نظرية المجال الكمومي الطوبولوجية

في نظريات الحقل الكمومي الزمني من نوع شوارتز ، تُحسب دوال الارتباط أو دوال التقسيم للنظام عن طريق التكامل المساري لدوال الفعل المستقلة عن المقياس. على سبيل المثال، في نموذج BF ، يكون الزمكان متعدد الشعب ثنائي الأبعاد M، وتُبنى الكميات القابلة للرصد من شكل ثنائي F، وكمية قياسية مساعدة B، ومشتقاتهما. الفعل (الذي يحدد التكامل المساري) هو

${\displaystyle S=\int \limits _{M}BF}$

لا يظهر مقياس الزمكان في أي مكان في النظرية، لذا فإن النظرية ثابتة طوبولوجيًا بشكل صريح. ظهر المثال الأول عام 1977 ويعود الفضل فيه إلى أ. شوارتز ؛ ودالة الفعل الخاصة به هي:

${\displaystyle S=\int \limits _{M}A\wedge dA.}$

ومن الأمثلة الأخرى الأكثر شهرة نظرية تشيرن-سيمونز ، التي يمكن تطبيقها على ثوابت العقد . وبشكل عام، تعتمد دوال التقسيم على مقياس، لكن الأمثلة المذكورة أعلاه مستقلة عن المقياس.

ظهر أول مثال لنظريات الحقل الكمومي الطوبولوجي من نوع ويتن في ورقة ويتن عام 1988 ( ويتن 1988أ ) ، أي نظرية يانغ-ميلز الطوبولوجية في أربعة أبعاد. على الرغم من أن دالة الفعل الخاصة بها تحتوي على مقياس الزمكان g _αβ ، إلا أنها بعد تعديل طوبولوجي تصبح مستقلة عن المقياس. يعتمد استقلال موتر الإجهاد-الطاقة T ^αβ للنظام عن المقياس على ما إذا كان مؤثر BRST مغلقًا أم لا. وباتباع مثال ويتن، يمكن إيجاد العديد من الأمثلة الأخرى في نظرية الأوتار .

تنشأ نظرية الحقول الكمومية من نوع ويتن إذا تحققت الشروط التالية:

1. الحدث${\displaystyle S}$تتمتع نظرية المجال الكمي الزمني (TQFT) بتناظر، أي إذا${\displaystyle \delta }$يشير إلى تحويل التناظر (مثل مشتق لي ) ثم${\displaystyle \delta S=0}$يحجز.
2. التحويل التناظري دقيق ، أي${\displaystyle \delta ^{2}=0}$
3. توجد متغيرات قابلة للملاحظة${\displaystyle O_{1},\dots ,O_{n}}$والتي ترضي${\displaystyle \delta O_{i}=0}$للجميع${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$.
4. يكون موتر الإجهاد والطاقة (أو الكميات الفيزيائية المماثلة) على الشكل التالي${\displaystyle T^{\alpha \beta }=\delta G^{\alpha \beta }}$لأي موتر${\displaystyle G^{\alpha \beta }}$.

كمثال ( لينكر 2015 ) : بالنظر إلى حقل ذي شكلين${\displaystyle B}$باستخدام المؤثر التفاضلي${\displaystyle \delta }$وهو ما يرضي${\displaystyle \delta ^{2}=0}$ثم يبدأ العمل${\displaystyle S=\int \limits _{M}B\wedge \delta B}$يتمتع بالتناظر إذا${\displaystyle \delta B\wedge \delta B=0}$منذ

${\displaystyle \delta S=\int \limits _{M}\delta (B\wedge \delta B)=\int \limits _{M}\delta B\wedge \delta B+\int \limits _{M}B\wedge \delta ^{2}B=0.}$

علاوة على ذلك، ينطبق ما يلي (بشرط أن${\displaystyle \delta }$مستقل عن${\displaystyle B}$ويتصرف بشكل مشابه للمشتق الوظيفي ):

${\displaystyle {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}S=\int \limits _{M}{\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B\wedge \delta B+\int \limits _{M}B\wedge \delta {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B=\int \limits _{M}{\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B\wedge \delta B-\int \limits _{M}\delta B\wedge {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B=-2\int \limits _{M}\delta B\wedge {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B.}$

التعبير${\displaystyle {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}S}$يتناسب مع${\displaystyle \delta G}$مع نموذج آخر من النوع 2${\displaystyle G}$.

والآن، أي متوسطات للقيم المرصودة${\displaystyle \left\langle O_{i}\right\rangle$ :=\int d\mu O_{i}e^{iS}} لمقياس هار المقابل${\displaystyle \mu }$مستقلة عن المجال "الهندسي"${\displaystyle B}$وبالتالي فهي طوبولوجية:

${\displaystyle {\frac {\delta} {\delta B}}\left\langle O_{i}\right\rangle =\int d\mu O_{i}i{\frac {\delta }{\delta B}}Se^{iS}\propto \int d\mu O_{i}\delta Ge^{iS}=\delta \left(\int d\mu O_ {i} Ge ^ {iS}\right)=0}$.

تستخدم المساواة الثالثة حقيقة أن${\displaystyle \delta O_{i}=\delta S=0}$وثبات مقياس هار تحت تحويلات التناظر. بما أن${\displaystyle \int d\mu O_{i}Ge^{iS}}$إذا كان مجرد رقم، فإن مشتق لي الخاص به يتلاشى.

اقترح عطية مجموعة من البديهيات لنظرية الحقل الكمومي الطوبولوجي، مستوحاة من بديهيات سيغال المقترحة لنظرية الحقل المطابق (والتي لُخِّصت لاحقًا في كتاب سيغال (2001) )، والمعنى الهندسي للتناظر الفائق الذي طرحه ويتن في كتابه (1982) . تُبنى بديهيات عطية بربط الحدود بتحويل قابل للتفاضل (طوبولوجي أو متصل)، بينما تُعنى بديهيات سيغال بالتحويلات المطابقة. وقد كانت هذه البديهيات مفيدة نسبيًا في المعالجات الرياضية لنظريات الحقل الكمومي من نوع شوارتز، على الرغم من أنه ليس من الواضح ما إذا كانت تُغطي البنية الكاملة لنظريات الحقل الكمومي من نوع ويتن. وتتلخص الفكرة الأساسية في أن نظرية الحقل الكمومي الطوبولوجي هي دالة من فئة معينة من التماثلات إلى فئة الفضاءات المتجهة .

في الواقع، توجد مجموعتان مختلفتان من البديهيات التي يمكن تسميتها بديهيات أتياس. وتختلف هذه البديهيات أساسًا في ما إذا كانت تنطبق على نظرية الحقل الكمومي الطوبولوجي (TQFT) المعرفة على فضاء زماني ريماني/لورنتزي ثابت ذي n بُعد M، أو على نظرية الحقل الكمومي الطوبولوجي المعرفة على جميع الفضاءات الزمانية ذات n بُعد في آن واحد.

ليكن Λ حلقة تبديلية ذات عنصر يساوي 1 (في معظم التطبيقات العملية، يكون Λ = Z أو R أو C ). اقترح أتيياه في الأصل بديهيات نظرية الحقل الكمومي الطوبولوجي (TQFT) في البعد d المعرفة على حلقة أساسية Λ على النحو التالي:

• وحدة Λ-مولدة بشكل محدود Z (Σ) مرتبطة بكل مشعب d-مغلق أملس موجه Σ (يتوافق مع بديهية التماثل )،
• عنصر Z ( M ) ∈ Z (∂ M ) مرتبط بكل مشعب موجه أملس ( d + 1) ذي أبعاد (مع حدود) M (يتوافق مع بديهية جمعية ).

تخضع هذه البيانات للبديهيات التالية (تمت إضافة البديهيتين 4 و5 بواسطة عطية):

1. Z دالة بالنسبة إلى التشاكلات التفاضلية التي تحافظ على الاتجاه لـ Σ و M ،
2. Z هي وحدة انعكاسية ، أي Z (Σ*) = Z (Σ)* حيث Σ* هي Σ ذات اتجاه معاكس و Z (Σ)* تشير إلى الوحدة الثنائية،
3. Z عدد ضربي .
4. Z (${\displaystyle \emptyset }$) = Λ للمتشعب الفارغ ذي الأبعاد d و Z (${\displaystyle \emptyset }$) = 1 بالنسبة للمشعب الفارغ ذي الأبعاد ( d + 1).
5. Z ( M* ) = Z ( M ) ( مبدأ هيرميت ). إذا${\displaystyle \partial M=\Sigma _{0}^{*}\cup \Sigma _{1}}$بحيث يمكن اعتبار Z ( M ) بمثابة تحويل خطي بين فضاءات متجهة هيرميتية، فإن هذا يعادل كون Z ( M* ) هو المرافق لـ Z ( M ).

ملاحظة : إذا اعتبرنا Z ( M ) ثابتًا عدديًا بالنسبة لمتشعب مغلق M ، فإنه بالنسبة لمتشعب ذي حدود، ينبغي أن نعتبر Z ( M ) ∈ Z (∂M ) ثابتًا "نسبيًا". ليكن f : Σ → Σ تحويلًا تفاضليًا يحافظ على الاتجاه، ولنُعرّف طرفي Σ × I المتقابلين بـ f . هذا يُعطي متشعبًا Σf _، وتُشير بديهياتنا إلى 

${\displaystyle Z(\Sigma _{f})=\operatorname {Trace} \ \Sigma (f)}$

حيث Σ( f ) هو التشاكل الذاتي المستحث لـ Z (Σ).

ملاحظة . بالنسبة لمتشعب M ذي حدود Σ، يمكننا دائمًا تكوين المضاعف${\displaystyle M\cup _{\Sigma }M^{*}}$وهو فضاء مغلق. تُظهر البديهية الخامسة أن

${\displaystyle Z\left(M\cup _{\Sigma }M^{*}\right)=|Z(M)|^{2}}$

حيث نقوم على اليمين بحساب المعيار في المقياس الهرميتي (ربما غير المحدد).

من الناحية الفيزيائية، يرتبط (2) + (4) بالثبات النسبي بينما يشير (3) + (5) إلى الطبيعة الكمومية للنظرية.

يرمز Σ إلى الفضاء الفيزيائي (عادةً، d = 3 في الفيزياء القياسية)، والبعد الإضافي في Σ × I هو الزمن "التخيلي". الفضاء Z (Σ) هو فضاء هيلبرت لنظرية الكم، والنظرية الفيزيائية، ذات الهاميلتوني H ، سيكون لها مؤثر تطور زمني e ^_itH أو مؤثر "زمن تخيلي" e ^{^-tH} . السمة الرئيسية لنظريات الحقل الكمومي الطوبولوجية هي أن H = 0، مما يعني عدم وجود ديناميكيات حقيقية أو انتشار على طول الأسطوانة Σ × I. مع ذلك، قد يكون هناك "انتشار" غير تافه (أو سعات نفق) من Σ_₀ إلى Σ_₁ عبر مشعب وسيط M.${\displaystyle \partial M=\Sigma _{0}^{*}\cup \Sigma _{1}}$وهذا يعكس بنية M.

إذا كان ∂M = Σ، فإن المتجه المميز Z ( M ) في فضاء هيلبرت Z (Σ) يُعتبر حالة الفراغ المُعرَّفة بواسطة M. بالنسبة لمتشعب مغلق M، فإن العدد Z ( M ) هو القيمة المتوقعة للفراغ . قياسًا على الميكانيكا الإحصائية، يُطلق عليه أيضًا دالة التقسيم .

يكمن السبب وراء إمكانية صياغة نظرية ذات هاميلتوني صفري بشكل منطقي في منهج فاينمان للتكامل المساري في نظرية الحقول الكمومية. يتضمن هذا المنهج الثبات النسبي (الذي ينطبق على "الزمكانات" العامة ذات الأبعاد ( d + 1)) ، وتُعرَّف النظرية رسميًا بواسطة لاغرانجي مناسب - وهو دالة للحقول الكلاسيكية للنظرية. يؤدي اللاغرانجي الذي يتضمن المشتقات الأولى فقط في الزمن رسميًا إلى هاميلتوني صفري، ولكن قد يمتلك اللاغرانجي نفسه خصائص غير بديهية تتعلق بطوبولوجيا M.

في عام 1988، نشر م. عطية بحثًا وصف فيه العديد من الأمثلة الجديدة لنظرية الحقل الكمومي الطوبولوجية التي كانت مطروحة آنذاك ( عطية 1988أ ) ( عطية 1988ب ) . ويتضمن هذا البحث بعض الثوابت الطوبولوجية الجديدة إلى جانب بعض الأفكار الجديدة: ثابت كاسون ، وثابت دونالدسون ، ونظرية غروموف ، وتماثل فلور ، ونظرية جونز-ويتن .

ليكن Bord _M الفئة التي تكون فيها التشكلات عبارة عن فضاءات فرعية ذات بُعد n من M ، وتكون عناصرها مكونات متصلة لحدود هذه الفضاءات الفرعية. يُعتبر تشكلان متكافئين إذا كانا متماثلين عبر فضاءات فرعية من M ، وبالتالي يشكلان فئة القسمة hBord _M : عناصر hBord _M هي عناصر Bord _M ، وتشكلات hBord _M هي فئات تكافؤ التماثل للتشكلات في Bord _M. TQFT على M هو دالة أحادية متناظرة من hBord _M إلى فئة الفضاءات المتجهة.

لاحظ أنه يمكن، إذا تطابقت حدود التماثلات، دمجها معًا لتشكيل تماثل جديد. هذا هو قانون التركيب للتشكلات في فئة التماثلات. وبما أن الدوال تتطلب الحفاظ على التركيب، فإن هذا يعني أن الخريطة الخطية المقابلة لتشكل مدمج هي ببساطة تركيب الخريطة الخطية لكل جزء.

هناك تكافؤ في الفئات بين فئة نظريات الحقول الكمومية الطوبولوجية ثنائية الأبعاد وفئة جبر فروبينيوس التبادلي .

للنظر في جميع الزمكانات دفعة واحدة، من الضروري استبدال hBord _M بفئة أكبر. لذا، لنفترض أن Bord _n ​​هي فئة الحدود، أي الفئة التي تكون مورفيزماتها عبارة عن مشعبات ذات n بُعد بحدود، وعناصرها هي المكونات المتصلة لحدود المشعبات ذات n بُعد. (لاحظ أن أي مشعب ذي ( n -1) بُعد يمكن أن يظهر كعنصر في Bord _n ). وكما سبق، نعتبر مورفيزمين في Bord _n ​​متكافئين إذا كانا متماثلين، ويشكلان فئة القسمة hBord _n . تُعد Bord _n ​​فئة أحادية تحت العملية التي تُسقط حدودين على الحدود الناتجة عن اتحادهما المنفصل. وبالتالي، فإن TQFT على المشعبات ذات n بُعد هو دالة من hBord _n ​​إلى فئة الفضاءات المتجهة، تُسقط الاتحادات المنفصلة للحدود على جداءها الموتري.

على سبيل المثال، بالنسبة للحدود (1 + 1)-الأبعاد (الحدود ثنائية الأبعاد بين متعددات الأبعاد أحادية البعد)، فإن الخريطة المرتبطة بزوج من السراويل تعطي منتجًا أو منتجًا مشتركًا، اعتمادًا على كيفية تجميع مكونات الحدود - وهو تبادلي أو تبادلي مشترك، بينما تعطي الخريطة المرتبطة بالقرص وحدة مشتركة (أثر) أو وحدة (كميات قياسية)، اعتمادًا على تجميع مكونات الحدود، وبالتالي فإن TQFTs (1+1)-الأبعاد تتوافق مع جبر فروبينيوس .

علاوة على ذلك، يمكننا النظر في وقت واحد في متعددات الأبعاد رباعية الأبعاد وثلاثية الأبعاد وثنائية الأبعاد المرتبطة بالحدود المذكورة أعلاه، ومنها يمكننا الحصول على أمثلة وافرة وهامة.

بالنظر إلى تطور نظرية الحقل الكمومي الطوبولوجي، ينبغي مراعاة تطبيقاتها العديدة في نظرية قياس سيبرغ-ويتن ، ونظرية الأوتار الطوبولوجية ، والعلاقة بين نظرية العقد ونظرية الحقل الكمومي، وثوابت العقد الكمومية . علاوة على ذلك، فقد أثارت هذه النظرية اهتمامًا كبيرًا في كلٍ من الرياضيات والفيزياء. ومن بين المواضيع المهمة التي حظيت باهتمام حديث، المؤثرات غير المحلية في نظرية الحقل الكمومي الطوبولوجي ( غوكوف وكابوستين ، 2013 ). إذا نُظر إلى نظرية الأوتار على أنها الأساس، فيمكن اعتبار نظريات الحقل الكمومي الطوبولوجي غير المحلية نماذج غير فيزيائية تُقدم تقريبًا فعالًا حسابيًا لنظرية الأوتار المحلية.

تُعدّ المعادلات التفاضلية العشوائية (الجزئية ) أساسًا لنماذج كل شيء في الطبيعة فوق مستوى الانحلال الكمومي والترابط، وهي في جوهرها نظريات حقل الكم الطوبولوجي من نوع ويتن. تمتلك جميع المعادلات التفاضلية العشوائية تناظرًا فائقًا طوبولوجيًا أو تناظرًا فائقًا من نوع BRST .${\displaystyle \delta }$وفي تمثيل المؤثرات للديناميكيات العشوائية، يوجد المشتق الخارجي ، وهو تبادلي مع مؤثر التطور العشوائي. يحافظ هذا التناظر الفائق على استمرارية فضاء الطور من خلال التدفقات المستمرة، وتشمل ظاهرة الانهيار التلقائي المتناظر الفائق بواسطة حالة أرضية عالمية غير متناظرة فائقة مفاهيم فيزيائية راسخة مثل الفوضى ، والاضطراب ، وضوضاء 1/f والضوضاء المتكسرة ، والحرجية ذاتية التنظيم، وما إلى ذلك. يمكن اعتبار القطاع الطوبولوجي للنظرية لأي معادلة تفاضلية عشوائية بمثابة نظرية حقل طوبولوجي طوبولوجية من نوع ويتن.