رقم بيل

في الرياضيات ، تُعرف أعداد بيل بأنها متتالية لانهائية من الأعداد الصحيحة ، منذ القدم، وهي تمثل مقامات أقرب التقريبات النسبية للجذر التربيعي للعدد 2. تبدأ هذه المتتالية من التقريبات بالأعداد 1/1، 3/2، 7/5، 17/12، و41/ 29 ، أي أن متتالية أعداد بيل تبدأ بالأعداد 1 ، 2 ، 5 ، 12، و29. أما بسط هذه المتتالية من التقريبات ، فهي نصف أعداد بيل المرافقة لها ، أو أعداد بيل - لوكاس ؛ وتشكل هذه الأعداد متتالية لانهائية ثانية تبدأ بالأعداد 2 ، 6 ، 14 ، 34 ، و 82 .

يمكن حساب كل من أعداد بيل وأعداد بيل المرافقة لها باستخدام علاقة تكرارية مشابهة لتلك الخاصة بأعداد فيبوناتشي ، وتنمو كلتا المتتاليتين بشكل أُسّي ، بما يتناسب مع قوى نسبة الفضة 1 +  √2 . إلى جانب استخدامها لتقريب الجذر التربيعي للعدد اثنين ، يمكن استخدام أعداد بيل لإيجاد أعداد مثلثية مربعة ، ولإنشاء تقريبات عددية صحيحة للمثلث القائم متساوي الساقين ، ولحل بعض مسائل التعداد التوافقي . ^{[ 1 ]} 

كما هو الحال مع معادلة بيل ، فإن اسم أعداد بيل مشتق من نسبة ليونارد أويلر الخاطئة للمعادلة والأعداد المشتقة منها إلى جون بيل . وتُنسب أعداد بيل-لوكاس أيضاً إلى إدوارد لوكاس ، الذي درس المتتاليات المعرفة بتكرارات من هذا النوع؛ وتُعرف أعداد بيل والأعداد المرافقة لها باسم متتاليات لوكاس .

تُعرَّف أعداد بيل من خلال علاقة التكرار التالية :

${\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{إذا كان }}n=0;\\1&{\mbox{إذا كان }}n=1;\\2P_{n-1}+P_{n-2}&{\mbox{فيما عدا ذلك.}}\end{cases}}}$

بمعنى آخر، تبدأ متتالية أعداد بيل بالرقمين 0 و1، ثم يكون كل عدد من أعداد بيل هو مجموع ضعف العدد السابق له، بالإضافة إلى العدد الذي يسبقه. الحدود القليلة الأولى من المتتالية هي

0، 1، 2، 5، 12، 29، 70، 169، 408، 985، 2378، 5741، 13860، … (التسلسل A000129 في OEIS ) .

وبالمثل لصيغة بينيه ، يمكن أيضًا التعبير عن أعداد بيل بالصيغة المغلقة.

${\displaystyle P_{n}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2{\sqrt {2}}}}.}$

بالنسبة للقيم الكبيرة لـ n ، يهيمن الحد (1 + √ 2 ) ⁿ على هذا التعبير، لذا فإن أعداد بيل تتناسب تقريبًا مع قوى النسبة الفضية 1 + √ 2 ، على غرار معدل نمو أعداد فيبوناتشي كقوى للنسبة الذهبية .

يمكن التوصل إلى تعريف ثالث، انطلاقاً من صيغة المصفوفة .

${\displaystyle {\begin{pmatrix}P_{n+1}&P_{n}\\P_{n}&P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}.}$

يمكن اشتقاق أو إثبات العديد من المتطابقات من هذه التعريفات؛ على سبيل المثال، متطابقة مماثلة لمتطابقة كاسيني لأعداد فيبوناتشي،

${\displaystyle P_{n+1}P_{n-1}-P_{n}^{2}=(-1)^{n},}$

^{[ 2 ]} وهي نتيجة مباشرة لصيغة المصفوفة (التي تم التوصل إليها من خلال النظر في محددات المصفوفات على الجانبين الأيسر والأيمن من صيغة المصفوفة).

تظهر أعداد بيل تاريخيًا، وبشكل ملحوظ، في التقريب العقلاني لـ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$إذا شكل عددان صحيحان كبيران x و y حلاً لمعادلة بيل

${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=\pm 1,}$

ثم نسبتهم${\displaystyle x/y}$⁠ يوفر تقريبًا دقيقًا لـ ⁠${\displaystyle {\sqrt {2}}}$. سلسلة التقريبات من هذا الشكل هي

${\displaystyle {\frac {1}{1}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}},\dots }$

حيث يكون مقام كل كسر عددًا من أعداد بيل، ويكون بسطه مجموع عدد من أعداد بيل والعدد السابق له في المتتالية. أي أن الحلول تأخذ الشكل التالي:

${\displaystyle {\frac {P_{n-1}+P_{n}}{P_{n}}}.}$

التقريب

${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx {\frac {577}{408}}}$

كان هذا النوع معروفًا لدى علماء الرياضيات الهنود في القرنين الثالث أو الرابع قبل الميلاد. ^{[ 3 ]} كما عرف علماء الرياضيات اليونانيون في القرن الخامس قبل الميلاد هذه المتتالية من التقريبات: ^{[ 4 ]} يشير أفلاطون إلى البسط باسم الأقطار النسبية . ^{[ 5 ]} في القرن الثاني الميلادي ، استخدم ثيون السمرني مصطلحي أعداد الأضلاع والأقطار لوصف مقامات وبسط هذه المتتالية. ^{[ 6 ]}

يمكن اشتقاق هذه التقريبات من توسيع الكسور المستمرة لـ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$:

${\displaystyle {\sqrt {2}}=[1;2,2,2,\ldots {}]=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{{\vphantom {x}} \atop \displaystyle \ddots }}}}}}}.}$

يؤدي اقتطاع هذا التوسع إلى أي عدد من الحدود إلى إنتاج أحد التقريبات القائمة على أرقام بيل في هذه المتتالية؛ على سبيل المثال، مع سبعة${\displaystyle 2}$s ,

${\displaystyle [1;2,2,2,2,2,2,2]={\frac {577}{408}}.}$

كما يوضح كنوت (1994)، فإن حقيقة أن أرقام بيل تقارب ⁠${\displaystyle {\sqrt {2}}}$يُتيح ذلك استخدامها لإجراء تقريبات منطقية دقيقة لمضلع ثماني منتظم ذي إحداثيات رؤوس (± P _i ، ± P _{i + 1} ) و (± P _{i + 1} ، ± P _i ) . جميع الرؤوس متساوية البعد عن نقطة الأصل ، وتشكل زوايا شبه منتظمة حولها. بدلاً من ذلك، النقاط ${\displaystyle (\pm (P_{i}+P_{i-1}),0)}$،${\displaystyle (0,\pm (P_{i}+P_{i-1}))}$، و${\displaystyle (\pm P_{i},\pm P_{i})}$تشكل أشكالًا ثمانية الأضلاع تقريبية تكون فيها الرؤوس متساوية البعد تقريبًا عن نقطة الأصل وتشكل زوايا منتظمة.

العدد الأولي من نوع بيل هو عدد من أعداد بيل يكون أوليًا . الأعداد الأولية القليلة الأولى من نوع بيل هي

2، 5، 29، 5741، 33461، 44560482149، 1746860020068409، 68480406462161287469، ... (التسلسل A086383 في OEIS ) .

مؤشرات هذه الأعداد الأولية ضمن متتالية جميع أعداد بيل هي

2، 3، 5، 11، 13، 29، 41، 53، 59، 89، 97، 101، 167، 181، 191، 523، 929، 1217، 1301، 1361، 2087، 2273، 2393، 8093، ... (التسلسل A096650 في OEIS )

_{جميع هذه المؤشرات أولية بحد ذاتها. وكما هو الحال} مع أعداد فيبوناتشي، فإن عدد بيل Pn لا يكون أوليًا إلا إذا كان n نفسه أوليًا، لأنه إذا كان d قاسمًا لـ n فإن Pd يكون قاسمًا لـ Pn _.

الأعداد الوحيدة من أعداد بيل التي هي مربعات أو مكعبات أو أي قوة أعلى لعدد صحيح هي 0 و 1 و 169 = 13 ² . ^{[ 7 ]}

مع ذلك، ورغم قلة مربعات أعداد بيل أو قواها الأخرى، إلا أنها ترتبط ارتباطًا وثيقًا بالأعداد المثلثية المربعة . ^{[ 8 ]} وتحديدًا، تنشأ هذه الأعداد من المتطابقة التالية لأعداد بيل:

${\displaystyle {\bigl (}\left(P_{k-1}+P_{k}\right)\cdot P_{k}{\bigr )}^{2}={\frac {\left(P_{k-1}+P_{k}\right)^{2}\cdot \left(\left(P_{k-1}+P_{k}\right)^{2}-(-1)^{k}\right)}{2}}.}$

يصف الجانب الأيسر من هذه المتطابقة عددًا مربعًا، بينما يصف الجانب الأيمن عددًا مثلثيًا ، لذا فإن النتيجة هي عدد مربع مثلثي.

أثبت فالكون ودياز باريرو (2006) هوية أخرى تربط أعداد بيل بالمربعات وتُظهر أن مجموع أعداد بيل حتى P _{4 n +1} هو دائمًا مربع:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{4n+1}P_{i}=\left(\sum _{r=0}^{n}2^{r}{2n+1 \choose 2r}\right)^{\!2}=\left(P_{2n}+P_{2n+1}\right)^{2}.}$

على سبيل المثال، مجموع أعداد بيل حتى العدد الخامس (P ₅₎ ، أي 0 + 1 + 2 + 5 + 12 + 29 = 49 ، هو مربع العددين (P ₂ + P ₃₎ = 2 + 5 = 7. أما العددان (P _{2 n} + P _{2 n + 1)} اللذان يشكلان الجذر التربيعي لهذه المجاميع،

1، 7، 41، 239، 1393، 8119، 47321، ... (التسلسل A002315 في OEIS ) ،

تُعرف هذه الأرقام باسم أرقام نيومان-شانكس-ويليامز (NSW) .

إذا كان للمثلث القائم الزاوية أطوال أضلاع صحيحة a و b و c (مما يحقق بالضرورة نظرية فيثاغورس a² + ^b² = ^c² )، فإن ( a ^, b , c ) يُعرف باسم ثلاثية فيثاغورس . وكما يوضح مارتن (1875)، يمكن استخدام أعداد بيل لتكوين ثلاثيات فيثاغورس حيث يكون a و b متباعدين بمقدار وحدة واحدة، وهو ما يتوافق مع المثلثات القائمة الزاوية المتساوية الساقين تقريبًا . كل ثلاثية من هذا النوع تأخذ الشكل التالي:

${\displaystyle \left(2P_{n}P_{n+1},P_{n+1}^{2}-P_{n}^{2},P_{n+1}^{2}+P_{n}^{2}=P_{2n+1}\right).}$

إن سلسلة الثلاثيات الفيثاغورية المتكونة بهذه الطريقة هي

(4، 3، 5)، (20، 21، 29)، (120، 119، 169)، (696، 697، 985)، …

تُعرَّف أعداد بيل المصاحبة أو أعداد بيل-لوكاس من خلال علاقة التكرار

${\displaystyle Q_{n}={\begin{cases}2&{\mbox{إذا كان }}n=0;\\2&{\mbox{إذا كان }}n=1;\\2Q_{n-1}+Q_{n-2}&{\mbox{فيما عدا ذلك.}}\end{cases}}}$

بتعبير أدق: أول عددين في المتتالية هما 2، وكل عدد لاحق يُحسب بإضافة ضعف عدد بيل-لوكاس السابق إلى عدد بيل-لوكاس الذي يسبقه، أو بصورة مكافئة، بإضافة عدد بيل التالي إلى عدد بيل السابق: بالتالي، 82 هو العدد المقابل لـ 29، و 82 = 2 × 34 + 14 = 70 + 12. الحدود القليلة الأولى من المتتالية هي (المتتالية A002203 في OEIS ) : 2 ، 2، 6 ، 14 ، 34، 82 ، 198 ، 478 ، ...

مثل العلاقة بين أعداد فيبوناتشي وأعداد لوكاس ،

${\displaystyle Q_{n}={\frac {P_{2n}}{P_{n}}}}$

لجميع الأعداد الطبيعية n .

يمكن التعبير عن أرقام بيل المصاحبة بالصيغة المغلقة

${\displaystyle Q_{n}=\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}.}$

جميع هذه الأعداد زوجية ؛ كل عدد من هذه الأعداد يساوي ضعف البسط في أحد التقريبات النسبية لـ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$تمت مناقشته أعلاه.

كما هو الحال في متتالية لوكاس، إذا كان عدد بيل-لوكاس 1/2 Qn عددًا أوليًا ، _فمن الضروري أن يكون n إما عددًا أوليًا أو قوة للعدد 2. أعداد بيل-لوكاس الأولية هي

3، 7، 17، 41، 239، 577، ... (التسلسل A086395 في OEIS ) .

لأن هؤلاء هم ن

2، 3، 4، 5، 7، 8، 16، 19، 29، 47، 59، 163، 257، 421، … (التسلسل A099088 في OEIS ) .

يوضح الجدول التالي القوى القليلة الأولى لنسبة الفضة δ = δ _S = 1  + √ 2 ومرافقها δ = 1 − √ 2 .   

ن	(1 + √ 2 ) n	(1 − √ 2 ) n
0	1 + 0 √ 2 = 1	1 − 0 √ 2 = 1
1	1 + 1 √ 2 = 2.41421…	1 − 1 √ 2 = −0.41421…
2	3 + 2 √ 2 = 5.82842…	3 − 2 √ 2 = 0.17157…
3	7 + 5 √ 2 = 14.07106…	7 − 5 √ 2 = −0.07106…
4	17 + 12 √ 2 = 33.97056…	17 − 12 √ 2 = 0.02943…
5	41 + 29 √ 2 = 82.01219…	41 − 29 √ 2 = −0.01219…
6	99 + 70 √ 2 = 197.9949…	99 − 70 √ 2 = 0.0050…
7	239 + 169 √ 2 = 478.00209…	239 − 169 √ 2 = −0.00209…
8	577 + 408 √ 2 = 1153.99913…	577 − 408 √ 2 = 0.00086…
9	1393 + 985 √ 2 = 2786.00035…	1393 − 985 √ 2 = −0.00035…
10	3363 + 2378 √ 2 = 6725.99985…	3363 − 2378 √ 2 = 0.00014…
11	8119 + 5741 √ 2 = 16238.00006…	8119 − 5741 √ 2 = −0.00006…
12	19601 + 13860 √ 2 = 39201.99997…	19601 − 13860 √ 2 = 0.00002…

المعاملات هي أعداد بيل نصف المرافقة Hₙ وأعداد بيل Pₙ _، وهي الحلول (غير السالبة) للمعادلة H² - ^2P² = ± 1 . ^العدد المثلثي المربع _هو عدد

${\displaystyle N={\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2},}$

وهو العدد المثلثي رقم t والعدد المربع رقم s . الثلاثية الفيثاغورية شبه متساوية الساقين ^هي حل صحيح للمعادلة a² + b² = ^c² حيث a + 1 = ^b .

يُبين الجدول التالي أن تقسيم العدد الفردي H_{_n} إلى نصفين متساويين تقريبًا يُعطي عددًا مثلثيًا مربعًا عندما يكون n زوجيًا، وثلاثية فيثاغورسية متساوية الساقين تقريبًا عندما يكون n فرديًا. جميع الحلول تنشأ بهذه الطريقة.

ن	H n	P n	ت	t  + 1	s	أ	ب	ج
0	1	0	0	1	0
1	1	1				0	1	1
2	3	2	1	2	1
3	7	5				3	4	5
4	17	12	8	9	6
5	41	29				20	21	29
6	99	70	49	50	35
7	239	169				119	120	169
8	577	408	288	289	204
9	1393	985				696	697	985
10	3363	2378	1681	1682	1189
11	8119	5741				4059	4060	5741
12	19601	13860	9800	9801	6930

• وايسشتاين، إريك دبليو. "رقم بيل" . عالم الرياضيات .
• متتابعة OEIS A001333 (بسط الكسور المستمرة المتقاربة إلى جذر 2) — بسط نفس متتابعة التقريبات