الاضطراب الكمي

تنشأ الميوعة الفائقة نتيجةً لعلاقة التشتت للإثارات الأولية، وتتدفق السوائل التي تُظهر هذا السلوك دون لزوجة . تُعد هذه خاصية حيوية للاضطراب الكمومي، إذ أن اللزوجة في السوائل الكلاسيكية تُسبب تبديد الطاقة الحركية على شكل حرارة، مما يُخمد حركة السائل. وقد تنبأ لاندو بأنه إذا تدفق سائل فائق الميوعة بسرعة تتجاوز سرعة حرجة معينة ،${\displaystyle v_{\text{c}}}$(أو بدلاً من ذلك، يتحرك جسم ما بسرعة أكبر من${\displaystyle v_{\text{c}}}$في المائع الساكن، تنبعث إثارات حرارية (روتونات) عندما يصبح توليد الجسيمات شبه الحقيقية مُفضلاً من الناحية الطاقية ، مما يؤدي إلى فقدان المائع لخصائص الميوعة الفائقة. بالنسبة للهيليوم II، تكون هذه السرعة الحرجة هي${\displaystyle v_{\text{c}}\approx 60{\text{m/s}}}$.

تنشأ خاصية الدوران الكمي كنتيجة لوجود وتفرد دالة موجية ماكروسكوبية معقدة${\displaystyle \Psi }$، مما يؤثر على الدوامة (الدوران المحلي) بطريقة عميقة للغاية، مما يجعلها بالغة الأهمية للاضطراب الكمي.

يمكن استخلاص سرعة وكثافة السائل من دالة الموجة${\displaystyle \Psi (\mathbf {x} ,t)}$عن طريق كتابتها في شكل قطبي${\displaystyle \Psi (\mathbf {x} ,t)=|\Psi (\mathbf {x} ,t)|e^{i\phi (\mathbf {x} ,t)}}$، أين${\displaystyle |\Psi |}$حجم${\displaystyle \Psi }$و${\displaystyle \phi }$هي المرحلة. سرعة المائع هي${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)=(\hbar /m)\nabla \phi }$وكثافة العدد هي​${\displaystyle n(\mathbf {x} ,t)=\vert \Psi \vert ^{2}}$ترتبط كثافة الكتلة بكثافة العدد من خلال${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=mn}$، حيث${\displaystyle m}$هي كتلة بوزون واحد .

التداول​${\displaystyle \Gamma }$يُعرَّف بأنه التكامل الخطي على طول مسار مغلق بسيط${\displaystyle C}$داخل السائل

${\displaystyle \Gamma =\oint _{C}\mathbf {v} \cdot \mathbf {dr} }$

لسطح متصل ببساطة${\displaystyle S}$تتحقق نظرية ستوكس ، ويتلاشى الدوران، حيث يمكن التعبير عن السرعة على أنها تدرج الطور. بالنسبة لسطح متعدد الاتصالات، يكون فرق الطور بين أي نقطة ابتدائية على المنحنى${\displaystyle C}$والنقطة النهائية (نفس النقطة الابتدائية)${\displaystyle C}$مغلق) يجب أن يكون${\displaystyle 2\pi q}$، أين${\displaystyle q=0,1,2,\cdots }$لكي تكون دالة الموجة أحادية القيمة. وهذا يؤدي إلى قيمة كمية للدوران.

${\displaystyle \Gamma ={\frac {\hbar }{m}}\oint _{C}\nabla S\cdot \mathbf {dr} =q\kappa }$

أين${\displaystyle \kappa =h/m}$يمثل كمية الدوران ، والعدد الصحيح${\displaystyle q}$هي شحنة (أو رقم اللف ) الدوامة. الدوامات المشحونة المتعددة (${\displaystyle q>1}$تكون مركبات الهيليوم II غير مستقرة، ولهذا السبب في معظم التطبيقات العملية${\displaystyle q=1}$من الناحية الطاقية، يكون تشكل السائل أمراً مواتياً.${\displaystyle q}$دوامات أحادية الشحنة بدلاً من دوامة واحدة من الشحنة${\displaystyle q}$وبالتالي، فإن الدوامة متعددة الشحنات ستنقسم إلى دوامات أحادية الشحنة. وفي ظل ظروف معينة، من الممكن توليد دوامات معينة بشحنة أكبر من 1.

خطوط الدوامات هي عيوب خطية طوبولوجية في الطور. يؤدي تشكلها إلى جعل منطقة المائع الكمومي منطقة متعددة الاتصالات. وكما هو موضح في الشكل 2، يمكن ملاحظة انخفاض الكثافة بالقرب من المحور، مع${\displaystyle \rho =0}$على خط الدوامة. يختلف حجم لب الدوامة بين السوائل الكمومية المختلفة. يبلغ حجم لب الدوامة حوالي${\displaystyle a_{0}=10^{-10}~{\text{m}}}$بالنسبة للهيليوم II،${\displaystyle a_{0}=10^{-8}~{\text{m}}}$بالنسبة لـ ³ He–B وللمكثفات الذرية النموذجية ⁠${\displaystyle a_{0}=10^{-4}~{\text{m}}}$أبسط نظام دوامي في سائل كمومي يتكون من خط دوامي مستقيم واحد؛ ويكون حقل السرعة لهذا التكوين دائريًا بحتًا ويُعطى بواسطة${\displaystyle v_{\theta }=\kappa /{2\pi r}}$هذه هي نفس الصيغة المستخدمة لحل خط الدوامة الكلاسيكي لمعادلات أويلر ، إلا أن هذا النموذج، من الناحية الكلاسيكية، غير واقعي فيزيائيًا لأن السرعة تتباعد مع .${\displaystyle r\rightarrow 0}$وهذا يقودنا إلى فكرة دوامة رانكين كما هو موضح في الشكل 2، والتي تجمع بين دوران الجسم الصلب لـ${\displaystyle r}$وحركة الدوامة لقيم كبيرة من${\displaystyle r}$وهو نموذج أكثر واقعية للدوامات الكلاسيكية العادية.

يمكن إيجاد العديد من أوجه التشابه بين الدوامات في الموائع الكلاسيكية والدوامات في الموائع التقليدية، على سبيل المثال، حقيقة أن خطوط الدوامات تخضع لنظرية كلفن الكلاسيكية للدوران : فالدوران محفوظ، ويجب أن تنتهي خطوط الدوامات عند الحدود أو تتخذ شكل حلقات مغلقة. في حالة درجة حرارة الصفر المطلق، تتحرك نقطة على خط دوامة وفقًا لحقل السرعة المتولد عند تلك النقطة بفعل أجزاء أخرى من خط الدوامة، بشرط ألا يكون خط الدوامة مستقيمًا (فالدوامة المستقيمة المعزولة لا تتحرك). يمكن أيضًا توليد السرعة بواسطة أي خطوط دوامات أخرى في المائع، وهي ظاهرة موجودة أيضًا في الموائع التقليدية. ومن الأمثلة البسيطة على ذلك حلقة الدوامة (دوامة على شكل طارة) التي تتحرك بسرعة ذاتية.${\displaystyle v_{R}}$يتناسب عكسياً مع نصف قطر الحلقة${\displaystyle R}$، حيث${\displaystyle R\gg a_{0}}$[ ^{6 ]} تتحرك ^الحلقة بأكملها بسرعة

${\displaystyle v_{R}={\frac {\kappa }{4\pi R}}\left[\ln {\left({\frac {8R}{a_{0}}}\right)}-{\frac {1}{2}}\right]}$

تدعم الدوامات في السوائل الكمومية موجات كلفن، وهي عبارة عن اضطرابات حلزونية لخط الدوامة بعيدًا عن تكوينه المستقيم وتدور بسرعة زاوية.${\displaystyle \omega }$، مع

${\displaystyle \omega \approx {\frac {\kappa k^{2}}{4\pi }}\ln {\left({\frac {1}{ka_{0}}}\right)}}$

هنا${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$أين${\displaystyle \lambda }$هو الطول الموجي و${\displaystyle k}$هو متجه الموجة .

يمكن للدوامات المتحركة في الموائع الكمومية أن تتفاعل فيما بينها، مما يؤدي إلى إعادة اتصال خطوط الدوامات، وبالتالي تغيير بنية الدوامات عند تصادمها، كما اقترح ريتشارد فاينمان. ^{[ 7 ]} عند درجات حرارة غير صفرية، تُشتت خطوط الدوامات الإثارات الحرارية، مما يُولد قوة احتكاك مع مُركب المائع العادي (السحابة الحرارية في المكثفات الذرية). تُؤدي هذه الظاهرة إلى تبديد الطاقة الحركية. على سبيل المثال، تتقلص حلقات الدوامات، ويقل اتساع موجات كلفن.

الشبكات الدوامية هي تكوينات صفائحية (منظمة) لخطوط الدوامات التي يمكن إنشاؤها عن طريق تدوير النظام. بالنسبة لوعاء أسطواني نصف قطره${\displaystyle R}$يمكن اشتقاق شرط لتكوين شبكة دوامية عن طريق تقليل التعبير${\displaystyle F'=F-\mathbf {L} _{v}\cdot \mathbf {\Omega } }$، أين${\displaystyle F}$هي الطاقة الحرة،${\displaystyle \mathbf {L} _{v}}$يمثل الزخم الزاوي للسائل و${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$هو الدوران، ذو مقدار${\displaystyle \Omega }$والاتجاه المحوري. وتكون السرعة الحرجة لظهور شبكة الدوامات هي

${\displaystyle \Omega _{\text{c}}^{1}={\frac {\kappa }{R^{2}}}\ln {\left({\frac {R}{a_{0}}}\right)}.}$

يؤدي تجاوز هذه السرعة إلى تشكل دوامة في السائل. ويمكن تكوين حالات ذات دوامات أكثر بزيادة الدوران أكثر، متجاوزًا السرعات الحرجة التالية.${\displaystyle \Omega _{\text{c}}^{2},\,\Omega _{\text{c}}^{3},\cdots }$. تترتب الدوامات في تكوينات منتظمة تسمى شبكات الدوامات.

عند درجة حرارة غير صفرية${\displaystyle T}$يجب أخذ التأثيرات الحرارية في الحسبان. بالنسبة للغازات الذرية عند درجات حرارة غير صفرية، لا يشكل جزء من الذرات جزءًا من المكثف، بل يشكل سحابة حرارية متخلخلة (ذات مسار حر متوسط ​​كبير) تتعايش مع المكثف (الذي يمكن، في التقريب الأول، اعتباره مكون الميوعة الفائقة). ولأن الهيليوم سائل، وليس غازًا مخففًا مثل المكثفات الذرية، فإن التفاعل بين الذرات يكون أقوى بكثير، والمكثف ليس سوى جزء من مكون الميوعة الفائقة. تشكل الإثارات الحرارية (المكونة من فونونات وروتونات) مكونًا سائلًا لزجًا (ذو مسار حر متوسط ​​قصير جدًا، مماثل للسائل اللزج الكلاسيكي الذي تحكمه معادلات نافيير-ستوكس )، يُسمى السائل العادي، والذي يتعايش مع مكون الميوعة الفائقة. يشكل هذا أساس نظرية تيزا ولاندو للسائلين ، التي تصف الهيليوم II بأنه مزيج من مكونات سائل فائق الميوعة ومكونات سائل عادي متداخلة، بكثافة كلية تحددها المعادلة ⁠${\displaystyle {1}}$يعرض الجدول الخصائص الرئيسية لمكونات المائع الفائق والمائع العادي :

عنصر	سرعة	كثافة	إنتروبيا	اللزوجة
الميوعة الفائقة	${\displaystyle \mathbf {v} _{\text{s}}}$	${\displaystyle \rho _{\text{s}}}$	صفر	صفر
الموائع الكلاسيكية	${\displaystyle \mathbf {v} _{\text{n}}}$	${\displaystyle \rho _{\text{n}}}$	${\displaystyle S}$	${\displaystyle \mu }$

تتغير النسب النسبية للمكونين بتغير درجة الحرارة، بدءًا من تدفق سائل طبيعي بالكامل عند درجة حرارة الانتقال.${\displaystyle T_{\text{c}}}$(${\displaystyle \rho _{\text{n}}/\rho \rightarrow 1}$و${\displaystyle \rho _{\text{s}}/\rho \rightarrow 0}$) إلى تدفق فائق الميوعة كامل في حد درجة الحرارة الصفرية (${\displaystyle \rho _{\text{s}}/\rho \rightarrow 1}$و${\displaystyle \rho _{\text{n}}/\rho \rightarrow 0}$عند السرعات المنخفضة، تكون معادلات المائعين كما يلي:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho _{\text{s}}\mathbf {v} _{\text{s}}+\rho _{\text{n}}\mathbf {v} _{\text{n}})=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial (\rho S)}{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho S\mathbf {v} _{\text{n}})=0}$

${\displaystyle \rho _{\text{s}}\left[{\frac {\partial \mathbf {v} _{\text{s}}}{\partial t}}+(\mathbf {v} _{\text{s}}\cdot \nabla )\mathbf {v} _{\text{s}}\right]=-{\frac {\rho _{\text{s}}}{\rho }}\nabla P+\rho _{\text{s}}S\nabla T}$

${\displaystyle \rho _{\text{n}}\left[{\frac {\partial \mathbf {v} _{\text{n}}}{\partial t}}+(\mathbf {v} _{\text{n}}\cdot \nabla )\mathbf {v} _{\text{n}}\right]=-{\frac {\rho _{\text{n}}}{\rho }}\nabla P-\rho _{\text{s}}S\nabla T+\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} _{\text{n}}}$

أين${\displaystyle P}$هو الضغط،${\displaystyle S}$هي الإنتروبيا لكل وحدة كتلة و${\displaystyle \mu }$تمثل لزوجة مكون المائع العادي كما هو موضح في الجدول أعلاه. يمكن اعتبار المعادلة الأولى معادلة حفظ الكتلة ، بينما تمثل المعادلة الثانية معادلة حفظ الإنتروبيا. وتؤدي نتائج هاتين المعادلتين إلى ظهور ظاهرتي الصوت الثاني والتدفق الحراري المعاكس. عند السرعات العالية، يصبح المائع الفائق مضطربًا وتظهر خطوط الدوامات؛ وعند سرعات أعلى، يصبح كل من المائع العادي والمائع الفائق مضطربين.

For temperatures low enough for quantum mechanical effects to govern the fluid, quantum turbulence is a seemingly chaotic tangle of vortex lines with a highly knotted topology, which move each other and reconnect when they collide. In a pure superfluid, there is no normal component to carry the entropy of the system and therefore the fluid flows without viscosity, resulting in the lack of a dissipation scale ⁠${\displaystyle \eta }$⁠. Analogously to classical fluids, a quantum length scale ${\displaystyle \ell }$ (and the corresponding value in k-space ⁠${\displaystyle k_{\ell }}$⁠) can be introduced by replacing the kinematic viscosity in the Kolmogorov length scale with the quantum of circulation ${\displaystyle \kappa }$.^[3] For scales larger than ⁠${\displaystyle \ell }$⁠, a small polarisation of the vortex lines allows the stretching required to sustain a Kolmogorov energy cascade.

Experiments have been performed in superfluid helium II to create turbulence, that behave according to the Kolmogorov cascade. One such example of this is the case of two counter-rotating propellers,^[11] where both above and below the critical temperature ${\displaystyle T_{\text{c}}}$ a Kolmogorov energy spectrum was observed that is indistinguishable from those observed in the turbulence of classical fluids. For higher temperatures, the existence of the normal fluid component leads to the presence of viscous forces and eventual heat dissipation which warms the system. As a consequence of this friction the vortices become smoother, and the Kelvin waves that arise due to vortex reconnections are smoother than in low-temperature quantum turbulence. Kolmogorov turbulence arises in quantum fluids for energy input at large length scales, where the energy spectrum follows ${\displaystyle k^{-5/3}}$ in the inertial range ⁠${\displaystyle k_{D}<k<k_{\ell }}$⁠. For length scales smaller than ⁠${\displaystyle \ell }$⁠, instead the energy spectrum follows a ${\displaystyle k^{-1}}$ regime.^[12]

For temperatures in the zero limit, the undamped Kelvin waves result in more kinks appearing in the shapes of the vortices. For large length scales the quantum turbulence manifests as a Kolmogorov energy cascade (numerical simulations using the Gross-Pitaevskii equation^[13] and the vortex-filament model confirmed this effect^[14][15]), with the energy spectrum following ⁠${\displaystyle k^{-5/3}}$بسبب غياب التبديد الحراري، من البديهي افتراض أن الاضطراب الكمومي في حدود درجات الحرارة المنخفضة لا يتلاشى كما هو الحال في درجات الحرارة المرتفعة، إلا أن الأدلة التجريبية أثبتت عكس ذلك: فالاضطراب الكمومي يتلاشى حتى في درجات الحرارة المنخفضة جدًا. تتفاعل موجات كلفن لتُنتج موجات كلفن أقصر، إلى أن تصبح قصيرة بما يكفي لانبعاث الصوت (الفونونات)، مما يؤدي إلى تحويل الطاقة الحركية إلى حرارة، وبالتالي تبديد الطاقة. هذه العملية تُنقل الطاقة إلى أطوال موجية أصغر فأصغر عند أعداد موجية أكبر من${\displaystyle k_{\ell }}$ يُطلق عليه اسم سلسلة موجات كلفن ، ويحدث على الدوامات الفردية. ^{[ 16 ] [ 17 ]} وبالتالي، ينبغي أن يتكون الاضطراب الكمي عند درجات الحرارة المنخفضة من سلسلة مزدوجة: نظام كولموغوروف (سلسلة من الدوامات) في النطاق القصوري .${\displaystyle k_{D}<k<k_{\ell }}$ثم يليه مستوى هضبة ضيق، ثم سلسلة موجات كلفن (سلسلة من الموجات) التي تخضع لنفس القاعدة${\displaystyle k^{-5/3}}$قانونٌ ذو أصل فيزيائي مختلف. هذا هو الإجماع الحالي، ولكن يجب التأكيد على أنه نابع من النظرية والمحاكاة العددية فقط: لا يوجد حاليًا أي دليل تجريبي مباشر على تتابع موجات كلفن نظرًا لصعوبة الملاحظة والقياس على مثل هذه المقاييس الطولية الصغيرة.

يمكن توليد اضطراب فينين في مائع كمومي عن طريق حقن حلقات دوامية في النظام، وقد لوحظ ذلك عدديًا وتجريبيًا. كما لوحظ أيضًا في المحاكاة العددية للهيليوم II المضطرب الناتج عن تدفق حراري صغير، وفي المحاكاة العددية لمكثفات بوز-أينشتاين الذرية المحصورة؛ بل وُجد حتى في الدراسات العددية لنماذج الميوعة الفائقة للكون المبكر. ^{[ 8 ]} على عكس نظام كولموغوروف الذي يبدو أن له نظيرًا كلاسيكيًا، لم يُرصد اضطراب فينين في الاضطراب الكلاسيكي.

يحدث اضطراب فينين عند مدخلات طاقة منخفضة جدًا إلى النظام، مما يمنع تشكل البنى المستقطبة جزئيًا واسعة النطاق السائدة في اضطراب كولموغوروف، كما هو موضح في الشكل 9أ. يساهم الاستقطاب الجزئي بشكل كبير في مقدار التفاعلات غير المحلية بين خطوط الدوامات، وهو ما يمكن ملاحظته في الشكل. في المقابل، يُظهر الشكل 9ب نظام اضطراب فينين، حيث يكون التفاعل غير المحلي ضئيلًا للغاية. يبلغ طيف طاقة اضطراب فينين ذروته عند المقاييس المتوسطة حول ⁠${\displaystyle k_{\ell }}$، بدلاً من أن يكون ذلك على نطاقات طول كبيرة${\displaystyle k_{D}}$من الشكل 10 ، يمكن ملاحظة أن الاضطراب يتبع النمط النموذجي للأطوال الصغيرة${\displaystyle k^{-1}}$سلوك الدوامة المعزولة. ونتيجة لهذه الخصائص، يظهر اضطراب فينين على شكل تدفق عشوائي تمامًا تقريبًا مع تدرج طاقة ضعيف جدًا أو مهمل.

انطلاقًا من البصمات المختلفة، تخضع اضطرابات كولموغوروف وفينين لقوانين أسية تتعلق بتلاشيها الزمني. بالنسبة لنظام كولموغوروف، بعد إزالة القوة التي تُبقي الاضطراب في حالة استقرار إحصائي، يحدث تلاشي لـ${\displaystyle E(t)\sim t^{-2}}$من أجل الطاقة و${\displaystyle L(t)\sim t^{-3/2}}$تُلاحَظ كثافة خط الدوامة (المعرفة بأنها طول الدوامة لكل وحدة حجم). يتلاشى اضطراب فينين زمنيًا بمعدل أبطأ من اضطراب كولموغوروف: تتلاشى الطاقة مع${\displaystyle E(t)\sim t^{-1}}$وكثافة خط الدوامة كـ${\displaystyle L(t)\sim t^{-1}}$⁠ .

لقد لعبت عمليات المحاكاة الحاسوبية دورًا مهمًا بشكل خاص في تطوير الفهم النظري للاضطراب الكمي ^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]}

لم تُدرس الاضطرابات في المكثفات الذرية إلا مؤخرًا، مما يعني أن المعلومات المتاحة عنها قليلة. ^{[ 21 ] [ 22 ]} تحتوي المكثفات الذرية المضطربة على عدد أقل بكثير من الدوامات مقارنةً بالاضطرابات في الهيليوم. ونظرًا لصغر حجم المكثفات الذرية النموذجية، لا يوجد تباين كبير في مقياس الطول بين حجم النظام والمسافة بين الدوامات، وبالتالي يكون فضاء k محدودًا. تشير المحاكاة العددية إلى أن الاضطرابات أكثر احتمالًا للظهور في نظام فينين. ^{[ 12 ] [ 14 ] [ 16 ] [ 23 ]} كما كشفت التجارب التي أُجريت في كامبريدج عن ظهور ظاهرة قياس اضطراب الموجة. ^{[ 24 ] [ 25 ] [ 15 ]}

توجد طرق عديدة يمكن استخدامها لتوليد تشابك دوامي (كما هو موضح في الشكل 11) في المختبر. فيما يلي قائمة بهذه الطرق مصنفة حسب السائل الكمومي الذي يمكن توليدها فيه.

في الاضطراب الكلاسيكي، تُقاس السرعة عادةً إما عند موضع ثابت مع مرور الوقت (كما هو الحال في التجارب الفيزيائية) أو في الوقت نفسه عند مواضع متعددة (كما هو الحال في المحاكاة العددية). أما الاضطراب الكمي فيتميز بتشابك غير منتظم لخطوط دوامية منفصلة (فردية).

توجد تقنيات في الهيليوم II لقياس كثافة خط الدوامة${\displaystyle L}$(طول خطوط الدوامة لكل وحدة حجم بناءً على اكتشاف التوهين الصوتي الثاني. متوسط ​​المسافة بين خطوط الدوامة،${\displaystyle \ell }$ويمكن إيجادها بدلالة كثافة خط الدوامة كما يلي${\displaystyle \ell =1/{\sqrt {L}}}$.