تمثيل جماعة كاذبة

التمثيل المعقد لمجموعة ما هو فعل تقوم به المجموعة على فضاء متجهي محدود الأبعاد فوق الحقل${\displaystyle \mathbb {C} }$تمثيل لمجموعة لي G ، التي تعمل على فضاء متجهي V ذي n بُعد .${\displaystyle \mathbb {C} }$إذن يكون تشاكل زمرة أملس

${\displaystyle \Pi :G\rightarrow \operatorname {GL} (V)}$،

أين${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$هي المجموعة الخطية العامة لجميع التحويلات الخطية القابلة للعكس لـ${\displaystyle V}$تحت تركيبها. بما أن جميع الفضاءات ذات الأبعاد n متماثلة، فإن المجموعة${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$يمكن تحديدها مع مجموعة الأعداد المركبة القابلة للعكس${\displaystyle n\times n}$المصفوفات، وتسمى عمومًا${\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} ).}$سلاسة الخريطة${\displaystyle \Pi }$يمكن اعتبار ذلك مسألة تقنية، حيث أن أي تماثل مستمر سيكون تلقائيًا سلسًا. ^{[ 1 ]}

يمكننا بدلاً من ذلك وصف تمثيل زمرة لي${\displaystyle G}$كفعل خطي لـ${\displaystyle G}$في فضاء متجهي${\displaystyle V}$. من الناحية الرمزية، سنكتب حينها${\displaystyle g\cdot v}$بدلاً من${\displaystyle \Pi (g)v}$بالنسبة لطريقة عنصر المجموعة${\displaystyle g\in G}$يؤثر على المتجه${\displaystyle v\in V}$.

من الأمثلة النموذجية التي تظهر فيها التمثيلات في الفيزياء دراسة معادلة تفاضلية جزئية خطية ذات مجموعة تناظر${\displaystyle G}$على الرغم من أن الحلول الفردية للمعادلة قد لا تكون ثابتة تحت تأثير${\displaystyle G}$، المساحة${\displaystyle V}$جميع الحلول ثابتة تحت تأثير${\displaystyle G}$. هكذا،${\displaystyle V}$يشكل تمثيلاً لـ${\displaystyle G}$انظر مثال SO(3)، الذي تمت مناقشته أدناه.

إذا كان التشاكل${\displaystyle \Pi }$إذا كان التمثيل أحادي الشكل (أي أحادي الشكل )، فإنه يقال إنه أمين .

إذا تم اختيار أساس للفضاء المتجهي المركب V ، فيمكن التعبير عن التمثيل على أنه تشاكل في مجموعة خطية عامة${\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}$يُعرف هذا باسم التمثيل المصفوفي . يكون تمثيلان لـ G على الفضاءات المتجهة V و W متكافئين إذا كان لهما نفس التمثيل المصفوفي بالنسبة لبعض اختيارات الأساس لـ V و W.

بالنظر إلى التمثيل${\displaystyle \Pi :G\rightarrow \operatorname {GL} (V)}$نقول إن الفضاء الجزئي W من V هو فضاء جزئي ثابت إذا${\displaystyle \Pi (g)w\in W}$للجميع${\displaystyle g\in G}$و${\displaystyle w\in W}$يُقال إن التمثيل غير قابل للاختزال إذا كانت الفضاءات الجزئية الثابتة الوحيدة لـ V هي الفضاء الصفري و V نفسها. بالنسبة لأنواع معينة من زمر لي، وتحديدًا الزمر المدمجة ^{[ 2 ]} والزمر شبه البسيطة ^{[ 3 ]} ، يتحلل كل تمثيل محدود الأبعاد إلى مجموع مباشر من التمثيلات غير القابلة للاختزال، وهي خاصية تُعرف باسم الاختزال الكامل. بالنسبة لهذه الزمر، يتمثل أحد الأهداف النموذجية لنظرية التمثيل في تصنيف جميع التمثيلات غير القابلة للاختزال محدودة الأبعاد للزمرة المعطاة، حتى التشاكل. (انظر قسم التصنيف أدناه).

يتم تعريف التمثيل الوحدوي على فضاء الضرب الداخلي ذي الأبعاد المحدودة بنفس الطريقة، باستثناء أن${\displaystyle \Pi }$يُشترط أن يتم الربط بمجموعة المؤثرات الوحدوية . إذا كانت G زمرة لي متراصة ، فإن كل تمثيل محدود الأبعاد يكون مكافئًا لتمثيل وحدوي. ^{[ 2 ]}

كل تمثيل لمجموعة لي G يُنتج تمثيلاً لجبر لي الخاص بها؛ وتُناقش هذه العلاقة بالتفصيل في الأقسام اللاحقة. انظر تمثيل جبر لي لنظرية جبر لي.

مجموعة الدوران SO(3) هي مجموعة لي متراصة، وبالتالي فإن كل تمثيل محدود الأبعاد لـ SO(3) يتحلل إلى مجموع مباشر لتمثيلات غير قابلة للاختزال. تحتوي المجموعة SO(3) على تمثيل غير قابل للاختزال واحد في كل بُعد فردي. ^{[ 4 ]} لكل عدد صحيح غير سالب${\displaystyle k}$التمثيل غير القابل للاختزال للبعد${\displaystyle 2k+1}$يمكن تحقيق ذلك من خلال الفضاء${\displaystyle V_{k}}$كثيرات الحدود التوافقية المتجانسة على${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$درجة علمية${\displaystyle k}$[ ^{5 ] هنا، يؤثر SO(3 )} على${\displaystyle V_{k}}$بالطريقة المعتادة التي تؤثر بها الدورانات على الدوال على${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$:

${\displaystyle (\Pi (R)f)(x)=f(R^{-1}x)\quad R\in \operatorname {SO} (3).}$

التقييد على الكرة الوحدة${\displaystyle S^{2}}$من عناصر${\displaystyle V_{k}}$هي التوافقيات الكروية من الدرجة${\displaystyle k}$.

إذا، على سبيل المثال،${\displaystyle k=1}$إذن، جميع كثيرات الحدود المتجانسة من الدرجة الأولى تكون توافقية، ونحصل على فضاء ثلاثي الأبعاد${\displaystyle V_{1}}$تمتد بواسطة كثيرات الحدود الخطية${\displaystyle x}$،${\displaystyle y}$، و${\displaystyle z}$. لو${\displaystyle k=2}$، المساحة${\displaystyle V_{2}}$يمتد بواسطة كثيرات الحدود${\displaystyle xy}$،${\displaystyle xz}$،${\displaystyle yz}$،${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$، و${\displaystyle x^{2}-z^{2}}$.

كما ذُكر أعلاه، تنشأ التمثيلات ذات الأبعاد المحدودة لـ SO(3) بشكل طبيعي عند دراسة معادلة شرودنغر غير المعتمدة على الزمن لجهد شعاعي، مثل ذرة الهيدروجين ، كانعكاس للتناظر الدوراني للمسألة. (انظر الدور الذي تلعبه التوافقيات الكروية في التحليل الرياضي للهيدروجين ).

إذا نظرنا إلى جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$بالنسبة لـ SO(3)، فإن جبر لي هذا متماثل مع جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$من SU(2). بواسطة نظرية التمثيل لـ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$إذن، يوجد تمثيل واحد لا يمكن اختزاله لـ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$في كل بُعد. مع ذلك، لا تُطابق التمثيلات ذات الأبعاد الزوجية تمثيلات المجموعة SO (3). ^{[ 6 ]} لكن هذه التمثيلات التي تُسمى "اللف المغزلي الكسري" تُطابق تمثيلات إسقاطية للمجموعة SO(3). تنشأ هذه التمثيلات في ميكانيكا الكم للجسيمات ذات اللف المغزلي الكسري، مثل الإلكترون.

إذا كان لدينا تمثيلان لمجموعة${\displaystyle G}$،${\displaystyle \Pi _{1}:G\rightarrow GL(V_{1})}$و${\displaystyle \Pi _{2}:G\rightarrow GL(V_{2})}$إذن، سيكون المجموع المباشر${\displaystyle V_{1}\oplus V_{2}}$باعتبارها الفضاء المتجهي الأساسي، مع تأثير المجموعة المعطى بواسطة

${\displaystyle \Pi (g)(v_{1},v_{2})=(\Pi _{1}(g)v_{1},\Pi _{2}(g)v_{2}),}$

للجميع${\displaystyle v_{1}\in V_{1},}$${\displaystyle v_{2}\in V_{2}}$، و${\displaystyle g\in G}$.

تتمتع أنواع معينة من زمر لي، ولا سيما زمر لي المدمجة، بخاصية أن كل تمثيل ذي أبعاد منتهية يكون متماثلاً مع مجموع مباشر للتمثيلات غير القابلة للاختزال. ^{[ 2 ]} في مثل هذه الحالات، يختزل تصنيف التمثيلات إلى تصنيف التمثيلات غير القابلة للاختزال. انظر نظرية فايل حول الاختزال الكامل .

إذا كان لدينا تمثيلان لمجموعة${\displaystyle G}$،${\displaystyle \Pi _{1}:G\rightarrow GL(V_{1})}$و${\displaystyle \Pi _{2}:G\rightarrow GL(V_{2})}$إذاً، فإن حاصل الضرب الموتري للتمثيلات سيكون له فضاء متجه حاصل الضرب الموتري${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}}$باعتبارها فضاء المتجهات الأساسي، مع تأثير${\displaystyle G}$يتم تحديدها بشكل فريد من خلال الافتراض التالي:

${\displaystyle \Pi (g)(v_{1}\otimes v_{2})=(\Pi _{1}(g)v_{1})\otimes (\Pi _{2}(g)v_{2})}$

للجميع${\displaystyle v_{1}\in V_{1}}$و${\displaystyle v_{2}\in V_{2}}$أي بمعنى آخر،${\displaystyle \Pi (g)=\Pi _{1}(g)\otimes \Pi _{2}(g)}$.

تمثيل جبر لي${\displaystyle \pi }$مرتبط بتمثيل الضرب الموتري${\displaystyle \Pi }$يتم إعطاؤها بالصيغة التالية: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \pi (X)=\pi _{1}(X)\otimes I+I\otimes \pi _{2}(X).}$

إن حاصل الضرب الموتري لتمثيلين غير قابلين للاختزال عادةً ما يكون غير قابل للاختزال؛ ولذا، فإن إحدى المشكلات الأساسية في نظرية التمثيل هي تحليل حاصل الضرب الموتري للتمثيلات غير القابلة للاختزال كمجموع مباشر لفضاءات فرعية غير قابلة للاختزال. تُعرف هذه المشكلة في الأدبيات الفيزيائية باسم "جمع الزخم الزاوي" أو " نظرية كليبيش-غوردان ".

يترك${\displaystyle G}$كن جماعة كاذبة و${\displaystyle \Pi :G\rightarrow GL(V)}$ليكن تمثيلاً لـ G.${\displaystyle V^{*}}$ليكن الفضاء الثنائي، أي فضاء الدوال الخطية على${\displaystyle V}$ثم يمكننا تعريف تمثيل${\displaystyle \Pi ^{*}:G\rightarrow GL(V^{*})}$وفقًا للصيغة

${\displaystyle \Pi ^{*}(g)=(\Pi (g^{-1}))^{\operatorname {tr} },}$

حيث بالنسبة لأي مشغل${\displaystyle A:V\rightarrow V}$، عامل النقل${\displaystyle A^{\operatorname {tr} }:V^{*}\rightarrow V^{*}}$يُعرَّف بأنه "التركيب مع${\displaystyle A}$"المشغل:

${\displaystyle (A^{\operatorname {tr} }\phi )(v)=\phi (Av).}$

(إذا عملنا على أساس، فـ${\displaystyle A^{\operatorname {tr} }}$هو مجرد منقول المصفوفة المعتاد لـ${\displaystyle A}$.) العكس في تعريف${\displaystyle \Pi ^{*}}$يلزم ضمان ذلك${\displaystyle \Pi ^{*}}$هو في الواقع تمثيل لـ${\displaystyle G}$، في ضوء الهوية${\displaystyle (AB)^{\operatorname {tr} }=B^{\operatorname {tr} }A^{\operatorname {tr} }}$.

التمثيل الثنائي للتمثيل غير القابل للاختزال يكون دائمًا غير قابل للاختزال، ^{[ 9 ]} ولكنه قد يكون متماثلًا أو غير متماثل مع التمثيل الأصلي. في حالة المجموعة SU(3)، على سبيل المثال، يتم تمييز التمثيلات غير القابلة للاختزال بزوج من${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$من الأعداد الصحيحة غير السالبة. التمثيل الثنائي المرتبط بـ${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$التمثيل المرتبط بـ${\displaystyle (m_{2},m_{1})}$[ ^{10 ]​}

في كثير من الحالات، يكون من الملائم دراسة تمثيلات زمرة لي من خلال دراسة تمثيلات جبر لي المرتبط بها. مع ذلك، عمومًا، لا ينشأ كل تمثيل لجبر لي من تمثيل الزمرة. على سبيل المثال، هذا ما يُفسر التمييز بين اللف المغزلي الصحيح واللف المغزلي نصف الصحيح في ميكانيكا الكم. من جهة أخرى، إذا كانت G زمرة بسيطة الاتصال ، فإن نظرية ^{[ 11 ]} تنص على وجود تطابق تام بين تمثيلات الزمرة وجبر لي.

ليكن G زمرة لي ذات جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$، وافترض أن التمثيل${\displaystyle \pi }$ل${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يُمكن استخدام تناظر لي للحصول على تمثيلات زمرية للمكون المتصل من G. وبشكلٍ عام، يتم ذلك بأخذ الدالة الأسية للمصفوفات في تمثيل جبر لي. تظهر مشكلة دقيقة إذا لم تكن G متصلة ببساطة . قد ينتج عن ذلك تمثيلات إسقاطية ، أو بلغة الفيزياء، تمثيلات متعددة القيم لـ G. هذه في الواقع تمثيلات لمجموعة التغطية الشاملة لـ G.

سيتم شرح هذه النتائج بمزيد من التفصيل أدناه.

لا تُعطي معادلة لي نتائج إلا للمكون المتصل من المجموعات، ولذا تُعالج المكونات الأخرى للمجموعة الكاملة بشكل منفصل من خلال إعطاء ممثلين للمصفوفات التي تُمثل هذه المكونات، مصفوفة لكل مكون. تُشكل هذه المصفوفات (ممثلات) مجموعة التماثل الصفرية للمجموعة G. على سبيل المثال، في حالة مجموعة لورنتز ذات المكونات الأربعة، يجب إدخال ممثلي انعكاس الفضاء وانعكاس الزمن يدويًا . سيتم تقديم المزيد من التوضيحات من نظرية تمثيل مجموعة لورنتز لاحقًا.

لو${\displaystyle G}$هي زمرة لي ذات جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ثم لدينا الخريطة الأسية من${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ل${\displaystyle G}$، مكتوبة على النحو التالي

${\displaystyle X\mapsto e^{X},\quad X\in {\mathfrak {g}}.}$

لو${\displaystyle G}$هي زمرة لي المصفوفية، والتعبير${\displaystyle e^{X}}$يمكن حسابها باستخدام متسلسلة القوى المعتادة للدالة الأسية. في أي زمرة لي، توجد جوارات${\displaystyle U}$من الهوية في${\displaystyle G}$و${\displaystyle V}$من أصل في${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$مع الخاصية التي يمتلكها كل${\displaystyle g}$في${\displaystyle U}$يمكن كتابتها بشكل فريد كـ${\displaystyle g=e^{X}}$مع${\displaystyle X\in V}$أي أن الدالة الأسية لها دالة عكسية محلية . في معظم المجموعات، تكون هذه الدالة محلية فقط؛ أي أن الدالة الأسية عادةً ليست أحادية ولا شاملة.

من الممكن دائمًا الانتقال من تمثيل زمرة لي G إلى تمثيل جبر لي الخاص بها.${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$إذا كان Π  : G → GL( V ) تمثيلاً جماعياً لبعض الفضاءات المتجهة V ، فإن دفعه الأمامي (التفاضلي) عند المحايد، أو خريطة لي ،${\displaystyle \pi$ يمثل التعبير {\mathfrak {g}}\to {\text{End}}V} تمثيلاً لجبر لي. ويتم حسابه بشكل صريح باستخدام ^{[ 12 ].}

${\displaystyle \pi (X)=\left.{\frac {d}{dt}}\Pi (e^{tX})\right|_{t=0},\quad X\in {\mathfrak {g}}.}$

G6

خاصية أساسية تتعلق${\displaystyle \Pi }$و${\displaystyle \pi }$يتضمن الخريطة الأسية: ^{[ 12 ]}

${\displaystyle \Pi (e^{X})=e^{\pi (X)}.}$

السؤال الذي نرغب في بحثه هو ما إذا كان كل تمثيل لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ينشأ هذا بهذه الطريقة من تمثيلات المجموعة${\displaystyle G}$وكما سنرى، هذا هو الحال عندما${\displaystyle G}$الأمر بسيط ومتصل.

النتيجة الرئيسية لهذا القسم هي التالية: ^{[ 13 ]}

نظرية : إذا${\displaystyle G}$إذا كانت متصلة ببساطة، فإن كل تمثيل${\displaystyle \pi }$من جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ل${\displaystyle G}$يأتي من تمثيل${\displaystyle \Pi }$ل${\displaystyle G}$نفسها.

ومن هذا نستنتج بسهولة ما يلي:

النتيجة : إذا${\displaystyle G}$متصلة ولكن ليس مجرد اتصال، كل تمثيل${\displaystyle \pi }$ل${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يأتي من تمثيل${\displaystyle \Pi }$ل${\displaystyle {\tilde {G}}}$، الغطاء العالمي لـ${\displaystyle G}$. لو${\displaystyle \pi }$غير قابل للاختزال، إذن${\displaystyle \Pi }$ينحدر إلى تمثيل إسقاطي لـ${\displaystyle G}$.

التمثيل الإسقاطي هو تمثيل يكون فيه كل${\displaystyle \Pi (g),\,g\in G,}$يُعرَّف فقط حتى الضرب بثابت. في فيزياء الكم، من الطبيعي السماح بالتمثيلات الإسقاطية بالإضافة إلى التمثيلات العادية، لأن الحالات تُعرَّف فعليًا فقط حتى ثابت. (أي، إذا${\displaystyle \psi }$إذا كان متجهًا في فضاء هيلبرت الكمومي، فإن${\displaystyle c\psi }$يمثل نفس الحالة الفيزيائية لأي ثابت${\displaystyle c}$كل تمثيل إسقاطي محدود الأبعاد لمجموعة لي متصلة${\displaystyle G}$ينبع ذلك من تمثيل عادي للغطاء العالمي${\displaystyle {\tilde {G}}}$ل${\displaystyle G}$^{[ 14 ]} على العكس من ذلك ، وكما سنناقش لاحقًا، فإن كل تمثيل عادي غير قابل للاختزال لـ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ينحدر إلى تمثيل إسقاطي لـ${\displaystyle G}$في الأدبيات الفيزيائية، غالبًا ما توصف التمثيلات الإسقاطية بأنها تمثيلات متعددة القيم (أي، كل${\displaystyle \Pi (g)}$لا يمتلك قيمة واحدة بل مجموعة كاملة من القيم). هذه الظاهرة مهمة لدراسة الدوران الكسري في ميكانيكا الكم.

سنعرض الآن برهان النتائج الرئيسية المذكورة أعلاه. لنفترض${\displaystyle \pi$ يمثل {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)} تمثيلاً لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$على فضاء متجهي V. إذا كان هناك تمثيل مرتبط بمجموعة لي${\displaystyle \Pi }$، يجب أن يحقق العلاقة الأسية المذكورة في القسم الفرعي السابق. الآن، في ضوء قابلية الانعكاس الموضعي للدالة الأسية، يمكننا تعريف دالة${\displaystyle \Pi }$من حي${\displaystyle U}$من الهوية في${\displaystyle G}$من خلال هذه العلاقة:

${\displaystyle \Pi (e^{X})=e^{\pi (X)},\quad g=e^{X}\in U.}$

والسؤال الرئيسي إذن هو: هل هذا التطبيق المعرف محليًا هو "تشاكل محلي"؟ (ينطبق هذا السؤال حتى في الحالة الخاصة التي يكون فيها التطبيق الأسي أحاديًا وشاملًا على مستوى العالم؛ في هذه الحالة،${\displaystyle \Pi }$ستكون خريطة محددة عالميًا، لكن السبب غير واضح.${\displaystyle \Pi }$(سيكون تشاكلاً.) الإجابة على هذا السؤال هي نعم:${\displaystyle \Pi }$هو تماثل محلي، ويمكن إثبات ذلك باستخدام صيغة بيكر-كامبل-هاوسدورف . ^{[ 15 ]}

لو${\displaystyle G}$إذا كانت متصلة، فإن كل عنصر من${\displaystyle G}$هو على الأقل ناتج عن دوال أسية لعناصر من${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$وبالتالي، يمكننا تعريف${\displaystyle \Pi }$على الصعيد العالمي كما يلي.

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pi (g=e^{X})&\equiv e^{\pi (X)},&&X\in {\mathfrak {g}},\quad g=e^{X}\in \operatorname {im} (\exp ),\\\Pi (g=g_{1}g_{2}\cdots g_{n})&\equiv \Pi (g_{1})\Pi (g_{2})\cdots \Pi (g_{n}),&&g\notin \operatorname {im} (\exp ),\quad g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}\in \operatorname {im} (\exp ).\end{aligned}}}$

G2

مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن تمثيل عنصر معين من عناصر المجموعة كحاصل ضرب دوال أسية ليس فريدًا على الإطلاق، لذا فليس من الواضح على الإطلاق أن${\displaystyle \Pi }$هو في الواقع مُعرَّف جيداً.

للإجابة على سؤال ما إذا${\displaystyle \Pi }$إذا تم تحديدها بشكل جيد، فإننا نربط كل عنصر من عناصر المجموعة${\displaystyle g\in G}$إلى الهوية باستخدام مسار متصل. ومن ثم يصبح من الممكن تعريف${\displaystyle \Pi }$على طول المسار، ولإظهار أن قيمة${\displaystyle \Pi (g)}$لا يتغير هذا المسار تحت تأثير التشوه المستمر مع تثبيت نقاط النهاية. إذا${\displaystyle G}$ببساطة، أي مسار يبدأ من الهوية وينتهي عند${\displaystyle g}$يمكن تشويهها باستمرار إلى أي مسار آخر من هذا القبيل، مما يدل على أن${\displaystyle \Pi (g)}$مستقل تمامًا عن اختيار المسار. بالنظر إلى التعريف الأولي لـ${\displaystyle \Pi }$إذا كان التطابق القريب عبارة عن تماثل محلي، فليس من الصعب إثبات أن الخريطة المعرفة عالميًا هي أيضًا تماثل يحقق (G2) . ^{[ 16 ]}

لو${\displaystyle G}$إذا لم يكن الأمر مجرد اتصال، فيمكننا تطبيق الإجراء المذكور أعلاه على الغطاء العالمي${\displaystyle {\tilde {G}}}$ل${\displaystyle G}$. يترك${\displaystyle p:{\tilde {G}}\rightarrow G}$لتكون الخريطة المغطية. إذا حدث أن نواة${\displaystyle \Pi$ تحتوي الدالة {\tilde {G}}\rightarrow \operatorname {GL} (V)} على نواة${\displaystyle p}$، ثم${\displaystyle \Pi }$ينحدر إلى تمثيل للمجموعة الأصلية${\displaystyle G}$حتى لو لم يكن الأمر كذلك، لاحظ أن جوهر${\displaystyle p}$هي مجموعة فرعية طبيعية منفصلة من${\displaystyle {\tilde {G}}}$وبالتالي فهي تقع في مركز${\displaystyle {\tilde {G}}}$وبالتالي، إذا${\displaystyle \pi }$بما أن الدالة غير قابلة للاختزال، فإن معضلة شور تشير إلى أن نواة${\displaystyle p}$سوف تعمل بمضاعفات قياسية للدالة المحايد. وبالتالي،${\displaystyle \Pi }$ينحدر إلى تمثيل إسقاطي لـ${\displaystyle G}$، أي واحد يتم تعريفه فقط بتردد مضاعفات قياسية للوحدة.

يتم تقديم عرض تصويري لكيفية احتواء مجموعة التغطية الشاملة على جميع فئات التماثل هذه، وتعريف تقني لها (كمجموعة وكمجموعة) في عرض هندسي .

على سبيل المثال، عندما يتم تخصيص هذا للمجموعة SO(3, 1) ⁺ المتصلة ثنائياً ، فإن مجموعة التغطية الشاملة هي${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$وما إذا كان تمثيلها المقابل أمينًا يحدد ما إذا كانت Π إسقاطية .

إذا كان فضاء هيلبرت V محدود الأبعاد، فهناك تمثيل مرتبط به${\displaystyle \pi }$من جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ل${\displaystyle G}$. لو${\displaystyle G}$إذا كان متصلاً، فإن التمثيل${\displaystyle \Pi }$ل${\displaystyle G}$تكون أحادية إذا وفقط إذا${\displaystyle \pi (X)}$يكون متوازيًا ذاتيًا منحرفًا لكل${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$[ ^{18 ]​}

لو${\displaystyle G}$إذا كانت مضغوطة ، فإن كل تمثيل${\displaystyle \Pi }$ل${\displaystyle G}$تكون الدالة V في فضاء متجهي محدود الأبعاد "قابلة للوحدة"، مما يعني أنه من الممكن اختيار جداء داخلي على V بحيث يكون كل${\displaystyle \Pi (g),\,g\in G}$هو نظام أحادي. ^{[ 19 ]}

إذا سُمح لفضاء هيلبرت V بأن يكون ذا أبعاد لا نهائية، فإن دراسة التمثيلات الوحدوية تتضمن عددًا من السمات المثيرة للاهتمام التي لا توجد في الحالة ذات الأبعاد المحدودة. على سبيل المثال، بناء تمثيل مناسب لجبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يصبح الأمر صعباً من الناحية التقنية. أحد المجالات التي يكون فيها تمثيل جبر لي مفهوماً جيداً هو مجال مجموعات لي شبه البسيطة (أو المختزلة)، حيث يشكل تمثيل جبر لي المرتبط بها وحدة (g,K) .

تظهر أمثلة على التمثيلات الوحدوية في ميكانيكا الكم ونظرية الحقل الكمومي، وكذلك في تحليل فورييه كما هو موضح في المثال التالي.${\displaystyle G=\mathbb {R} }$وليكن فضاء هيلبرت المركب V${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$نُعرّف التمثيل${\displaystyle \psi$ :\mathbb {R} \rightarrow U(L^{2}(\mathbb {R} ))} بواسطة

${\displaystyle [\psi (a)(f)](x)=f(x-a).}$

فيما يلي بعض الأمثلة المهمة التي تم فيها تحليل التمثيلات الوحدوية لمجموعة لي.

• يمكن فهم نظرية ستون -فون نيومان على أنها تعطي تصنيفًا للتمثيلات الوحدوية غير القابلة للاختزال لمجموعة هايزنبرغ .
• يلعب تصنيف ويغنر لتمثيلات مجموعة بوانكاريه دورًا مفاهيميًا رئيسيًا في نظرية الحقل الكمومي من خلال إظهار كيفية فهم كتلة ودوران الجسيمات من حيث نظرية المجموعة.
• تم وضع نظرية التمثيل لـ SL(2,R) بواسطة V. Bargmann وهي بمثابة النموذج الأولي لدراسة التمثيلات الوحدوية لمجموعات لي شبه البسيطة غير المدمجة.