المقياس اللوغاريتمي

الموسوعة الحرة
رسم بياني شبه لوغاريتمي لعدد مضيفي الإنترنت بمرور الوقت، معروض على مقياس لوغاريتمي

المقياس اللوغاريتمي (أو المقياس اللوغاريتمي ) هو طريقة تستخدم لعرض البيانات العددية التي تغطي نطاقًا واسعًا من القيم، خاصة عندما تكون هناك اختلافات كبيرة بين مقادير الأرقام المعنية.

بخلاف المقياس الخطي حيث تتوافق كل وحدة مسافة مع نفس الزيادة، فإن كل وحدة طول في المقياس اللوغاريتمي هي مضاعف لقيمة أساسية مرفوعة إلى قوة معينة، وتُقابل ضرب القيمة السابقة في المقياس بالقيمة الأساسية. في الاستخدام الشائع، تكون المقاييس اللوغاريتمية بالأساس 10 (إلا إذا نُص على خلاف ذلك).

المقياس اللوغاريتمي غير خطي ، ولذلك فإن الأعداد المتساوية المسافة بينها، مثل 1، 2، 3، 4، 5، لا تُعتبر متساوية التباعد. القيم المتساوية التباعد على المقياس اللوغاريتمي لها أسس تتزايد بانتظام. من أمثلة القيم المتساوية التباعد: 10، 100، 1000، 10000، و100000 (أي 10¹، 10²، 10³، 10⁴، 10⁵ ) ، و 2 ، 4 ، 8 ، 16، و32 (أي 2¹ ، 2² ، 2³ ، 2⁴ ، 2⁵ ) .

غالباً ما يتم تصوير منحنيات النمو الأسي على رسم بياني بمقياس لوغاريتمي .

مقياس لوغاريتمي من 0.1 إلى 100
المقياسان اللوغاريتميان للمسطرة الحاسبة

الاستخدامات الشائعة

تم ترتيب العلامات الموجودة على المسطرة الحاسبة على شكل مقياس لوغاريتمي لضرب أو قسمة الأرقام عن طريق جمع أو طرح الأطوال على المقاييس.

فيما يلي أمثلة على المقاييس اللوغاريتمية شائعة الاستخدام، حيث تؤدي الكمية الأكبر إلى قيمة أعلى:

يسهل المقياس اللوغاريتمي مقارنة القيم التي تغطي نطاقًا واسعًا، كما هو الحال في هذه الخريطة.
خريطة النظام الشمسي والمسافة إلى بروكسيما سنتوري ، باستخدام مقياس لوغاريتمي ومقاسة بالوحدات الفلكية .

فيما يلي أمثلة على المقاييس اللوغاريتمية شائعة الاستخدام، حيث تؤدي الكمية الأكبر إلى قيمة أقل (أو سالبة):

تعمل بعض حواسنا بطريقة لوغاريتمية ( قانون ويبر-فيشنر )، مما يجعل المقاييس اللوغاريتمية لهذه الكميات المدخلة مناسبة للغاية. على وجه الخصوص، تدرك حاسة السمع لدينا النسب المتساوية للترددات على أنها اختلافات متساوية في درجة الصوت. بالإضافة إلى ذلك، أظهرت دراسات أجريت على أطفال صغار في قبيلة معزولة أن المقاييس اللوغاريتمية هي العرض الأكثر طبيعية للأرقام في بعض الثقافات. [ 1 ]

تمثيل بياني

مقاييس مختلفة: خطي-خطي، خطي-لوغاريتمي، لوغاريتمي-خطي ، ولوغاريتمي-لوغاريتمي . الرسوم البيانية المرسومة هي: ص  =  ١٠ س ( أحمر )، ص = س ( أخضر )، ص = لوغاريتم هـ ( س ) ( أزرق ).     

الرسم البياني العلوي الأيسر خطي في المحورين X و Y، ويتراوح المحور Y من 0 إلى 10. يتم استخدام مقياس لوغاريتمي أساسه 10 للمحور Y في الرسم البياني السفلي الأيسر، ويتراوح المحور Y من 0.1 إلى 1000.

يستخدم الرسم البياني العلوي الأيمن مقياس لوغاريتمي 10 للمحور السيني فقط، بينما يستخدم الرسم البياني السفلي الأيمن مقياس لوغاريتمي 10 لكل من المحور السيني والمحور الصادي.

قد يكون عرض البيانات على مقياس لوغاريتمي مفيدًا عندما تكون البيانات:

  • يغطي نطاقًا واسعًا من القيم، حيث أن استخدام لوغاريتمات القيم بدلاً من القيم الفعلية يقلل من نطاق واسع إلى حجم يمكن التعامل معه بشكل أفضل؛
  • قد تحتوي على قوانين أسية أو قوانين قوة ، حيث ستظهر هذه كخطوط مستقيمة.

تحتوي المسطرة الحاسبة على مقاييس لوغاريتمية، وغالبًا ما تستخدم المخططات البيانية هذه المقاييس . المتوسط ​​الهندسي لعددين هو القيمة التي تقع في منتصف المسافة بينهما. قبل ظهور رسومات الحاسوب، كان ورق الرسم البياني اللوغاريتمي أداة علمية شائعة الاستخدام.

مخططات لوغاريتمية

رسم بياني لوغاريتمي مزدوج يلخص المعلومات التي تغطي أكثر من رتبة مقدارية واحدة على طول كلا المحورين.

إذا تم قياس كل من المحورين الرأسي والأفقي للرسم البياني بشكل لوغاريتمي، فإن الرسم البياني يشار إليه باسم الرسم البياني اللوغاريتمي-اللوغاريتمي .

الرسوم البيانية شبه اللوغاريتمية

إذا تم قياس المحور الرأسي أو المحور الأفقي فقط بشكل لوغاريتمي، فإن الرسم البياني يشار إليه باسم الرسم البياني شبه اللوغاريتمي .

الإضافات

يمكن تعريف تحويل لوغاريتمي معدل للمدخلات السالبة ( y < 0) لتجنب التفرد للمدخلات الصفرية ( y = 0)، وبالتالي إنتاج مخططات لوغاريتمية متناظرة: [ 2 ] [ 3 ]

Y=علامة⁡(y)⋅سجل10⁡(1+|y/ج|){\displaystyle Y=\operatorname {sgn}(y)\cdot \log _{10}(1+|y/C|)}

لثابت C = 1/ln(10).

الوحدات اللوغاريتمية

الوحدة اللوغاريتمية هي وحدة تُستخدم للتعبير عن كمية ( فيزيائية أو رياضية) على مقياس لوغاريتمي، أي أنها تتناسب مع قيمة دالة لوغاريتمية مطبقة على نسبة الكمية إلى كمية مرجعية من النوع نفسه. ويشير اختيار الوحدة عمومًا إلى نوع الكمية وأساس اللوغاريتم.

أمثلة

تشمل أمثلة الوحدات اللوغاريتمية وحدات المعلومات وإنتروبيا المعلومات ( نات ، شانون ، بان ) ووحدات مستوى الإشارة ( ديسيبل ، بيل، نيبر ). تُستخدم وحدات مختلفة لقياس مستويات التردد أو كميات التردد اللوغاريتمية في الإلكترونيات ( عقد ، أوكتاف ) وفي فواصل النغمات الموسيقية ( أوكتاف ، نصف نغمة ، سنت ، إلخ). ومن وحدات المقياس اللوغاريتمي الأخرى مقياس ريختر لقوة الزلازل وقيمة الرقم الهيدروجيني (pH ) لقياس الحموضة أو القاعدية .

بالإضافة إلى ذلك، فإن بعض المقاييس الصناعية لوغاريتمية، مثل معظم مقاييس الأسلاك المستخدمة للأسلاك والإبر.

وحدات المعلومات

وحدات قياس المستوى أو فرق المستوى

وحدات مستوى التردد

جدول الأمثلة

وحدةأساس اللوغاريتمالكمية الأساسيةتفسير
قليل2عدد الرسائل الممكنةكمية المعلومات
بايت2 8 = 256عدد الرسائل الممكنةكمية المعلومات
ديسيبل10 (1/10) ≈ 1.259أي كمية طاقة ( طاقة الصوت ، على سبيل المثال)مستوى قوة الصوت (على سبيل المثال)
ديسيبل10 (1/20) ≈ 1.122أي كمية طاقة جذرية ( ضغط الصوت ، على سبيل المثال)مستوى ضغط الصوت (على سبيل المثال)
نصف نعمة2 (1/12) ≈ 1.059تردد الصوت​فاصل النغمة

التعريفان للديسيبل متكافئان، لأن نسبة كميات القدرة تساوي مربع النسبة المقابلة لكميات الجذر للقدرة . [ 4 ]

انظر أيضاً

حجم

التطبيقات

مراجع

للمزيد من القراءة