علم التشكل الرياضي

المورفولوجيا الرياضية ( MM ) هي نظرية وتقنية لتحليل ومعالجة البنى الهندسية . وهي تستند إلى نظرية المجموعات ، ونظرية الشبكات ، والطوبولوجيا ، والدوال العشوائية . تُطبق المورفولوجيا الرياضية بشكل شائع على الصور الرقمية ، ولكن يمكن استخدامها أيضًا على الرسوم البيانية ، وشبكات الأسطح ، والمجسمات ، والعديد من البنى المكانية الأخرى.

قدّمت نظرية الميكانيكا المورفولوجية مفاهيم الفضاء المتصل الطوبولوجي والهندسي، مثل الحجم والشكل والتحدب والاتصال والمسافة الجيوديسية ، في كل من الفضاءات المتصلة والمتقطعة . كما تُعدّ هذه النظرية أساس معالجة الصور المورفولوجية ، التي تتألف من مجموعة من المؤثرات التي تُحوّل الصور وفقًا للخصائص المذكورة أعلاه .

العوامل المورفولوجية الأساسية هي التعرية والتمدد والفتح والإغلاق .

طُوِّرت طريقة MM في الأصل للصور الثنائية ، ثم وُسِّعت لاحقًا لتشمل الدوال والصور ذات التدرج الرمادي . ويُعتبر التعميم اللاحق للشبكات الكاملة أساسًا نظريًا مقبولًا على نطاق واسع اليوم لطريقة MM.

تم تطوير علم التشكل الرياضي في عام 1964 من خلال العمل التعاوني بين جورج ماثيرون وجان سيرا ، في مدرسة المناجم في باريس ، فرنسا . أشرف ماثيرون على أطروحة الدكتوراه لسيرا، والتي خصصت لتحديد خصائص المعادن من المقاطع العرضية الرقيقة ، وقد أسفر هذا العمل عن نهج عملي جديد، بالإضافة إلى تطورات نظرية في الهندسة التكاملية والطوبولوجيا .

في عام 1968، تم تأسيس مركز مورفولوجي الرياضيات من قبل مدرسة المناجم في باريس في فونتينبلو ، فرنسا، بقيادة ماثرون وسيرا.

خلال ما تبقى من ستينيات القرن العشرين ومعظم سبعينياته، تعاملت MM بشكل أساسي مع الصور الثنائية ، باعتبارها مجموعات ، وأنتجت عددًا كبيرًا من العمليات والتقنيات الثنائية : تحويل الضربة أو الخطأ ، والتمدد ، والتآكل ، والفتح ، والإغلاق، والقياس الحبيبي ، والترقيق ، والهيكلة ، والتآكل النهائي ، والمنصف الشرطي ، وغيرها. كما طُوِّر نهج عشوائي، قائم على نماذج صور مبتكرة. وقد أُنجز معظم العمل في تلك الفترة في فونتينبلو .

من منتصف سبعينيات القرن العشرين إلى منتصف ثمانينياته، تم تعميم خوارزمية MM لتشمل الدوال والصور ذات التدرج الرمادي . وإلى جانب توسيع المفاهيم الرئيسية (مثل التمدد والتآكل وما إلى ذلك) لتشمل الدوال، أدى هذا التعميم إلى ظهور عوامل جديدة، مثل التدرجات المورفولوجية ، وتحويل القبعة العلوية ، وخوارزمية مستجمعات المياه (وهي أسلوب التجزئة الرئيسي في خوارزمية MM ).

في ثمانينيات وتسعينيات القرن الماضي، اكتسبت طريقة MM اعترافاً أوسع، حيث بدأت مراكز الأبحاث في العديد من البلدان في تبنيها ودراستها. وبدأ تطبيقها على عدد كبير من مشاكل وتطبيقات التصوير، لا سيما في مجال الترشيح غير الخطي للصور المشوشة.

في عام 1986، عمّم سيرا نظرية الميكانيكا المورفولوجية، هذه المرة إلى إطار نظري قائم على الشبكات الكاملة . وقد أضفى هذا التعميم مرونة على النظرية، مما مكّن من تطبيقها على عدد أكبر بكثير من البنى، بما في ذلك الصور الملونة والفيديو والرسوم البيانية والشبكات ، وما إلى ذلك. وفي الوقت نفسه، صاغ ماثيرون وسيرا أيضًا نظرية للترشيح المورفولوجي ، استنادًا إلى إطار الشبكة الجديد.

شهدت فترة التسعينيات والألفية الثانية أيضاً تطورات نظرية أخرى، بما في ذلك مفاهيم الروابط والمستويات .

في عام ١٩٩٣، عُقدت أول ندوة دولية حول علم التشكل الرياضي (ISMM) في برشلونة ، إسبانيا. ومنذ ذلك الحين، تُنظَّم هذه الندوات كل سنتين إلى ثلاث سنوات: فونتينبلو، فرنسا (١٩٩٤)؛ أتلانتا ، الولايات المتحدة الأمريكية (١٩٩٦)؛ أمستردام ، هولندا (١٩٩٨)؛ بالو ألتو، كاليفورنيا ، الولايات المتحدة الأمريكية (٢٠٠٠)؛ سيدني ، أستراليا (٢٠٠٢) ؛ باريس ، فرنسا (٢٠٠٥)؛ ريو دي جانيرو ، البرازيل (٢٠٠٧)؛ جرونينجن ، هولندا (٢٠٠٩)؛ إنترا ( فيربانيا )، إيطاليا (٢٠١١)؛ أوبسالا ، السويد (٢٠١٣)؛ ريكيافيك ، أيسلندا (٢٠١٥)؛ فونتينبلو، فرنسا (٢٠١٧)؛ وساربروكن ، ألمانيا (٢٠١٩). ^{[ ١ ]}

في علم التشكل الثنائي، تُعتبر الصورة مجموعة فرعية من فضاء إقليدي.${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$أو شبكة الأعداد الصحيحة${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$، لبعض الأبعاد d .

المشغلون الأساسيون

العمليات الأساسية هي عوامل ثابتة الإزاحة ( ثابتة الترجمة ) مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بعملية جمع مينكوفسكي .

ليكن E فضاءً إقليدياً أو شبكة عددية صحيحة، و A صورة ثنائية في E.

تآكل

تآكل الصورة الثنائية${\displaystyle A}$بواسطة العنصر الهيكلي${\displaystyle B}$يتم تعريفها بواسطة

${\displaystyle A\ominus B=\{z\in E\mid B_{z}\subseteq A\},}$

أين${\displaystyle B_{z}}$هي ترجمة${\displaystyle B}$بواسطة المتجه${\displaystyle z}$، أي،${\displaystyle \forall z\in E\quad B_{z}=\{b+z\mid b\in B\}.}$

عندما يكون العنصر الهيكلي${\displaystyle B}$له مركز (مثلاً،${\displaystyle B}$(هو قرص أو مربع)، ويقع هذا المركز عند نقطة الأصل.${\displaystyle E}$ثم تآكل${\displaystyle A}$بواسطة${\displaystyle B}$يمكن فهمها على أنها موضع النقاط التي يصل إليها مركز${\displaystyle B}$متى${\displaystyle B}$يتحرك إلى الداخل${\displaystyle A}$على سبيل المثال، تآكل مربع طول ضلعه${\displaystyle 10}$، متمركزة عند نقطة الأصل، بواسطة قرص نصف قطره${\displaystyle 2}$مربع، مركزه أيضًا نقطة الأصل، طول ضلعه${\displaystyle 6}$متمركزة عند نقطة الأصل.

تآكل${\displaystyle A}$بواسطة${\displaystyle B}$ويمكن التعبير عنها أيضاً بالصيغة التالية${\displaystyle A\ominus B=\bigcap _{b\in B}A_{-b}}$.

مثال تطبيقي: لنفترض أننا استلمنا نسخةً ضوئيةً داكنةً من الفاكس. يبدو كل شيء وكأنه كُتب بقلم حبر يسيل منه الحبر. ستؤدي عملية التآكل إلى جعل الخطوط السميكة رفيعةً، مما يكشف عن الثقب الموجود داخل حرف "o".

تمدد

يُعرَّف تمدد A بواسطة عنصر التشكيل B بواسطة

${\displaystyle A\oplus B=\bigcup _{b\in B}A_{b}.}$

التمدد تبادلي، ويُعطى أيضًا بواسطة${\displaystyle A\oplus B=B\oplus A=\bigcup _{a\in A}B_{a}}$.

إذا كان مركز B عند نقطة الأصل، كما في السابق، فإن تمدد A بواسطة B يُمكن فهمه على أنه المحل الهندسي للنقاط التي يغطيها B عندما يتحرك مركز B داخل A. في المثال أعلاه، ينتج عن تمدد المربع ذي الضلع 10 بواسطة القرص ذي نصف القطر 2 مربعٌ ذو ضلع 14، بزوايا مستديرة، ومركزه عند نقطة الأصل. نصف قطر الزوايا المستديرة هو 2.

ويمكن الحصول على التمدد أيضًا عن طريق${\displaystyle A\oplus B=\{z\in E\mid (B^{s})_{z}\cap A\neq \varnothing \}}$حيث يرمز B ^s إلى التناظر لـ B ، أي${\displaystyle B^{s}=\{x\in E\mid -x\in B\}}$.

مثال تطبيقي: التمدد هو العملية المزدوجة للتآكل. فالأشكال المرسومة بخفة تصبح أكثر سمكًا عند "تمددها". وأسهل طريقة لوصف ذلك هي تخيل كتابة نفس الفاكس/النص بقلم أكثر سمكًا.

افتتاح

يتم الحصول على فتح A بواسطة B عن طريق تآكل A بواسطة B ، متبوعًا بتمدد الصورة الناتجة بواسطة B :

${\displaystyle A\circ B=(A\ominus B)\oplus B.}$

كما تم تقديم الافتتاح بواسطة${\displaystyle A\circ B=\bigcup _{B_{x}\subseteq A}B_{x}}$وهذا يعني أنه موضع انتقالات عنصر التشكيل B داخل الصورة A. في حالة المربع ذي الضلع 10، والقرص ذي نصف القطر 2 كعنصر تشكيل، تكون الفتحة مربعًا ذا ضلع 10 بزوايا مستديرة، حيث نصف قطر الزاوية 2.

مثال توضيحي: لنفترض أن شخصًا ما كتب ملاحظة على ورقة غير قابلة للتبلل، وأن الكتابة تبدو وكأنها تنمو عليها جذور شعرية صغيرة. يؤدي فتح الورقة إلى إزالة هذه التسريبات الشعرية الخارجية الدقيقة، واستعادة النص. ومن الآثار الجانبية لذلك، أنها تُضفي نعومة على النص، فتبدأ الحواف الحادة بالاختفاء.

الإغلاق

يتم الحصول على إغلاق A بواسطة B عن طريق تمديد A بواسطة B ، متبوعًا بتآكل البنية الناتجة بواسطة B :

${\displaystyle A\bullet B=(A\oplus B)\ominus B.}$

ويمكن أيضاً إتمام الصفقة عن طريق${\displaystyle A\bullet B=(A^{c}\circ B^{s})^{c}}$حيث يرمز X ^c إلى مكمل X بالنسبة إلى E (أي ،${\displaystyle X^{c}=\{x\in E\mid x\notin X\}}$). ما سبق يعني أن الإغلاق هو مكمل موضع انتقالات العنصر المتناظر للهيكل خارج الصورة A.

خصائص المؤثرات الأساسية

فيما يلي بعض خصائص عوامل التشكل الثنائية الأساسية (التمدد، والتآكل، والفتح، والإغلاق):

• إنها ثابتة عند الترجمة .
• إنها تتزايد ، أي إذا${\displaystyle A\subseteq C}$، ثم${\displaystyle A\oplus B\subseteq C\oplus B}$، و${\displaystyle A\ominus B\subseteq C\ominus B}$، إلخ.
• التمدد تبادلي :${\displaystyle A\oplus B=B\oplus A}$.
• إذا كان أصل E ينتمي إلى عنصر البناء B ، فإن${\displaystyle A\ominus B\subseteq A\circ B\subseteq A\subseteq A\bullet B\subseteq A\oplus B}$.
• التوسع ترابطي ، أي${\displaystyle (A\oplus B)\oplus C=A\oplus (B\oplus C)}$علاوة على ذلك، فإن التآكل يفي بـ${\displaystyle (A\ominus B)\ominus C=A\ominus (B\oplus C)}$.
• التآكل والتمدد يحققان الازدواجية${\displaystyle A\oplus B=(A^{c}\ominus B^{s})^{c}}$.
• الفتح والإغلاق يرضيان الازدواجية${\displaystyle A\bullet B=(A^{c}\circ B^{s})^{c}}$.
• التمدد توزيعي على اتحاد المجموعات
• يكون التآكل توزيعيًا على تقاطع المجموعة
• التمدد هو عكس التآكل، والعكس صحيح، بالمعنى التالي:${\displaystyle A\subseteq (C\ominus B)}$إذا وفقط إذا${\displaystyle (A\oplus B)\subseteq C}$.
• الفتح والإغلاق عمليتان متكررتان .
• الفتحة مضادة للتوسع ، أي${\displaystyle A\circ B\subseteq A}$بينما الإغلاق شامل ، أي${\displaystyle A\subseteq A\bullet B}$.

في علم التشكل الرمادي ، تُعتبر الصور دوالًا تُسقط فضاءً إقليديًا أو شبكة E على${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}}$، أين${\displaystyle \mathbb {R} }$هي مجموعة الأعداد الحقيقية ،${\displaystyle \infty }$هو عنصر أكبر من أي عدد حقيقي، و${\displaystyle -\infty }$هو عنصر أصغر من أي عدد حقيقي.

عناصر الهيكلة ذات التدرج الرمادي هي أيضًا وظائف من نفس التنسيق، وتسمى "وظائف الهيكلة".

إذا رمزنا للصورة بـ f ( x )، وللدالة الهيكلية بـ b ( x )، وللمجال الداعم لـ b بـ B ، فإن تمدد f بواسطة b على تدرج الرمادي يُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle (f\oplus b)(x)=\sup _{y\in B}[f(xy)+b(y)],}$

حيث يشير "sup" إلى القيمة العليا .

وبالمثل، يُعطى تآكل f بواسطة b بالعلاقة التالية

${\displaystyle (f\ominus b)(x)=\inf _{y\in B[f(x+y)-b(y)],}$

حيث يشير "inf" إلى الحد الأدنى .

كما هو الحال في علم التشكل الثنائي، يتم تحديد الفتح والإغلاق على التوالي بواسطة

${\displaystyle f\circ b=(f\ominus b)\oplus b,}$

${\displaystyle f\bullet b=(f\oplus b)\ominus b.}$

الشبكات الكاملة هي مجموعات مرتبة جزئياً ، حيث تحتوي كل مجموعة جزئية على حد أدنى وحد أعلى . على وجه الخصوص، تحتوي على أصغر عنصر وأكبر عنصر (يُشار إليه أيضاً باسم "الكون").

• تحويل H-maxima
• جبر الخرائط

• تحليل الصور والتشكل الرياضي، تأليف جان سيرا، رقم ISBN 0-12-637240-3(1982)
• تحليل الصور والتشكل الرياضي، المجلد 2: التطورات النظرية، بقلم جان سيرا، رقم ISBN 0-12-637241-1(1988)
• مقدمة في معالجة الصور المورفولوجية بقلم إدوارد ر. دوهرتي، رقم ISBN 0-8194-0845-X(1992)
• تحليل الصور المورفولوجي: المبادئ والتطبيقات ، بقلم بيير سويل، رقم ISBN 3-540-65671-5(1999)، الطبعة الثانية (2003)
• المورفولوجيا الرياضية وتطبيقاتها في معالجة الإشارات ، تحرير ج. سيرا وف. ساليمبير، وقائع ورشة العمل الدولية الأولى حول المورفولوجيا الرياضية وتطبيقاتها في معالجة الإشارات (ISMM'93)، رقم ISBN 84-7653-271-7(1993)
• المورفولوجيا الرياضية وتطبيقاتها في معالجة الصور ، تحرير ج. سيرا وب. سويل، وقائع الندوة الدولية الثانية حول المورفولوجيا الرياضية (ISMM'94)، رقم ISBN 0-7923-3093-5(1994)
• المورفولوجيا الرياضية وتطبيقاتها في معالجة الصور والإشارات ، هينك جيه إيه إم هيجمانز وجوس بي تي إم رويردينك (محرران)، وقائع الندوة الدولية الرابعة حول المورفولوجيا الرياضية (ISMM'98)، رقم ISBN 0-7923-5133-9(1998)
• علم الصرف الرياضي: بعد أربعين عامًا ، كريستيان رونس، لوران نجمان، وإتيان ديسينسيير (محررون)، رقم ISBN 1-4020-3442-3(2005)
• المورفولوجيا الرياضية وتطبيقاتها في معالجة الإشارات والصور ، جيرالد جيه إف بانون، جونيور باريرا، أوليسيس إم براغا-نيتو (محررون)، وقائع الندوة الدولية الثامنة حول المورفولوجيا الرياضية (ISMM'07)، رقم ISBN 978-85-17-00032-4(2007)
• المورفولوجيا الرياضية: من النظرية إلى التطبيقات ، لوران نجمان وهيوز تالبوت (محرران). ISTE-Wiley. ISBN 978-1-84821-215-2(520 صفحة) يونيو 2010

• دورة تدريبية عبر الإنترنت في علم التشكل الرياضي ، من إعداد جان سيرا (باللغات الإنجليزية والفرنسية والإسبانية)
• مركز علم التشكل الرياضي ، مدرسة باريس للمناجم
• تاريخ علم التشكل الرياضي ، بقلم جورج ماثيرون وجان سيرا
• نشرة مورفولوجيا دايجست، وهي نشرة إخبارية حول المورفولوجيا الرياضية ، بقلم بيير سويل
• محاضرات في معالجة الصور: مجموعة من 18 محاضرة بصيغة PDF من جامعة فاندربيلت. تتناول المحاضرات من 16 إلى 18 علم التشكل الرياضي ، من تقديم آلان بيترز.
• علم التشكل الرياضي؛ من محاضرات رؤية الحاسوب ، بقلم روبين أوينز
• SMIL - مكتبة صور مورفولوجية بسيطة (لكنها فعالة) (من مدرسة المناجم في باريس)
• مكتبة معالجة الصور المجانية المحسّنة بتقنية SIMD
• عرض توضيحي لتطبيق جافا
• المرشحات  : مكتبة مجانية مفتوحة المصدر لمعالجة الصور
• تآكلات مورفولوجية سريعة، وتمددات، وانفتاحات، وانغلاقات
• التحليل المورفولوجي للخلايا العصبية باستخدام برنامج Matlab