رابع ) كحلول للمعادلات التربيعية أو كمعاملات في المعادلة. ^{[ 30 ]} وضع عالم الرياضيات الهندي سريدهارا، في القرن التاسع الميلادي، قواعد لحل المعادلات التربيعية. ^{[ 31 ]}

ألف عالم الرياضيات اليهودي أبراهام بار حيا هاناسي (القرن الثاني عشر، إسبانيا) أول كتاب أوروبي يتضمن الحل الكامل للمعادلة التربيعية العامة. ^{[ 32 ]} وقد استند حله إلى حد كبير على أعمال الخوارزمي. ^{[ 27 ]} ويُعد كتاب عالم الرياضيات الصيني يانغ هوي (1238-1298 م) أول كتاب معروف تظهر فيه المعادلات التربيعية ذات المعاملات السالبة لـ 'س'، على الرغم من أنه ينسب ذلك إلى ليو يي السابق . ^{[ 33 ]} وبحلول عام 1545، جمع جيرولامو كاردانو الأعمال المتعلقة بالمعادلات التربيعية. وقد حصل سيمون ستيفن على الصيغة التربيعية التي تغطي جميع الحالات لأول مرة عام 1594. ^{[ 34 ]} وفي عام 1637، نشر رينيه ديكارت كتابه "الهندسة " (La Géométrie) الذي يحتوي على الصيغة التربيعية بالشكل الذي نعرفه اليوم.

مواضيع متقدمة

طرق بديلة لحساب الجذر

وصفات فييتا

صيغ فييتا (التي سميت على اسم فرانسوا فييت ) هي العلاقات $x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}$ العلاقة بين جذور كثيرة الحدود التربيعية ومعاملاتها. وتنتج هذه العلاقة من مقارنة كل حد على حدة. $\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)=x^{2}-\left(x_{1}+x_{2}\right)x+x_{1}x_{2}=0$ باستخدام المعادلة $x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0.$

تُفيد صيغة فييتا الأولى في رسم الدالة التربيعية. ولأن الرسم البياني متناظر حول خط رأسي يمر بالرأس ، فإن الإحداثي $السيني$ للرأس يقع عند متوسط الجذرين (أو نقاط التقاطع). وبالتالي، فإن الإحداثي $السيني$ للرأس هو $x_{V}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}=-{\frac {b}{2a}}.$ يمكن الحصول على الإحداثي $y$ عن طريق استبدال النتيجة أعلاه في المعادلة التربيعية المعطاة، مما يعطي $y_{V}=-{\frac {b^{2}}{4a}}+c=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}.$ كما يمكن استنتاج هذه الصيغ الخاصة بالرأس مباشرة من الصيغة (انظر إكمال المربع ). $ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}.$

$في الحسابات العددية ،$ تُوفّر صيغ فييتا طريقةً مفيدةً لإيجاد جذور المعادلة التربيعية في حالة كون أحد الجذرين أصغر بكثير من الآخر. إذا كان $|$ $x₂ | < x₁ | < x₁ | ،$ فإن $x₁ + x₂ \approx x₁ ،$ وبالتالي نحصل على التقدير التالي $:$ $x_{1}\approx -{\frac {b}{a}}.$ ثم تُقدّم صيغة فييتا الثانية ما يلي: $x_{2}={\frac {c}{ax_{1}}}\approx -{\frac {c}{b}}.$ تُعدّ هذه الصيغ أسهل بكثير في التقييم من الصيغة التربيعية في حالة وجود جذر كبير وجذر صغير، لأن الصيغة التربيعية تُقيّم الجذر الصغير على أنه الفرق بين عددين متقاربين جدًا (في حالة قيمة $b$ الكبيرة )، مما يُسبب خطأ تقريب في التقييم العددي. يُظهر الشكل الفرق بين (أ) التقييم المباشر باستخدام الصيغة التربيعية (دقيق عندما تكون قيم الجذرين متقاربة) و(ب) التقييم القائم على تقريب صيغ فييتا المذكورة أعلاه (دقيق عندما تكون قيم الجذرين متباعدة). مع ازدياد قيمة المعامل الخطي $b$ ، تكون الصيغة التربيعية دقيقة في البداية، وتتحسن دقة الصيغة التقريبية، مما يؤدي إلى تقليل الفرق بين الطريقتين مع ازدياد قيمة $b$ . مع ذلك، عند نقطة معينة، تبدأ الصيغة التربيعية بفقدان دقتها بسبب خطأ التقريب، بينما تستمر الطريقة التقريبية في التحسن. بالتالي، يبدأ الفرق بين الطريقتين بالازدياد مع تدهور دقة الصيغة التربيعية.

تنشأ هذه الحالة بشكل شائع في تصميم المضخمات، حيث يُفضل وجود جذور متباعدة على نطاق واسع لضمان التشغيل المستقر (انظر استجابة الخطوة ).

الحل المثلثي

في الأيام التي سبقت اختراع الآلات الحاسبة، كان الناس يستخدمون الجداول الرياضية - وهي قوائم أرقام تُظهر نتائج العمليات الحسابية بمتغيرات مختلفة - لتبسيط العمليات الحسابية وتسريعها. وكانت جداول اللوغاريتمات والدوال المثلثية شائعة في كتب الرياضيات والعلوم. كما نُشرت جداول متخصصة لتطبيقات مثل علم الفلك والملاحة الفلكية والإحصاء. وظهرت طرق للتقريب العددي، تُسمى "التقريب الأولي" ، تُقدم اختصارات للعمليات الحسابية المُستهلكة للوقت، مثل الضرب وحساب الأسس والجذور. ^{[ 35 ]} وكان علماء الفلك، على وجه الخصوص، مهتمين بالطرق التي تُسرّع سلسلة العمليات الحسابية الطويلة المُتضمنة في حسابات الميكانيكا السماوية .

في هذا السياق، يمكننا فهم تطور وسائل حل المعادلات التربيعية باستخدام التعويض المثلثي . لننظر إلى الشكل البديل التالي للمعادلة التربيعية،

ax^{2}+bx\pm c=0,

1

حيث يتم اختيار إشارة الرمز ± بحيث يمكن أن تكون كل من $a$ و $c$ موجبة. عن طريق الاستبدال

x={\textstyle {\sqrt {c/a}}}\tan \theta

2

ثم بضرب الطرفين في $cos 2 (θ) / c$ ، نحصل على

\sin ^{2}\theta +{\frac {b}{\sqrt {ac}}}\sin \theta \cos \theta \pm \cos ^{2}\theta =0.

3

بإدخال دوال $2θ$ وإعادة الترتيب، نحصل $على$

\tan 2\theta _{n}=+2{\frac {\sqrt {ac}}{b}},

4

\sin 2\theta _{p}=-2{\frac {\sqrt {ac}}{b}},

5

$حيث يشير$ الرمزان السفليان $n$ و $p$ ، على التوالي، إلى استخدام إشارة سالبة أو موجبة في المعادلة [1] . وبتعويض قيمتي $θn أو$ $θp$ المُستخرجتين من المعادلتين [4] أو [5] في المعادلة [2] ، نحصل على الجذور المطلوبة للمعادلة [1] . تظهر الجذور المركبة في الحل المُستند إلى المعادلة [5] إذا تجاوزت القيمة المطلقة لـ $sin²θp الواحد. وقد كان الجهد المبذول في حل المعادلات التربيعية باستخدام هذه الاستراتيجية المُختلطة للبحث في الجداول المثلثية واللوغاريتمية$ ثلثي الجهد المبذول باستخدام الجداول اللوغاريتمية وحدها. ^{[ 36 ]} ويتطلب حساب الجذور المركبة استخدام صيغة مثلثية مختلفة. ^{[ 37 ]}

على سبيل المثال، لنفترض أن لدينا جداول لوغاريتمية ومثلثية متاحة بسبعة أرقام معنوية، ونرغب في حل المسألة التالية بدقة ستة أرقام معنوية: $4.16130x^{2}+9.15933x-11.4207=0$

قد يحتوي جدول البحث المكون من سبعة أماكن على 100000 مدخل فقط، وعادة ما يتطلب حساب النتائج الوسيطة إلى سبعة أماكن الاستيفاء بين المدخلات المتجاورة.
$\log a=0.6192290,\log b=0.9618637,\log c=1.0576927$
$2{\sqrt {ac}}/b=2\times 10^{(0.6192290+1.0576927)/2-0.9618637}=1.505314$
$\theta =(\tan ^{-1}1.505314)/2=28.20169^{\circ }{\text{ or }}-61.79831^{\circ }$
$\log |\tan \theta |=-0.2706462{\text{ or }}0.2706462$
$\log {\textstyle {\sqrt {c/a}}}=(1.0576927-0.6192290)/2=0.2192318$
$x_{1}=10^{0.2192318-0.2706462}=0.888353$ (مقربة إلى ستة أرقام معنوية) $x_{2}=-10^{0.2192318+0.2706462}=-3.08943$

حلول الجذور المركبة في الإحداثيات القطبية

إذا كانت المعادلة التربيعية $ax^{2}+bx+c=0$ للمعادلة ذات المعاملات الحقيقية جذران مركبان - الحالة التي $b^{2}-4ac<0,$ يتطلب الأمر أن يكون لـ a و c نفس الإشارة - عندئذ يمكن التعبير عن حلول الجذور في شكل قطبي على النحو التالي ^{[ 38 ].}

$x_{1},\,x_{2}=r(\cos \theta \pm i\sin \theta ),$

أين $r={\sqrt {\tfrac {c}{a}}}$ و $\theta =\cos ^{-1}\left({\tfrac {-b}{2{\sqrt {ac}}}}\right).$

الحل الهندسي

يمكن حل المعادلة التربيعية هندسيًا بعدة طرق. إحدى هذه الطرق هي طريقة ليل . تُرسَم المعاملات الثلاثة $a$ و $b$ و $c$ بزوايا قائمة بينها كما في SA و AB و BC في الشكل 6. تُرسَم دائرة يكون قطرها SC. إذا قطعت هذه الدائرة الخط الأوسط AB، فإن للمعادلة حلًا، ويُعطى هذا الحل بسالب المسافة على طول هذا الخط من A مقسومًا على المعامل الأول $a$ أو SA. إذا كان $a$ $يساوي 1،$ فيمكن قراءة المعاملات مباشرةً. وبالتالي، فإن الحلول في الشكل هي −AX1 /SA و −AX2 /SA. ^{[ 39 ]}

دائرة كارلايل للمعادلة التربيعية x ²− sx + p = 0.

تتميز دائرة كارلايل ، التي سُميت نسبةً إلى توماس كارلايل ، بخاصية أن حلول المعادلة التربيعية هي الإحداثيات الأفقية لنقاط تقاطع الدائرة مع المحور الأفقي . ^{[ 40 ]} وقد استُخدمت دوائر كارلايل لتطوير إنشاءات هندسية للمضلعات المنتظمة باستخدام المسطرة والفرجار .

تعميم المعادلة التربيعية

تظل الصيغة واشتقاقها صحيحة إذا كانت المعاملات $a$ و $b$ و $c$ أعدادًا مركبة ، أو بشكل عام عناصر من أي حقل لا تكون خاصيته $2. (في حقل ذي$ خاصية 2، يكون العنصر $2a يساوي صفرًا$ $،$ ومن المستحيل القسمة عليه).

الرمز $\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}$ يُفهم من الصيغة أن "أي من العنصرين اللذين مربعهما يساوي $b²$ $- 4ac ،$ إن وُجدا". في بعض الحقول، لا تحتوي بعض العناصر على جذور تربيعية، بينما تحتوي عناصر أخرى على جذرين تربيعيين؛ الصفر فقط له جذر تربيعي واحد، باستثناء الحقول ذات الخاصية $2.$ $حتى$ لو لم يحتوي حقل ما على جذر تربيعي لعدد ما، فإنه يوجد دائمًا حقل امتداد تربيعي يحتوي عليه، وبالتالي ستكون الصيغة التربيعية منطقية دائمًا كصيغة في حقل الامتداد هذا.

الخاصية الثانية

في حقل ذي خاصية $2$ ، لا تصح الصيغة التربيعية التي تعتمد على كون $2$ وحدة . لننظر إلى متعددة الحدود التربيعية أحادية المعامل $x^{2}+bx+c$ على حقل ذي خاصية $2.$ إذا كانت $b = 0$ ، فإن الحل يختزل إلى استخراج الجذر التربيعي، وبالتالي يكون الحل هو $x={\sqrt {c}}$ ولا يوجد سوى جذر واحد لأن $-{\sqrt {c}}=-{\sqrt {c}}+2{\sqrt {c}}={\sqrt {c}}.$ في ملخص، $\displaystyle x^{2}+c=(x+{\sqrt {c}})^{2}.$ انظر إلى البقايا التربيعية لمزيد من المعلومات حول استخراج الجذور التربيعية في الحقول المنتهية.

في حالة $b \neq 0$ ، يوجد جذران مختلفان، ولكن إذا كانت كثيرة الحدود غير قابلة للاختزال ، فلا يمكن التعبير عنهما بدلالة الجذور التربيعية لأعداد في حقل المعاملات. بدلاً من ذلك، نُعرّف الجذر الثنائي $R (c)$ للمعادلة $c$ بأنه جذر لكثيرة الحدود $x² + x + c$ ، وهو عنصر من حقل تجزئة تلك كثيرة الحدود. يمكن التحقق من أن $R$ $(c) + 1$ هو أيضًا جذر. من حيث عملية الجذر الثنائي، فإن جذري المعادلة التربيعية (غير الأحادية $)$ $ax² + bx + c$ هما ${\frac {b}{a}}R\left({\frac {ac}{b^{2}}}\right)$ و ${\frac {b}{a}}\left(R\left({\frac {ac}{b^{2}}}\right)+1\right).$

على سبيل المثال، لنفترض أن $a$ يمثل مولدًا ضربيًا لمجموعة الوحدات في $F₄$ ، وهو $حقل$ غالوا من الرتبة الرابعة (وبالتالي فإن $a$ و $a + 1$ هما جذران للمعادلة $x² + x + 1$ على $F₄$ $)$ . ولأن $(a + 1) ² = a$ ، $فإن$ $a + 1$ هو الحل الوحيد للمعادلة التربيعية $x² + a = 0.$ من جهة أخرى، فإن كثيرة الحدود $x²$ $+$ $ax$ $+$ 1 $غير$ قابلة للاختزال على $F₄$ $، ولكنها$ تنقسم على $F₁₆ ،$ حيث لها الجذران $ab$ و $ab + a$ ، حيث $b$ هو جذر للمعادلة $x² + x + a$ $في$ $F₁₆$ $.$

هذه حالة خاصة من نظرية آرتين-شراير .

انظر أيضاً

مراجع

↑ تشارلز ب. ماكيك (2014). الجبر المتوسط مع حساب المثلثات ( طبعة معاد طباعتها). دار النشر الأكاديمية. ص 219. ISBN 978-1-4832-1875-5.مقتطف من الصفحة 219
↑ بروترز وموري: "حساب التفاضل والتكامل والهندسة التحليلية. الدورة الأولى".
↑ مراجعة برينستون (2020). مراجعة برينستون للتحضير لاختبار SAT، 2021: 5 اختبارات تدريبية + مراجعة وتقنيات + أدوات عبر الإنترنت . كتب راندوم هاوس للأطفال. ص 360. ISBN 978-0-525-56974-9.مقتطف من الصفحة 360
↑ ديفيد مومفورد ؛ سلسلة كارولين؛ ديفيد رايت (2002). لآلئ إندرا: رؤية فيليكس كلاين (طبعة مصورة، معاد طباعتها ). مطبعة جامعة كامبريدج. ص 37. ISBN 978-0-521-35253-6.مقتطف من الصفحة 37
↑ كتاب موارد المعلمين في الرياضيات التطبيقية 4ب ( طبعة مصورة). نيلسون ثورنز. 1996. ص 26. ISBN 978-0-17-431439-4.مقتطف من الصفحة 26
1 2 3 واشنطن، ألين ج. (2000). الرياضيات التقنية الأساسية مع حساب التفاضل والتكامل، الطبعة السابعة . أديسون ويسلي لونجمان، المحدودة. ISBN 978-0-201-35666-3.
↑ إيبينغهاوس، هاينز-ديتر؛ إيوينغ، جون هـ. (1991)، الأعداد ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد 123، سبرينغر، ص 77، ISBN 9780387974972.
↑ ستيرلينغ، ماري جين (2010)، الجبر 1 للمبتدئين ، دار نشر وايلي، ص 219، رقم ISBN 978-0-470-55964-2
↑ ريتش، بارنيت؛ شميدت، فيليب (2004)، ملخص شوم لنظرية ومسائل الجبر الابتدائي ، شركة ماكجرو هيل، رقم ISBN 978-0-07-141083-0، الفصل 13 §4.4، ص 291
↑ هيموناس، أليكس. حساب التفاضل والتكامل للأعمال والعلوم الاجتماعية ، ص 64 (منشورات ريتشارد دينيس، 2001).
1 2 كاهان، ويليام (20 نوفمبر 2004)، حول تكلفة حسابات الفاصلة العائمة بدون حسابات دقيقة للغاية (ملف PDF) ، تم استرجاعه في 25 ديسمبر 2012
↑ ألينيتسين، ألكسندر وبوتيكوف، يفغيني. دليل موجز في الرياضيات والفيزياء ، ص 38 (دار نشر CRC 1997)
↑ Δ هو الحرف الأول منالكلمة اليونانية Δ ιακρίνουσα، Diakrínousa ، مميز.
↑ أتشاتز، توماس؛ أندرسون، جون ج.؛ ماكنزي، كاثلين (2005). الرياضيات الفنية للورش . دار النشر الصناعية. ص 277. ISBN 978-0-8311-3086-2.
↑ "الجذور المعقدة أصبحت مرئية - حقائق رياضية ممتعة" . تم الاطلاع عليه في 1 أكتوبر 2016 .
↑ وارتون، ب. (2006). أساسيات منهج إدكسل للرياضيات العامة/المستوى العالي . لونسديل. ص 63. ISBN 978-1-905-129-78-2.
↑ أليك نورتون، بنجامين لوتو (يونيو 1984)، "الجذور المركبة المرئية"، مجلة الرياضيات الجامعية ، 15 (3): 248-249 ، doi : 10.2307/2686333 ، JSTOR 2686333
↑ هايام، نيكولاس (2002)، دقة واستقرار الخوارزميات العددية ( الطبعة الثانية)، SIAM، ص 10، ISBN 978-0-89871-521-7
^ فريبيرج، يوران (2009). "خوارزمية هندسية مع حلول المعادلات التربيعية في وثيقة فقهية سومرية من أور الثالثة الأمة" . مجلة المكتبة الرقمية المسمارية . 3 .
↑ ستيلويل، جون (2004). الرياضيات وتاريخها (الطبعة الثانية) . سبرينغر. ISBN 978-0-387-95336-6.
↑ تاريخ كامبريدج القديم، الجزء الثاني: التاريخ المبكر للشرق الأوسط . مطبعة جامعة كامبريدج. 1971. ص 530. ISBN 978-0-521-07791-0.
↑ هندرسون، ديفيد و. "الحلول الهندسية للمعادلات التربيعية والتكعيبية" . قسم الرياضيات، جامعة كورنيل . تم الاطلاع عليه بتاريخ 28 أبريل 2013 .
1 2 أيتكن، واين. "كتاب صيني كلاسيكي: الفصول التسعة" (ملف PDF) . قسم الرياضيات، جامعة ولاية كاليفورنيا . تم الاطلاع عليه بتاريخ 28 أبريل 2013 .
↑ سميث، ديفيد يوجين (1958). تاريخ الرياضيات . منشورات كوريير دوفر. ص 380. ISBN 978-0-486-20430-7.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
↑ سميث، ديفيد يوجين (1958). تاريخ الرياضيات، المجلد 1. منشورات كوريير دوفر. ص 134. ISBN 978-0-486-20429-1.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة ) مقتطف من الصفحة 134
↑ براهماسبوتاسيدانتا، ترجمة كولبروك، 1817، صفحة 346؛ نقلاً عن ستيلويل، جون (2010). الرياضيات وتاريخها (الطبعة الثالثة) . نصوص جامعية في الرياضيات. سبرينغر. ص 93. doi : 10.1007/978-1-4419-6053-5 . ISBN 978-0-387-95336-6.
1 2 3 4 كاتز، في جيه ؛ بارتون، بي. (2006). "مراحل في تاريخ الجبر وآثارها على التدريس". دراسات تربوية في الرياضيات . 66 (2): 185-201 . doi : 10.1007/s10649-006-9023-7 . S2CID 120363574 .
1 2 بوير، كارل ب. (1991). ميرزباخ، أوتا سي. (محرر). تاريخ الرياضيات . جون وايلي وأولاده، شركة. ISBN 978-0-471-54397-8.
↑ أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف (1999)، "الرياضيات العربية: تألق منسي؟" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز "كان علم الجبر نظرية موحدة سمحت بمعاملة الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية والمقادير الهندسية وما إلى ذلك على أنها "كائنات جبرية".
↑ جاك سيسيانو، "الرياضيات الإسلامية"، ص. 148, في سيلين, هيلين ; دامبروسيو، أوبيراتان ، محرران. (2000)، الرياضيات عبر الثقافات: تاريخ الرياضيات غير الغربية ، سبرينغر ، ISBN 978-1-4020-0260-1
↑ سميث، ديفيد يوجين (1958). تاريخ الرياضيات . منشورات كوريير دوفر. ص 280. ISBN 978-0-486-20429-1.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
↑ ليفيو، ماريو (2006). المعادلة التي لم يكن بالإمكان حلها . سايمون وشوستر. ISBN 978-0743258210.
↑ رونان، كولين (1985). العلوم والحضارة المختصرة في الصين . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 15. ISBN 978-0-521-31536-4.
↑ ستريك، دي جيه ؛ ستيفن، سيمون (1958)، الأعمال الرئيسية لسيمون ستيفن، الرياضيات (ملف PDF) ، المجلد الثاني - ب، CV Swets & Zeitlinger، ص 470، مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 24-02-2021 ، تم استرجاعه بتاريخ 24-10-2012
↑ باليو، بات. "حل المعادلات التربيعية - بالطرق التحليلية والبيانية؛ بما في ذلك عدة طرق ربما لم ترها من قبل" (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل في 9 أبريل 2011. تم الاطلاع عليه في 18 أبريل 2013 .
↑ سيرز، إف إتش (1945). "الحل المثلثي للمعادلة التربيعية" . منشورات الجمعية الفلكية للمحيط الهادئ . 57 (339): 307-309 . رمز Bibcode : 1945PASP...57..307S . doi : 10.1086/125759 .
↑ أود، إتش تي آر (1938). "حلول المعادلة التربيعية المُستنتجة باستخدام حساب المثلثات". مجلة الرياضيات الوطنية . 13 (3): 118-121 . doi : 10.2307/3028750 . JSTOR 3028750 .
↑ سيمونز، ستيوارت، "نهج بديل للجذور المعقدة للمعادلات التربيعية الحقيقية"، المجلة الرياضية 93، مارس 2009، 91-92.
↑ بيكسبي، ويليام هربرت (1879)، طريقة بيانية لإيجاد الجذور الحقيقية للمعادلات العددية من أي درجة بسهولة ، ويست بوينت، نيويورك
↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "دائرة كارلايل" . من ماث وورلد - مورد ويب من وولفرام . تم الاسترجاع في 21 مايو 2013 .

روابط خارجية

"المعادلة التربيعية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
وايسشتاين، إريك دبليو. "المعادلات التربيعية" . عالم الرياضيات .
101 استخدامًا للمعادلة التربيعية ( مؤرشف بتاريخ 10 نوفمبر 2007 في أرشيف الإنترنت)
101 استخدامًا للمعادلة التربيعية: الجزء الثاني ( مؤرشف بتاريخ 22 أكتوبر 2007 في أرشيف الإنترنت)

[1] تشارلز ب. ماكيك (2014). الجبر المتوسط مع حساب المثلثات ( طبعة معاد طباعتها). دار النشر الأكاديمية. ص 219. ISBN 978-1-4832-1875-5.مقتطف من الصفحة 219

[2] بروترز وموري: "حساب التفاضل والتكامل والهندسة التحليلية. الدورة الأولى".

[3] مراجعة برينستون (2020). مراجعة برينستون للتحضير لاختبار SAT، 2021: 5 اختبارات تدريبية + مراجعة وتقنيات + أدوات عبر الإنترنت . كتب راندوم هاوس للأطفال. ص 360. ISBN 978-0-525-56974-9.مقتطف من الصفحة 360

[4] ديفيد مومفورد ؛ سلسلة كارولين؛ ديفيد رايت (2002). لآلئ إندرا: رؤية فيليكس كلاين (طبعة مصورة، معاد طباعتها ). مطبعة جامعة كامبريدج. ص 37. ISBN 978-0-521-35253-6.مقتطف من الصفحة 37

[5] كتاب موارد المعلمين في الرياضيات التطبيقية 4ب ( طبعة مصورة). نيلسون ثورنز. 1996. ص 26. ISBN 978-0-17-431439-4.مقتطف من الصفحة 26

[Washington2000-6] 1 2 3 واشنطن، ألين ج. (2000). الرياضيات التقنية الأساسية مع حساب التفاضل والتكامل، الطبعة السابعة . أديسون ويسلي لونجمان، المحدودة. ISBN 978-0-201-35666-3.

[7] إيبينغهاوس، هاينز-ديتر؛ إيوينغ، جون هـ. (1991)، الأعداد ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد 123، سبرينغر، ص 77، ISBN 9780387974972.

[8] ستيرلينغ، ماري جين (2010)، الجبر 1 للمبتدئين ، دار نشر وايلي، ص 219، رقم ISBN 978-0-470-55964-2

[9] ريتش، بارنيت؛ شميدت، فيليب (2004)، ملخص شوم لنظرية ومسائل الجبر الابتدائي ، شركة ماكجرو هيل، رقم ISBN 978-0-07-141083-0، الفصل 13 §4.4، ص 291

[10] هيموناس، أليكس. حساب التفاضل والتكامل للأعمال والعلوم الاجتماعية ، ص 64 (منشورات ريتشارد دينيس، 2001).

[kahan-11] 1 2 كاهان، ويليام (20 نوفمبر 2004)، حول تكلفة حسابات الفاصلة العائمة بدون حسابات دقيقة للغاية (ملف PDF) ، تم استرجاعه في 25 ديسمبر 2012

[12] ألينيتسين، ألكسندر وبوتيكوف، يفغيني. دليل موجز في الرياضيات والفيزياء ، ص 38 (دار نشر CRC 1997)

[13] Δ هو الحرف الأول منالكلمة اليونانية Δ ιακρίνουσα، Diakrínousa ، مميز.

[14] أتشاتز، توماس؛ أندرسون، جون ج.؛ ماكنزي، كاثلين (2005). الرياضيات الفنية للورش . دار النشر الصناعية. ص 277. ISBN 978-0-8311-3086-2.

[15] "الجذور المعقدة أصبحت مرئية - حقائق رياضية ممتعة" . تم الاطلاع عليه في 1 أكتوبر 2016 .

[16] وارتون، ب. (2006). أساسيات منهج إدكسل للرياضيات العامة/المستوى العالي . لونسديل. ص 63. ISBN 978-1-905-129-78-2.

[Norton1984-17] أليك نورتون، بنجامين لوتو (يونيو 1984)، "الجذور المركبة المرئية"، مجلة الرياضيات الجامعية ، 15 (3): 248-249 ، doi : 10.2307/2686333 ، JSTOR 2686333

[Higham2002-18] هايام، نيكولاس (2002)، دقة واستقرار الخوارزميات العددية ( الطبعة الثانية)، SIAM، ص 10، ISBN 978-0-89871-521-7

[Friberg2009-19] فريبيرج، يوران (2009). "خوارزمية هندسية مع حلول المعادلات التربيعية في وثيقة فقهية سومرية من أور الثالثة الأمة" . مجلة المكتبة الرقمية المسمارية . 3 .

[Stillwell2004-20] ستيلويل، جون (2004). الرياضيات وتاريخها (الطبعة الثانية) . سبرينغر. ISBN 978-0-387-95336-6.

[21] تاريخ كامبريدج القديم، الجزء الثاني: التاريخ المبكر للشرق الأوسط . مطبعة جامعة كامبريدج. 1971. ص 530. ISBN 978-0-521-07791-0.

[Henderson-22] هندرسون، ديفيد و. "الحلول الهندسية للمعادلات التربيعية والتكعيبية" . قسم الرياضيات، جامعة كورنيل . تم الاطلاع عليه بتاريخ 28 أبريل 2013 .

[Aitken-23] 1 2 أيتكن، واين. "كتاب صيني كلاسيكي: الفصول التسعة" (ملف PDF) . قسم الرياضيات، جامعة ولاية كاليفورنيا . تم الاطلاع عليه بتاريخ 28 أبريل 2013 .

[24] سميث، ديفيد يوجين (1958). تاريخ الرياضيات . منشورات كوريير دوفر. ص 380. ISBN 978-0-486-20430-7.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )

[25] سميث، ديفيد يوجين (1958). تاريخ الرياضيات، المجلد 1. منشورات كوريير دوفر. ص 134. ISBN 978-0-486-20429-1.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة ) مقتطف من الصفحة 134

[26] براهماسبوتاسيدانتا، ترجمة كولبروك، 1817، صفحة 346؛ نقلاً عن ستيلويل، جون (2010). الرياضيات وتاريخها (الطبعة الثالثة) . نصوص جامعية في الرياضيات. سبرينغر. ص 93. doi : 10.1007/978-1-4419-6053-5 . ISBN 978-0-387-95336-6.

[Katz2007-27] 1 2 3 4 كاتز، في جيه ؛ بارتون، بي. (2006). "مراحل في تاريخ الجبر وآثارها على التدريس". دراسات تربوية في الرياضيات . 66 (2): 185-201 . doi : 10.1007/s10649-006-9023-7 . S2CID 120363574 .

[Boyer1991-28] 1 2 بوير، كارل ب. (1991). ميرزباخ، أوتا سي. (محرر). تاريخ الرياضيات . جون وايلي وأولاده، شركة. ISBN 978-0-471-54397-8.

[29] أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف (1999)، "الرياضيات العربية: تألق منسي؟" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز "كان علم الجبر نظرية موحدة سمحت بمعاملة الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية والمقادير الهندسية وما إلى ذلك على أنها "كائنات جبرية".

[30] جاك سيسيانو، "الرياضيات الإسلامية"، ص. 148, في سيلين, هيلين ; دامبروسيو، أوبيراتان ، محرران. (2000)، الرياضيات عبر الثقافات: تاريخ الرياضيات غير الغربية ، سبرينغر ، ISBN 978-1-4020-0260-1

[31] سميث، ديفيد يوجين (1958). تاريخ الرياضيات . منشورات كوريير دوفر. ص 280. ISBN 978-0-486-20429-1.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )

[Livio2006-32] ليفيو، ماريو (2006). المعادلة التي لم يكن بالإمكان حلها . سايمون وشوستر. ISBN 978-0743258210.

[Ron-33] رونان، كولين (1985). العلوم والحضارة المختصرة في الصين . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 15. ISBN 978-0-521-31536-4.

[34] ستريك، دي جيه ؛ ستيفن، سيمون (1958)، الأعمال الرئيسية لسيمون ستيفن، الرياضيات (ملف PDF) ، المجلد الثاني - ب، CV Swets & Zeitlinger، ص 470، مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 24-02-2021 ، تم استرجاعه بتاريخ 24-10-2012

[Ballew2007-35] باليو، بات. "حل المعادلات التربيعية - بالطرق التحليلية والبيانية؛ بما في ذلك عدة طرق ربما لم ترها من قبل" (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل في 9 أبريل 2011. تم الاطلاع عليه في 18 أبريل 2013 .

[Seares1945-36] سيرز، إف إتش (1945). "الحل المثلثي للمعادلة التربيعية" . منشورات الجمعية الفلكية للمحيط الهادئ . 57 (339): 307-309 . رمز Bibcode : 1945PASP...57..307S . doi : 10.1086/125759 .

[Aude1938-37] أود، إتش تي آر (1938). "حلول المعادلة التربيعية المُستنتجة باستخدام حساب المثلثات". مجلة الرياضيات الوطنية . 13 (3): 118-121 . doi : 10.2307/3028750 . JSTOR 3028750 .

[38] سيمونز، ستيوارت، "نهج بديل للجذور المعقدة للمعادلات التربيعية الحقيقية"، المجلة الرياضية 93، مارس 2009، 91-92.

[39] بيكسبي، ويليام هربرت (1879)، طريقة بيانية لإيجاد الجذور الحقيقية للمعادلات العددية من أي درجة بسهولة ، ويست بوينت، نيويورك

[Wolfram-40] وايسشتاين، إريك دبليو. "دائرة كارلايل" . من ماث وورلد - مورد ويب من وولفرام . تم الاسترجاع في 21 مايو 2013 .

[

[ 2 ]

[ 3 ].

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[

[ 8 ]

[ 9 ]

] من السهل

11 ] حيث

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 37 ]

[ 38 ].

[ 39 ]

[ 40 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗