قرص العسل المتشعب

قرص العسل المتشعب
إسقاط منظور لرقعة شطرنج حمراء وزرقاء بأبعاد 3×3×3×3
يكتب	قرص عسل منتظم بأربعة فراغات، قرص عسل موحد بأربعة فراغات
عائلة	قرص العسل المكعب الفائق
رموز شلافلي	{4,3,3,4} t 0,4 {4,3,3,4} {4,3,3 1,1 } {4,4} (2) {4,3,4}×{ ∞ } {4,4}×{ ∞ } (2) { ∞ } (4)
مخططات كوكسيتر-دينكين
نوع ذو 4 أوجه	{4,3,3}
نوع الخلية	{4,3}
نوع الوجه	{4}
شكل الحافة	{3,4} ( ثماني الأوجه )
شكل الرأس	{3,3,4} ( خلية مكونة من 16 خلية )
مجموعات كوكسيتر	${\displaystyle {\tilde {C}}_{4}}$, [4,3,3,4]${\displaystyle {\tilde {B}}_{4}}$, [4,3,3 1,1 ]
مزدوج	ذاتي مزدوج
ملكيات	متعدٍ على الرؤوس ، متعدٍ على الحواف ، متعدٍ على الوجوه ، متعدٍ على الخلايا ، متعدٍ على الوجوه الأربعة

في الهندسة الإقليدية رباعية الأبعاد ، يعتبر قرص العسل الفسيراكتي أحد الأشكال الثلاثة المنتظمة لملء الفراغ (أو أقراص العسل )، ويمثلها رمز شلافلي {4,3,3,4}، ويتكون من مجموعة من الفسيراكتات (4 مكعبات فائقة ).

شكل رؤوسها عبارة عن 16 خلية . يلتقي اثنان من المكعبات الرباعية عند كل خلية مكعبة ، ويلتقي أربعة عند كل وجه مربع ، ويلتقي ثمانية على كل حافة ، ويلتقي ستة عشر عند كل رأس .

هو نظير للتبليط المربع {4,4} في المستوى، والتبليط المكعب على شكل قرص العسل {4,3,4} في الفضاء ثلاثي الأبعاد. جميعها جزء من عائلة التبليط المكعب الفائق على شكل قرص العسل، والتي تأخذ الشكل {4,3,...,3,4}. التبليطات في هذه العائلة ذاتية التناظر .

يمكن وضع رؤوس قرص العسل هذا في الفضاء الرباعي في جميع الإحداثيات الصحيحة (i,j,k,l).

كما هو الحال في جميع خلايا النحل المكعبة الفائقة المنتظمة ، فإن خلية النحل الفسيراكتية تُقابل رصّ كراتٍ متساوية الطول والقطر، متمركزة على كل رأس، أو (بشكل مزدوج) محصورة داخل كل خلية. في خلية النحل المكعبة الفائقة رباعية الأبعاد، تتسع الكرات ثلاثية الأبعاد المتمركزة على الرؤوس والكرات ثلاثية الأبعاد المحصورة داخل الخلايا في آنٍ واحد، مُشكّلةً شبكةً مكعبةً مركزيةً مركزيةً فريدةً من نوعها، تتكون من كرات متساوية الحجم (في أي عدد من الأبعاد). ولأن الفسيراكت متساوي الأضلاع شعاعيًا ، فإن المساحة في الفراغ بين الكرات الست عشرة ثلاثية الأبعاد المتمركزة على الرؤوس تكفي تمامًا لاستيعاب كرة ثلاثية الأبعاد أخرى متساوية الطول والقطر. (هذه الشبكة المكعبة المركزية المركزية رباعية الأبعاد هي في الواقع اتحاد خليتي نحل فسيفسائيتين، في وضعين مزدوجين).

هذا هو نفس الترتيب المنتظم الأكثر كثافة المعروف للكرات الثلاثية، برقم تلامس 24، والذي يُلاحظ أيضًا في التبليطين المنتظمين الآخرين للفضاء الرباعي، وهما قرص العسل ذو 16 خلية وقرص العسل ذو 24 خلية . تلامس كل كرة ثلاثية محصورة داخل مكعب رباعي الأبعاد غلافًا محيطًا بها مكونًا من 24 كرة ثلاثية الأبعاد، 16 منها عند رؤوس المكعب الرباعي الأبعاد و8 محصورة داخل المكعبات الرباعية الأبعاد المجاورة. تمثل نقاط التلامس الـ 24 هذه رؤوس خلية مكونة من 24 خلية بنصف قطر (وطول ضلع) يساوي 1/2.

توجد العديد من تركيبات وايثوف المختلفة لهذا الشكل الشبيه بقرص العسل. الشكل الأكثر تناظرًا هو الشكل المنتظم ، ورمزه في شلافلي هو {4,3,3,4}. يوجد شكل آخر ذو وجهين متناوبين من نوع تيسيراكت (مثل رقعة الشطرنج) ورمزه في شلافلي هو {4,3,3 ^1,1 }. أما تركيب وايثوف الأقل تناظرًا فيحتوي على 16 نوعًا من الأوجه حول كل رأس، وله ناتج موشوري ورمزه في شلافلي هو { ∞ } ^4. ويمكن الحصول على أحد هذه التركيبات عن طريق ستيريكة تركيب آخر.

تُنتج مجموعة كوكسيتر [ 4,3,3,4] 31 تبديلاً من التبليط المنتظم، 21 منها بتناظر مميز و20 بهندسة مميزة. يُعدّ قرص العسل التسيراكتي الموسّع (المعروف أيضًا باسم قرص العسل التسيراكتي المُفرّغ) مطابقًا هندسيًا لقرص العسل التسيراكتي. تشترك ثلاثة من أقراص العسل المتناظرة في عائلة [3,4,3,3]. يتكرر التبديلان (13) و(17)، والتبليط التسيراكتي الربع (2) في عائلات أخرى.

خلايا نحل من نوع C4
التناظر الممتد	مخطط موسع	طلب	خلايا النحل
[4,3,3,4]:		×1	1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، 11 ، 12 ، 13
[[4,3,3,4]]		×2	(1) ، (2) ، (13) ، 18 (6) ، 19 ، 20
[(3,3)[1 + ,4,3,3,4,1 + ]] ↔ [(3,3)[3 1,1,1,1 ]] ↔ [3,4,3,3]	↔ ↔	×6	14 ، 15 ، 16 ، 17

تُنتج مجموعة كوكسيتر [4,3,3 ^1,1 ]، 31 تبديلاً من التبليط المنتظم، 23 منها ذات تناظر مميز و4 ذات هندسة مميزة. يوجد شكلان متبادلان: التبديلان (19) و(24) لهما نفس هندسة قرص العسل ذي 16 خلية وقرص العسل ذي 24 خلية المقطوع على التوالي.

أقراص العسل B4
التناظر الممتد	مخطط موسع	طلب	خلايا النحل
[4,3,3 1,1 ]:		×1	5 ، 6 ، 7 ، 8
<[4,3,3 1,1 ]>: ↔[4,3,3,4]	↔	×2	9 ، 10 ، 11 ، 12 ، 13 ، 14 ، (10) ، 15 ، 16 ، (13) ، 17 ، 18 ، 19
[3[1 + ,4,3,3 1,1 ]] ↔ [3[3,3 1,1,1 ]] ↔ [3,3,4,3]	↔ ↔	×3	1 ، 2 ، 3 ، 4
[(3,3)[1 + ,4,3,3 1,1 ]] ↔ [(3,3)[3 1,1,1,1 ]] ↔ [3,4,3,3]	↔ ↔	12 ×	20 ، 21 ، 22 ، 23

يشبه هيكل قرص العسل ذو الـ 24 خلية هذا الهيكل، ولكنه بالإضافة إلى رؤوسه عند الأعداد الصحيحة (i,j,k,l)، يحتوي على رؤوس عند أنصاف الأعداد الصحيحة (i+1/2,j+1/2,k+1/2,l+1/2) للأعداد الفردية فقط. وهو عبارة عن مكعب مركزي الجسم نصف ممتلئ (مثل رقعة الشطرنج حيث تحتوي المكعبات الحمراء ذات الأربعة أبعاد على رأس مركزي، بينما لا تحتوي المكعبات السوداء ذات الأربعة أبعاد على رأس مركزي).

يمكن للمكعب الفائق أن يشكل تبليطًا منتظمًا للكرة الرباعية ، بثلاثة مكعبات فائقة لكل وجه، برمز شلافلي {4,3,3,3}، ويُسمى قرص العسل الفائق من الرتبة 3. وهو مكافئ طوبولوجيًا للمكعب الخماسي متعدد السطوح المنتظم في الفضاء الخماسي.

يمكن للمكعب الفائق أن يشكل تبليطًا منتظمًا للفضاء الزائدي رباعي الأبعاد ، مع 5 مكعبات فائقة حول كل وجه، برمز شلافلي {4،3،3،5}، ويسمى قرص العسل الفائق من الرتبة 5 .

تُعدّ تبليطة أمان -بينكر تبليطة غير دورية ثنائية الأبعاد يتم الحصول عليها عن طريق القطع والإسقاط على قرص العسل الفسيراكتي على طول محور تناظر دوراني ثماني. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

خلايا نحل منتظمة ومتجانسة في مساحة 4:

• قرص العسل ذو 16 خلية
• قرص العسل ذو 24 خلية
• قرص العسل ذو 5 خلايا
• قرص عسل مقطوع من 5 خلايا
• قرص العسل ذو الخمس خلايا المقطوع بالكامل

• كوكسيتر، HSM Regular Polytopes ، (الطبعة الثالثة، 1973)، دوفر، ISBN 0-486-61480-8، ص  296، الجدول الثاني: خلايا النحل العادية
• كتاب "المناظير: مختارات من كتابات إتش إس إم كوكسيتر" ، حرره إف. آرثر شيرك، وبيتر ماكمولين، وأنتوني سي. طومسون، وآسيا إيفيتش فايس، منشورات وايلي-إنترساينس، 1995، رقم ISBN 978-0-471-01003-6wiley.com​
  • (الورقة 24) HSM Coxeter، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة III ، [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• جورج أولشيفسكي، مخطوطة "الأمشاط الرباعية المنتظمة ذات الصبغيات الكاملة " (2006) (قائمة كاملة تضم 11 تبليطًا محدبًا منتظمًا، و28 قرص عسل محدبًا منتظمًا، و143 مشطًا رباعيًا محدبًا منتظمًا) - النموذج 1
• كليتزينغ، ريتشارد. "التقسيمات الإقليدية رباعية الأبعاد" .x∞ox∞ox∞ox∞o, x∞xx∞ox∞ox∞o, x∞xx∞xx∞ox∞o, x∞xx∞xx∞xx∞o,x∞xx∞xx∞xx∞x, x∞ox∞o x4o4o, x∞ox∞o o4x4o, x∞xx∞o x4o4o, x∞xx∞o o4x4o, x∞ox∞o x4o4x, x∞xx∞x x4o4o, x∞xx∞x o4x4o, x∞xx∞o x4o4x, x4o4x x4o4x, x4o4x o4x4o, x4o4x x4o4o, o4x4o o4x4o, x4o4o o4x4o, x4o4o x4o4o, x∞x o3o3o *d4x, x∞o o3o3o *d4x, x∞x x4o3o4x, x∞o x4o3o4x, x∞x x4o3o4o, x∞o x4o3o4o, o3o3o *b3o4x, x4o3o3o4x, x4o3o3o4o - اختبار - O1

v ت هـ خلايا نحل أساسية محدبة منتظمة ومتجانسة بأبعاد 2-9
فضاء	عائلة	${\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {D}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$/${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$/${\displaystyle {\tilde {E}}_{n-1}}$
E 2	تبليط موحد	0 [3]	δ 3	h δ 3	q δ 3	سداسي
E 3	قرص العسل المحدب المنتظم	0 [4]	δ 4	h δ 4	q δ 4
E 4	قرص عسل رباعي منتظم	0 [5]	δ 5	h δ 5	q δ 5	قرص العسل ذو 24 خلية
E 5	قرص عسل موحد من 5	0 [6]	δ 6	h δ 6	q δ 6
E 6	قرص عسل موحد بستة أشكال	0 [7]	δ 7	h δ 7	q δ 7	2 22
E 7	قرص عسل موحد مكون من 7 خلايا	0 [8]	δ 8	h δ 8	q δ 8	1 33 • 3 31
E 8	قرص عسل موحد مكون من 8 أجزاء	0 [9]	δ 9	h δ 9	q δ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
E 9	قرص عسل موحد مكون من 9 طبقات	0 [10]	δ 10	h δ 10	q δ 10
E 10	قرص عسل موحد مكون من 10 أجزاء	0 [11]	δ 11	h δ 11	q δ 11
E n −1	قرص عسل منتظم ( ن - 1)	0 [ ن ]	δ n	h δ n	q δ n	1 كيلو 2 • 2 كيلو 1 • كيلو 21