فئة فرعية انعكاسية

في الرياضيات ، يُقال إن فئة فرعية كاملة A من فئة B عاكسة في B عندما يكون لدالة التضمين من A إلى B مرافق أيسر . ^{[ 1 ]}^{: 91} يُسمى هذا المرافق أحيانًا بالعاكس أو التموضع . ^{[ 2 ]} وبالمثل، يُقال إن A عاكسة معكوسة في B عندما يكون لدالة التضمين مرافق أيمن .

بشكل غير رسمي، يجد العاكس أفضل تقريب ممكن لكائن من الفئة B في الفئة الفرعية A ، بمعنى أنه لا يفقد أي معلومات حول التشكلات لكائنات الفئة الفرعية A.

تعريف

يُقال إن فئة فرعية كاملة A من فئة B تعكس B إذا كان لكل عنصر B عنصر A. $A_{B}$ و B- تشاكل $r_{B}\colon B\to A_{B}$ بحيث يكون لكل B- مورفيزم $f\colon B\to A$ إلى كائن من النوع أ $A$ يوجد شكل فريد من نوعه من النوع A ${\overline {f}}\colon A_{B}\to A$ مع ${\overline {f}}\circ r_{B}=f$ .

الزوجان $(A_{B},r_{B})$ يُطلق عليه اسم الانعكاس A لـ B. $r_{B}$ يُطلق عليه سهم الانعكاس A. (مع أننا غالبًا، اختصارًا، نتحدث عن $A_{B}$ فقط باعتبارها انعكاسًا من النوع A للنوع B ).

هذا يعادل القول بأن دالة التضمين $E\colon \mathbf {A} \hookrightarrow \mathbf {B}$ هو دالة مرافقة يمنى. الدالة المرافقة اليسرى $R\colon \mathbf {B} \to \mathbf {A}$ يُطلق عليه اسم العاكس . الخريطة $r_{B}$ هي وحدة هذا الملحق.

العاكس يُخصص لـ $B$ الكائن أ $A_{B}$ و $Rf$ بالنسبة لـ B -morphism $f$ يتم تحديد ذلك من خلال مخطط التنقل

إذا كانت جميع أسهم الانعكاس من الفئة A عبارة عن تحويلات فوقية (قصوى) ، فإن الفئة الفرعية A تُسمى فئة فوقية انعكاسية (قصوى) . وبالمثل، تكون الفئة الفرعية A ثنائية الانعكاس إذا كانت جميع أسهم الانعكاس عبارة عن تحويلات ثنائية .

جميع هذه المفاهيم هي حالات خاصة من التعميم المشترك $E$ - فئة فرعية انعكاسية، حيث $E$ هي فئة من التشكلات.

ال $E$ يُعرَّف الغلاف العاكس لفئة A من الكائنات بأنه أصغر $E$ - فئة فرعية عاكسة تحتوي على A. وبالتالي يمكننا الحديث عن الهيكل العاكس، والهيكل فوق العاكس، والهيكل فوق العاكس المتطرف، وما إلى ذلك.

الفئة الفرعية المضادة للانعكاس هي فئة فرعية كاملة A بحيث تكون الكائنات الوحيدة في B التي لها سهم انعكاس A هي تلك الموجودة بالفعل في A.

المفاهيم المزدوجة للمفاهيم المذكورة أعلاه هي الانعكاس المشترك، وسهم الانعكاس المشترك، والفئة الفرعية (أحادية) الانعكاس المشترك، والهيكل العاكس المشترك، والفئة الفرعية المضادة للانعكاس المشترك.

أمثلة

الجبر

تُعدّ فئة الزمر الأبيلية Ab فئة فرعية انعكاسية من فئة الزمر Grp . والعاكس هو الدالة التي تُحوّل كل زمرة إلى أبيلية . وبدورها، تُعدّ فئة الزمر فئة فرعية انعكاسية من فئة أنصاف الزمر العكسية . ^{[ 3 ]}
وبالمثل، فإن فئة الجبر الترابطي التبادلي هي فئة فرعية انعكاسية لجميع الجبر الترابطي، حيث يكون العاكس هو ناتج القسمة على المثالي التبادلي . ويُستخدم هذا في بناء الجبر المتناظر من جبر الموترات .
وبالمثل، فإن فئة الجبر الترابطي المضاد للتبديل هي فئة فرعية انعكاسية لجميع أنواع الجبر الترابطي، حيث يكون العاكس هو ناتج القسمة على المثالي المضاد للتبديل. ويُستخدم هذا في بناء الجبر الخارجي من جبر الموتر.
تُعدّ فئة الحقول فئة فرعية انعكاسية من فئة المجالات التكاملية (مع وجود تماثلات حلقية حقنية كتشاكلات ). والعاكس هو الدالة التي تُحوّل كل مجال تكاملي إلى حقل الكسور الخاص به .
تُعدّ فئة زمر الالتواء الأبيلية فئة فرعية انعكاسية من فئة الزمر الأبيلية. والعاكس هو الدالة التي تُحوّل كل زمرة إلى زمرتها الفرعية الالتوائية .
تُعد فئات المجموعات الأبيلية الأولية ، والمجموعات الأبيلية p ، والمجموعات p جميعها فئات فرعية انعكاسية لفئة المجموعات، وتُعد نوى خرائط الانعكاس موضوعات مهمة للدراسة؛ انظر نظرية المجموعة الفرعية البؤرية .
تُعد فئة المجموعات فئة فرعية انعكاسية لفئة المونويدات : حيث يقوم المرافق الأيمن بربط المونويد بمجموعة وحداته . ^{[ 4 ]}

الطوبولوجيا

تُعد فئة فضاءات كولموغوروف (فضاءات T ₀ ) فئة فرعية عاكسة من Top ، وهي فئة الفضاءات الطوبولوجية ، ويكون حاصل قسمة كولموغوروف هو العاكس.
تُعدّ فئة الفضاءات المنتظمة تمامًا CReg فئة فرعية انعكاسية من فئة الفضاءات العليا (Top) . وبأخذ حاصل قسمة كولموغوروف، يتضح أن الفئة الفرعية لفضاءات تيكونوف هي أيضًا فئة انعكاسية.
تُعدّ فئة جميع فضاءات هاوسدورف المدمجة فئةً فرعيةً عاكسةً من فئة جميع فضاءات تيكونوف (ومن فئة جميع الفضاءات الطوبولوجية ^[²^]^:¹⁴⁰ ). ويُعطى العاكس بواسطة تكثيف ستون-تشيك .
تُعدّ فئة جميع الفضاءات المترية الكاملة ذات التطبيقات المتصلة بانتظام فئةً فرعيةً انعكاسيةً من فئة الفضاءات المترية . والعاكس هو إكمال الفضاء المتري على الكائنات، والامتداد بالكثافة على الأسهم. ^{[ 1 ]}^{: 90}
تُعدّ فئة الحزم فئة فرعية انعكاسية من الحزم الأولية في فضاء طوبولوجي. والعاكس هو عملية التجميع، التي تُسند إلى الحزمة الأولية حزمة من مقاطع حزمة براعمها.
تُعدّ فئة Seq للفضاءات المتسلسلة فئة فرعية انعكاسية من فئة Top . الانعكاس التسلسلي للفضاء الطوبولوجي $(X,\tau )$ هل المساحة $(X,\tau _{\mathrm {seq} })$ ، حيث الطوبولوجيا $\tau _{\text{seq}}$ هي بنية طوبولوجية أدق من $\tau$ تتألف من جميع المجموعات المفتوحة بالتتابع في $X$ (أي مكملات المجموعات المغلقة بالتتابع ). ^{[ 5 ]}

التحليل الوظيفي

تُعدّ فئة فضاءات باناخ فئة فرعية انعكاسية من فئة الفضاءات المعيارية والمؤثرات الخطية المحدودة . والعاكس هو دالة إكمال المعيار.

نظرية الفئات

بالنسبة لأي موقع غروتينديك ( C , J )، فإن طوبولوجيا الحزم على ( C , J ) هي فئة فرعية انعكاسية من طوبولوجيا الحزم المسبقة على C ، مع خاصية إضافية مميزة تتمثل في أن دالة الانعكاس تكون تامة من اليسار . دالة الانعكاس هي دالة تحويل الحزم a : Presh( C ) → Sh( C , J )، والزوج المرافق ( a , i ) هو مثال مهم على التشكل الهندسي في نظرية الطوبولوجيا.

ملكيات

مكونات الوحدة المرافقة هي تماثلات . ^{[ 2 ]}^{: 140}^{[ 1 ]}
إذا كانت D فئة فرعية انعكاسية من C ، فإن دالة التضمين D → C تُنشئ جميع النهايات الموجودة في C. ^{[ 2 ]}^{: 141}
تحتوي الفئة الفرعية العاكسة على جميع الحدود المشتركة الموجودة في الفئة المحيطة. ^{[ 2 ]}^{: 141}
الوحدة الناتجة عن اقتران العاكس/التحديد المكاني هي وحدة متماثلة . ^{[ 2 ]}^{: 158}

ملحوظات

1 2 3 ماك لين، سوندرز، 1909-2005. (1998). تصنيفات للرياضي العامل ( الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر. ص 89. ISBN 0387984038. OCLC 37928530 . {{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط ) صيانة CS1: أسماء رقمية: قائمة المؤلفين ( رابط )
1 2 3 4 5 6 ريهل، إميلي (9 مارس 2017). نظرية الفئات في سياقها . مينولا، نيويورك. ص 140. ISBN 9780486820804. OCLC 976394474 . {{cite book}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )
↑ لوسون (1998)، ص 63، النظرية 2.
↑ "الفئة الفرعية العاكسة في nLab" . ncatlab.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2019-04-02 .
^ Adámek، Herrlich & Strecker 2004 ، مثال 4.26 أ(2).

مراجع

أداميك، جيري؛ هيرليخ، هورست؛ ستريكر، جورج إي. (2004).الفئات المجردة والملموسة(ملف PDF) . نيويورك: جون وايلي وأولاده .
بيتر فريد ، أندريه سيدروف (1990). التصنيفات، الرموز . المكتبة الرياضية، المجلد 39. نورث هولاند . ISBN 978-0-444-70368-2.
هيرليش، هورست (1968). الانعكاسات الطوبولوجية والانعكاسات الأساسية . مذكرة محاضرة في الرياضيات. 78. برلين: سبرينغر .
مارك ف. لوسون (1998). أنصاف المجموعات العكسية: نظرية التناظرات الجزئية . وورلد ساينتيفيك. ISBN 978-981-02-3316-7.

[Mac_Lane-1] 1 2 3 ماك لين، سوندرز، 1909-2005. (1998). تصنيفات للرياضي العامل ( الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر. ص 89. ISBN 0387984038. OCLC 37928530 . {{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط ) صيانة CS1: أسماء رقمية: قائمة المؤلفين ( رابط )

[Rhiel-2] 1 2 3 4 5 6 ريهل، إميلي (9 مارس 2017). نظرية الفئات في سياقها . مينولا، نيويورك. ص 140. ISBN 9780486820804. OCLC 976394474 . {{cite book}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )

[3] لوسون (1998)، ص 63، النظرية 2.

[4] "الفئة الفرعية العاكسة في nLab" . ncatlab.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2019-04-02 .

[FOOTNOTEAdámekHerrlichStrecker2004Example_4.26_A(2)-5] Adámek، Herrlich & Strecker 2004 ، مثال 4.26 أ(2).

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]