التحويل الكسري الخطي

في الرياضيات ، التحويل الكسري الخطي هو، بشكل عام، تحويل قابل للعكس على الصورة التالية:

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}.}$

يعتمد التعريف الدقيق على طبيعة المتغيرات a و b و c و d و z . بعبارة أخرى، التحويل الكسري الخطي هو تحويل يُمثَّل بكسر يكون بسطه ومقامه خطيين .

في أبسط صورة، تكون a و b و c و d و z أعدادًا مركبة (وفي هذه الحالة يُسمى التحويل أيضًا تحويل موبيوس )، أو بشكل أعم عناصر حقل . ويكون شرط الانعكاس حينها ad – bc ≠ 0. على حقل ما، يكون التحويل الكسري الخطي هو تقييد التحويل الإسقاطي أو التماثل الخطي الإسقاطي على الحقل .

عندما تكون a و b و c و d أعدادًا صحيحة (أو، بشكل أعم، تنتمي إلى مجال تكاملي )، يُفترض أن يكون z عددًا نسبيًا (أو ينتمي إلى حقل الكسور في المجال التكاملي). في هذه الحالة، يكون شرط الانعكاس هو أن يكون ad – bc وحدةً في المجال (أي 1 أو -1 في حالة الأعداد الصحيحة). ^{[ 1 ]}

في الحالة العامة، تُعتبر a و b و c و d و z عناصر في حلقة ، مثل المصفوفات المربعة . ومن الأمثلة على هذا التحويل الخطي الكسري تحويل كايلي ، الذي عُرِّف في الأصل على حلقة المصفوفات الحقيقية 3 × 3 .

تُستخدم التحويلات الكسرية الخطية على نطاق واسع في مجالات مختلفة من الرياضيات وتطبيقاتها في الهندسة، مثل الهندسة الكلاسيكية ، ونظرية الأعداد (تُستخدم، على سبيل المثال، في برهان وايلز لنظرية فيرما الأخيرة )، ونظرية المجموعات ، ونظرية التحكم .

بشكل عام، التحويل الكسري الخطي هو تجانس لـ P( A ) ، وهو الخط الإسقاطي فوق الحلقة A. عندما تكون A حلقة تبديلية ، فإن التحويل الكسري الخطي يأخذ الشكل المألوف.

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}},}$

حيث أن a و b و c و d هي عناصر من A بحيث يكون ad – bc وحدة من A (أي أن ad – bc له معكوس ضربي في A ).

في حلقة غير تبديلية A ، حيث ( z , t ) في A² ^، تحدد الوحدات u علاقة تكافؤ${\displaystyle (z,t)\sim (uz,ut).}$تُكتب فئة التكافؤ في الخط الإسقاطي فوق A على الصورة U [ z  : t ] ، حيث تشير الأقواس إلى الإحداثيات الإسقاطية . عندئذٍ، تعمل التحويلات الكسرية الخطية على يمين عنصر من P( A ) :

${\displaystyle U[z:t]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=U[za+tb:\ zc+td]\sim U[(zc+td)^{-1}(za+tb):\ 1].}$

تُضمَّن الحلقة في خطها الإسقاطي بواسطة z → U [ z  : 1] ، لذا فإن t = 1 يُعيد التعبير المعتاد. هذا التحويل الكسري الخطي مُعرَّف جيدًا لأن U [ za + tb : zc + td ] لا يعتمد على العنصر المُختار من فئة التكافؤ الخاصة به لهذه العملية.

تشكل التحويلات الكسرية الخطية على A زمرة ، وهي الزمرة الخطية الإسقاطية التي يُرمز لها بـ${\displaystyle \operatorname {PGL} _{2}(A).}$

المجموعة${\displaystyle \operatorname {PGL} _{2}(\mathbb {Z} )}$تُسمى مجموعة التحويلات الكسرية الخطية بالمجموعة النمطية . وقد حظيت بدراسة واسعة النطاق نظرًا لتطبيقاتها العديدة في نظرية الأعداد ، والتي تشمل على وجه الخصوص برهان وايلز لنظرية فيرما الأخيرة .

في المستوى المركب، تكون الدائرة المعممة إما خطًا أو دائرة. وعند إكمالها بنقطة اللانهاية، تُقابل الدوائر المعممة في المستوى دوائر على سطح كرة ريمان ، وهي تعبير عن الخط الإسقاطي المركب. تُبدّل التحويلات الكسرية الخطية هذه الدوائر على الكرة، والنقاط المحدودة المقابلة لها في المستوى المركب.

لبناء نماذج المستوى الزائدي، يُستخدم قرص الوحدة ونصف المستوى العلوي لتمثيل النقاط. تُزوّد ​​هذه المجموعات الفرعية من المستوى المركب بمقياس كايلي-كلاين . ثم تُحسب المسافة بين نقطتين باستخدام الدائرة المعممة التي تمر بالنقطتين وعمودية على حدود المجموعة الفرعية المستخدمة في النموذج. تتقاطع هذه الدائرة المعممة مع الحدود عند نقطتين أخريين. تُستخدم النقاط الأربع جميعها في النسبة التبادلية التي تُعرّف مقياس كايلي-كلاين. تُبقي التحويلات الكسرية الخطية النسبة التبادلية ثابتة، لذا فإن أي تحويل كسري خطي يُبقي قرص الوحدة أو أنصاف المستويات العلوية مستقرة يُعدّ تحويلاً متساوي القياس لفضاء مقياس المستوى الزائدي . منذ أن شرح هنري بوانكاريه هذه النماذج، سُمّيت باسمه: نموذج قرص بوانكاريه ونموذج نصف مستوى بوانكاريه . لكل نموذج مجموعة من التحويلات المتساوية القياس، وهي مجموعة فرعية من مجموعة موبيوس : مجموعة التحويلات المتساوية القياس لنموذج القرص هي SU(1, 1) حيث تكون التحويلات الكسرية الخطية "وحدوية خاصة"، وبالنسبة للنصف العلوي من المستوى، فإن مجموعة التحويلات المتساوية القياس هي PSL(2, R ) ، وهي مجموعة خطية إسقاطية من التحويلات الكسرية الخطية ذات عناصر حقيقية ومحدد يساوي واحدًا. ^{[ 2 ]}

تظهر تحويلات موبيوس بشكل شائع في نظرية الكسور المستمرة ، وفي نظرية الأعداد التحليلية للمنحنيات الإهليلجية والأشكال النمطية ، حيث تصف التشاكلات الذاتية للنصف العلوي من المستوى تحت تأثير المجموعة النمطية . كما أنها تُقدم مثالًا نموذجيًا لتليف هوبف ، حيث يُفكك التدفق الجيوديسي الناتج عن التحويل الخطي الكسري الفضاء الإسقاطي المركب إلى مشعبات مستقرة وغير مستقرة ، مع ظهور الدوائر الأفقية عمودية على الخطوط الجيوديسية. انظر تدفق أنوسوف للاطلاع على مثال عملي للتليف: في هذا المثال، تُعطى الخطوط الجيوديسية بواسطة التحويل الخطي الكسري

${\displaystyle (i\exp(t),\ 1){\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\ =\ (ai\exp(t)+b,\ ci\exp(t)+d)\thicksim \left({\frac {ai\exp(t)+b}{ci\exp(t)+d}},\ 1\right)}$

مع a و b و c و d أعداد حقيقية ، مع ad − bc = 1. وبصورة تقريبية، يتم توليد المتشعب المركزي بواسطة التحويلات المكافئة ، والمتشعب غير المستقر بواسطة التحويلات الزائدية، والمتشعب المستقر بواسطة التحويلات الإهليلجية.

تُستخدم التحويلات الكسرية الخطية على نطاق واسع في نظرية التحكم لحل مسائل العلاقة بين النظام ووحدة التحكم في الهندسة الميكانيكية والكهربائية . ^{[ 3 ] [ 4 ]} يسمح الإجراء العام لدمج التحويلات الكسرية الخطية مع ضرب ريدهافر النجمي بتطبيقها على نظرية التشتت للمعادلات التفاضلية العامة، بما في ذلك منهج مصفوفة التشتت في ميكانيكا الكم ونظرية الحقل الكمومي، وتشتت الموجات الصوتية في الأوساط (مثل الطبقات الحرارية والغواصات في المحيطات، وما إلى ذلك)، والتحليل العام للتشتت والحالات المقيدة في المعادلات التفاضلية. هنا، تشير مكونات المصفوفة 3 × 3 إلى الحالات الواردة والمقيدة والصادرة. ولعل أبسط مثال على تطبيق التحويلات الكسرية الخطية يظهر في تحليل المذبذب التوافقي المخمد . ومن التطبيقات الأساسية الأخرى الحصول على الصيغة المعيارية لفروبينيوس ، أي المصفوفة المرافقة لكثير الحدود.

تُشكّل الحلقات التبادلية للأعداد المركبة المنقسمة والأعداد الثنائية حلقاتٍ تُعبّر عن الزاوية و"الدوران"، إلى جانب الأعداد المركبة العادية. في كل حالة، يُنتج التطبيق الأسي على المحور التخيلي تماثلاً بين مجموعات ذات مُعامل واحد في ( A , +) وفي مجموعة الوحدات ( U , ×) : ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \exp(yj)=\cosh y+j\sinh y,\quad j^{2}=+1,}$

${\displaystyle \exp(y\epsilon )=1+y\epsilon ,\quad \epsilon ^{2}=0,}$

${\displaystyle \exp(yi)=\cos y+i\sin y,\quad i^{2}=-1.}$

الزاوية " y " هي زاوية زائدية أو ميل أو زاوية دائرية وفقًا للحلقة المضيفة.

تُثبت التحويلات الكسرية الخطية أنها تحويلات متطابقة من خلال النظر في مولداتها : الانعكاس الضربي z → 1/ z والتحويلات الأفينية z → az + b . يمكن تأكيد التطابق من خلال إثبات أن جميع المولدات متطابقة. الإزاحة z → z + b هي تغيير في نقطة الأصل ولا تُغير الزاوية. لإثبات أن z → az متطابق، انظر إلى التحليل القطبي لـ a و z . في كل حالة ، تُضاف زاوية a إلى زاوية z، مما ينتج عنه تحويل متطابق. أخيرًا، الانعكاس متطابق لأن z → 1/ z يُرسل${\displaystyle \exp(yb)\mapsto \exp(-yb),\quad b^{2}=1,0,-1.}$

• تحولات لاغير
• البرمجة الخطية الكسرية
• طرق H-infinity في نظرية التحكم

• ب. أ. دوبروفين، أ. ت. فومينكو ، سيرجي نوفيكوف (رياضي) س. ب. نوفيكوف (1984) الهندسة الحديثة - الأساليب والتطبيقات ، المجلد 1، الفصل 2، §15 التحويلات المطابقة للفضاءات الإقليدية وشبه الإقليدية متعددة الأبعاد، سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 0-387-90872-2.
• جيفري فوكس (1949) النظرية الأولية للمتغير المعقد للغاية ونظرية التحويل المطابق في المستوى الزائدي ، رسالة ماجستير، جامعة كولومبيا البريطانية .
• PG Gormley (1947) "الإسقاط المجسم ومجموعة التحويلات الخطية الكسرية للأعداد الرباعية"، وقائع الأكاديمية الملكية الأيرلندية ، القسم أ 51:67-85.
• AE Motter & MAF Rosa (1998) "حساب التفاضل والتكامل الزائدي"، التقدم في الجبر التطبيقي لكليفورد 8(1):109 إلى 28، §4 التحويلات المطابقة، الصفحة 119.
• تسوروسابورو تاكاسو (1941) Gemeinsame Behandlungsweise der elliptischen konformen, Hyperbolischen konformen und Parabolischen konformen Differentialgeometrie, 2 , Proceedings of the Imperial Academy 17(8): 330–8، رابط من مشروع إقليدس ، MR 0014282 
• إسحاق ياغلوم (1968) الأعداد المركبة في الهندسة ، الصفحتان 130 و157، دار النشر الأكاديمية