بولي فورم

في الرياضيات الترفيهية ، يُعرف الشكل المتعدد بأنه شكل مستوٍ أو مركب صلب يُنشأ بضم مضلعات أساسية متطابقة . غالبًا ما يكون المضلع الأساسي (ولكن ليس بالضرورة) مضلعًا محدبًا يملأ المستوى، مثل المربع أو المثلث . وقد أُطلقت أسماء أكثر تحديدًا على الأشكال المتعددة الناتجة عن مضلعات أساسية معينة، كما هو موضح في الجدول أدناه. على سبيل المثال، ينتج عن المضلع الأساسي المربع ما يُعرف باسم " متعددات المربعات" .

قواعد البناء

قد تختلف قواعد ربط المضلعات ببعضها، ولذلك يجب تحديدها لكل نوع من أنواع الأشكال المتعددة. ومع ذلك، تنطبق القواعد التالية بشكل عام:

لا يمكن ربط مضلعين أساسيين إلا على طول حافة مشتركة، ويجب أن يشتركا في كامل تلك الحافة.
لا يجوز أن يتداخل أي شكلين هندسيين أساسيين.
يجب أن يكون الشكل المتعدد متصلاً (أي قطعة واحدة؛ انظر الرسم البياني المتصل ، الفضاء المتصل ). لا تُعتبر تكوينات المضلعات الأساسية المنفصلة أشكالاً متعددة.
لا تعتبر الصورة المعكوسة لشكل متعدد الأشكال غير متماثل شكلاً متعدد الأشكال مميزًا (الأشكال المتعددة "مزدوجة الجوانب").

لا يُقصد بهذه القواعد الإنشائية أن تكون قواعد جامدة، بل هي بمثابة إرشادات عامة حول كيفية إنشاء الأشكال المتعددة. فعلى سبيل المثال، تؤدي تعديلات قاعدة الإنشاء الأولى إلى أشكال متعددة مختلفة. وقد يؤدي الربط عند رأس مشترك إلى أشكال متعددة الملوك ، وقد يؤدي الربط ليس بالحواف، بل بحركة الحصان في الشطرنج، إلى أشكال متعددة الفرسان .

التعميمات

يمكن أيضًا دراسة الأشكال المتعددة في أبعاد أعلى. في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يمكن وصل المجسمات الأساسية على طول أوجهها المتطابقة. ينتج عن وصل المكعبات بهذه الطريقة المكعبات المتعددة ، وينتج عن وصل رباعيات الأوجه بهذه الطريقة رباعيات الأوجه المتعددة. كما يمكن طي الأشكال المتعددة ثنائية الأبعاد خارج المستوى على طول حوافها، بطريقة مشابهة للشبكة ؛ وفي حالة متعددات الأومينو، ينتج عن ذلك متعددات الأومينو .

يمكن السماح بأكثر من مضلع أساسي واحد. الاحتمالات كثيرة لدرجة أن التمرين يبدو بلا جدوى، ما لم تُضَف شروط إضافية. على سبيل المثال، تُحدِّد بلاطات بنروز قواعد إضافية لربط الحواف، مما ينتج عنه أشكال متعددة مثيرة للاهتمام ذات نوع من التناظر الخماسي.

عندما يكون الشكل الأساسي مضلعًا يغطي المستوى، يمكن كسر القاعدة 1. على سبيل المثال، يمكن توصيل المربعات بشكل متعامد عند الرؤوس، وكذلك عند الحواف، لتشكيل متعددات متداخلة/ شبه متعددة الأضلاع ، والمعروفة أيضًا باسم متعددات الأضلاع الصغيرة أو متعددات الأضلاع الكبيرة. ^{[ 1 ]}

الأنواع والتطبيقات

تُعدّ الأشكال المتعددة مصدراً غنياً للمسائل والألغاز والألعاب . وتتمثل المسألة التوافقية الأساسية في حساب عدد الأشكال المتعددة المختلفة، بمعلومية المضلع الأساسي وقواعد الإنشاء، كدالة لـ n ، وهو عدد المضلعات الأساسية في الشكل المتعدد.

الأشكال المتعددة المنتظمة
الجوانب		التبليط أحادي السطوح	بولي فورم	التطبيقات
3	المثلث متساوي الأضلاع	ديلتيل	الماس المتعدد : الماس الأحادي، الماس، الماس الثلاثي، الماس الرباعي، الماس الخماسي، الماس السداسي	بلوكوس تريجون
4	مربع	الكدريل	بوليومينو : مونومينو، دومينو ، ترومينو ، تيترومينو ، بينتومينو ، هيكسومينو ، هيبتومينو ، أوكتومينو ، نونومينو ، ديكومينو	تتريس ، فيلومينو ، عرض تينتاي ، تأثير التموج (لعبة ألغاز) ، ليتس ، نوريكابي ، سودوكو ، بلوكوس
6	سداسي منتظم	هيكسيل	متعددات السداسيات : أحادي السداسي، ثنائي السداسي، ثلاثي السداسي، رباعي السداسي، خماسي السداسي، سداسي السداسي	تانتريكس

أشكال متعددة أخرى منخفضة الأبعاد
الجوانب		التبليط أحادي السطوح	بولي فورم	التطبيقات
1	قطعة مستقيمة (مربع)	-	عصي متعددة : عصا أحادية، عصا ثنائية، عصا ثلاثية، عصا رباعية، عصا خماسية، عصا سداسية	شاشات العرض المقطعية
	قطعة مستقيمة (مثلثة)		عدادات
	قطعة مستقيمة (سداسية)		الفروع المتعددة : فرع أحادي، فرع ثنائي، فرع ثلاثي، فرع رباعي، فرع خماسي، فرع سداسي
3	مثلث 30°-60°-90°	كيرسرومبيل	رسامو الخطوط المتعددة : رسام أحادي، رسام ثنائي، رسام ثلاثي، رسام رباعي، رسام خماسي، رسام سداسي	لغز الخلود
	مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين (45°-45°-90°)	كيسكوادريل	بوليابولو : مونابولو، ديابولو، تريابولو، تيترابولو، بينتابولو، هيكسابولو، سباعي، أوكتابولو، إنيبولو، ديكابولو	تانجرام
	مثلث متساوي الساقين 30°-30°-120°	كيسديلتيل	البوليبونات : ثلاثي، رباعي
	المثلث الذهبي		البوليورات
4	مربع (متصل عند الحواف أو الزوايا)	الكدريل	بوليكينغز : خماسي، سداسي، سباعي
	مربع (متصل عند الحواف، ومزاح بمقدار النصف)		القفزات المتعددة : قفزة ثنائية، قفزة ثلاثية، قفزة رباعية
	مربع (متصل عند الحواف في الفضاء ثلاثي الأبعاد)		البوليومينويدات : أحادي المينويد
	مربع (يمثل مسار حصان الشطرنج )		فرسان متعددون : فارس رباعي، فارس خماسي، فارس سداسي	الفارس في الشطرنج
	المستطيل	رابطة مكدسة	متعددات المستطيلات : رباعي المستطيلات، خماسي المستطيلات، سداسي المستطيلات، سباعي المستطيلات	أعمال الطوب
	شبه منحرف		مصائد متعددة : مصيدة ثلاثية
	معين	رومبيل	المعينات المتعددة
	60°-90°-90°-120° طائرة ورقية	تيتريل	بوليكيتات : تريكايت، تتراكيت، بنتاكيت، هيكساكيت، سباعييت
	أنصاف المربعات		Polyares : ثلاثي، رباعي، خماسي، سداسي
	أنصاف سداسيات		بوليهيس : مونوهي، ديهي، تريهي، رباعي
5	خماسي منتظم	-	متعددات البنت : أحادي البنت، ثنائي البنت، ثلاثي البنت، رباعي البنت، خماسي البنت، سداسي البنت، سباعي البنت
	البنتاغون بالقاهرة	بنتايل رباعي الطيات	بوليكيروز
	مرن ^{[ 2 ]}	أيزو(4-)بنتيل	Polyflaptiles : diflaptile، triflaptile، tetraflaptile
	خماسي الأضلاع 120°-120°-120°-120°-60°	خماسي الأضلاع سداسي	الأزهار المتعددة
6	رومبيك ^{[ 3 ]}		بوليرومبيكس ^{[ 4 ]}
8	مثمن منتظم (مع مربعات)		متعدد الأوكتاف : ثنائي الأوكتاف
-	ربع قوس دائري		بوليبيندز
	دائرة (مع دوائر مقعرة كجسور)		بولي راوندز
	ربع دائرة، وقطاع ربع دائرة تم إزالته من مربع		الأقواس المتعددة : القوس الأحادي، القوس الثنائي، القوس الثلاثي

أشكال متعددة الأبعاد عالية
الحواف		قرص العسل أحادي السطوح	بولي فورم	التطبيقات
12	مكعب	كوبيل	متعدد المكعبات : مكعب أحادي، ديكوب، ثلاثي المكعب، رباعي، خماسي المكعب، سداسي المكعب، سباعي المكعب، ثماني المكعب	مكعب سوما ، مكعب بيدلام ، مكعب ديابوليكال ، مكعب سنيك ، لغز سلوثوبر-غراتسما ، لغز كونواي ، مكعب هيرزبيرغر
12	أنصاف مكعبات		Polybes : monobe، dibe، قبيلة، hexabe
32	مكعب رباعي الأبعاد	قرص العسل المتشعب	البوليتيسيراكتس ^{[ 5 ]}