منتجات Safe و Sophie Germain الأساسية

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 4 صور
الموسوعة الحرة

في نظرية الأعداد ، يُطلق على العدد الأولي p اسم " عدد صوفي جيرمان الأولي" إذا كان 2p  +  1 عددًا أوليًا أيضًا. ويُسمى العدد 2p +  1  المرتبط بعدد صوفي جيرمان الأولي " عددًا أوليًا آمنًا" . على سبيل المثال، 11 هو عدد صوفي جيرمان أولي، و2 × 11  +  1  =  23 هو العدد الأولي الآمن المرتبط به. تُستخدم أعداد صوفي جيرمان الأولية والأعداد الأولية الآمنة في التشفير بالمفتاح العام واختبار أولية الأعداد . وقد طُرحت فرضية وجود عدد لا نهائي من أعداد صوفي جيرمان الأولية، ولكن هذه الفرضية لم تُثبت بعد.

سُميت الأعداد الأولية صوفي جيرمان نسبةً إلى عالمة الرياضيات الفرنسية صوفي جيرمان ، التي استخدمتها في أبحاثها حول نظرية فيرما الأخيرة . [ 1 ] إحدى محاولات جيرمان لإثبات نظرية فيرما الأخيرة كانت اختيار عدد أولي p على الصورة 8k + 7، واختيار n = p – 1. في هذه الحالة،xن+yن=zن{\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}غير قابلة للحل. مع ذلك، ظل برهان جيرمان غير مكتمل. [ 2 ] [ 3 ] من خلال محاولاتها لحل نظرية فيرما الأخيرة، أثبتت نتيجة تُعرف الآن باسم نظرية صوفي جيرمان ، والتي تنص على أنه إذا كان p عددًا أوليًا فرديًا وكان 2p + 1 عددًا أوليًا أيضًا، فإن p يجب أن يقسم x أو y أو z . وإلا،xن+yن≠zن{\textstyle x^{n}+y^{n}\neq z^{n}}تُسمى الحالة التي لا يقسم فيها p كلاً من x و y و z بالحالة الأولى. وقد مثّل عمل صوفي جيرمان أهم تقدم أُحرز في نظرية فيرما الأخيرة في ذلك الوقت. [ 2 ] أما الأعمال اللاحقة التي قام بها كومر وآخرون، فقد قسمت المسألة دائمًا إلى حالتين: الأولى والثانية.

رقم فردي

الأعداد الأولية القليلة الأولى لسوفي جيرمان (التي تقل عن 1000) هي

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593، 641، 653، 659، 683، 719، 743، 761، 809، 911، 953، ... أويس : A005384 

وبالتالي، فإن الأعداد الأولية القليلة الأولى الآمنة هي

5، 7، 11، 23، 47، 59، 83، 107، 167، 179، 227، 263، 347، 359، 383، 467، 479، 503، 563، 587، 719، 839، 863، 887، 983، 1019، 1187، 1283، 1307، 1319، 1367، 1439، 1487، 1523، 1619، 1823، 1907، ... OEIS : A005385 

في علم التشفير ، هناك حاجة إلى أعداد أولية أكبر بكثير من نوع صوفي جيرمان مثل 1,846,389,521,368 + 11600 .

يتضمن مشروعان للحوسبة الموزعة، وهما PrimeGrid و Twin Prime Search ، عمليات بحث عن أعداد صوفي جيرمان الأولية الكبيرة. ويرد في الجدول التالي بعض من أكبر أعداد صوفي جيرمان الأولية المعروفة. [ 4 ]

قيمةعدد الأرقام ​وقت الاكتشافمكتشف
2618163402417 × 2 1290000 − 1388342فبراير 2016الدكتور جيمس سكوت براون في بحث PrimeGrid الموزع باستخدام برنامجي TwinGen و LLR [ 5 ]
18543637900515 × 2 666667 − 1200701أبريل 2012فيليب بليدونغ في بحث PrimeGrid الموزع باستخدام برنامجي TwinGen و LLR [ 6 ]
183027 × 2 265440 − 179911مارس 2010توم وو يستخدم LLR [ 7 ]
648621027630345 × 2 253824 − 1 و 620366307356565 × 2 253824 − 176424نوفمبر 2009زولتان جاراي، غابور فاركاس، تيميا كساجبوك، يانوس كاسزا وأنتال جاراي [ 8 ] [ 9 ]
1068669447 × 2 211088 − 163553مايو 2020مايكل كوك [ 10 ]
99064503957 × 2 200008 − 160220أبريل 2016س. أوروشيهاتا [ 11 ]
607095 × 2 176311 − 153081سبتمبر 2009توم وو [ 12 ]
48047305725 × 2 172403 − 151910يناير 2007ديفيد أندرباكي يستخدم TwinGen وLLR [ 13 ]
137211941292195 × 2 171960 − 151780مايو 2006Járai et al. [ 14 ]

في 2 ديسمبر 2019، أعلن فابريس بودو، وبيريك غودري، وأورور غيليفيتش، وناديا هينينجر، وإيمانويل تومي، وبول زيمرمان عن حساب اللوغاريتم المنفصل modulo العدد الأولي RSA-240 + 49204 المكون من 240 رقمًا (795 بت) (أول عدد أولي آمن أعلى من RSA-240) باستخدام خوارزمية غربلة حقل الأرقام ؛ انظر سجلات اللوغاريتم المنفصل .

ملكيات

لا يوجد اختبار خاص لأولية الأعداد الأولية الآمنة، كما هو الحال بالنسبة لأعداد فيرما الأولية وأعداد ميرسين الأولية . مع ذلك، يمكن استخدام معيار بوكلينغتون لإثبات أولية العدد 2p + 1 بمجرد إثبات أولية العدد p .

كما أن كل حد من حدود سلسلة كننغهام من النوع الأول، باستثناء الحد الأخير، هو عدد أولي من نوع صوفي جيرمان، فإن كل حد من حدود هذه السلسلة، باستثناء الحد الأول، هو عدد أولي آمن. والأعداد الأولية الآمنة التي تنتهي بالرقم 7، أي التي تأخذ الشكل 10ⁿ +  7  ، هي الحدود الأخيرة في هذه السلاسل عند ظهورها، لأن 2(10ⁿ +  7  )  +  1 = 20ⁿ +  15  يقبل القسمة على 5.

بالنسبة للعدد الأولي الآمن، فإن كل باقي تربيعي ، باستثناء -1 (إذا كان الباقي التربيعي [ a ] )، هو جذر أولي . ويترتب على ذلك أنه بالنسبة للعدد الأولي الآمن، فإن أصغر جذر أولي موجب هو عدد أولي. [ 15 ]

القيود المعيارية

باستثناء العدد 7، يكون العدد الأولي الآمن q على الصورة 6k -  1  أو، بصورة مكافئة، q ≡ 5 ( mod 6) - كما هو الحال بالنسبة لـ p > 3. وبالمثل، باستثناء العدد 5، يكون العدد الأولي الآمن q على الصورة 4k -  1  أو، بصورة مكافئة، q ≡ 3 (mod 4) - وهذا صحيح بديهيًا لأن ( q  -  1) / 2 يجب أن يكون عددًا طبيعيًا فرديًا . بدمج الصورتين باستخدام المضاعف المشترك الأصغر (6، 4)، نحدد أن العدد الأولي الآمن q > 7 يجب أن يكون أيضًا على الصورة 12k - 1 أو، بصورة مكافئة، q ≡ 11 (mod 12).

ويترتب على ذلك أنه لأي عدد أولي آمن q > 7:

إذا كان p عددًا أوليًا من نوع صوفي جيرمان أكبر من  3، فيجب أن يكون p متطابقًا مع 2  mod  3. وإلا، فسيكون متطابقًا مع 1  mod  3، وسيكون 2p  + 1 متطابقًا مع 3 mod 3، وهو أمر مستحيل بالنسبة لعدد أولي. [ 16 ] تنطبق قيود مماثلة على المعاملات الأولية الأكبر، وهي الأساس لاختيار "عامل التصحيح" 2C في تقدير هاردي-ليتلوود لكثافة أعداد صوفي جيرمان الأولية. [ 17 ]   

إذا كان عدد صوفي جيرمان الأولي p متطابقًا مع 3 (mod 4) ( المتتالية A002515 في OEIS ، الأعداد الأولية اللوكاسية ) ، فإن العدد الأولي الآمن المطابق له 2p + 1 ( المتطابق مع 7 modulo 8) سيكون قاسمًا لعدد ميرسين 2p - 1. تاريخيًا، كانت هذه النتيجة التي توصل إليها ليونارد أويلر أول معيار معروف لكون عدد ميرسين ذي فهرس أولي عددًا مركبًا . [ 18 ] ويمكن استخدامها لتوليد أكبر أعداد ميرسين (ذات الفهارس الأولية) المعروفة بأنها مركبة. [ 19 ]     

اللانهاية والكثافة

مشكلة لم تُحل في الرياضيات
هل يوجد عدد لا نهائي من أعداد صوفي جيرمان الأولية؟
المزيد من المسائل غير المحلولة في الرياضيات

يُفترض وجود عدد لا نهائي من أعداد صوفي جيرمان الأولية، لكن هذا لم يُثبت بعد . [ 17 ] تعمم العديد من التخمينات الشهيرة الأخرى في نظرية الأعداد هذا التخمين وتخمين الأعداد الأولية التوأم ؛ وتشمل هذه التخمينات تخمين ديكسون ، وفرضية شينزل H ، وتخمين باتمان-هورن .

التقدير الاستدلالي لعدد الأعداد الأولية لسوفي جيرمان الأقل من n هو [ 17 ]

2جن(ln⁡ن)2≈1.32032ن(ln⁡ن)2{\displaystyle 2C{\frac {n}{(\ln n)^{2}}}\approx 1.32032{\frac {n}{(\ln n)^{2}}}}

أين

ج=∏ص>2ص(ص-2)(ص-1)2≈0.660161{\displaystyle C=\prod _{p>2}{\frac {p(p-2)}{(p-1)^{2}}}\approx 0.660161}

هو ثابت هاردي-ليتلوود للأعداد الأولية التوأمية . بالنسبة لـ n  =  10⁴ ، يتوقع هذا التقدير 156 عددًا أوليًا من نوع صوفي جيرمان، وهو ما يمثل خطأً بنسبة 20% مقارنةً بالقيمة الدقيقة البالغة 190. أما بالنسبة لـ n  =  10⁷ ، فيتوقع التقدير 50822، وهو ما يزال يختلف بنسبة 10% عن القيمة الدقيقة البالغة 56032. يعود شكل هذا التقدير إلى جي إتش هاردي وجيه إي ليتلوود ، اللذين طبقا تقديرًا مشابهًا على الأعداد الأولية التوأمية . [ 20 ]

تُسمى المتتالية ( p , 2p +  1  , 2( 2p  +  1)  +  1, ...) التي تكون جميع أعدادها أولية، سلسلة كننغهام من النوع الأول. كل حد من حدود هذه المتتالية، باستثناء الحد الأخير، هو عدد أولي من نوع صوفي جيرمان، وكل حد منها، باستثناء الحد الأول، هو عدد أولي آمن. وبناءً على الفرضية القائلة بوجود عدد لا نهائي من أعداد صوفي جيرمان الأولية، فقد تم التكهن أيضًا بوجود سلاسل كننغهام ذات أطوال عشوائية، [ 21 ] على الرغم من أن السلاسل اللانهائية معروفة باستحالتها. [ 22 ]

الأعداد الأولية القوية

يُقال عن العدد الأولي q أنه عدد أولي قوي إذا كان لكل من q + 1 و q − 1 عوامل أولية كبيرة (حوالي 500 رقم). بالنسبة للعدد الأولي الآمن q = 2p + 1 ، فإن العدد q − 1 يمتلك بطبيعة الحال عاملًا أوليًا كبيرًا، وهو p ، وبالتالي فإن العدد الأولي الآمن q يستوفي جزءًا من معايير كونه عددًا أوليًا قويًا. تعتمد أوقات تشغيل بعض طرق تحليل عدد يكون q أحد عوامله الأولية جزئيًا على حجم العوامل الأولية لـ q − 1. وينطبق هذا، على سبيل المثال، على طريقة p − 1 .

التطبيقات

علم التشفير

تُعدّ الأعداد الأولية الآمنة مهمةً أيضاً في علم التشفير نظراً لاستخدامها في تقنيات تعتمد على اللوغاريتمات المنفصلة، ​​مثل تبادل مفاتيح ديفي-هيلمان . إذا كان 2p + 1 عدداً أولياً آمناً، فإنّ المجموعة الضربية للأعداد الصحيحة بتردد 2p + 1 تحتوي على مجموعة فرعية ذات رتبة أولية كبيرة . عادةً ما تكون هذه المجموعة الفرعية ذات الرتبة الأولية هي المرغوبة، والسبب في استخدام الأعداد الأولية الآمنة هو أن يكون المعامل أصغر ما يمكن بالنسبة إلى p .

يُطلق على العدد الأولي p  =  2q + 1 اسم " عدد أولي آمن" إذا كان q عددًا أوليًا. وبالتالي، يكون p = 2q + 1 عددًا أوليًا آمنًا إذا وفقط إذا كان q عددًا أوليًا من نوع صوفي جيرمان، لذا فإن إيجاد الأعداد الأولية الآمنة وإيجاد أعداد صوفي جيرمان الأولية متكافئان من حيث الصعوبة الحسابية. يمكن تعزيز مفهوم العدد الأولي الآمن ليصبح "عددًا أوليًا قويًا"، حيث يكون لكل من p − 1 و p + 1 عوامل أولية كبيرة. كانت الأعداد الأولية الآمنة والقوية مفيدة كعوامل للمفاتيح السرية في نظام تشفير RSA ، لأنها تمنع اختراق النظام بواسطة بعض خوارزميات التحليل إلى عوامل ، مثل خوارزمية بولارد p − 1. مع ذلك، في ظل تقنية التحليل إلى عوامل الحالية، تبدو ميزة استخدام الأعداد الأولية الآمنة والقوية ضئيلة. [ 23 ]          

تنطبق مشكلات مماثلة على أنظمة التشفير الأخرى أيضًا، بما في ذلك تبادل مفاتيح ديفي-هيلمان والأنظمة المشابهة التي تعتمد على أمان مسألة اللوغاريتم المنفصل بدلًا من تحليل الأعداد الصحيحة إلى عواملها الأولية. [ 24 ] لهذا السبب، غالبًا ما تعتمد بروتوكولات توليد المفاتيح لهذه الطرق على خوارزميات فعالة لتوليد أعداد أولية قوية، والتي بدورها تعتمد على افتراض أن هذه الأعداد الأولية تتمتع بكثافة عالية كافية. [ 25 ]

في نمط عداد صوفي جيرمان ، اقتُرح استخدام العمليات الحسابية في الحقل المنتهي ذي الرتبة المساوية للعدد الأولي الآمن 2 ^128  +  12451، لمعالجة نقاط الضعف في نمط غالوا/العداد باستخدام الحقل الثنائي المنتهي GF(2^ 128 ). ومع ذلك، فقد ثبت أن نمط عداد صوفي جيرمان عرضة للعديد من الهجمات التشفيرية نفسها التي يتعرض لها نمط غالوا. [ 26 ]

اختبار الأسبقية

في النسخة الأولى من ورقة اختبار أولية AKS ، استُخدمت تخمينة حول أعداد صوفي جيرمان الأولية لخفض تعقيد الحالة الأسوأ من O(log 12 n ) إلى O(log 6 n ) . وأظهرت نسخة لاحقة من الورقة أن تعقيدها الزمني هو O(log 7.5 n )، والذي يمكن خفضه أيضًا إلى O(log 6 n ) باستخدام التخمينة نفسها. [ 27 ] وقد ثبت أن المتغيرات اللاحقة من AKS تتمتع بتعقيد زمني قدره O(log 6 n ) دون أي تخمينات أو استخدام لأعداد صوفي جيرمان الأولية.

توليد الأرقام شبه العشوائية

يمكن استخدام الأعداد الأولية الآمنة التي تخضع لتوافقات معينة لتوليد أرقام شبه عشوائية تُستخدم في محاكاة مونت كارلو .

وبالمثل، يمكن استخدام أعداد صوفي جيرمان الأولية في توليد أرقام شبه عشوائية . ينتج عن التوسيع العشري لـ 1/ q سلسلة من q  −  1 رقمًا شبه عشوائيًا، إذا كان q هو العدد الأولي الآمن لعدد صوفي جيرمان الأولي p ، حيث p يطابق 3 أو 9 أو 11 بتردد 20. [ 28 ] وبالتالي، فإن الأعداد الأولية "المناسبة" q هي 7، 23، 47، 59، 167، 179، إلخ. ( المتتالية A000353 في OEIS ) (المقابلة لـ p  =  3،  11،  23،  29،  83،  89،  إلخ.) ( المتتالية A000355 في OEIS ) . والنتيجة هي سلسلة من الأرقام بطول q  −  1 (بما في ذلك الأصفار البادئة). فعلى سبيل المثال، استخدام q = 23 يُنتج الأرقام شبه العشوائية التالية: 0، 4، 3، 4، 7، 8، 2، 6، 0، 8، 6، 9، 5، 6، 5، 2، 1، 7، 3، 9، 1، 3. لاحظ أن هذه الأرقام غير مناسبة لأغراض التشفير، حيث يمكن استنتاج قيمة كل رقم من الرقم السابق له في سلسلة الأرقام.

تم ذكر الأعداد الأولية لسوفي جيرمان في المسرحية Proof [ 29 ] والفيلم اللاحق . [ 30 ]

ملحوظات

  1. ↑ −1 هو باقي تربيعي فقط عندما يكون العدد الأولي الآمن مساويًا لـ 5؛ بالنسبة لجميع الأعداد الأولية الآمنة الأخرى، فإن −1 ليس باقيًا

مراجع

  1. ↑ على وجه التحديد، أثبتت جيرمان أن الحالة الأولى من نظرية فيرما الأخيرة، حيث يقسم الأس أحد الأساسين، صحيحة لكل عدد أولي من نوع صوفي جيرمان، واستخدمت حججًا مماثلة لإثبات صحة ذلك لجميع الأعداد الأولية الأخرى حتى 100. لمزيد من التفاصيل، انظر: Edwards, Harold M. (2000), Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory , Graduate Texts in Mathematics, vol.  50, Springer, pp. 61– 65, ISBN  9780387950020.
  2. 1 2 دالميديكو، آمي (1991). "صوفي جيرمان" . ساينتفك أمريكان . 265 (6): 116-123 . Bibcode : 1991SciAm.265f.116D . doi : 10.1038/scientificamerican1291-116 . JSTOR 24938838 . 
  3. ↑ لاوبنباخر، راينهارد؛ بينجلي، ديفيد (2010-11-01). ""Voici ce que j'ai trouvé:" خطة صوفي جيرمان الكبرى لإثبات نظرية فيرما الأخيرة " . Historia Mathematica . 37 (4): 641–692 . أرخايف : 0801.1809 . دوى : 10.1016/j.hm.2009.12.002 . ISSN 0315-0860 . 
  4. ↑ أفضل عشرين عملاً فنياً لسوفي جيرمان  - من صفحات الأعمال الفنية الرئيسية . تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 مايو 2020.
  5. ↑ "بحث برايم غريد عن صوفي جيرمان برايم" (ملف PDF) . برايم غريد. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 9 أكتوبر 2022. تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 فبراير 2016 .
  6. ↑ "بحث برايم غريد عن صوفي جيرمان برايم" (ملف PDF) . برايم غريد. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 9 أكتوبر 2022. تم الاطلاع عليه بتاريخ 18 أبريل 2012 .
  7. ↑ قاعدة بيانات الأعداد الأولية: 183027*2^265440-1 . من صفحات الأعداد الأولية .
  8. ↑ قاعدة بيانات الأعداد الأولية: 648621027630345*2^253824-1 .
  9. ↑ قاعدة بيانات الأعداد الأولية: 620366307356565*2^253824-1
  10. ↑ قاعدة بيانات الأعداد الأولية: 1068669447*2^211088-1 من صفحات الأعداد الأولية .
  11. ↑ قاعدة بيانات الأعداد الأولية: 99064503957*2^200008-1 من صفحات الأعداد الأولية .
  12. ↑ قاعدة بيانات الأعداد الأولية: 607095*2^176311-1 .
  13. ↑ قاعدة بيانات الأعداد الأولية: 48047305725*2^172403-1 .
  14. ↑ قاعدة بيانات الأعداد الأولية: 137211941292195*2^171960-1 .
  15. ↑ راميش في بي، ماكيشواري إم (16 سبتمبر 2022). "أصغر جذر أولي لأي عدد أولي آمن هو عدد أولي". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 129 (10): 971. doi : 10.1080/00029890.2022.2115816 .
  16. ↑ كرانز، ستيفن ج. (2010)، تاريخٌ متقطعٌ للرياضيات: الثقافة الرياضية من خلال حل المشكلات ، الجمعية الرياضية الأمريكية، ص 206، ISBN  9780883857663.
  17. 1 2 3 شوب، فيكتور (2009)، "5.5.5 أعداد صوفي جيرمان الأولية"، مقدمة حسابية لنظرية الأعداد والجبر ، مطبعة جامعة كامبريدج، ص 123-124 ، ISBN  9780521516440.
  18. ↑ ريبنبوم، ب. (1983)، "1093"، مجلة الذكاء الرياضي ، 5 (2): 28-34 ، doi : 10.1007/BF03023623 ، MR 0737682 .
  19. ↑ دوبنر، هارفي (1996)، "أعداد صوفي جيرمان الأولية الكبيرة"، رياضيات الحساب ، 65 (213): 393-396 ، CiteSeerX 10.1.1.106.2395 ، doi : 10.1090/S0025-5718-96-00670-9 ، MR 1320893  .
  20. ↑ ريبنبوم، باولو (1999)، نظرية فيرما الأخيرة للهواة ، سبرينغر، ص 141، ISBN  9780387985084.
  21. ↑ ويلز، ديفيد (2011)، الأعداد الأولية: أكثر الأرقام غموضًا في الرياضيات ، جون وايلي وأولاده، ص 35، ISBN  9781118045718إذا كانت فرضية الأعداد الأولية القوية k صحيحة، فإن سلاسل كونينغهام يمكن أن تصل إلى أي طول.
  22. ↑ لوه، غونتر (1989)، "سلاسل طويلة من الأعداد الأولية المضاعفة تقريبًا"، رياضيات الحساب ، 53 (188): 751-759 ، doi : 10.1090/S0025-5718-1989-0979939-8 ، MR 0979939 .
  23. ↑ ريفست، رونالد ل.؛ سيلفرمان، روبرت د. (22 نوفمبر 1999)، هل هناك حاجة إلى أعداد أولية "قوية" لخوارزمية RSA؟ (ملف PDF) ، مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 9 أكتوبر 2022
  24. ↑ تشون، جونغ هي (2006)، "تحليل أمني لمسألة ديفي-هيلمان القوية"، المؤتمر الدولي السنوي الرابع والعشرون حول نظرية وتطبيقات تقنيات التشفير (EUROCRYPT'06)، سانت بطرسبرغ، روسيا، 28 مايو - 1 يونيو 2006، وقائع المؤتمر (PDF) ، سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب ، المجلد 4004، دار نشر سبرينغر، الصفحات 1-11 ، doi : 10.1007/11761679_1 ، ISBN   978-3-540-34546-6.
  25. ↑ غوردون، جون أ. (1985)، "من السهل إيجاد الأعداد الأولية القوية"، وقائع مؤتمر EUROCRYPT 84، ورشة عمل حول نظرية وتطبيق تقنيات التشفير، باريس، فرنسا، 9-11 أبريل 1984 ، سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب، المجلد 209، دار نشر سبرينغر، الصفحات 216-223 ، doi : 10.1007/3-540-39757-4_19 ، ISBN   978-3-540-16076-2.
  26. ↑ ياب، وون-شي؛ يو، سزي لينغ؛ هينغ، سوي-هواي؛ هنريكسن، مات (2013)، "تحليل أمني لبروتوكول GCM للاتصالات"، شبكات الأمن والاتصالات ، 7 (5): 854-864 ، doi : 10.1002/sec.798.
  27. ^ أغراوال، مانيندرا. كيال، نيراج؛ ساكسينا، نيتين (2004)، “PRIMES in P” (PDF) ، حوليات الرياضيات ، 160 (2): 781–793 ، دوى : 10.4007/annals.2004.160.781 ، JSTOR 3597229 ، أرشفة (PDF) من النسخة الأصلية في 2022-10-09 
  28. ↑ ماثيوز، روبرت أ. ج. (1992)، "المقلوبات الدورية القصوى"، نشرة معهد الرياضيات وتطبيقاتها ، 28 ( 9-10 ): 147-148 ، MR 1192408 .
  29. ↑ بيترسون، إيفارز (21 ديسمبر 2002)، "الدراما بالأرقام: وضع شغف الرياضيات على خشبة المسرح" ، أخبار العلوم ، doi : 10.2307/4013968 ، JSTOR 4013968 ، [جين إي.] أشارت تايلور إلى أن مثال العدد الأولي لجيرمان الوارد في النص التمهيدي كان يفتقر إلى المصطلح "+ 1". تقول تايلور: "عندما ذهبت لأول مرة لمشاهدة مسرحية "برهان" وظهرت تلك اللحظة في المسرحية، كنت سعيدة لسماع "زائد واحد" منطوقًا بوضوح". 
  30. ↑ أولمان، دانيال (2006)، "مراجعة فيلم: بروف" (ملف PDF) ، إشعارات الجمعية الأمريكية للرياضيات ، 53 (3): 340-342 ، مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 9 أكتوبر 2022. يُلاحظ وجود بعض الخروج عن الواقعية في فيلم بروف ، حيث يتحدث الشخصيات بطريقة موجهة للجمهور بدلاً من الطريقة التي يتحدث بها علماء الرياضيات فيما بينهم. فعندما يتذكر هال (هارولد) ما هو عدد جيرمان الأولي، يتحدث إلى كاثرين بأسلوب قد يُعتبر متعالياً على عالم رياضيات آخر.