تاريخ علم المثلثات

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 40 صور
الموسوعة الحرة

يمكن تتبع الدراسات المبكرة للمثلثات إلى الرياضيات المصرية ( بردية ريند الرياضية ) والرياضيات البابلية خلال الألفية الثانية قبل الميلاد. بدأ البحث المنهجي في الدوال المثلثية في الرياضيات الهلنستية ، ووصل إلى الهند كجزء من علم الفلك الهلنستي . [ 1 ] في علم الفلك الهندي ، ازدهرت دراسة الدوال المثلثية في عهد إمبراطورية جوبتا ، وخاصة بفضل أريابهاتا (القرن السادس الميلادي)، الذي اكتشف دالة الجيب، ودالة جيب التمام، ودالة الجيب العكسي. [ 2 ]

خلال العصور الوسطى ، استمرت دراسة علم المثلثات في الرياضيات الإسلامية ، مستندةً إلى أسس سابقة من مصادر هندية (لا سيما مفاهيم الجيب وجيب التمام عند أريابهاتا ) ويونانية ( جدول الأوتار عند هيبارخوس ). [ 3 ] وقدّم علماء رياضيات مثل الخوارزمي وأبو الوفاء إسهامات مهمة، لكن هذا المجال شهد تحولاً جذرياً على يد ناصر الدين الطوسي (1201-1274).

كان الطوسي أول من تناول علم المثلثات كفرع رياضي مستقل، منفصل عن علم الفلك. [ 4 ] وقد أثبت بشكل كامل جميع الدوال المثلثية الست (الجيب، وجيب التمام، والظل، وظل التمام، والقاطع، وقاطع التمام) مع براهين كاملة، وصاغ قانون الجيب المستوي والكروي، وهو الشكل الذي لا يزال يُدرّس في المدارس والجامعات حتى اليوم. [ 5 ] كما أعاد كتابة وتصحيح كتاب المجسطي لبطليموس، مستبدلاً الأوتار بجداول الجيب والظل، ومضيفاً أمثلة عملية من واقع الحياة. [ 6 ]

وصلت هذه المعرفة إلى الغرب اللاتيني عبر ترجمات النصوص العربية واليونانية . إلا أنه خلال عصر النهضة ، قام ريجيومونتانوس (حوالي 1464) بترجمة أعمال الطوسي إلى اللاتينية دون الإشارة إليه، مما أدى فعلياً إلى محو اسم الطوسي من التأريخ الأوروبي. [ 7 ] ونتيجة لذلك، ولعدة قرون، نسبت الكتب المدرسية الأوروبية خطأً تطوير علم المثلثات إلى ريجيومونتانوس ومصادر يونانية سابقة، متجاهلةً الدور المحوري للطوسي.

وقد أعادت الدراسات الحديثة منذ ذلك الحين تقدير الطوسي: فهو يُعرف الآن في الأدبيات الأكاديمية بأنه "أستاذ علم المثلثات"، وهو الذي أعطى هذا المجال شكله الحديث والمستقل. [ 8 ]

لقد تغير تطور علم المثلثات الحديث خلال عصر التنوير الغربي ، بدءًا من رياضيات القرن السابع عشر ( إسحاق نيوتن وجيمس ستيرلنغ ) وصولًا إلى شكله الحديث مع ليونارد أويلر (1748).

أصل الكلمة

مصطلح "علم المثلثات" مشتق من اليونانية τρίγωνον trigōnon ، "مثلث" و μέτρον مترون ، "قياس". [ 9 ]

تُشتق كلمتا "الجيب" و"جيب التمام" الحديثتان من الكلمة اللاتينية sinus عبر ترجمة خاطئة من العربية (انظر الجيب وجيب التمام §  أصل الكلمة ). وقد كان لقوس الجيب المستقيم المقوس لفيبوناتشي تأثير كبير في ترسيخ هذا المصطلح. [ 10 ]

كلمة " مماس " مشتقة من الكلمة اللاتينية " tangens " التي تعني "ملامسة"، لأن الخط [ 11 ] يلامس دائرة نصف قطرها وحدة واحدة، بينما كلمة "قاطع " مشتقة من الكلمة اللاتينية " secans " التي تعني "قطع"، لأن الخط [ 11 ] يقطع الدائرة (انظر الشكل في متطابقات فيثاغورس ). [ 12 ]

يُستخدم البادئة " co- " (في "cosine" و"cotangent" و"cosecant") في كتاب إدموند غونتر " Canon triangulorum " (1620)، الذي يُعرّف جيب التمام (cosinus) كاختصار لجيب الزاوية المتممة (sinus complementi )، ثم يُعرّف ظلال التمام (cotangens ) بشكل مماثل. [ 13 ] [ 14 ]

تُشتق كلمتا "دقيقة" و"ثانية" من العبارات اللاتينية partes minutae primae و partes minutae secundae . [ 15 ] وتترجم هذه العبارات تقريبًا إلى "الأجزاء الصغيرة الأولى" و "الأجزاء الصغيرة الثانية".

عتيق

الشرق الأدنى القديم

عرف المصريون القدماء والبابليون نظريات حول نسب أضلاع المثلثات المتشابهة لعدة قرون. ومع ذلك، ولأن المجتمعات ما قبل اليونانية كانت تفتقر إلى مفهوم قياس الزوايا، فقد اقتصرت دراستهم على أضلاع المثلثات بدلاً من ذلك . [ 16 ]

دوّن علماء الفلك البابليون سجلاتٍ مفصلةً عن شروق النجوم وغروبها ، وحركة الكواكب ، وخسوف الشمس وخسوف القمر ، وكل ذلك استلزم الإلمام بالمسافات الزاوية المقاسة على الكرة السماوية . [ 17 ] واستنادًا إلى أحد تفسيرات لوح بليمبتون 322 المكتوب بالخط المسماري (حوالي 1900 قبل الميلاد)، ذهب البعض إلى حدّ الادعاء بأن البابليين القدماء كان لديهم جدولٌ للقواطع، لكن هذا التفسير لا يُجدي في هذا السياق، إذ لا يمكن تطبيق الرموز المثلثية الحديثة دون استخدام الدوائر والزوايا. [ 18 ] ومع ذلك، ثمة جدلٌ واسعٌ حول ما إذا كان هذا الجدول جدولًا لأثلاث فيثاغورس ، أو حلًا لمعادلات تربيعية، أو جدولًا مثلثيًا . [ 19 ]

من ناحية أخرى، استخدم المصريون شكلاً بدائياً من علم المثلثات لبناء الأهرامات في الألفية الثانية قبل الميلاد. [ 17 ] تحتوي بردية ريند الرياضية ، التي كتبها الكاتب المصري أحمس (حوالي 1680-1620 قبل الميلاد)، على المسألة التالية المتعلقة بعلم المثلثات: [ 17 ]

"إذا كان ارتفاع الهرم 250 ذراعًا وطول جانب قاعدته 360 ذراعًا، فما هو طوله (سِكِد )؟"

يتمثل حل أحمس للمسألة في نسبة نصف طول ضلع قاعدة الهرم إلى ارتفاعه، أو نسبة الامتداد الأفقي إلى الارتفاع الرأسي لوجهه. بعبارة أخرى، فإن الكمية التي وجدها للسكد هي ظل تمام الزاوية بين قاعدة الهرم ووجهه. [ 17 ]

العصور الكلاسيكية القديمة

وتر الزاوية يقابل قوس الزاوية.

استخدم علماء الرياضيات اليونانيون القدماء والهيلينيون مفهوم الوتر . عند وجود دائرة وقوس عليها، يكون الوتر هو الخط الذي يقابل القوس. يمر المنصف العمودي للوتر بمركز الدائرة وينصف الزاوية. نصف الوتر المنصف يساوي جيب نصف الزاوية المنصفة، أي [ 20 ]

جحoرد θ=2رالخطيئة⁡θ2،{\displaystyle \mathrm {chord} \ \theta =2r\sin {\frac {\theta }{2}},}

وبالتالي، تُعرف دالة الجيب أيضًا باسم نصف الوتر . وبسبب هذه العلاقة، فإن عددًا من المتطابقات والنظريات المثلثية المعروفة اليوم كانت معروفة أيضًا لدى علماء الرياضيات الهلنستيين ، ولكن بصيغة الوتر المكافئة لها. [ 21 ] [ 22 ]

على الرغم من عدم وجود حساب المثلثات في مؤلفات إقليدس وأرخميدس ، بالمعنى الدقيق للكلمة، إلا أن هناك نظريات مُقدَّمة بطريقة هندسية (وليست مثلثية) تُكافئ قوانين أو صيغًا مثلثية مُحدَّدة. [ 16 ] فعلى سبيل المثال، تُمثِّل المقولتان الثانية عشرة والثالثة عشرة من الكتاب الثاني من كتاب الأصول قوانين جيب التمام للزوايا المنفرجة والحادة، على التوالي. أما النظريات المتعلقة بأطوال الأوتار فهي تطبيقات لقانون الجيب . وتُكافئ نظرية أرخميدس حول الأوتار المكسورة صيغ جيوب مجموع وفروق الزوايا. [ 16 ] لتعويض عدم وجود جدول للأوتار ، كان علماء الرياضيات في زمن أريستارخوس يستخدمون أحيانًا العبارة التي تنص، في التدوين الحديث، على أن sin α / sin β < α / β < tan α / tan β عندما يكون 0° < β < α < 90°، والمعروفة الآن باسم متباينة أريستارخوس . [ 23 ]              

يبدو أن أول جدول حسابي مثلثي قد جُمع على يد هيبارخوس النيقاوي (180-125 قبل الميلاد)، والذي يُعرف الآن باسم "أبو علم المثلثات". [ 24 ] كان هيبارخوس أول من دوّن القيم المقابلة للقوس والوتر لسلسلة من الزوايا. [ 10 ] [ 24 ]

على الرغم من عدم معرفة متى بدأ استخدام الدائرة الكاملة (360 درجة) في الرياضيات بشكل منهجي، إلا أنه من المعروف أن إدخالها المنهجي جاء بعد فترة وجيزة من تأليف أريستارخوس الساموسي كتابه "في أحجام ومسافات الشمس والقمر" (حوالي 260 قبل الميلاد)، حيث قاس الزاوية بجزء من ربع دائرة. [ 23 ] ويبدو أن استخدام الدائرة الكاملة (360 درجة) يعود الفضل فيه إلى حد كبير إلى هيبارخوس وجدوله للأوتار . ربما استوحى هيبارخوس فكرة هذا التقسيم من هيبسيكليس الذي كان قد قسم اليوم إلى 360 جزءًا، وهو تقسيم ربما استوحاه من علم الفلك البابلي. [ 25 ] في علم الفلك القديم، كان البروج مقسمًا إلى اثني عشر "برجًا" أو ستة وثلاثين "عشرية". ربما كانت الدورة الموسمية التي تبلغ حوالي 360 يومًا تتوافق مع الأبراج وعشرياتها في دائرة البروج، وذلك بتقسيم كل برج إلى ثلاثين جزءًا وكل عشرية إلى عشرة أجزاء. [ 15 ] ويعود ذلك إلى النظام العددي البابلي الستيني ، حيث تُقسّم كل درجة إلى ستين دقيقة، وتُقسّم كل دقيقة إلى ستين ثانية. [ 15 ]

نظرية مينلاوس

كتب مينلاوس الإسكندري (حوالي 100 ميلادي) كتابه "سفايريكا" في ثلاثة كتب . في الكتاب الأول، وضع أساسًا للمثلثات الكروية مماثلًا للأساس الإقليدي للمثلثات المستوية. [ 22 ] كما وضع نظريةً فريدةً من نوعها في الهندسة الإقليدية، مفادها أن مثلثين كرويين متطابقان إذا كانت زواياهما المتناظرة متساوية، لكنه لم يُميّز بين المثلثات الكروية المتطابقة والمتناظرة. [ 22 ] ومن النظريات الأخرى التي وضعها أن مجموع زوايا المثلث الكروي أكبر من 180 درجة. [ 22 ] أما الكتاب الثاني من "سفايريكا " فيُطبّق الهندسة الكروية على علم الفلك. ويحتوي الكتاب الثالث على "نظرية مينلاوس". [ 22 ] كما قدّم أيضًا "قاعدة الكميات الست" الشهيرة. [ 26 ]

لاحقًا، قام كلاوديوس بطليموس (حوالي 90 - حوالي 168 ميلاديًا) بتوسيع نطاق كتاب هيبارخوس " الأوتار في الدائرة" في كتابه "المجسطي" أو " التركيب الرياضي ". يُعدّ "المجسطي" في الأساس عملًا في علم الفلك، وعلم الفلك يعتمد على حساب المثلثات. يُبيّن جدول الأوتار الذي وضعه بطليموس أطوال أوتار دائرة قطرها 120 درجة كدالة لعدد الدرجات (ن) في القوس المقابل من الدائرة، حيث تتراوح قيمة (ن) من 1/2 إلى 180 درجة بزيادات قدرها 1/2. [ 27 ] تُعتبر كتب "المجسطي" الثلاثة عشر العمل الأكثر تأثيرًا وأهمية في حساب المثلثات في جميع العصور القديمة. [ 28 ] كانت إحدى النظريات المحورية في حسابات بطليموس للأوتار هي ما يُعرف اليوم بنظرية بطليموس ، والتي تنص على أن مجموع حاصل ضرب الأضلاع المتقابلة في شكل رباعي دائري يساوي حاصل ضرب قطريه. وقد ظهرت حالة خاصة من نظرية بطليموس في القضية 93 من كتاب البيانات لإقليدس . وتؤدي نظرية بطليموس إلى ما يُعادل صيغ المجموع والفرق الأربع للجيب وجيب التمام، والتي تُعرف اليوم بصيغ بطليموس، على الرغم من أن بطليموس نفسه استخدم الأوتار بدلًا من الجيب وجيب التمام. [ 28 ] كما اشتق بطليموس ما يُعادل صيغة نصف الزاوية.  

الخطيئة2⁡(x2)=1-كوس⁡(x)2.{\displaystyle \sin ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {1-\cos(x)}{2}}.}[ 28 ]

استخدم بطليموس هذه النتائج لإنشاء جداوله المثلثية، ولكن لا يمكن تحديد ما إذا كانت هذه الجداول مستمدة من عمل هيبارخوس. [ 28 ]

لم تصل جداول هيبارخوس ولا جداول بطليموس إلى يومنا هذا، على الرغم من أن أوصاف مؤلفين قدماء آخرين لا تدع مجالاً للشك في أنها كانت موجودة في يوم من الأيام. [ 29 ]

الرياضيات الهندية

شهدت الهند بعضًا من أهم التطورات المبكرة في علم المثلثات . فقد عرّفت أعمالٌ مؤثرة من القرنين الرابع والخامس الميلاديين، تُعرف باسم " السيدانتا" (وهي خمسة كتب، أهمها " سوريا سيدانتا" [ 30 ] )، الجيبَ لأول مرة باعتباره العلاقة الحديثة بين نصف الزاوية ونصف الوتر، كما عرّفت أيضًا جيب التمام، وجيب الزاوية العكسي ، وجيب الزاوية المعكوس . [ 31 ] وبعد ذلك بوقت قصير، قام عالم الرياضيات والفلك الهندي أريابهاتا ( 476-550 م) بجمع وتوسيع تطورات "السيدانتا" في عملٍ هام يُسمى " أريابهاتيا" . [ 32 ] تحتوي كتب "سيدانتاس" و" أريابهاتيا" على أقدم الجداول الباقية لقيم الجيب وقيم معكوس الجيب (1 - جيب التمام)، بفواصل 3.75 درجة من 0 إلى 90 درجة، بدقة تصل إلى أربعة منازل عشرية. [ 33 ] استخدموا الكلمات "جيا" للجيب، و"كوجيا" لجيب التمام، و "أوتكراما-جيا" لمعكوس الجيب، و "أوتكراما جيا" لمعكوس الجيب. أصبحت الكلمتان " جيا" و "كوجيا " في النهاية "جيب " و "جيب تمام" على التوالي بعد خطأ في الترجمة كما ذُكر سابقًا.  

في القرن السابع الميلادي، وضع بهاسكارا الأول صيغة لحساب جيب الزاوية الحادة دون استخدام جدول. كما قدم الصيغة التقريبية التالية لـ sin( x )، والتي كان خطأها النسبي أقل من  1.9%:

الخطيئة⁡x≈16x(π-x)5π2-4x(π-x)،(0≤x≤π).{\displaystyle \sin x\approx {\frac {16x(\pi -x)}{5\pi ^{2}-4x(\pi -x)}},\qquad \left(0\leq x\leq \pi \right).}

وفي وقت لاحق من القرن السابع، أعاد براهماغوبتا تطوير الصيغة

 1-الخطيئة2⁡(x)=كوس2⁡(x)=الخطيئة2⁡(π2-x){\displaystyle \ 1-\sin ^{2}(x)=\cos ^{2}(x)=\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{2}}-x\right)}

(المشتقة سابقًا أيضًا، كما ذكر أعلاه) وصيغة براهمغوبتا للاستيفاء لحساب قيم الجيب. [ 18 ]

أحرز مادهافا (حوالي 1400) تقدماً مبكراً في تحليل الدوال المثلثية ومتسلسلاتها اللانهائية . فقد طور مفهومي متسلسلة القوى ومتسلسلة تايلور ، وأنتج متسلسلات القوى للجيب وجيب التمام والظل وظل الزاوية العكسي. [ 34 ] وباستخدام تقريبات متسلسلة تايلور للجيب وجيب التمام، وضع جدولاً للجيب بدقة تصل إلى 12 منزلة عشرية، وجدولاً لجيب التمام بدقة تصل إلى 9 منازل عشرية. كما قدم متسلسلة القوى للعدد π ، والزاوية ، ونصف القطر ، والقطر ، ومحيط الدائرة بدلالة الدوال المثلثية. وقد توسعت أعماله على يد أتباعه في مدرسة كيرالا حتى القرن السادس عشر. [ 34 ] [ 35 ]

لا.مسلسلاسمالمكتشفون الغربيون لهذه السلسلة والتواريخ التقريبية لاكتشافها [ 36 ]
  1الخطيئة⁡x=x-x33!+x55!+x77!+...{\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots }  سلسلة مادهافا الجيبية    إسحاق نيوتن (1670) وويلهلم لايبنتز (1676)  
  2  كوس⁡x=1-x22!+x44!+x66!+...{\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots }  متسلسلة جيب التمام لمادهافا    إسحاق نيوتن (1670) وويلهلم لايبنتز (1676)  
  3  دالة الظل العكسي⁡x=x-x33+x55-x77+...{\displaystyle \arctan x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\ldots }  متسلسلة الظل العكسي لمادهافا    جيمس غريغوري (1671) وويلهلم لايبنتز (1676)  

يحتوي النص الهندي "يوكتيبهاشا" على برهان لتوسيع دالتي الجيب وجيب التمام ، واشتقاق وبرهان متسلسلة القوى لدالة الظل العكسي ، التي اكتشفها مادهافا. كما يحتوي "يوكتيبهاشا" على قواعد لإيجاد جيوب وجيوب تمام مجموع وفرق زاويتين.

الرياضيات الصينية

قوه شوجينغ (1231–1316)

في الصين ، تُرجمت جداول الجيب لأريابهاتا إلى كتاب الرياضيات الصيني " كايوان تشانجينغ" ، الذي جُمع عام 718 ميلاديًا خلال عهد أسرة تانغ . [ 37 ] ورغم تفوق الصينيين في مجالات أخرى من الرياضيات كالهندسة الفراغية ونظرية ذات الحدين والصيغ الجبرية المعقدة، لم تحظَ الأشكال المبكرة لعلم المثلثات بالتقدير نفسه الذي حظيت به في العوالم اليونانية والهيلينية والهندية والإسلامية السابقة. [ 38 ] وبدلًا من ذلك، استخدم الصينيون الأوائل بديلًا تجريبيًا يُعرف باسم " تشونغ تشا" ، في حين كان الاستخدام العملي لعلم المثلثات المستوي باستخدام الجيب والظل والقاطع معروفًا. [ 37 ] مع ذلك، بدأت هذه المرحلة الجنينية لعلم المثلثات في الصين بالتغير والتقدم تدريجيًا خلال عهد أسرة سونغ (960-1279)، حيث بدأ علماء الرياضيات الصينيون يُولون أهمية أكبر لعلم المثلثات الكروية في علوم التقويم والحسابات الفلكية. [ 37 ] استخدم العالم والرياضي والمسؤول الصيني الموسوعي شين كو (1031-1095) الدوال المثلثية لحل المسائل الرياضية المتعلقة بالأوتار والأقواس. [ 37 ] يذكر فيكتور ج. كاتز أن شين، في صيغته "تقنية الدوائر المتقاطعة"، ابتكر تقريبًا لطول القوس s من دائرة بمعلومية القطر d ، والسهم v ، وطول الوتر c المقابل للقوس، والذي قدّر طوله بـ [ 39 ].    

s=ج+2v2د.{\displaystyle s=c+{\frac {2v^{2}}{d}}.}

يذكر سال ريستيفو أن عمل شين في أطوال أقواس الدوائر شكّل الأساس لعلم المثلثات الكروية الذي طوره عالم الرياضيات والفلك غو شوجينغ (1231-1316) في القرن الثالث عشر. [ 40 ] وكما ذكر المؤرخان ل. غوشيه وجوزيف نيدهام، استخدم غو شوجينغ علم المثلثات الكروية في حساباته لتحسين نظام التقويم وعلم الفلك الصيني . [ 37 ] [ 41 ] ويشير نيدهام، إلى جانب رسم توضيحي صيني لاحق من القرن السابع عشر لبراهين غو الرياضية، إلى ما يلي:

استخدم غو هرمًا كرويًا رباعي الأضلاع، يتكون شكله الرباعي القاعدي من قوس استوائي وقوس هابط، بالإضافة إلى قوسين من خط الزوال ، أحدهما يمر بنقطة الانقلاب الصيفي ... وبهذه الطرق تمكن من الحصول على دو لو (درجات خط الاستواء المقابلة لدرجات الدائرة الهابطة)، وجي تشا (قيم الأوتار لأقواس هابطة معينة)، وتشا لو (الفرق بين أوتار الأقواس التي تختلف بمقدار درجة واحدة). [ 42 ]

على الرغم من إنجازات شين وغو في علم المثلثات، لم يُنشر عملٌ هامٌ آخر في علم المثلثات الصيني حتى عام 1607، مع النشر المزدوج لكتاب أصول إقليدس من قِبَل المسؤول الصيني وعالم الفلك شو غوانغتشي (1562-1633) واليسوعي الإيطالي ماتيو ريتشي (1552-1610). [ 43 ]

العصور الوسطى

العالم الإسلامي

صفحة من كتاب "الكتاب المختصر في الحساب عن طريق الإكمال والموازنة" لمحمد بن موسى الخوارزمي (حوالي  820 م)

تُرجمت أعمال سابقة من الهند واليونان لاحقًا ووُسعت في العالم الإسلامي في العصور الوسطى على يد علماء رياضيات مسلمين، معظمهم من أصول فارسية وعربية ، والذين وضعوا عددًا كبيرًا من النظريات التي حررت علم المثلثات من الاعتماد على الشكل الرباعي الكامل ، كما كان الحال في الرياضيات الهلنستية بفضل تطبيق نظرية مينلاوس . ووفقًا لإي إس كينيدي، فإنه بعد هذا التطور في الرياضيات الإسلامية ظهر "علم المثلثات الحقيقي الأول، بمعنى أنه حينها فقط أصبح موضوع الدراسة هو المثلث الكروي أو المستوي ، وأضلاعه وزواياه " . [ 44 ]

كانت هناك طرق معروفة للتعامل مع المثلثات الكروية، ولا سيما طريقة مينلاوس الإسكندري ، الذي وضع "نظرية مينلاوس" لمعالجة المسائل الكروية. [ 22 ] [ 45 ] ومع ذلك، يشير إي إس كينيدي إلى أنه على الرغم من إمكانية حساب مقادير الأشكال الكروية في الرياضيات قبل الإسلام، من حيث المبدأ، باستخدام جدول الأوتار ونظرية مينلاوس، إلا أن تطبيق النظرية على المسائل الكروية كان صعبًا للغاية من الناحية العملية. [ 46 ] ولرصد الأعياد في التقويم الإسلامي ، حيث كانت الأوقات تُحدد بأطوار القمر ، استخدم الفلكيون في البداية طريقة مينلاوس لحساب مواقع القمر والنجوم ، إلا أن هذه الطريقة أثبتت أنها معقدة وصعبة. فقد تضمنت إنشاء مثلثين قائمي الزاوية متقاطعين ؛ وبتطبيق نظرية مينلاوس، كان من الممكن حل أحد الأضلاع الستة، ولكن فقط إذا كانت الأضلاع الخمسة الأخرى معروفة. لتحديد الوقت من ارتفاع الشمس ، على سبيل المثال، كان لا بد من تطبيق نظرية مينلاوس بشكل متكرر. أما بالنسبة لعلماء الفلك المسلمين في العصور الوسطى، فقد كان من الواضح وجود تحدٍّ يتمثل في إيجاد طريقة حساب مثلثية أبسط. [ 47 ]

في أوائل القرن التاسع الميلادي، وضع محمد بن موسى الخوارزمي جداول دقيقة للجيب وجيب التمام. وكان أيضًا رائدًا في علم المثلثات الكروية . وفي عام 830 ميلادي، اكتشف حبش الحسيب المروزي الظل وظل التمام، ووضع أول جدول لهاتين الدالتين المثلثيتين . [ 48 ] [ 49 ] كما اكتشف محمد بن جابر الحراني البتاني (853-929 ميلادي) القاطع وقاطع التمام، ووضع أول جدول لقواطع التمام لكل درجة من 1° إلى 90°. [ 50 ]

بحلول القرن العاشر الميلادي، استُخدمت جميع الدوال المثلثية الست في أعمال أبي الوفاء البوزجاني . [ 51 ] وقد وضع أبو الوفاء جداول الجيب بزيادات قدرها 0.25 درجة، بدقة تصل إلى ثمانية منازل عشرية، وجداول دقيقة لقيم الظل. [ 51 ] كما وضع الصيغة المثلثية التالية: [ 52 ]

 الخطيئة⁡(2x)=2الخطيئة⁡(x)كوس⁡(x){\displaystyle \ \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)}(حالة خاصة من صيغة بطليموس لجمع الزوايا؛ انظر أعلاه)

يقول أبو الوفاء في نصه الأصلي: "إذا أردنا ذلك، نضرب الجيب المعطى في دقائق جيب التمام ، والنتيجة نصف جيب المضاعف". [ 52 ] كما أثبت أبو الوفاء متطابقات جمع وطرح الزوايا مع براهين كاملة: [ 52 ]

الخطيئة⁡(α±β)=الخطيئة2⁡α-(الخطيئة⁡αالخطيئة⁡β)2±الخطيئة2⁡β-(الخطيئة⁡αالخطيئة⁡β)2{\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )={\sqrt {\sin ^{2}\alpha -(\sin \alpha \sin \beta )^{2}}}\pm {\sqrt {\sin ^{2}\beta -(\sin \alpha \sin \beta )^{2}}}}
الخطيئة⁡(α±β)=الخطيئة⁡αكوس⁡β±كوس⁡αالخطيئة⁡β{\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }

أما بالنسبة للثاني، فينص النص على ما يلي: "نضرب جيب كل من القوسين في جيب تمام الدقائق الأخرى . إذا أردنا جيب المجموع، نجمع النواتج، وإذا أردنا جيب الفرق، نطرحهما". [ 52 ]

كما اكتشف قانون الجيوب لحساب المثلثات الكروية: [ 48 ]

الخطيئة⁡أالخطيئة⁡أ=الخطيئة⁡بالخطيئة⁡ب=الخطيئة⁡جالخطيئة⁡ج.{\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.}

وفي أواخر القرن العاشر وأوائل القرن الحادي عشر الميلادي، أجرى الفلكي المصري ابن يونس العديد من الحسابات المثلثية الدقيقة وأثبت المتطابقة المثلثية التالية : [ 53 ]

كوس⁡أكوس⁡ب=كوس⁡(أ+ب)+كوس⁡(أ-ب)2{\displaystyle \cos a\cos b={\frac {\cos(a+b)+\cos(ab)}{2}}}

كتب الجاياني (989-1079) الأندلسي كتاب "أقواس الكرة المجهولة " ، الذي يُعتبر "أول رسالة في حساب المثلثات الكروية ". [ 54 ] يحتوي الكتاب على "صيغ للمثلثات القائمة ، والقانون العام للجيب، وحل المثلث الكروي باستخدام المثلث القطبي". كان لهذه الرسالة لاحقًا "تأثير كبير على الرياضيات الأوروبية"، ومن المرجح أن يكون "تعريفه للنسب كأعداد" و"طريقة حل المثلث الكروي عندما تكون جميع أضلاعه مجهولة" قد أثّرا على ريجيومونتانوس . [ 54 ]

طُوِّرت طريقة التثليث لأول مرة على يد علماء الرياضيات المسلمين، الذين طبقوها في تطبيقات عملية كالمسح [ 55 ] والجغرافيا الإسلامية ، كما وصفها أبو الريحان البيروني في أوائل القرن الحادي عشر. وقد أدخل البيروني نفسه تقنيات التثليث لقياس حجم الأرض والمسافات بين مختلف الأماكن. [ 56 ] وفي أواخر القرن الحادي عشر، حلّ عمر الخيام (1048-1131) المعادلات التكعيبية باستخدام حلول عددية تقريبية تم التوصل إليها بالاستيفاء في جداول الدوال المثلثية. وفي القرن الثالث عشر، كان نصير الدين الطوسي أول من تناول علم المثلثات كفرع رياضي مستقل عن علم الفلك، وطوّر علم المثلثات الكروي إلى شكله الحالي. [ 49 ] ذكر الحالات الست المختلفة للمثلث القائم الزاوية في حساب المثلثات الكروية، وفي كتابه "الرباعي الكامل" ، ذكر قانون الجيب للمثلثات المستوية والكروية، واكتشف قانون الظل للمثلثات الكروية، وقدم براهين لكلا القانونين. [ 57 ] يُوصف ناصر الدين الطوسي بأنه مؤسس علم المثلثات كفرع رياضي مستقل. [ 58 ] [ 59 ] [ 60 ]

يُمكن إيجاد قانون جيب التمام، بصيغته الهندسية، في المقولتين 12-13 من كتاب الأصول لإقليدس ( حوالي 300 قبل الميلاد)، [ 61 ] ولكنه لم يُستخدم لحل المثلثات بحد ذاتها. وقد طوّر علماء الرياضيات المسلمون في العصور الوسطى طريقةً لإيجاد الضلع الثالث لمثلثٍ ما بمعلومية ضلعين والزاوية المحصورة بينهما، استنادًا إلى المفهوم نفسه ولكن بشكلٍ أقرب إلى الصيغة الحديثة لقانون جيب التمام. ويمكن الاطلاع على مُلخصٍ لهذه الطريقة في كتاب نصير الدين الطوسي عن الشكل الرباعي الكامل (حوالي 1250)، [ 62 ] كما وُصفت هذه الطريقة بمزيدٍ من التفصيل في كتاب جمشيد الكاشي عن مفتاح الحساب (1427). [ 63 ] كما قام الكاشي بحساب جيب الزاوية 1° بدقة تصل إلى 8 أرقام ستينية ، وأنشأ أدق جداول حساب المثلثات حتى الآن، بدقة تصل إلى أربعة أرقام ستينية (ما يعادل 8 أرقام عشرية) لكل 1° من القوس. ومن المفترض أن الكاشي قد عمل على جداول حساب المثلثات الأكثر شمولاً التي وضعها أولوغ بيك ، والتي تحتوي على خمسة أرقام ستينية لكل دقيقة قوسية.

كان ناصر الدين الطوسي (1201-1274) أول من تناول علم المثلثات كفرع رياضي مستقل، منفصل عن علم الفلك، في كتابه "رسالة في الشكل الرباعي " (حوالي 1260). وقد أثبت بشكل كامل جميع الدوال المثلثية الست (الجيب، وجيب التمام، والظل، وظل التمام، والقاطع، وقاطع التمام) مع البراهين، وصاغ قانون الجيب المستوي والكروي - وهو الشكل الذي لا يزال يُدرّس حتى اليوم. [ 64 ] [ 65 ]

عصر النهضة الأوروبية

في عام 1342، كتب ليفي بن جيرشون (جيرسونيدس) كتابًا بعنوان "في الجيوب والأوتار والأقواس" ، كما أثبت قانون الجيب للمثلثات المستوية (وإن كان ذلك بعد الطوسي) وقدم جداول جيب مكونة من خمسة أرقام . [ 66 ]

استخدم البحارة في البحر الأبيض المتوسط ​​خلال القرنين الرابع عشر والخامس عشر جدولًا مبسطًا لحساب المثلثات، يُعرف باسم " توليتا دي مارتيلويو ". وقد وصفه رامون لول من مايوركا عام ١٢٩٥، وتم عرضه في أطلس القبطان الفينيسي أندريا بيانكو عام ١٤٣٦ .

كان ريجيومونتانوس أول عالم رياضيات في أوروبا يتناول علم المثلثات كفرع رياضي مستقل، [ 67 ] وذلك في كتابه "De triangulis omnimodis" الذي كتبه عام 1464، وكذلك في كتابه اللاحق "Tabulae directionum" الذي تضمن دالة الظل، دون تسميتها. مع ذلك، اعتمد عمله على ترجمات لاتينية لنصوص عربية سابقة، بما في ذلك "رسالة الطوسي في الشكل الرباعي" . [ 68 ] وقد أعادت الدراسات الحديثة منذ ذلك الحين للطوسي مكانته كأول من أسس علم المثلثات كفرع مستقل. [ 69 ]

حديث

ربما كان كتاب Opus palatinum de triangulis لجورج يواكيم ريتيكوس ، وهو تلميذ كوبرنيكوس ، أول كتاب في أوروبا يُعرّف الدوال المثلثية مباشرة من حيث المثلثات القائمة بدلاً من الدوائر، مع جداول لجميع الدوال المثلثية الست؛ وقد أنجز هذا العمل تلميذ ريتيكوس فالنتين أوتو في عام 1596. [ 10 ]

ظهر مصطلح "علم المثلثات" لأول مرة كعنوان لكتاب "Trigonometria" (1595) لبارثولوميوس بيتيسكوس . ويُنسب إليه أيضاً اشتقاق العديد من المتطابقات المثلثية، بما في ذلك صيغ الزوايا المتعددة للجيب وجيب التمام، مثل:sأنان2x{\displaystyle sin2x}،sأنان3x{\displaystyle sin3x}،جos2x{\displaystyle cos2x}، وجos3x{\displaystyle cos3x}[ 10 ]​

في القرن السابع عشر، قام إسحاق نيوتن وجيمس ستيرلنغ بتطوير صيغة نيوتن-ستيرلنغ العامة للاستيفاء للدوال المثلثية.

في عام 1707، استنتج دي مويفر معادلة يمكن من خلالها استنتاج ما يلي:

كوس⁡x=12(كوس⁡(نx)+أناالخطيئة⁡(نx))1/ن+12(كوس⁡(نx)-أناالخطيئة⁡(نx))1/ن{\displaystyle \cos x={\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)+i\sin(nx))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)-i\sin(nx))^{1/n}}

والتي تمكن من إثباتها لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة n . [ 70 ] [ 71 ] في عام 1722، قدم معادلات يمكن من خلالها استنتاج الشكل الأكثر شهرة لصيغة دي موافر : 

(كوس⁡x+أناالخطيئة⁡x)ن=كوس⁡(نx)+أناالخطيئة⁡(نx).{\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx).\,}[ 72 ] [ 73 ]

كان كتاب "Introductio in analysin infinitorum " (1748) لليونارد أويلر مسؤولاً بشكل كبير عن وضع المعالجة التحليلية للدوال المثلثية في أوروبا، واشتقاق متسلسلاتها اللانهائية وتقديم صيغة أويلر .هـأناx=كوس⁡x+أناالخطيئة⁡x{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}استخدم أويلر الاختصارات شبه الحديثة sin و cos و tan و cot و sec و cosec. قبل ذلك، كان روجر كوتس قد حسب مشتقة الجيب في كتابه Harmonia Mensurarum (1722). [ 74 ] وجد يوهان برنولي العلاقة بين sin⁻¹ ( z ) و Log y في عام 1702. [ 10 ] وفي القرن الثامن عشر أيضًا، عرّف بروك تايلور متسلسلة تايلور العامة، وقدّم متسلسلات وتقريبات لجميع الدوال المثلثية الست. كما كان لأعمال جيمس غريغوري في القرن السابع عشر وكولين ماكلورين في القرن الثامن عشر تأثير كبير في تطوير المتسلسلات المثلثية.

في القرن التاسع عشر، اكتشف جوزيف فورييه متسلسلة فورييه خلال محاولاته لإيجاد حلول لمعادلة الحرارة ، مما مهد الطريق لتحليل فورييه والتحليل التوافقي .

انظر أيضاً

الاقتباسات والحواشي

  1. ↑ كاتز 1998 ، ص 212.
  2. ↑ بوير 1991 ، ص 208-215.
  3. ↑ بينغري، د. (1970). "التأثير اليوناني على الرياضيات الإسلامية المبكرة". إيزيس، 61(1): 92-98.
  4. ^ بيرجرين، جي إل (2003). حلقات في رياضيات الإسلام في العصور الوسطى. سبرينغر. ص 123-145.
  5. ↑ روزنفيلد، بكالوريوس الآداب (1960). "عمل ناصر الدين الطوسي في علم المثلثات". مجلة تاريخ العلوم، 12(3): 215-228.
  6. ↑ كينيدي، إي إس (1956). مسح للجداول الفلكية الإسلامية. معاملات الجمعية الفلسفية الأمريكية. ص 40-45.
  7. ↑ كاردانو، ج. (1570). في النسب. بازل. (انتقاد كاردانو لريجيومونتانوس لتقليده جابر بن أفلح).
  8. ↑ صليبا، ج. (2007). العلوم الإسلامية وصناعة عصر النهضة الأوروبية. مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. ص 215-220.
  9. ↑ "علم المثلثات" . قاموس أصل الكلمات على الإنترنت .
  10. 1 2 3 4 5 أوكونور، جيه جيه؛ روبرتسون، إي إف (1996). "الدوال المثلثية" . تاريخ الرياضيات من ماكتيوتور .{{cite web}}: CS1 maint: url-status ( link )
  11. 1 2 انظر الشكل في متطابقات فيثاغورس
  12. ↑ قاموس أكسفورد الإنجليزي
  13. ^ إدموند غونتر (1620). كانون المثلث .
  14. ↑ روجيل، دينيس، محرر. (6 ديسمبر 2010). "إعادة بناء كتاب غونتر "قانون المثلثات" (1620)" (تقرير بحثي). HAL. inria-00543938. مؤرشف من الأصل في 28 يوليو 2017. تم الاطلاع عليه في 28 يوليو 2017 .
  15. ١ ٢ ٣ بوير ١٩٩١ ، الصفحات ١٦٦-١٦٧ ، علم المثلثات والقياس اليوناني : "تجدر الإشارة إلى أنه منذ أيام هيبارخوس وحتى العصر الحديث، لم تكن هناك نسب مثلثية معروفة . استخدم اليونانيون، ومن بعدهم الهنود والعرب، الخطوط المثلثية . اتخذت هذه الخطوط في البداية، كما رأينا، شكل أوتار في دائرة، وأصبح من واجب بطليموس ربط القيم العددية (أو التقريبية) بهذه الأوتار. [...] ليس من المستبعد أن يكون قياس ٣٦٠ درجة قد نُقل من علم الفلك، حيث قُسِّمَت دائرة البروج إلى ١٢ "علامة" أو ٣٦ "عُشرًا". يمكن بسهولة جعل دورة الفصول التي تبلغ حوالي ٣٦٠ يومًا تتوافق مع نظام علامات البروج وعُشرها عن طريق تقسيم كل علامة إلى ٣٠ جزءًا وكل عُشر إلى ١٠ أجزاء. نظامنا الشائع لقياس الزوايا قد ينشأ هذا من هذه المراسلات. علاوة على ذلك، ولأن نظام المواضع البابلي للكسور كان متفوقًا بشكل واضح على نظام الكسور المصرية والكسور اليونانية الشائعة، كان من الطبيعي أن يقسم بطليموس درجاته إلى ستين جزءًا من الدقائق الأولى ، وكل جزء من هذه الأخيرة إلى ستين جزءًا من الدقائق الثانية ، وهكذا. ومن العبارات اللاتينية التي استخدمها المترجمون في هذا السياق اشتُقت كلمتا "دقيقة" و"ثانية". لا شك أن النظام الستيني هو الذي دفع بطليموس إلى تقسيم قطر دائرته المثلثية إلى 120 جزءًا؛ كل جزء منها قسمه بدوره إلى ستين دقيقة، وكل دقيقة منها ستين ثانية. 
  16. ١ ٢ ٣ بوير ١٩٩١ ، الصفحات ١٥٨-١٥٩ ، علم المثلثات والقياس اليوناني : "لم يكن علم المثلثات، كغيره من فروع الرياضيات، من عمل رجل واحد أو أمة واحدة. فقد عرف المصريون القدماء والبابليون نظريات نسب أضلاع المثلثات المتشابهة واستخدموها. ونظرًا لعدم وجود مفهوم قياس الزوايا قبل العصر الهيليني، فمن الأنسب تسمية هذه الدراسة "علم قياس المضلعات الثلاثية"، أو قياس المضلعات ثلاثية الأضلاع، بدلًا من "علم المثلثات"، أي قياس أجزاء المثلث. مع اليونانيين نجد أول دراسة منهجية للعلاقات بين الزوايا (أو الأقواس) في الدائرة وأطوال الأوتار المقابلة لها. كانت خصائص الأوتار، كقياسات للزوايا المركزية والمحيطية في الدوائر، مألوفة لدى اليونانيين في عصر أبقراط، ومن المرجح أن إيدوكسوس قد استخدم النسب وقياسات الزوايا في تحديد حجم الأرض والمسافات النسبية بين الشمس والقمر. لا يوجد في مؤلفات إقليدس علم المثلثات بالمعنى الدقيق للكلمة، ولكن توجد نظريات مكافئة لقوانين أو صيغ مثلثية محددة. على سبيل المثال، تُعدّ المقولتان 12 و13 من كتاب الأصول (II.12 و13 ) قانوني جيب التمام للزوايا المنفرجة والحادة على التوالي، وقد صيغتا بلغة هندسية لا مثلثية، وأُثبتتا بطريقة مشابهة لتلك التي استخدمها إقليدس في شرح نظرية فيثاغورس. أما النظريات المتعلقة بأطوال الأوتار فهي في جوهرها تطبيقات لقانون الجيب الحديث. وقد رأينا أن نظرية أرخميدس حول الوتر المكسور يُمكن ترجمتها بسهولة إلى لغة مثلثية مماثلة لصيغ جيوب مجموع وفروق الزوايا. 
  17. 1 2 3 4 ماور، إيلي (1998). متعة حساب المثلثات . مطبعة جامعة برينستون . ص 20. ISBN  978-0-691-09541-7.
  18. 1 2 جوزيف 2000 ، ص 383-384.
  19. ↑ مانسفيلد، دانيال ف.؛ وايلدبيرجر، نيوجيرسي (نوفمبر 2017). "بليمبتون 322 هو حساب المثلثات الستيني البابلي الدقيق" . هيستوريا ماثيماتيكا . 44 (4): 395-419 . doi : 10.1016/j.hm.2017.08.001 . hdl : 1959.4/unsworks_49132 .
  20. ↑ كاتز 1998 ، ص 143.
  21. بما أن هذه الحسابات التاريخية لم تستخدم دائرة الوحدة، فقد كان طول نصف القطر ضروريًا في الصيغة. قارن هذا بالاستخدام الحديث لدالة crd التي تفترض دائرة الوحدة في تعريفها.
  22. 1 2 3 4 5 6 بوير 1991 ، ص. ١٦٣ ، علم المثلثات والقياس اليوناني : "في الكتاب الأول من هذه الرسالة، يضع مينلاوس أساسًا للمثلثات الكروية مماثلًا لما وضعه إقليدس في الكتاب الأول للمثلثات المستوية. ويتضمن ذلك نظريةً ليس لها نظير إقليدي، وهي أن مثلثين كرويين متطابقان إذا كانت زواياهما المتناظرة متساوية (لم يُميّز مينلاوس بين المثلثات الكروية المتطابقة والمتناظرة)؛ كما يُثبت النظرية A + B + C >180°. يصف الكتاب الثاني من " سفايريكا" تطبيق الهندسة الكروية على الظواهر الفلكية، وهو ذو أهمية رياضية قليلة. أما الكتاب الثالث والأخير، فيحتوي على "نظرية مينلاوس" المعروفة كجزء مما هو في جوهره علم مثلثات كروي بالشكل اليوناني النموذجي - هندسة أو علم مثلثات الأوتار في دائرة. في الدائرة الموضحة في الشكل ١٠.٤، نكتب أن الوتر AB يساوي ضعف جيب نصف الزاوية المركزية." AOB (مضروبًا في نصف قطر الدائرة). أما مينلاوس وخلفاؤه اليونانيون فقد أشاروا إلى AB ببساطة على أنه الوتر المقابل للقوس AB. إذا كان BOB' قطرًا للدائرة، فإن الوتر A' يساوي ضعف جيب تمام نصف الزاوية AOB (مضروبًا في نصف قطر الدائرة).       
  23. 1 2 بوير 1991 ، ص. 159 ، علم المثلثات والقياس اليوناني : "بدلاً من ذلك، لدينا رسالة، ربما أُلفت في وقت سابق (حوالي 260 قبل الميلاد)، بعنوان "في أحجام ومسافات الشمس والقمر" ، والتي تفترض كونًا مركزه الأرض. في هذا العمل، لاحظ أريستارخوس أنه عندما يكون القمر نصف مكتمل، تكون الزاوية بين خطي الرؤية إلى الشمس والقمر أقل من زاوية قائمة بمقدار واحد من ثلاثين من ربع دائرة. (جاء الإدخال المنهجي لدائرة 360 درجة لاحقًا بقليل. بلغة علم المثلثات اليوم، هذا يعني أن نسبة مسافة القمر إلى مسافة الشمس (النسبة ME إلى SE في الشكل 10.1) هي sin(3°). نظرًا لعدم تطوير جداول حساب المثلثات بعد، لجأ أريستارخوس إلى نظرية هندسية معروفة في ذلك الوقت والتي يمكن التعبير عنها الآن في المتباينات sin α/sinβ<α/β<tanα/tanβ، لـ 0°<β<α<90°.)"                 
  24. 1 2 بوير 1991 ، ص. ١٦٢ ، علم المثلثات والقياس اليوناني : "على مدى قرنين ونصف تقريبًا، من أبقراط إلى إراتوستينس، درس علماء الرياضيات اليونانيون العلاقات بين الخطوط والدوائر، وطبقوها في مسائل فلكية متنوعة، لكن لم يُسفر ذلك عن علم مثلثات منهجي. ثم، على الأرجح خلال النصف الثاني من القرن الثاني قبل الميلاد، قام الفلكي هيبارخوس النيقاوي (حوالي ١٨٠-١٢٥ قبل الميلاد) بتجميع أول جدول حسابي مثلثي، والذي استحق بذلك لقب "أبو علم المثلثات". كان أريستارخوس يعلم أن نسبة طول القوس إلى طول الوتر في دائرة معينة تتناقص كلما تناقص طول القوس من ١٨٠° إلى ٠°، مقتربةً من حد ١. ومع ذلك، يبدو أنه لم يقم أحد بجدولة القيم المقابلة لطول القوس وطول الوتر لسلسلة كاملة من الزوايا إلا بعد أن تولى هيبارخوس هذه المهمة." 
  25. ↑ بوير 1991 ، ص 162 ، علم المثلثات والقياس اليوناني : "ليس من المعروف متى بدأ الاستخدام المنهجي لدائرة 360 درجة في الرياضيات، ولكن يبدو أنه يعود إلى حد كبير إلى هيبارخوس فيما يتعلق بجدول الأوتار الخاص به. من المحتمل أنه اقتبس من هيبسيكليس، الذي كان قد قسم اليوم إلى أجزاء، وهو تقسيم ربما يكون مستوحى من علم الفلك البابلي." 
  26. ↑ نيدهام 1986 ، ص 108.
  27. ↑ تومر، جيرالد ج. (1998). المجسطي لبطليموس . مطبعة جامعة برينستون. ISBN 978-0-691-00260-6.
  28. ١ ٢ ٣ ٤ بوير ١٩٩١ ، الصفحات ١٦٤-١٦٦ ، علم المثلثات والقياس اليوناني : "لعبت نظرية مينلاوس دورًا أساسيًا في علم المثلثات الكروي وعلم الفلك، ولكن العمل الأكثر تأثيرًا وأهمية في علم المثلثات في جميع العصور القديمة هو ما ألفه بطليموس الإسكندري بعد حوالي نصف قرن من مينلاوس. [...] معلوماتنا عن حياة المؤلف قليلة، تمامًا كما هي معلوماتنا عن حياة مؤلف كتاب الأصول. لا نعرف متى أو أين ولد إقليدس وبطليموس. نعلم أن بطليموس أجرى أرصادًا في الإسكندرية من عام ١٢٧ إلى ١٥١ ميلاديًا، ولذلك نفترض أنه ولد في نهاية القرن الأول. ذكر سويداس، وهو كاتب عاش في القرن العاشر، أن بطليموس كان على قيد الحياة في عهد ماركوس أوريليوس (الإمبراطور من عام ١٦١ إلى ١٨٠ ميلاديًا). كتاب المجسطي لبطليموسهو يُفترض أن أساليب بطليموس مستوحاة بشكل كبير من كتاب "الأوتار في دائرة" لهيبارخوس، لكن لا يمكن تقييم مدى هذا التأثر بدقة. من الواضح أن بطليموس استخدم في علم الفلك فهرس مواقع النجوم الذي تركه هيبارخوس، لكن لا يمكن تحديد ما إذا كانت جداول بطليموس المثلثية مستمدة بشكل كبير من سلفه المتميز. [...] كان جوهر حساب أوتار بطليموس مبدأ هندسي لا يزال يُعرف باسم "نظرية بطليموس": [...] أي أن مجموع حاصل ضرب الأضلاع المتقابلة في شكل رباعي دائري يساوي حاصل ضرب قطريه. [...] ظهرت حالة خاصة من نظرية بطليموس في كتاب " البيانات" لإقليدس (المسألة 93): [...] وبالتالي، تؤدي نظرية بطليموس إلى النتيجة sin( α − β ) =sin α cos β −cos α sin Β . يؤدي منطق مماثل إلى الصيغة [...] ولذلك تُعرف هذه الصيغ الأربع للجمع والطرح اليوم باسم صيغ بطليموس.وقد وجد بطليموس أن صيغة جيب الفرق - أو، بدقة أكبر، وتر الفرق - مفيدة بشكل خاص في بناء جداوله. كما أن صيغة أخرى أفادته بفعالية هي ما يعادل صيغة نصف الزاوية لدينا.            
  29. ↑ بوير 1991 ، ص 158-168.
  30. ↑ بوير 1991 ، ص 208.
  31. ↑ بوير 1991 ، ص 209.
  32. ↑ بوير 1991 ، ص 210.
  33. ↑ بوير 1991 ، ص 215.
  34. 1 2 أوكونور، جيه جيه؛ روبرتسون، إي إف (2000). "مادهافا من سانغاماغراما" . تاريخ الرياضيات في ماك تيوتور .
  35. ↑ تشارلز ويش (1834)، "حول التربيع الهندوسي للدائرة والمتسلسلة اللانهائية لنسبة المحيط إلى القطر كما وردت في الشاسترات الأربعة، وهي: تانترا ساهغراهام، ويوكتي بهاشا، وكارانا باداتي، وسادراتنامالا" ، معاملات الجمعية الملكية الآسيوية لبريطانيا العظمى وأيرلندا ، 3 (3): 509-523 ، doi : 10.1017/S0950473700001221 ، JSTOR 25581775 
  36. ↑ تشارلز هنري إدواردز (1994). التطور التاريخي للتفاضل والتكامل . سلسلة سبرينغر للدراسات ( الطبعة الثالثة). سبرينغر. ص 205. ISBN   978-0-387-94313-8.
  37. 1 2 3 4 5 نيدهام 1986 ، ص 109.
  38. ↑ نيدهام 1986 ، ص 108-109.
  39. ↑ كاتز 2007 ، ص 308.
  40. ↑ ريستيفو 1992 ، ص 32.
  41. ^ غوشيه، ل. (1917). لاحظ Sur La Trigonométrie Sphérique de Kouo Cheou-King . ص. 151. 
  42. ↑ نيدهام 1986 ، ص 109-110.
  43. ↑ نيدهام 1986 ، ص 110.
  44. ↑ كينيدي، إي إس (1969). "تاريخ علم المثلثات". الكتاب السنوي الحادي والثلاثون . واشنطن العاصمة: المجلس الوطني لمعلمي الرياضيات.( انظر: حق، سيد نعمانول (1996). "الخلفية الهندية والفارسية". في: سيد حسين نصر ؛ أوليفر ليمان (محرران). تاريخ الفلسفة الإسلامية . روتليدج . ص 52-70 [60-63]. ISBN  978-0-415-13159-9.)
  45. ↑ أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف ، "مينيلوس الإسكندري" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز"يتناول الكتاب الثالث علم المثلثات الكروية ويتضمن نظرية مينلاوس".
  46. ↑ كينيدي، إي إس (1969). "تاريخ علم المثلثات". الكتاب السنوي الحادي والثلاثون . واشنطن العاصمة: المجلس الوطني لمعلمي الرياضيات: 337.( انظر: حق، سيد نعمانول (1996). "الخلفية الهندية والفارسية". في: سيد حسين نصر ؛ أوليفر ليمان (محرران). تاريخ الفلسفة الإسلامية . روتليدج . ص 52-70 [68]. ISBN  978-0-415-13159-9.)
  47. ↑ جينجيريتش، أوين (أبريل 1986). "علم الفلك الإسلامي" . مجلة ساينتفك أمريكان . 254 (10): 74. رمز Bibcode : 1986SciAm.254d..74G . doi : 10.1038/scientificamerican0486-74 . مؤرشف من الأصل في 1 يناير 2011. تم الاطلاع عليه في 18 مايو 2008 .
  48. 1 2 جاك سيسيانو، "الرياضيات الإسلامية"، ص 157، في سيلين، هيلين ؛ دامبروسيو، أوبيراتان ، محرران (2000). الرياضيات عبر الثقافات: تاريخ الرياضيات غير الغربية . سبرينغر ساينس + بيزنس ميديا . ISBN 978-1-4020-0260-1.
  49. 1 2 "علم المثلثات" . موسوعة بريتانيكا . تم الاسترجاع في 21-07-2008 .
  50. ↑ ماور، إيلي (1998). متعة حساب المثلثات . برينستون: مطبعة جامعة برينستون. ص 38. ISBN  978-0-691-15820-4.
  51. 1 2 بوير 1991 ، ص. 238.
  52. ١ ٢ ٣ ٤ موسى، علي (٢٠١١). "الأساليب الرياضية في كتاب المجسطي لأبي الوفاء وتحديد القبلة". العلوم والفلسفة العربية . ٢١ (١). مطبعة جامعة كامبريدج : ١-٥٦ . doi : 10.1017/S095742391000007X . S2CID 171015175 . 
  53. ↑ ويليام تشارلز برايس، " أطلس تاريخي للإسلام "، ص 413
  54. 1 2 أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف ، "أبو عبد الله محمد بن معاذ الجياني" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز
  55. ↑ دونالد روتليدج هيل (1996)، "الهندسة"، في رشدي راشد، موسوعة تاريخ العلوم العربية ، المجلد 3، ص 751-795 [769].
  56. ^ أوكونور، جون ج. روبرتسون، إدموند ف. ، "أبو الريحان محمد بن أحمد البيروني" ، أرشيف MacTutor لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز
  57. ↑ بيرغرين، ج. لينارت (2007). "الرياضيات في الإسلام في العصور الوسطى". رياضيات مصر وبلاد ما بين النهرين والصين والهند والإسلام: كتاب مرجعي . مطبعة جامعة برينستون. ص 518. ISBN  978-0-691-11485-9.
  58. ↑ "سيرة ناصر الطوسي" . www-history.mcs.st-andrews.ac.uk . تاريخ الوصول: 5 أغسطس 2018. من أهم إسهامات الطوسي في الرياضيات تأسيسه علم المثلثات كفرع رياضي مستقل، وليس مجرد أداة للتطبيقات الفلكية. في كتابه "رسالة في الشكل الرباعي"، قدم الطوسي أول شرح وافٍ لنظام حساب المثلثات المستوي والكروي. يُعد هذا العمل الأول من نوعه في التاريخ الذي يتناول حساب المثلثات كفرع مستقل من الرياضيات البحتة، والأول الذي يُفصّل جميع الحالات الست للمثلث الكروي القائم الزاوية.
  59. ↑ بيرغرين، جيه إل (أكتوبر 2013). "الرياضيات الإسلامية" . تاريخ كامبريدج للعلوم . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 62-83 . doi : 10.1017/CHO9780511974007.004 . ISBN  978-0-511-97400-7.
  60. ↑ electricpulp.com. "طوسي، نصر الدين 1. السيرة الذاتية - موسوعة إيرانيكا" . www.iranicaonline.org . تاريخ الاطلاع: 5 أغسطس 2018. يُقال إن إسهامه الأبرز في الرياضيات (نصر، 1996، ص 208-214) يكمن في علم المثلثات، الذي قام بتصنيفه لأول مرة كعلم مستقل. كما يُعزى تطور علم المثلثات الكروية إلى جهوده، بما في ذلك مفهوم الصيغ الست الأساسية لحل المثلثات الكروية القائمة الزاوية.
  61. ↑ إقليدس. توماس ل. هيث (محرر). " الأصول" . ترجمة توماس ل. هيث . تم الاطلاع عليه في 24 يناير 2023. في المثلثات ذات الزوايا المنفرجة، يكون مربع الضلع المقابل للزاوية المنفرجة أكبر من مربعي الضلعين المحيطين بالزاوية المنفرجة بمقدار ضعف مساحة المستطيل المحصور بين أحد الضلعين المحيطين بالزاوية المنفرجة، أي الضلع الذي يسقط عليه العمود، والخط المستقيم الذي يقطعه العمود باتجاه الزاوية المنفرجة.
  62. ↑ نصير الدين الطوسي (1891). "الفصل 3.2: طريقة حساب الحواف وزوايا مثلث واحد على قدم المساواة" . Traité du Quadrilatère attribué a Nassiruddinel-Toussy (بالفرنسية). ترجمة كاراتؤودوري، ألكسندر باشا . الطباعة والطباعة الحجرية العثمانية. ص. 69. على ارتداء قطعتين وزاوية واحدة. [...] إذا كانت الزاوية المحددة تتكون من قطعتين من الحواف السفلية، فإن الزاوية A تتكون من قطعتين من الحواف AB AC، ثم تخطي B على التيار المتردد المتعامد BE. بفرض أن الزاوية A محصورة بين الضلعين AB و AC، نسقط من B إلى AC العمود BE. وبذلك نحصل على المثلث القائم الزاوية [BEA] الذي نعرف فيه الضلع AB والزاوية A؛ في هذا المثلث، نحسب BE و EA، وبذلك تُختزل المسألة إلى إحدى الحالات السابقة؛ أي إلى الحالة التي نعرف فيها BE و CE؛ فنعرف فيها BC والزاوية C ، كما شرحنا سابقًا . 
  63. ↑ أزاريان، محمد ك. (2000). "مفاتيح الحساب: ملخص" (ملف PDF) . مجلة ميسوري للعلوم الرياضية . 12 (2): 75-95 . doi : 10.35834/2000/1202075 .
    أيدين، نوح؛ حمودي، الأخضر؛ بقبوك، غادة، محررون. (2020). مفتاح الحساب للكاشي المجلد الثاني: الهندسة . بيركهوسر. ص.  31. دوى : 10.1007/978-3-030-61330-3 . رقم ISBN 978-3-030-61329-7في حالة أخرى ، عندما يكون ضلعان والزاوية المحصورة بينهما معلومة، وبقية الأضلاع مجهولة، نضرب أحد الأضلاع بجيب الزاوية المعلومة مرة، ثم بجيب متممتها مرة أخرى بعد تحويلها. نطرح الناتج الثاني من الضلع الآخر إذا كانت الزاوية حادة، ونضيفه إذا كانت منفرجة. بعد ذلك، نربع الناتج ونضيف إليه مربع الناتج الأول. ثم نأخذ الجذر التربيعي للمجموع لنحصل على الضلع المتبقي.
  64. ^ بيرجرين، جي إل (2003). حلقات في رياضيات الإسلام في العصور الوسطى . سبرينغر. ص 123-145.
  65. ↑ روزنفيلد، بكالوريوس الآداب (1960). "عمل ناصر الدين الطوسي في علم المثلثات". مجلة تاريخ العلوم ، 12(3): 215-228.
  66. ↑ تشارلز ج. سيمونسون (شتاء 2000). "رياضيات ليفي بن غيرشون، الرالباغ" (ملف PDF) . بيكهول دراخيكا ديهو . 10. مطبعة جامعة بار إيلان: 5-21 .
  67. ↑ بوير 1991 ، ص 274.
  68. ^ كاردانو، ج. (1570). التناسب . بازل.
  69. ↑ صليبا، ج. (2007). العلوم الإسلامية وصناعة عصر النهضة الأوروبية . مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. ص 215-220.
  70. ^ موافر ، أب. دي (1707). "Aequationum quarundam Potestatis tertiae, quintae, septimae, noae, &superum, ad infinitum usque pergendo, in termimis finitis, ad instar Regularum pro cubeis quae vocantur Cardani, resolutio analytica" [ من معادلات معينة للقوة الثالثة والخامسة والسابعة والتاسعة والأعلى، وصولاً إلى ما لا نهاية، من خلال المتابعة، في حدود محدودة مصطلحات، على شكل قواعد للمكعبات التي يطلق عليها كاردانو، الحل بالتحليل. ] . المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن (باللاتينية). 25 (309): 2368–2371 . دوى : 10.1098/rstl.1706.0037 . S2CID 186209627 . 
    • الترجمة الإنجليزية من إعداد ريتشارد ج. بولسكامب (2009)
    ذكر دي مويفر في الصفحة 2370 أنه إذا كانت السلسلة على شكلنy+1-نن2×3نy3+1-نن2×39-نن4×5نy5+1-نن2×39-نن4×525-نن6×7نy7+⋯=أ{\displaystyle ny+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}ny^{3}+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}{\tfrac {9-nn}{4\times 5}}ny^{5}+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}{\tfrac {9-nn}{4\times 5}}{\tfrac {25-ن}{6\مرات 7}}نيويورك^{7}+\cdots =a}، حيث n هو أي عدد صحيح فردي معطى (موجب أو سالب) وحيث يمكن أن تكون y و a دالتين، فعند حل المعادلة لإيجاد قيمة y ، تكون النتيجة هي المعادلة (2) في نفس الصفحة:y=12أ+أأ-1ن+12أ-أأ-1ن{\displaystyle y={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{a+{\sqrt {aa-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{a-{\sqrt {aa-1}}}}}إذا كان y = cos x و a = cos nx، فإن النتيجة هيكوس⁡x=12(كوس⁡(نx)+أناالخطيئة⁡(نx))1/ن+12(كوس⁡(نx)-أناالخطيئة⁡(نx))1/ن{\displaystyle \cos x={\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)+i\sin(nx))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)-i\sin(nx))^{1/n}}
    • في عام 1676، اكتشف إسحاق نيوتن العلاقة بين وترين بنسبة n إلى 1؛ تم التعبير عن العلاقة من خلال السلسلة أعلاه. تظهر السلسلة في رسالة - Epistola pre D. Issaci Newton، Mathescos Professoris in Celeberrima Academia Cantabrigiensi؛ … — بتاريخ 13 يونيو 1676 من إسحاق نيوتن إلى هنري أولدنبورغ، سكرتير الجمعية الملكية؛ تم إرسال نسخة من الرسالة إلى جوتفريد فيلهلم لايبنتز . انظر ص. 106 من: بيوت، ج.-ب؛ ليفورت، ف.، محرران. (1856). Commercium epistolicum J. Collins et aliorum de analysi promota، إلخ: ou … (باللاتينية). باريس، فرنسا: ماليت-باشيلييه. ص 102 – 112. 
    • في عام ١٦٩٨، استنتج دي مويفر نفس المتسلسلة. انظر: دي مويفر، أ. (١٦٩٨). "طريقة لاستخراج جذور معادلة لانهائية" . المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن . ٢٠ (٢٤٠): ١٩٠-١٩٣ . doi : 10.1098/rstl.1698.0034 . S2CID 186214144 . انظر الصفحة 192.
    • في عام 1730، نظر دي موافر بوضوح في الحالة التي تكون فيها الدوال cos θ وcos nθ. انظر: Moivre، A. de (1730). Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis (باللاتينية). لندن، إنجلترا: جيه.تونسون وجي.واتس. ص. 1.  من ص. 1: "يقول 1. إذا كان l & x cosinus arcuum duorum A & B، وصف النصاب القانوني لراديو 1، النصاب قبل الجلوس اللاحق لتعدد الإرسال في كل حصة من العدد n إلى الوحدة، tunc eritx=12ل+لل-1ن+121ل+لل-1ن{\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}}}" (إذا كان l و x هما جيب تمام قوسين A و B، وكلاهما موصوف بنفس نصف القطر 1، وكان الأول مضاعفًا للثاني بنفس النسبة التي يكون بها العدد n إلى 1، فسيكون [صحيحًا أن]x=12ل+لل-1ن+121ل+لل-1ن{\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}}}إذا كان طول القوس A يساوي n × طول القوس B، فإن l = cos A = cos nB و x = cos B.كوس⁡ب=12(كوس⁡(نب)+-1الخطيئة⁡(نب))1/ن+12(كوس⁡(نب)+-1الخطيئة⁡(نب))-1/ن{\displaystyle \cos B={\tfrac {1}{2}}(\cos(nB)+{\sqrt {-1}}\sin(nB))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\cos(nB)+{\sqrt {-1}}\sin(nB))^{-1/n}}
    انظر أيضاً:
    • كانتور، موريتز (1898). Vorlesungen über Geschichte der Mathematik [ محاضرات عن تاريخ الرياضيات ] . مكتبة الرياضيات Teuberiana، Bd. 8-9 (باللغة الألمانية). المجلد.  3. لايبزيغ، ألمانيا: بي جي تيوبنر. ص.  624.
    • براونمول، أ. فون (1901). "Zur Geschichte der Entstehung des sogenannten Moivreschen Satzes" [ في تاريخ أصل ما يسمى بنظرية Moivre ] . مكتبة الرياضيات . السلسلة الثالثة (باللغة الألمانية). 2 : 97 - 102.انظر الصفحة 98.
  71. ↑ سميث، ديفيد يوجين (1959)، كتاب مصادر في الرياضيات، المجلد 3 ، منشورات كوريير دوفر، ص 444، رقم ISBN  9780486646909{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  72. ↑ مويفر، أ. دي (1722). "De sectione anguli" [ فيما يتعلق بتقسيم الزاوية ] . المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن (باللاتينية). 32 (374): 228–230 . doi : 10.1098/rstl.1722.0039 . S2CID 186210081. تاريخ الاسترجاع: 6 يونيو 2020 .  من ص.  229: "الجلوس x الجيوب الأنفية مقابل القوس cujuslibert. [الجلوس] t الجيوب الأنفية مقابل القوس البديل. [الجلوس] 1 نصف قطر دائري. Sitque القوس قبل الإعلان الخلفي ut 1 ad n ، tunc، assumptis binis aequationibus quas cognatas appelare licet، 1 – 2 z n + z 2 n = – 2 z n t 1 – 2 z + zz = – 2 zx .​​​​​ (لنفترض أن x هو جيب تمام أي قوس [أي x = 1 – cos θ]. ولنفترض أن t هو جيب تمام قوس آخر. ولنفترض أن 1 هو نصف قطر الدائرة. ولنفترض أن نسبة القوس الأول إلى القوس الثاني [أي "قوس آخر"] هي 1 إلى n [بحيث t = 1 – cos nθ ]، عندئذٍ، بافتراض المعادلتين اللتين يمكن تسميتهما مرتبطتين، 1 – 2 z n + z 2 n = –2 z n t 1 – 2 z + zz = – 2 zx . وبحذف z ، نحصل على المعادلة التي تحدد العلاقة بين x و t .) أي، بمعلومية المعادلتين 1 – 2 z n + z 2 n = – 2 z n (1 – cos n θ) 1 – 2 z + zz = – 2 z (1 – cos θ)، استخدم باستخدام الصيغة التربيعية، نحل المعادلة الأولى لإيجاد قيمة z<sub> n </sub>، والمعادلة الثانية لإيجاد قيمة z . ستكون النتيجة: z <sub>n </sub> = cos<sub> n</sub> θ ± i sin<sub> n</sub> θ و z = cos<sub>n</sub>θ ± i sin<sub>n</sub>θ، ومن ثمّ نستنتج مباشرةً أن (cos<sub>n</sub>θ ± i sin<sub>n</sub>θ)<sub> n</sub> = cos<sub> n</sub> θ ± i sin<sub> n</sub> θ. انظر أيضًا:
    • سميث، ديفيد يوجين (1959). كتاب مرجعي في الرياضيات . المجلد  2. مدينة نيويورك، نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية: منشورات دوفر. الصفحات 444-446 . انظر الصفحة  445، الحاشية 1.
  73. ^ في عام 1738، استخدم دي موافر علم المثلثات لتحديد الجذور النونية لعدد حقيقي أو مركب. انظر: Moivre، A. de (1738). "من خلال تقليل الجذور إلى مصطلحات بسيطة، فإن هذه البيانات الجذرية الإضافية من ذات الحدينأ++ب{\displaystyle a+{\sqrt {+b}}}، فيلأ+-ب{\displaystyle a+{\sqrt {-b}}}«إبستولا» [ حول اختزال الجذور إلى مصطلحات أبسط، أو حول استخراج أي جذر معين من ذات الحدين،أ++ب{\displaystyle a+{\sqrt {+b}}}أوأ+-ب{\displaystyle a+{\sqrt {-b}}}رسالة. ] . المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن (باللاتينية). 40 (451): 463– 478. doi : 10.1098/rstl.1737.0081 . S2CID 186210174 .  من ص. 475: "المشكلة الثالثة. اجلس على أساس إضافي، مؤشر cujus est n، ex binomio impossibliأ+-ب{\displaystyle a+{\sqrt {-b}}}. ... illos autem negativos quorum arcus sunt Quadrante Majores." (المشكلة الثالثة. دع الجذر الذي مؤشره [أي الدرجة] n يتم استخلاصه من ذات الحدين المعقدينأ+-ب{\displaystyle a+{\sqrt {-b}}}الحل. ليكن جذرهاx+-y{\displaystyle x+{\sqrt {-y}}}ثم أقوم بتعريفأأ+بن=م{\displaystyle {\sqrt[{n}]{aa+b}}=m}وأنا أيضاً أعرّفن+1ن=ص{\displaystyle {\tfrac {n+1}{n}}=p}[ملاحظة: يجب أن تُقرأ كالتالي:ن+12=ص{\displaystyle {\tfrac {n+1}{2}}=p}ارسم أو تخيل دائرة نصف قطرهام{\displaystyle {\sqrt {m}}}ولنفترض في هذه الدائرة قوسًا ما A يكون جيب تمامهأمص{\displaystyle {\tfrac {a}{{m}^{p}}}} لنفترض أن C هي محيط الدائرة بالكامل. ولنفترض أن جيوب تمام الأقواس، المقاسة عند نفس نصف القطر، هيأن،ج-أن،ج+أن،2ج-أن،2ج+أن،3ج-أن،3ج+أن{\displaystyle {\tfrac {A}{n}},{\tfrac {C-A}{n}},{\tfrac {C+A}{n}},{\tfrac {2C-A}{n}},{\tfrac {2C+A}{n}},{\tfrac {3C-A}{n}},{\tfrac {3C+A}{n}}}وهكذا حتى يصبح عددها مساويًا للعدد ن؛ وعندها نتوقف؛ عندها سيكون عدد جيب التمام مساويًا لقيم الكميةx{\displaystyle x}وهو ما يرتبط بالكميةy{\displaystyle y}هذا [أي،y{\displaystyle y}] سيكون دائمًام-xx{\displaystyle m-xx} لا ينبغي إغفال، على الرغم مما سبق ذكره، أن جيوب التمام التي تكون أقواسها أقل من زاوية قائمة يجب اعتبارها موجبة، بينما تلك التي تكون أقواسها أكبر من زاوية قائمة يجب اعتبارها سالبة. انظر أيضًا :
    • براونمول، أ. فون (1903). Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie [ محاضرات عن تاريخ علم المثلثات ] (باللغة الألمانية). المجلد.  2. لايبزيغ، ألمانيا: بي جي تيوبنر. ص 76 – 77. 
  74. ↑ كاتز، فيكتور ج. (نوفمبر 1987). "حساب الدوال المثلثية" . هيستوريا ماثيماتيكا . 14 (4): 311-324 . doi : 10.1016/0315-0860(87)90064-4 .تم ذكر برهان كوتس في الصفحة 315.

مراجع

للمزيد من القراءة