فضاء متجهي متعاطف

في الرياضيات ، الفضاء المتجهي السمبلكتيكي هو فضاء متجهي فوق حقل (على سبيل المثال الأعداد الحقيقية ) مزود بشكل ثنائي خطي سمبلكتيكي . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

الشكل الخطي الثنائي المتعاطف هو رسم تخطيطي ${\displaystyle \omega :V\times V\to F}$

ثنائي الخط

خطي في كل حجة على حدة؛

متناوب

${\displaystyle \أوميغا (v,v)=0}$ينطبق على الجميع ؛ و${\displaystyle v\in V}$

غير متدهور

${\displaystyle \omega (v,u)=0}$لأن كل ذلك يعني أن .${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle u=0}$

إذا كان المجال الأساسي له خاصية لا تساوي 2، فإن التناوب يعادل التناظر الانحرافي . وإذا كانت الخاصية تساوي 2، فإن التناظر الانحرافي يُستدل عليه، ولكنه لا يستلزم التناوب. وفي هذه الحالة، يكون كل شكل سيمبلكتيكي شكلاً متماثلًا ، ولكن ليس العكس.

العمل على أساس ثابت ، يمكن تمثيله بمصفوفة . الشروط المذكورة أعلاه تعادل أن تكون هذه المصفوفة مائلة التناظر ، وغير مفردة ، ومجوفة (جميع الإدخالات القطرية تساوي صفرًا). لا ينبغي الخلط بين هذا والمصفوفة السمبلكتيكية ، والتي تمثل تحويلًا سمبلكتيكيًا للمساحة. إذا كانت ذات أبعاد محدودة ، فيجب أن يكون بعدها بالضرورة زوجيًا لأن كل مصفوفة مائلة التناظر مجوفة ذات حجم فردي لها محدد يساوي صفرًا. لاحظ أن الشرط الذي ينص على أن تكون المصفوفة مجوفة ليس زائدًا إذا كانت خاصية المجال تساوي 2. يتصرف الشكل السمبلكتيكي بشكل مختلف تمامًا عن الشكل المتماثل، على سبيل المثال، حاصل الضرب القياسي في فضاءات المتجهات الإقليدية. ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle V}$

الفضاء السمبلكتي القياسي له الشكل السمبلكتي المعطى بواسطة مصفوفة غير مفردة ومتناظرة مائلة . عادة ما يتم اختياره ليكون مصفوفة كتلة${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{bmatrix}}}$

حيث I _n هي مصفوفة الهوية n × n . من حيث متجهات الأساس ( x ₁ ، ...، x _n ، y ₁ ، ...، y _n ) :

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (x_{i},y_{j})=-\omega (y_{j},x_{i})&=\delta _{ij},\\\omega (x_{i},x_{j})=\omega (y_{i},y_{j})&=0.\end{aligned}}}$

تظهر نسخة معدلة من عملية جرام-شميدت أن أي فضاء متجه سيمبليكت ذي أبعاد محدودة له أساس يأخذ هذا الشكل، والذي غالبًا ما يسمى أساس داربو أو أساس سيمبليكت . ${\displaystyle \omega }$

مخطط العملية:

ابدأ بأساس عشوائي ، ومثل ثنائي كل متجه أساس بالأساس الثنائي : . هذا يعطينا مصفوفة بها إدخالات . احلها لفضائها الفارغ. الآن لأي شيء في الفضاء الفارغ، لدينا ، لذا فإن الفضاء الفارغ يعطينا الفضاء الفرعي المتدهور . ${\displaystyle v_{1},...,v_{n}}$${\displaystyle \omega (v_{i},\cdot )=\sum _{j}\omega (v_{i},v_{j})v_{j}^{*}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \omega (v_{i},v_{j})}$${\displaystyle (\lambda _{1},...,\lambda _{n})}$${\displaystyle \sum _{i}\omega (v_{i},\cdot )=0}$${\displaystyle V_{0}}$

الآن اختر بشكل تعسفي مكملًا بحيث ، وليكن أساسًا لـ . بما أن ، و ، WLOG . الآن قم بالقياس بحيث . ثم حدد لكل من . كرر. ${\displaystyle W}$${\displaystyle V=V_{0}\oplus W}$${\displaystyle w_{1},...,w_{m}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \أوميغا (w_{1},\cdot )\neq 0}$${\displaystyle \أوميغا (w_{1},w_{1})=0}$${\displaystyle \أوميغا (w_{1},w_{2})\neq 0}$${\displaystyle w_{2}}$${\displaystyle \أوميغا (w_{1},w_{2})=1}$${\displaystyle w'=w-\omega (w,w_{2})w_{1}+\omega (w,w_{1})w_{2}}$${\displaystyle w=w_{3},w_{4},...,w_{m}}$

لاحظ أن هذه الطريقة تنطبق على فضاء المتجه السمبلكتي على أي مجال، وليس فقط مجال الأعداد الحقيقية.

حالة الحقل الحقيقي أو المعقد:

عندما تكون المساحة فوق حقل الأعداد الحقيقية، فيمكننا تعديل عملية جرام-شميدت المعدلة على النحو التالي: ابدأ بنفس الطريقة. دع يكون أساسًا متعامدًا عموديًا (بالنسبة للضرب الداخلي المعتاد على ) لـ . بما أن ، و ، WLOG . الآن اضرب في إشارة، بحيث . ثم حدد لكل من ، ثم قم بقياس كل منها بحيث يكون له معيار واحد. كرر. ${\displaystyle w_{1},...,w_{m}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \أوميغا (w_{1},\cdot )\neq 0}$${\displaystyle \أوميغا (w_{1},w_{1})=0}$${\displaystyle \أوميغا (w_{1},w_{2})\neq 0}$${\displaystyle w_{2}}$${\displaystyle \أوميغا (w_{1},w_{2})\geq 0}$${\displaystyle w'=w-\omega (w,w_{2})w_{1}+\omega (w,w_{1})w_{2}}$${\displaystyle w=w_{3},w_{4},...,w_{m}}$${\displaystyle w'}$

وبالمثل، بالنسبة لمجال الأعداد المركبة، يمكننا اختيار أساس موحد. وهذا يثبت نظرية الطيف للمصفوفات غير المتماثلة .

توجد طريقة أخرى لتفسير هذا الشكل السمبلكتيكي القياسي. نظرًا لأن الفضاء النموذجي R ^{2 n} المستخدم أعلاه يحمل الكثير من البنية الكنسية التي قد تؤدي بسهولة إلى سوء التفسير، فسوف نستخدم بدلاً من ذلك فضاءات متجهة "مجهولة". دع V تكون فضاء متجه حقيقيًا من البعد n و V ^∗ فضاءها المزدوج . الآن ضع في اعتبارك المجموع المباشر W = V ⊕ V ^∗ لهذه الفضاءات المجهزة بالشكل التالي:

${\displaystyle \omega (x\oplus \eta ,y\oplus \xi )=\xi (x)-\eta (y).}$

الآن اختر أي أساس ( v ₁ ، ...، v _n ) لـ V وفكر في أساسه المزدوج

${\displaystyle \left(v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}\right).}$

يمكننا تفسير متجهات الأساس على أنها تقع في W إذا كتبنا x _i = ( v _i , 0) و y _i = (0, v _i ^∗ ) . عند أخذها معًا، فإنها تشكل أساسًا كاملاً لـ W ،

${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n}).}$

يمكن إظهار أن الشكل ω المحدد هنا له نفس الخصائص الموجودة في بداية هذا القسم. من ناحية أخرى، كل بنية سيمبلكتيكية متماثلة لأحد الأشكال V ⊕ V ^∗ . الفضاء الفرعي V ليس فريدًا، ويسمى اختيار الفضاء الفرعي V بالاستقطاب . تسمى الفضاءات الفرعية التي تعطي مثل هذا التماثل بالفضاءات الفرعية اللاجرانجية أو ببساطة اللاجرانجية .

صراحةً، بالنظر إلى فضاء لاجرانج الفرعي كما هو موضح أدناه، فإن اختيار الأساس ( x ₁ ، ...، x _n ) يحدد أساسًا مزدوجًا للمكمل، بواسطة ω ( x _i ، y _j ) = δ _ij .

كما أن كل بنية سيمبلكتيكية متماثلة لأحد أشكال V ⊕ V ^∗ ، فإن كل بنية معقدة في فضاء متجه تكون متماثلة لأحد أشكال V ⊕ V. وباستخدام هذه البنيات، فإن الحزمة الظلية لمتعدد الشعب n ، والتي تعتبر متعدد شعب 2 n ، لها بنية معقدة تقريبًا ، والحزمة الظلية المصاحبة لمتعدد الشعب n ، والتي تعتبر متعدد شعب 2 n ، لها بنية سيمبلكتيكية: T _∗ ( T ^∗ M ) _p = T _p ( M ) ⊕ ( T _p ( M )) ^∗ .

النظير المركب لفضاء لاجرانج هو فضاء حقيقي ، وهو فضاء تكون تعقيداته هي الفضاء بأكمله: W = V ⊕ J V. وكما يمكن رؤيته من الشكل السمبلكتيكي القياسي أعلاه، فإن كل شكل سمبلكتيكي على R ^{2 n} متماثل مع الجزء التخيلي من حاصل الضرب الداخلي المركب القياسي (هيرميتي) على C ⁿ (مع كون اتفاقية الحجة الأولى مضادة للخطية).

ليكن ω شكلًا خطيًا متناوبًا على فضاء متجه حقيقي ذي n بُعد V ، ω ∈ Λ ² ( V ) . عندئذٍ يكون ω غير متحلل إذا وفقط إذا كان n عددًا زوجيًا و ω ^{n /2} = ω ∧ ... ∧ ω هو شكل حجم . شكل الحجم على فضاء متجه ذي n بُعد V هو مضاعف غير صفري للشكل n e 1 _∗ ^∧ ... ∧ e _n ^∗ حيث e ₁ ، e ₂ ، ...، e _n هو أساس V.

بالنسبة للأساس القياسي المحدد في القسم السابق، لدينا

${\displaystyle \omega ^{n}=(-1)^{\frac {n}{2}}x_{1}^{*}\wedge \dotsb \wedge x_{n}^{*}\wedge y_{1}^{*}\wedge \dotsb \wedge y_{n}^{*}.}$

من خلال إعادة الترتيب، يمكن للمرء أن يكتب

${\displaystyle \omega ^{n}=x_{1}^{*}\wedge y_{1}^{*}\wedge \dotsb \wedge x_{n}^{*}\wedge y_{n}^{*}.}$

يُعرِّف المؤلفون بشكل مختلف ω ⁿ أو (−1) ^{n /2} ω ⁿ على أنه شكل الحجم القياسي . قد يظهر أيضًا عامل عرضي n !، اعتمادًا على ما إذا كان تعريف المنتج المتناوب يحتوي على عامل n ! أم لا. يحدد شكل الحجم اتجاهًا على فضاء المتجه السمبلكتيكي ( V ، ​​ω ) .

افترض أن ( V ، ω ) و ( W ، ρ ) فضاءان متجهان سيمبليكتيان. عندئذٍ تُسمى الخريطة الخطية f  : V → W خريطة سيمبليكتيان إذا حافظت السحبة على الشكل السمبليكتيان، أي f ^∗ ρ = ω ، حيث يتم تعريف شكل السحبة بواسطة ( f ^∗ ρ )( u ، v ) = ρ ( f ( u )، f ( v )) . الخرائط السمبليكتيان تحافظ على الحجم والاتجاه.

إذا كان V = W ، فإن الخريطة السمبلكتيكية تسمى تحويلًا سمبلكيًا خطيًا لـ V. وعلى وجه الخصوص، في هذه الحالة يكون لدينا ω ( f ( u )، f ( v )) = ω ( u ، v ) ، وبالتالي فإن التحويل الخطي f يحافظ على الشكل السمبلكتي. تشكل مجموعة جميع التحويلات السمبلكتيكية مجموعة وخاصة مجموعة لي ، تسمى المجموعة السمبلكتيكية ويرمز لها بـ Sp( V ) أو في بعض الأحيان Sp( V ، ω ) . في شكل مصفوفة، تُعطى التحويلات السمبلكتيكية بواسطة مصفوفات السمبلكتيك .

ليكن W فضاءً جزئيًا خطيًا لـ V. حدد المكمل المتعاطف لـ W ليكون الفضاء الجزئي

${\displaystyle W^{\perp }=\{v\in V\mid \omega (v,w)=0{\mbox{ for all }}w\in W\}.}$

المكمل السمبليكتيكي يلبي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(W^{\perp }\right)^{\perp }&=W\\\dim W+\dim W^{\perp }&=\dim V.\end{aligned}}}$

ومع ذلك، على عكس المكملات المتعامدة ، لا يلزم أن تكون W ^⊥ ∩ W مساوية للصفر. يمكننا التمييز بين أربع حالات:

• تكون W متعاطفة إذا كانت W ^⊥ ∩ W = {0} . وهذا صحيح إذا وفقط إذا كانت ω مقيدة بشكل غير متحلل على W. الفضاء المتعاطف ذو الشكل المقيد هو فضاء متجه متعاطف في حد ذاته.
• تكون W متساوية الخواص إذا كانت W ⊆ W ^⊥ . وهذا صحيح إذا وفقط إذا كانت ω مقيدة بالقيمة 0 على W . أي فضاء فرعي أحادي البعد يكون متساوي الخواص.
• تكون W متماثلة الخواص إذا كانت W ⊥ ^⊆ W. وتكون W متماثلة الخواص إذا وفقط إذا انحدرت ω إلى شكل غير متحلل في فضاء القسمة W / W ^⊥ . وعلى نحو مكافئ تكون W متماثلة الخواص إذا وفقط إذا كانت W ^⊥ متماثلة الخواص. وأي فضاء فرعي ذي بعد واحد متماثل الخواص.
• W هو لاجرانجي إذا W = W ^⊥ . يكون الفضاء الجزئي لاجرانجي إذا وفقط إذا كان متساوي الخواص ومتساوي الخواص في نفس الوقت. في فضاء متجه ذي أبعاد محدودة، يكون الفضاء الجزئي لاجرانجي متساوي الخواص يكون بعده نصف بعد V . يمكن تمديد كل فضاء جزئي متساوي الخواص إلى فضاء جزئي لاجرانجي.

بالإشارة إلى فضاء المتجه القياسي R ^{2 n} أعلاه،

• الفضاء الجزئي الذي يمتد بين { x ₁ , y ₁ } هو فضاء متعاطف
• الفضاء الجزئي الذي يمتد بين { x ₁ , x ₂ } متساوي الخواص
• الفضاء الجزئي الذي يمتد بين { x ₁ , x ₂ , ..., x _n , y ₁ } هو فضاء متماثل الخواص
• الفضاء الجزئي الممتد بواسطة { x ₁ , x ₂ , ..., x _n } هو فضاء لاغرانجي.

يمكن تعريف مجموعة هايزنبيرج لأي فضاء متجه متعاطف، وهذه هي الطريقة النموذجية التي تنشأ بها مجموعات هايزنبيرج .

يمكن تصور فضاء المتجه كمجموعة لي تبادلية (تحت الجمع)، أو ما يعادلها كجبر لي تبادلي ، أي مع قوس لي تافه. مجموعة هايزنبرغ هي امتداد مركزي لمثل هذه المجموعة/الجبر لي التبادلي: يحدد الشكل السمبليكتيكي التبديل، على نحو مماثل لعلاقات التبديل الكنسية (CCR)، ويتوافق أساس داربو مع الإحداثيات الكنسية  - من حيث الفيزياء، لمشغلي الزخم ومشغلي الموضع .

في الواقع، وفقًا لنظرية ستون-فون نيومان ، فإن كل تمثيل يلبي CCR (كل تمثيل لمجموعة هايزنبيرج) يكون من هذا الشكل، أو بشكل أكثر دقة مترافقًا وحدويًا مع الشكل القياسي.

علاوة على ذلك، فإن الجبر الجماعي لـ (المزدوج إلى) فضاء متجه هو الجبر المتماثل ، والجبر الجماعي لمجموعة هايزنبيرج (للمزدوج) هو جبر ويل : يمكننا أن نفكر في الامتداد المركزي على أنه يتوافق مع التكميم أو التشوه .

رسميًا، الجبر المتماثل لمساحة متجه V على حقل F هو الجبر الجماعي للثنائي، Sym( V ) := F [ V ^∗ ] ، وجبر ويل هو الجبر الجماعي لمجموعة هايزنبيرج ( المزدوجة) W ( V ) = F [ H ( V ^∗ )] . نظرًا لأن المرور إلى جبر المجموعات هو متجه معاكس ، فإن خريطة الامتداد المركزية H ( V ) → V تصبح تضمين Sym( V ) → W ( V ) .

• متعدد الشعب السمبلكتي هو متعدد شعب أملس له شكل سمبلكتي مغلق متغير بسلاسة على كل مساحة مماس .
• مؤشر ماسلوف
• التمثيل السمبلكتي هو تمثيل جماعي حيث يعمل كل عنصر من عناصر المجموعة كتحويل سمبلكتي.

• كلود جودبيلون (1969) “الهندسة التحليلية المختلفة والميكانيكية”، هيرمان
• أبراهام، رالف ؛ مارسدن، جيرولد إي. (1978). "الأنظمة الهاميلتونية واللاجرانجية". أساسيات الميكانيكا (الطبعة الثانية). لندن: بنيامين-كومينجز. ص 161-252. رقم ISBN 0-8053-0102-X.بي دي إف
• بوليت ليبرمان وتشارلز ميشيل مارلي (1987) "الهندسة السيمبلكتيكية والميكانيكا التحليلية"، د. رايدل
• جان ماري سورياو (1997) "بنية الأنظمة الديناميكية، وجهة نظر سيمبليكتية للفيزياء"، سبرينغر