نظرية بطليموس

ينتج عن نظرية بطليموس كنتيجة نظرية ^{[ 2 ]} تتعلق بالمثلث متساوي الأضلاع المرسوم داخل دائرة.

معطى مثلث متساوي الأضلاع مرسوم داخل دائرة، ونقطة على الدائرة.

المسافة من النقطة إلى أبعد رأس في المثلث هي مجموع المسافات من النقطة إلى الرأسين الأقرب.

البرهان: يتبع مباشرة من نظرية بطليموس:

${\displaystyle qs=ps+rs\Rightarrow q=p+r.}$

تُطبَّق هذه النتيجة على خوارزمية لحساب أشجار شتاينر الدنيا ذات البنية الثابتة، وذلك باستبدال أزواج أوراق الشجرة A و B ، التي يجب أن تتصل بنقطة شتاينر ، بالنقطة الثالثة C من مثلثها متساوي الأضلاع. يجب أن تقع نقطة شتاينر المجهولة على القوس AB من الدائرة، ويضمن هذا الاستبدال بقاء طول الشجرة ثابتًا بغض النظر عن موقعها. ^{[ 3 ]}

يمكن رسم أي مربع داخل دائرة مركزها مركز المربع. إذا كان طول أضلاعها الأربعة المشتركة يساوي${\displaystyle a}$إذن، طول القطر يساوي${\displaystyle a{\sqrt {2}}}$وفقًا لنظرية فيثاغورس ، ومن الواضح أن علاقة بطليموس صحيحة.

بشكلٍ أعم، إذا كان الشكل الرباعي مستطيلاً بأضلاع a و b وقطر d، فإن نظرية بطليموس تُختزل إلى نظرية فيثاغورس. في هذه الحالة، يتطابق مركز الدائرة مع نقطة تقاطع القطرين. ويكون حاصل ضرب القطرين d²، وبالتالي فإن ^{الطرف الأيمن} من علاقة بطليموس هو مجموع a² + b² ^.  

يشير كوبرنيكوس - الذي استخدم نظرية بطليموس على نطاق واسع في أعماله المثلثية - إلى هذه النتيجة على أنها "نتيجة بديهية" أو نتيجة واضحة بذاتها:

علاوة على ذلك، من الواضح ( manifestum est ) أنه عندما يتم تحديد الوتر المحيط بقوس ما، يمكن أيضًا إيجاد ذلك الوتر الذي يحيط ببقية نصف الدائرة. ^{[ 4 ]}

ومن الأمثلة الأكثر إثارة للاهتمام العلاقة بين طول الضلع (أ) وطول الأوتار الخمسة (المشتركة) (ب ) في خماسي منتظم. بإكمال المربع ، نحصل على النسبة الذهبية : ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{array}{rl}b\cdot b\,\;\;\qquad \quad \qquad =&\!\!\!\!a\!\cdot \!a+a\!\cdot \!b\\b^{2}\;\;-ab\quad \qquad =&\!\!a^{2}\\{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\;\;-{\frac {ab}{a^{2}}}\;\;\;\qquad =&\!\!\!{\frac {a^{2}}{a^{2}}}\\\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}-{\frac {b}{a}}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}=&\!\!1+\left({\frac (1/2)^2\\\left({\frac {b}{a}}-{\frac {1}{2}}\right)^2=&\!\!\quad {\frac {5}{4}}\\{\frac {b}{a}}-{\frac {1}{2}}\;\;\;=&\!\!\!\!\pm {\frac {\sqrt {5}}{2}}\\{\frac {b}{a}}>0\,\Rightarrow \,\varphi ={\frac {b}{a}}=&\!\!\!\!{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\end{array}}}$

إذا تم الآن رسم القطر AF بحيث ينصف DC بحيث يكون DF و CF هما الضلعان c من مضلع عشري داخلي، فيمكن تطبيق نظرية بطليموس مرة أخرى - هذه المرة على الشكل الرباعي الدائري ADFC الذي يكون قطره d أحد أقطاره:

${\displaystyle ad=2bc}$

${\displaystyle \Rightarrow ad=2\varphi ac}$أين${\displaystyle \varphi }$هي النسبة الذهبية.

${\displaystyle \Rightarrow c={\frac {d}{2\varphi }}.}$^{[ 6 ]}

ومن ثم يُحسب طول ضلع المضلع العشاري المرسوم داخل الدائرة بدلالة قطر الدائرة. بتطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث القائم الزاوية AFD، نحصل على "b" بدلالة القطر، ثم يُحسب طول ضلع المضلع الخماسي "a" ^{[ 7 ] كما يلي:}

${\displaystyle a={\frac {b}{\varphi }}=b\left(\varphi -1\right).}$

كما كتب كوبرنيكوس (متبعًا لبطليموس)،

"إذا تم إعطاء قطر الدائرة، فإن أضلاع المثلث والرباعي والخماسي والسداسي والعشاري التي تحيط بها نفس الدائرة تكون معطاة أيضًا." ^{[ 8 ]}

يُظهر هذا الرسم المتحرك عرضًا مرئيًا لنظرية بطليموس، استنادًا إلى ديريك وهيرستين (2012). ^{[ 9 ]}

ليكن ABCD شكلاً رباعياً دائرياً . على الوتر BC، الزاويتان المحيطيتان ∠BAC = ∠BDC، وعلى AB، ∠ADB = ∠ACB. أنشئ النقطة K على AC بحيث ∠ABK = ∠CBD؛ بما أن ∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD، فإن ∠CBK = ∠ABD.

الآن، بالنظر إلى الزوايا المشتركة، فإن المثلث ABK يشابه المثلث DBC، وكذلك المثلث ABD يشابه المثلث KBC. بالتالي، AK/AB = CD/BD، وCK/BC = DA/BD؛ وبالمثل، AK⋅BD = AB⋅CD، وCK⋅BD = BC⋅DA. بجمع المعادلتين، نحصل على AK⋅BD + CK⋅BD = AB⋅CD + BC⋅DA، وبتحليل هذه المعادلة نحصل على (AK+CK)·BD = AB⋅CD + BC⋅DA. لكن بما أن AK+CK = AC، فإن AC⋅BD = AB⋅CD + BC⋅DA، وهو المطلوب إثباته ^{[ 10 ].}

البرهان بصيغته الحالية صالح فقط للأشكال الرباعية الدائرية البسيطة . إذا كان الشكل الرباعي يتقاطع مع نفسه، فإن النقطة K ستكون خارج القطعة المستقيمة AC. ولكن في هذه الحالة، AK − CK = ±AC، مما يعطي النتيجة المتوقعة.

نستخدم أولاً النظرية التي تنص على أنه بالنسبة للمسافات${\displaystyle AD,BD,CD}$من نقطة ثابتة${\displaystyle D}$إلى رؤوس${\displaystyle \triangle ABC}$والأعمدة${\displaystyle DA_{1},DB_{1},DC_{1}}$انزلقت إلى الجوانب الثلاثة${\displaystyle BC,AC,AB}$حيث تمثل أقدام هذه الأعمدة رؤوس مثلث${\displaystyle A_{1}B_{1}C_{1}}$، جوانب${\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{1}}$نكون

${\displaystyle B_{1}C_{1}={\frac {BC\cdot AD}{2R}},\ C_{1}A_{1}={\frac {AC\cdot BD}{2R}},\ A_{1}B_{1}={\frac {AB\cdot CD}{2R}},\qquad (1)}$

أين${\displaystyle R}$نصف قطر المثلث${\displaystyle ABC}$الدائرة المحيطة. ولإثبات ذلك، نطبق قانون الجيب على المثلثات${\displaystyle AC_{1}B_{1}}$،${\displaystyle BA_{1}C_{1}}$،${\displaystyle CB_{1}A_{1}}$وكذلك لـ${\displaystyle \triangle ABC}$نفسها.

في الجزء الثاني، نضع النقطة${\displaystyle D}$على الدائرة المحيطة للحصول على الشكل الرباعي الدائري${\displaystyle ABCD}$والآن، الأقدام${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1}}$تقع هذه النقاط على خط مستقيم واحد، وتشكل خط سيمسون. وبالتالي،${\displaystyle A_{1}C_{1}=A_{1}B_{1}+B_{1}C_{1}}$وباستخدام (1) ينتج عنه نظرية بطليموس.

لنفترض أن الزوايا المحيطية المقابلة لـ${\displaystyle AB}$،${\displaystyle BC}$و${\displaystyle CD}$على التوالي،${\displaystyle \alpha }$،${\displaystyle \beta }$و${\displaystyle \gamma }$ويكون نصف قطر الدائرة${\displaystyle R}$ثم لدينا${\displaystyle AB=2R\sin \alpha }$،${\displaystyle BC=2R\sin \beta }$،${\displaystyle CD=2R\sin \gamma }$،${\displaystyle AD=2R\sin(180^{\circ }-(\alpha +\beta +\gamma ))}$،${\displaystyle AC=2R\sin(\alpha +\beta )}$و${\displaystyle BD=2R\sin(\beta +\gamma )}$وتتحول المساواة الأصلية المراد إثباتها إلى

${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )\sin(\beta +\gamma )=\sin \alpha \sin \gamma +\sin \beta \sin(\alpha +\beta +\gamma )}$

ومنها العامل${\displaystyle 4R^{2}}$اختفى بقسمة طرفي المعادلة عليه.

والآن باستخدام صيغ مجموع الزوايا ،${\displaystyle \sin(x+y)=\sin {x}\cos y+\cos x\sin y}$و${\displaystyle \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y}$من السهل إثبات أن طرفي المعادلة أعلاه متساويان.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sin \alpha \sin \beta \cos \beta \cos \gamma +\sin \alpha \cos ^{2}\beta \sin \gamma \\+{}&\cos \alpha \sin ^{2}\beta \cos \gamma +\cos \alpha \sin \beta \cos \beta \sin \gamma .\نهاية {المحاذاة}}}$

QED

إليك برهان آخر، ربما يكون أكثر وضوحًا، باستخدام حساب المثلثات الأساسي. عرّف شكلًا رباعيًا جديدًا${\displaystyle ABCD'}$محفورة في نفس الدائرة، حيث${\displaystyle A,B,C}$هي نفسها كما في${\displaystyle ABCD}$، و${\displaystyle D'}$تقع في نقطة جديدة على نفس الدائرة، المحددة بواسطة${\displaystyle |{\overline {AD'}}|=|{\overline {CD}}|}$، ${\displaystyle |{\overline {CD'}}|=|{\overline {AD}}|}$(صورة مثلث)${\displaystyle ACD}$انقلبت، بحيث أصبح الرأس${\displaystyle C}$ينتقل إلى الرأس${\displaystyle A}$والرأس${\displaystyle A}$ينتقل إلى الرأس${\displaystyle C}$. رأس${\displaystyle D}$سيتم الآن تحديد موقعها عند نقطة جديدة D' على الدائرة. ثم،${\displaystyle ABCD'}$له نفس أطوال الحواف، وبالتالي نفس الزوايا المحيطية التي تشكلها الحواف المقابلة، كما${\displaystyle ABCD}$ولكن بترتيب مختلف. أي،${\displaystyle \alpha }$،${\displaystyle \beta }$و${\displaystyle \gamma }$، على التوالي،${\displaystyle AB,BC}$و${\displaystyle AD'}$. أيضًا،${\displaystyle ABCD}$و${\displaystyle ABCD'}$لهم نفس المساحة. ثم،

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Area} (ABCD)&={\frac {1}{2}}AC\cdot BD\cdot \sin(\alpha +\gamma );\\\mathrm {Area} (ABCD')&={\frac {1}{2}}AB\cdot AD'\cdot \sin(180^{\circ }-\alpha -\gamma )+{\frac {1}{2}}BC\cdot CD'\cdot \sin(\alpha +\gamma )\\&={\frac {1}{2}}(AB\cdot CD+BC\cdot AD)\cdot \sin(\alpha +\gamma ).\end{aligned}}}$

QED

اختر دائرة مساعدة${\displaystyle \Gamma }$نصف قطر${\displaystyle r}$مركزها النقطة D، والتي يتم عندها عكس الدائرة المحيطة بالشكل ABCD إلى خط مستقيم (انظر الشكل). ثم ${\displaystyle A'B'+B'C'=A'C'.}$ ثم${\displaystyle A'B',B'C'}$و${\displaystyle A'C'}$يمكن التعبير عنها على النحو التالي ${\textstyle {\frac {AB\cdot DB'}{DA}}}$،${\textstyle {\frac {BC\cdot DB'}{DC}}}$و${\textstyle {\frac {AC\cdot DC'}{DA}}}$على التوالي. ضرب كل حد في${\textstyle {\frac {DA\cdot DC}{DB'}}}$وباستخدام${\textstyle {\frac {DC'}{DB'}}={\frac {DB}{DC}}}$ويؤدي ذلك إلى مساواة بطليموس.

QED

لاحظ أنه إذا لم يكن الشكل الرباعي دائريًا، فإن A' و B' و C' تشكل مثلثًا، وبالتالي فإن A'B'+B'C' > A'C'، مما يعطينا برهانًا بسيطًا جدًا لمتباينة بطليموس والتي يتم عرضها أدناه.

قم بتضمين ABCD في المستوى المركب${\displaystyle \mathbb {C} }$من خلال تحديد${\displaystyle A\mapsto z_{A},\ldots ,D\mapsto z_{D}}$كأربعة أعداد مركبة متميزة${\displaystyle z_{A},\ldots ,z_{D}\in \mathbb {C} }$عرّف النسبة التبادلية

${\displaystyle \zeta$ :={\frac {(z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})}{(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})}}\in \mathbb {C} _{\neq 0}} .

ثم

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {AD}}\cdot {\overline {BC}}&=\left|z_{A}-z_{B}\right|\left|z_{C}-z_{D}\right|+\left|z_{A}-z_{D}\right|\left|z_{B}-z_{C}\right|\\&=\left|(z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})\right|+\left|(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})\right|\\&=\left(\left|{\frac {(z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})}{(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})}}\right|+1\right)\left|(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})\right|\\&=\left(\left|\zeta \right|+1\right)\left|(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})\right|\\&\geq \left|(\zeta +1)(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})\right|\\&=\left|(z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})+(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})\right|\\&=\left|(z_{A}-z_{C})(z_{B}-z_{D})\right|\\&=\left|z_{A}-z_{C}\right|\left|z_{B}-z_{D}\right|\\&={\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}\end{aligned}}}$

مع المساواة إذا وفقط إذا كانت النسبة التبادلية${\displaystyle \zeta }$هو عدد حقيقي موجب. وهذا يثبت متباينة بطليموس بشكل عام، إذ لم يتبق سوى إثبات أن${\displaystyle z_{A},\ldots ,z_{D}}$تقع بشكل متتابع على دائرة (ربما ذات نصف قطر لانهائي، أي خط مستقيم) في${\displaystyle \mathbb {C} }$إذا وفقط إذا${\displaystyle \zeta \in \mathbb {R} _{>0}}$.

من الشكل القطبي للعدد المركب${\displaystyle z=\vert z\vert e^{i\arg(z)}}$ويتبع ذلك

${\displaystyle {\begin{aligned}\arg(\zeta )&=\arg {\frac {(z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})}{(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})}}\\&=\arg(z_{A}-z_{B})+\arg(z_{C}-z_{D})-\arg(z_{A}-z_{D})-\arg(z_{B}-z_{C}){\pmod {2\pi }}\\&=\arg(z_{A}-z_{B})+\arg(z_{C}-z_{D})-\arg(z_{A}-z_{D})-\arg(z_{C}-z_{B})-\arg(-1){\pmod {2\pi }}\\&=-\left[\arg(z_{C}-z_{B})-\arg(z_{A}-z_{B})\right]-\left[\arg(z_{A}-z_{D})-\arg(z_{C}-z_{D})\right]-\arg(-1){\pmod {2\pi }}\\&=-\angle ABC-\angle CDA-\pi {\pmod {2\pi }}\\&=0\end{aligned}}}$

وتتحقق المساواة الأخيرة إذا وفقط إذا كان الشكل الرباعي ABCD دائريًا، لأن الشكل الرباعي يكون دائريًا إذا وفقط إذا كان مجموع الزوايا المتقابلة يساوي${\displaystyle \pi }$.

QED

لاحظ أن هذا البرهان يتم بشكل مكافئ من خلال ملاحظة أن دورية ABCD، أي التكاملية${\displaystyle \angle ABC}$و${\displaystyle \angle CDA}$، وهو ما يعادل الشرط

${\displaystyle \arg \left[(z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})\right]=\arg \left[(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})\right]=\arg \left[(z_{A}-z_{C})(z_{B}-z_{D})\right]{\pmod {2\pi }}}$؛

وعلى وجه الخصوص، هناك دوران لـ${\displaystyle \mathbb {C} }$في هذا${\displaystyle \arg }$يساوي صفرًا (أي أن جميع نواتج الضرب الثلاثة أعداد حقيقية موجبة)، وبموجب نظرية بطليموس

${\displaystyle {\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {AD}}\cdot {\overline {BC}}={\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}}$

ثم يتم إثبات ذلك مباشرة من المتطابقة الجبرية البسيطة

${\displaystyle (z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})+(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})=(z_{A}-z_{C})(z_{B}-z_{D}).}$

يترك${\displaystyle \theta _{1}=\theta _{3}}$و${\displaystyle \theta _{2}=\theta _{4}}$. ثم${\displaystyle \theta _{1}+\theta _{2}=\theta _{3}+\theta _{4}=90^{\circ }}$ (بما أن الزوايا المتقابلة في الشكل الرباعي الدائري متكاملة). إذن: ^{[ 11 ]}

${\displaystyle \sin \theta _{1}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\sin(\theta _{1}+\theta _{4})}$

${\displaystyle \sin ^{2}\theta _{1}+\sin ^{2}\theta _{2}=\sin ^{2}(\theta _{1}+\theta _{2})}$

${\displaystyle \sin ^{2}\theta _{1}+\cos ^{2}\theta _{1}=1}$

يترك${\displaystyle \theta _{2}=\theta _{4}}$يصبح المستطيل المذكور في النتيجة 1 شبه منحرف متناظر ذو قطرين متساويين وضلعين متساويين. ويختلف طول الضلعين المتوازيين بمقدار${\displaystyle 2x}$الوحدات حيث:

${\displaystyle x=S_{2}\cos(\theta _{2}+\theta _{3})}$

سيكون من الأسهل في هذه الحالة الرجوع إلى الصيغة القياسية لنظرية بطليموس:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}S_{1}S_{3}+S_{2}S_{4}={\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}\\\Rightarrow S_{1}S_{3}+{S_{2}}^{2}={\overline {AC}}^{2}\\\Rightarrow S_{1}[S_{1}-2S_{2}\cos(\theta _{2}+\theta _{3})]+{S_{2}}^{2}={\overline {AC}}^{2}\\\Rightarrow {S_{1}}^{2}+{S_{2}}^{2}-2S_{1}S_{2}\cos(\theta _{2}+\theta _{3})={\overline {AC}}^{2}\\\end{array}}}$

قاعدة جيب التمام للمثلث ABC.

يترك

${\displaystyle \theta _{1}+\theta _{2}=\theta _{3}+\theta _{4}=90^{\circ }.}$

ثم

${\displaystyle \sin \theta _{1}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\sin(\theta _{3}+\theta _{4})}$

لذلك،

${\displaystyle \cos \theta _{2}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\cos \theta _{3}=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\times 1}$

صيغة جيب الزاوية المركبة (+). ^{[ 12 ]}

يترك${\displaystyle \theta _{1}=90^{\circ }}$. ثم${\displaystyle \theta _{2}+(\theta _{3}+\theta _{4})=90^{\circ }}$. لذلك،

${\displaystyle \sin \theta _{1}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\sin(\theta _{3}+\theta _{4})}$

${\displaystyle \sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\cos(\theta _{2}+\theta _{3})=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\cos \theta _{2}}$

${\displaystyle \sin \theta _{3}=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\cos \theta _{2}-\cos(\theta _{2}+\theta _{3})\sin \theta _{2}}$

صيغة جيب الزاوية المركبة  (−). ^{[ 12 ]}

يتوافق هذا الاشتقاق مع النظرية الثالثة كما دوّنها كوبرنيكوس في كتاب المجسطي ، نقلاً عن بطليموس . فعلى وجه الخصوص، إذا عُلمت أطوال أضلاع خماسي (يقابل محيطه 36 درجة) وسداسي (يقابل محيطه 30 درجة)، يُمكن حساب وتر مقابل 6 درجات. وكانت هذه خطوة حاسمة في الطريقة القديمة لحساب جداول الأوتار. ^{[ 13 ]}

هذه النتيجة هي جوهر النظرية الخامسة كما سجلها كوبرنيكوس بعد بطليموس في كتاب المجسطي.

يترك${\displaystyle \theta _{3}=90^{\circ }}$. ثم${\displaystyle \theta _{1}+(\theta _{2}+\theta _{4})=90^{\circ }}$. لذلك

${\displaystyle \sin \theta _{1}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\sin(\theta _{3}+\theta _{4})}$

${\displaystyle \cos(\theta _{2}+\theta _{4})+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\cos \theta _{2}\cos \theta _{4}}$

${\displaystyle \cos(\theta _{2}+\theta _{4})=\cos \theta _{2}\cos \theta _{4}-\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}}$

صيغة جيب تمام الزاوية المركبة (+)

على الرغم من افتقارها إلى براعة الترميز المثلثي الحديث، إلا أنه من الواضح من النتائج السابقة أن العالم القديم كان يمتلك في نظرية بطليموس (أو ببساطة النظرية الثانية ) أداة مثلثية مرنة وقوية للغاية، مكّنت علماء ذلك العصر من وضع جداول دقيقة للأوتار (المقابلة لجداول الجيوب) واستخدامها في محاولاتهم لفهم الكون ورسم خرائطه كما رأوه. وبما أن هيبارخوس وضع جداول الأوتار قبل بطليموس بثلاثة قرون، فلا بد أن نفترض أنه كان على دراية بالنظرية الثانية ومشتقاتها. وباتباع خطى علماء الفلك القدماء، يسجل التاريخ فهرس النجوم لتيموخاريس الإسكندري. وإذا كان تجميع هذه الفهارس، كما يبدو مرجحًا، يتطلب فهمًا للنظرية الثانية، فإن الأصول الحقيقية لهذه النظرية تتلاشى بعد ذلك في غياهب التاريخ. لكن لا يمكن أن يكون من غير المعقول افتراض أن علماء الفلك والمهندسين المعماريين ومهندسي البناء في مصر القديمة ربما كان لديهم بعض المعرفة بذلك.