المذبذب التوافقي

في الميكانيكا الكلاسيكية ، المذبذب التوافقي هو نظام، عند إزاحته عن موضع اتزانه ، يتعرض لقوة استعادة F تتناسب مع الإزاحة x : $${\displaystyle {\vec {F}}=-k{\vec {x}},}$$ حيث k ثابت موجب .​

يُعدّ نموذج المذبذب التوافقي ذا أهمية بالغة في الفيزياء، إذ أن أي كتلة تخضع لقوة في حالة اتزان مستقر تعمل كمذبذب توافقي للاهتزازات الصغيرة. وتنتشر المذبذبات التوافقية على نطاق واسع في الطبيعة، كما تُستغل في العديد من الأجهزة التي صنعها الإنسان، مثل الساعات ودوائر الراديو.

إذا كانت F هي القوة الوحيدة المؤثرة على النظام، فإن النظام يسمى مذبذبًا توافقيًا بسيطًا ، ويخضع لحركة توافقية بسيطة : تذبذبات جيبية حول نقطة التوازن ، بسعة ثابتة وتردد ثابت (لا يعتمد على السعة).

إذا وُجدت قوة احتكاك ( تخميد ) تتناسب مع السرعة ، يُوصف المذبذب التوافقي بأنه مذبذب مُخمّد . وبناءً على معامل الاحتكاك، يمكن للنظام أن:

• يتذبذب بتردد أقل من الحالة غير المخمدة ، وبسعة تتناقص مع مرور الوقت ( مذبذب مخمد جزئياً ).
• التحلل إلى وضع التوازن، بدون تذبذبات ( مذبذب مخمد بشدة ).

يحدث الحل الحدودي بين المذبذب المخمد بشكل ناقص والمذبذب المخمد بشكل زائد عند قيمة معينة لمعامل الاحتكاك ويسمى مخمد بشكل حرج .

إذا كانت هناك قوة خارجية تعتمد على الزمن، فإن المذبذب التوافقي يوصف بأنه مذبذب مدفوع .

تشمل الأمثلة الميكانيكية البندولات (ذات زوايا الإزاحة الصغيرة )، والكتل المتصلة بالزنبركات ، والأنظمة الصوتية . ومن الأنظمة المماثلة الأخرى المذبذبات التوافقية الكهربائية مثل دوائر RLC . وهي مصدر جميع الاهتزازات والموجات الجيبية تقريبًا.

مذبذب توافقي ذو كتلة ونابض

الحركة التوافقية البسيطة

المذبذب التوافقي البسيط هو مذبذب لا يتم تحفيزه ولا تخميده . ويتكون من كتلة${\displaystyle m}$، الذي يتعرض لقوة واحدة${\displaystyle F}$، مما يؤدي إلى سحب الكتلة في اتجاه النقطة${\displaystyle x=0}$ويعتمد ذلك فقط على الموقع${\displaystyle x}$من الكتلة وثابت${\displaystyle k}$توازن القوى ( قانون نيوتن الثاني ) للنظام هو $${\displaystyle F=ma=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=m{\ddot {x}}=-kx.}$$

بحل هذه المعادلة التفاضلية ، نجد أن الحركة موصوفة بالدالة $${\displaystyle x(t)=A\sin(\omega t+\varphi ),}$$ أين $${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}.}$$

الحركة دورية ، وتتكرر بشكل جيبي بسعة ثابتة A. بالإضافة إلى سعتها، تتميز حركة المذبذب التوافقي البسيط بدورتها .${\displaystyle T=2\pi /\أوميغا }$، زمن التذبذب الواحد أو تردده${\displaystyle f=1/T}$، عدد الدورات في وحدة الزمن. يعتمد الموضع عند زمن معين t أيضًا على الطور${\displaystyle \varphi }$والتي تحدد نقطة البداية على الموجة الجيبية. يتم تحديد الدورة والتردد بواسطة حجم الكتلة m وثابت القوة k ، بينما يتم تحديد السعة والطور بواسطة موضع البداية والسرعة .

تتذبذب سرعة وتسارع المذبذب التوافقي البسيط بنفس تردد الموضع، ولكن بأطوار مختلفة. تكون السرعة في أقصى قيمة لها عند انعدام الإزاحة، بينما يكون التسارع في الاتجاه المعاكس للإزاحة.

الطاقة الكامنة المخزنة في مذبذب توافقي بسيط للإزاحة x هي $${\displaystyle U={\tfrac {1}{2}}kx^{2}.}$$

في المذبذبات الحقيقية، يُبطئ الاحتكاك، أو التخميد، حركة النظام. وبسبب قوة الاحتكاك، تتناقص السرعة بما يتناسب مع قوة الاحتكاك المؤثرة. بينما في المذبذب التوافقي البسيط غير المُحرَّك، تكون القوة الوحيدة المؤثرة على الكتلة هي قوة الاستعادة، في المذبذب التوافقي المُخمَّد توجد بالإضافة إلى ذلك قوة احتكاك تعمل دائمًا في اتجاه يُعاكس الحركة. في العديد من الأنظمة المهتزة، يمكن نمذجة قوة الاحتكاك F_{_f} على أنها تتناسب مع سرعة الجسم v : F _{_f} = − cv ، حيث يُسمى c معامل التخميد اللزج .

يكون توازن القوى ( قانون نيوتن الثاني ) للمذبذبات التوافقية المخمدة هو ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}$${\displaystyle F=-kx-c{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}},}$$ والتي يمكن إعادة كتابتها بالشكل التالي: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}x=0,}$$ أين

• ${\textstyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$يُطلق عليه اسم " التردد الزاوي غير المخمد للمذبذب".
• ${\textstyle \zeta ={\frac {c}{2{\sqrt {mk}}}}}$يُطلق عليه اسم " نسبة التخميد ".

تُحدد قيمة نسبة التخميد ζ بشكلٍ حاسم سلوك النظام. يمكن أن يكون المذبذب التوافقي المخمد على النحو التالي:

• في حالة التخميد الزائد ( ζ > 1): يعود النظام ( يتلاشى أُسّيًا ) إلى حالة الاستقرار دون تذبذب. وتعود القيم الأكبر لنسبة التخميد ζ إلى حالة التوازن ببطء أكبر.
• التخميد الحرج ( ζ = 1): يعود النظام إلى حالة الاستقرار بأسرع ما يمكن دون تذبذب (مع إمكانية حدوث تجاوز إذا كانت السرعة الابتدائية غير صفرية). وهذا مرغوب فيه غالبًا لتخميد أنظمة مثل الأبواب.
• في حالة التخميد المنخفض ( ζ < 1): يتذبذب النظام (بتردد مختلف قليلاً عن حالة عدم التخميد) بسعة تتناقص تدريجياً حتى الصفر. يُعطى التردد الزاوي للمذبذب التوافقي ذي التخميد المنخفض بالعلاقة التالية:${\textstyle \omega _{1}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}},}$يُعطى التضاؤل ​​الأسي للمذبذب التوافقي المخمد بالعلاقة التالية:${\displaystyle \lambda =\omega _{0}\zeta .}$

يُعرَّف عامل الجودة (Q) للمذبذب المخمد على النحو التالي:

$${\displaystyle Q=2\pi \times {\frac {\text{الطاقة المخزنة}}{\text{الطاقة المفقودة لكل دورة}}}.}$$

يرتبط Q بنسبة التخميد بالعلاقة التالية:${\textstyle Q={\frac {1}{2\zeta }}.}$

المذبذبات التوافقية المدفوعة (وتسمى أيضًا المذبذبات التوافقية القسرية) هي مذبذبات مخمدة تتأثر بشكل أكبر بقوة خارجية مطبقة F ( t ).

يأخذ قانون نيوتن الثاني الشكل التالي: $${\displaystyle F(t)-kx-c{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}.}$$

عادة ما تتم إعادة كتابتها بالشكل التالي: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}x={\frac {F(t)}{m}}.}$$

يمكن حل هذه المعادلة بدقة لأي قوة دافعة، باستخدام الحلول z ( t ) التي تحقق المعادلة غير القسرية $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}z}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}z=0,}$$

والتي يمكن التعبير عنها على أنها تذبذبات جيبية مخمدة: $${\displaystyle z(t)=Ae^{-\zeta \omega _{0}t}\sin \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{0}t+\varphi \right),}$$ في حالة ζ ≤ 1. يحدد كل من السعة A والطور φ السلوك المطلوب لمطابقة الشروط الأولية.

قوة دافعة جيبية

في حالة قوة دافعة جيبية الشكل: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}x={\frac {1}{m}}F_{0}\sin(\omega t),}$$ أين${\displaystyle F_{0}}$هي سعة القيادة، و${\displaystyle \omega }$يمثل تردد التشغيل لآلية القيادة الجيبية. يظهر هذا النوع من الأنظمة في دوائر RLC ( مقاومة - محث - مكثف ) التي تعمل بالتيار المتردد ، وفي أنظمة النوابض المدفوعة ذات المقاومة الميكانيكية الداخلية أو مقاومة الهواء الخارجية .

الحل العام هو مجموع حل عابر يعتمد على الشروط الابتدائية، وحل مستقر مستقل عن الشروط الابتدائية ويعتمد فقط على سعة المحرك.${\displaystyle F_{0}}$تردد القيادة${\displaystyle \omega }$التردد الزاوي غير المخمد${\displaystyle \omega _{0}}$ونسبة التخميد${\displaystyle \zeta }$.

يتناسب حل الحالة المستقرة طرديًا مع القوة الدافعة مع حدوث تغيير في الطور.${\displaystyle \varphi }$: $${\displaystyle x(t)={\frac {F_{0}}{mZ_{m}\omega }}\sin(\omega t+\varphi ),}$$ أين $${\displaystyle Z_{m}={\sqrt {\left(2\omega _{0}\zeta \right)^{2}+{\frac {1}{\omega ^{2}}}(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}}}}$$ هي القيمة المطلقة للممانعة أو دالة الاستجابة الخطية ، و $${\displaystyle \varphi =\arctan \left({\frac {2\omega \omega _{0}\zeta }{\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}\right)+n\pi }$$

تمثل هذه المرحلة طور التذبذب بالنسبة للقوة المحركة. وعادة ما تُؤخذ قيمة المرحلة بين -180 درجة و 0 (أي أنها تمثل تأخراً في الطور، سواء كانت القيم موجبة أو سالبة لمعامل arctan).

بالنسبة لتردد قيادة معين يسمى الرنين ، أو تردد الرنين${\textstyle \omega _{r}=\omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}}$، السعة (لقيمة معينة${\displaystyle F_{0}}$) يكون أقصى ما يمكن. لا يحدث تأثير الرنين هذا إلا عندما${\displaystyle \zeta <1/{\sqrt {2}}}$أي بالنسبة للأنظمة ذات التخميد المنخفض بشكل ملحوظ. أما بالنسبة للأنظمة ذات التخميد المنخفض بشدة، فقد تصبح قيمة السعة كبيرة جدًا بالقرب من تردد الرنين.

الحلول العابرة هي نفسها الحلول غير القسرية (${\displaystyle F_{0}=0}$) مذبذب توافقي مخمد ويمثل استجابة النظام للأحداث الأخرى التي حدثت سابقًا.

المذبذب البارامتري هو مذبذب توافقي مُحفَّز، حيث تُستمد طاقة التحفيز من خلال تغيير معلمات المذبذب، مثل قوة التخميد أو قوة الاستعادة. ومن الأمثلة الشائعة على التذبذب البارامتري حركة "الضخ" على أرجوحة في ملعب الأطفال . ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} يستطيع الشخص على أرجوحة متحركة زيادة سعة تذبذباتها دون تطبيق أي قوة دفع خارجية، وذلك بتغيير عزم القصور الذاتي للأرجوحة عن طريق التأرجح ذهابًا وإيابًا ("الضخ") أو بالتناوب بين الوقوف والجلوس، بما يتناسب مع إيقاع تذبذبات الأرجوحة. ويؤدي تغيير المعلمات إلى تحفيز النظام. ومن أمثلة المعلمات التي يمكن تغييرها تردد الرنين.${\displaystyle \omega }$والتخميد${\displaystyle \beta }$.

تُستخدم المذبذبات البارامترية في العديد من التطبيقات. يتذبذب المذبذب البارامتري الكلاسيكي ذو المكثف المتغير السعة عند تغيير سعة الثنائي بشكل دوري. تُسمى الدائرة التي تُغير سعة الثنائي "المضخة" أو "المُشغِّل". في إلكترونيات الموجات الميكروية، تعمل المذبذبات البارامترية القائمة على الموجهات الموجية / YAG بنفس الطريقة. يقوم المصمم بتغيير أحد المعاملات بشكل دوري لحث التذبذبات.

طُوِّرت المذبذبات البارامترية كمضخمات منخفضة الضوضاء، خاصة في نطاق ترددات الراديو والميكروويف. وتكون الضوضاء الحرارية ضئيلة، نظرًا لتغيير المفاعلة (وليس المقاومة). ومن الاستخدامات الشائعة الأخرى تحويل التردد، مثل التحويل من ترددات الصوت إلى ترددات الراديو. فعلى سبيل المثال، يقوم المذبذب البارامتري البصري بتحويل موجة ليزر مُدخلة إلى موجتين مُخرجتين بتردد أقل (${\displaystyle \omega _{s},\omega _{i}}$).

يحدث الرنين البارامتري في النظام الميكانيكي عندما يُثار النظام بارامتريًا ويتذبذب عند أحد تردداته الرنانة. يختلف الإثارة البارامترية عن الإجبار، إذ يظهر التأثير كتغيير متغير مع الزمن على أحد معلمات النظام. ويختلف هذا التأثير عن الرنين العادي لأنه يُظهر ظاهرة عدم الاستقرار .

المعادلة $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} \tau }}+q=0}$$ تُعرف هذه المعادلة باسم معادلة المذبذب العام ، حيث يمكن اختزال جميع أنظمة التذبذب الخطية من الدرجة الثانية إلى هذا الشكل. ويتم ذلك من خلال عملية إزالة الأبعاد .

إذا كانت دالة الإجبار هي f ( t ) = cos( ωt ) = cos( ωt _c τ ) = cos( ωτ ) ، حيث ω = ωt _c ، فإن المعادلة تصبح $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} \tau }}+q=\cos(\omega \tau ).}$$

يحتوي حل هذه المعادلة التفاضلية على جزأين: "الحالة العابرة" و"حالة الاستقرار".

حل الحالة المستقرة

قم بتطبيق " طريقة المتغيرات المركبة " عن طريق حل المعادلة المساعدة أدناه ثم إيجاد الجزء الحقيقي من حلها: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} \tau }}+q=\cos(\omega \tau )+i\sin(\omega \tau )=e^{i\omega \tau }.}$$

بافتراض أن الحل على الشكل $${\displaystyle q_{s}(\tau )=Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}.}$$

مشتقاتها من الرتبة الصفرية إلى الرتبة الثانية هي $${\displaystyle q_{s}=Ae^{i(\omega \tau +\varphi )},\quad {\frac {\mathrm {d} q_{s}}{\mathrm {d} \tau }}=i\omega Ae^{i(\omega \tau +\varphi )},\quad {\frac {\mathrm {d} ^{2}q_{s}}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}=-\omega ^{2}Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}.}$$

وبتعويض هذه الكميات في المعادلة التفاضلية نحصل على $${\displaystyle -\omega ^{2}Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}+2\zeta i\omega Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}+Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}=(-\omega ^{2}A+2\zeta i\omega A+A)e^{i(\omega \tau +\varphi )}=e^{i\omega \tau }.}$$

القسمة على الحد الأسي في اليسار ينتج عنها $${\displaystyle -\omega ^{2}A+2\zeta i\omega A+A=e^{-i\varphi }=\cos \varphi -i\sin \varphi .}$$

ينتج عن مساواة الأجزاء الحقيقية والخيالية معادلتان مستقلتان $${\displaystyle A(1-\omega ^{2})=\cos \varphi ,\quad 2\zeta \omega A=-\sin \varphi .}$$

جزء السعة

بتربيع المعادلتين وجمعهما معًا نحصل على $${\displaystyle \left.{\begin{aligned}A^{2}(1-\omega ^{2})^{2}&=\cos ^{2}\varphi \\(2\zeta \omega A)^{2}&=\sin ^{2}\varphi \end{aligned}}\right\}\Rightarrow A^{2}[(1-\omega ^{2})^{2}+(2\zeta \omega )^{2}]=1.}$$

لذلك، $${\displaystyle A=A(\zeta ,\omega )=\operatorname {sgn} \left({\frac {-\sin \varphi }{2\zeta \omega }}\right){\frac {1}{\sqrt {(1-\omega ^{2})^{2}+(2\zeta \omega )^{2}}}}.}$$

قارن هذه النتيجة بقسم النظرية الخاص بالرنين ، وكذلك بجزء "المقدار" في دائرة RLC . تُعد دالة السعة هذه ذات أهمية خاصة في تحليل وفهم استجابة التردد للأنظمة من الدرجة الثانية.

المرحلة

لإيجاد قيمة φ ، قسّم المعادلتين لتحصل على $${\displaystyle \tan \varphi =-{\frac {2\zeta \omega }{1-\omega ^{2}}}={\frac {2\zeta \omega }{\omega ^{2}-1}}~~\implies ~~\varphi \equiv \varphi (\zeta ,\omega )=\arctan \left({\frac {2\zeta \omega }{\omega ^{2}-1}}\right)+n\pi .}$$

تُعد وظيفة الطور هذه ذات أهمية خاصة في تحليل وفهم استجابة التردد للأنظمة من الدرجة الثانية.

تتشابه المذبذبات التوافقية المستخدمة في العديد من المجالات الهندسية من حيث تطابق نماذجها الرياضية (انظر معادلة المذبذب العامة أعلاه). يوضح الجدول أدناه الكميات المتناظرة في أربعة أنظمة مذبذبات توافقية في الميكانيكا والإلكترونيات. إذا أعطيت المعاملات المتناظرة في نفس السطر من الجدول قيمًا عددية متساوية، فإن سلوك المذبذبات - شكل موجة الخرج، وتردد الرنين، ومعامل التخميد، وما إلى ذلك - يكون متطابقًا.  

الميكانيكا الانتقالية	ميكانيكية دورانية	دائرة RLC متسلسلة	دائرة RLC متوازية
موضع${\displaystyle x}$	زاوية${\displaystyle \theta }$	تكلفة${\displaystyle q}$	وصلة التدفق${\displaystyle \varphi }$
سرعة${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}}$	السرعة الزاوية${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}}$	حاضِر${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}}$	الجهد االكهربى${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} t}}}$
كتلة${\displaystyle m}$	عزم القصور الذاتي${\displaystyle I}$	الحث${\displaystyle L}$	السعة${\displaystyle C}$
دَفعَة${\displaystyle p}$	الزخم الزاوي${\displaystyle L}$	وصلة التدفق${\displaystyle \varphi }$	تكلفة${\displaystyle q}$
ثابت الزنبرك${\displaystyle k}$	ثابت الالتواء${\displaystyle \mu }$	المرونة${\displaystyle 1/C}$	الممانعة المغناطيسية${\displaystyle 1/L}$
ممتص الصدمات${\displaystyle c}$	الاحتكاك الدوراني${\displaystyle \Gamma }$	مقاومة${\displaystyle R}$	تصرف${\displaystyle G=1/R}$
قوة الدفع${\displaystyle F(t)}$	عزم الدوران الناتج عن القيادة${\displaystyle \tau (t)}$	الجهد االكهربى${\displaystyle v}$	حاضِر${\displaystyle i}$
التردد الرنيني غير المخمد${\displaystyle f_{n}}$:
${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {\mu }{I}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {1}{LC}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {1}{LC}}}}$
نسبة التخميد${\displaystyle \zeta }$:
${\displaystyle {\frac {c}{2}}{\sqrt {\frac {1}{km}}}}$	${\displaystyle {\frac {\Gamma }{2}}{\sqrt {\frac {1}{I\mu }}}}$	${\displaystyle {\frac {R}{2}}{\sqrt {\frac {C}{L}}}}$	${\displaystyle {\frac {G}{2}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}}$
المعادلة التفاضلية:
${\displaystyle m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=F}$	${\displaystyle I{\ddot {\theta }}+\Gamma {\dot {\theta }}+\mu \theta =\tau }$	${\displaystyle L{\ddot {q}}+R{\dot {q}}+q/C=v}$	${\displaystyle C{\ddot {\varphi }}+G{\dot {\varphi }}+\varphi /L=i}$

تتكرر مشكلة المذبذب التوافقي البسيط بشكل متكرر في الفيزياء، لأن الكتلة في حالة توازن تحت تأثير أي قوة محافظة ، في حالة الحركات الصغيرة، تتصرف كمذبذب توافقي بسيط.

القوة المحافظة هي القوة المرتبطة بطاقة كامنة . دالة الطاقة الكامنة للمذبذب التوافقي هي $${\displaystyle V(x)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}.}$$

بافتراض دالة طاقة كامنة اختيارية${\displaystyle V(x)}$يمكن للمرء إجراء توسيع تايلور بدلالة${\displaystyle x}$حول الحد الأدنى للطاقة (${\displaystyle x=x_{0}}$) لنمذجة سلوك الاضطرابات الصغيرة عن حالة التوازن.

$${\displaystyle V(x)=V(x_{0})+V'(x_{0})\cdot (x-x_{0})+{\tfrac {1}{2}}V''(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{2}+O(x-x_{0})^{3}.}$$

لأن${\displaystyle V(x_{0})}$وهي قيمة دنيا، والمشتقة الأولى محسوبة عند${\displaystyle x_{0}}$يجب أن تكون القيمة صفرًا، لذا يتم حذف الحد الخطي: $${\displaystyle V(x)=V(x_{0})+{\tfrac {1}{2}}V''(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{2}+O(x-x_{0})^{3}.}$$

الحد الثابت V ( x ₀ ) اختياري وبالتالي يمكن حذفه، ويسمح تحويل الإحداثيات باستعادة شكل المذبذب التوافقي البسيط: $${\displaystyle V(x)\approx {\tfrac {1}{2}}V''(0)\cdot x^{2}={\tfrac {1}{2}}kx^{2}.}$$

وبالتالي، بالنظر إلى دالة طاقة كامنة عشوائية${\displaystyle V(x)}$مع وجود مشتقة ثانية غير معدومة ، يمكن للمرء استخدام حل المذبذب التوافقي البسيط لتوفير حل تقريبي للاضطرابات الصغيرة حول نقطة التوازن.

• فولز، غرانت ر.؛ كاسيداي، جورج ل. (1986)، الميكانيكا التحليلية (الطبعة الخامسة  )، فورت وورث: دار نشر سوندرز كوليدج ، رقم ISBN 0-03-089725-4، إل سي سي إن 93085193 
• هايك، صبيح إ. (15 أبريل 2003). "الاهتزاز الميكانيكي والتخميد". موسوعة الفيزياء التطبيقية . وايلي. doi : 10.1002/3527600434.eap231 . ISBN 9783527600434.
• كريزيج، إروين (1972)، الرياضيات الهندسية المتقدمة (  الطبعة الثالثة)، نيويورك: وايلي ، رقم ISBN 0-471-50728-8
• سيرواي، ريموند أ.؛ جويت، جون و. (2003). الفيزياء للعلماء والمهندسين . بروكس/كول. ISBN 0-534-40842-7.
• تيبلر، بول (1998). الفيزياء للعلماء والمهندسين: المجلد 1 (  الطبعة الرابعة). دبليو إتش فريمان. رقم ISBN 1-57259-492-6.
• وايلي، سي آر (1975). الرياضيات الهندسية المتقدمة (  الطبعة الرابعة). ماكجرو هيل. رقم ISBN 0-07-072180-7.

• المذبذب التوافقي من محاضرات فاينمان في الفيزياء