الثنائيات

ولتوضيح الاستخدام المكافئ، لنأخذ في الاعتبار الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد ، مع وضع:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} \\\mathbf {b} &=b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} \end{aligned}}}$

_{ليكن a و} b متجهين حيث i و j و k (ويرمز لها أيضًا _{بـ e1} و e2 و e3 ) هي متجهات الأساس القياسية في هذا الفضاء المتجهي (انظر أيضًا الإحداثيات الديكارتية ). عندئذٍ _، يمكن تمثيل حاصل الضرب الثنائي لـ a و b كمجموع:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {ab} =\qquad &a_{1}b_{1}\mathbf {ii} +a_{1}b_{2}\mathbf {ij} +a_{1}b_{3}\mathbf {ik} \\{}+{}&a_{2}b_{1}\mathbf {ji} +a_{2}b_{2}\mathbf {jj} +a_{2}b_{3}\mathbf {jk} \\{}+{}&a_{3}b_{1}\mathbf {ki} +a_{3}b_{2}\mathbf {kj} +a_{3}b_{3}\mathbf {kk} \end{aligned}}}$

أو بالامتداد من متجهات الصف والعمود، مصفوفة 3 × 3 (وهي أيضًا نتيجة الضرب الخارجي أو الضرب الموتري لـ a و b ):

${\displaystyle \mathbf {ab} \equiv \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} \equiv \mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\end{pmatrix}}.}$

تمامًا كما أن للمتجهات الأساسية (والوحدوية) القياسية i و j و k التمثيلات التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {i} &={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},&\mathbf {j} &={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},&\mathbf {k} &={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

(والتي يمكن نقلها)، فإن الثنائيات الأساسية (والوحدوية) القياسية لها التمثيل التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {ii} &={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {ij} &={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {ik} &={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\\\mathbf {ji} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {jj} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {jk} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}\\\mathbf {ki} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {kj} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},&\mathbf {kk} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

للحصول على مثال عددي بسيط في الأساس القياسي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=2\mathbf {ij} +{\frac {\sqrt {3}}{2}}\mathbf {ji} -8\pi \mathbf {jk} +{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\mathbf {kk} \\[2pt]&=2{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}-8\pi {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\[2pt]&={\begin{pmatrix}0&2&0\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&0&-8\pi \\0&0&{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

إذا كان الفضاء الإقليدي ذو بُعد N ، و

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=\sum _{i=1}^{N}a_{i}\mathbf {e} _{i}=a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+{\ldots }+a_{N}\mathbf {e} _{N}\\\mathbf {b} &=\sum _{j=1}^{N}b_{j}\mathbf {e} _{j}=b_{1}\mathbf {e} _{1}+b_{2}\mathbf {e} _{2}+\ldots +b_{N}\mathbf {e} _{N}\end{aligned}}}$

حيث أن e _i و e _j هما متجهات الأساس القياسية في N- الأبعاد (يحدد الفهرس i على e _i متجهًا محددًا، وليس مكونًا من المتجه كما هو الحال في a _i )، فإن حاصل ضربهما الثنائي في الشكل الجبري هو:

${\displaystyle \mathbf {ab} =\sum _{j=1}^{N}\sum _{i=1}^{N}a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}.}$

يُعرف هذا الشكل باسم الشكل غير الأيوني للثنائي. ويكون حاصل ضربهما الخارجي/الموتري في شكل مصفوفة كما يلي:

${\displaystyle \mathbf {ab} =\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{N}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{N}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&\cdots &a_{1}b_{N}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&\cdots &a_{2}b_{N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{N}b_{1}&a_{N}b_{2}&\cdots &a_{N}b_{N}\end{pmatrix}}.}$

تتكون متعددة الحدود الثنائية A، والمعروفة أيضًا باسم ثنائية، من متجهات متعددة a _i و b _j :

${\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{i}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}=\mathbf {a} _{1}\mathbf {b} _{1}+\mathbf {a} _{2}\mathbf {b} _{2}+\mathbf {a} _{3}\mathbf {b} _{3}+\ldots }$

يُقال إن الثنائي الذي لا يمكن اختزاله إلى مجموع أقل من N ثنائي هو ثنائي كامل. في هذه الحالة، تكون المتجهات المُشكِّلة غير مستوية، انظر تشين (1983) .

التعريف الأول للضرب النقطي المزدوج هو الضرب الداخلي لفروبينيوس ،

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\right)&=\sum _{i,j}\operatorname {tr} \left(\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {d} _{j}\mathbf {c} _{j}^{\mathsf {T}}\right)\\&=\sum _{i,j}\operatorname {tr} \left(\mathbf {c} _{j}^{\mathsf {T}}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {d} _{j}\right)\\&=\sum _{i,j}(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j})(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {d} _{j})\\&=\mathbf {A} \mathbin {{}_{\centerdot }^{\centerdot }} \mathbf {B} \end{aligned}}}$

علاوة على ذلك، بما أن

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}&=\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{j}^{\mathsf {T}}\right)^{\mathsf {T}}\\&=\sum _{i,j}\mathbf {b} _{i}\mathbf {a} _{j}^{\mathsf {T}}\end{aligned}}}$

نحن نتفهم ذلك،

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbin {{}_{\centerdot }^{\centerdot }} \mathbf {B} =\mathbf {A} \mathbin {\underline {{}_{\centerdot }^{\centerdot }}} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}}}$

لذا، فإن التعريف الثاني المحتمل للضرب النقطي المزدوج هو ببساطة التعريف الأول مع إضافة تبديل على العنصر الثنائي الثاني. ولهذه الأسباب، يُفضّل التعريف الأول للضرب النقطي المزدوج، مع أن بعض المؤلفين ما زالوا يستخدمون التعريف الثاني.

يمكننا أن نرى أنه بالنسبة لأي ثنائي مكون من متجهين a و b ، فإن حاصل الضرب الاتجاهي المزدوج له يساوي صفرًا.

${\displaystyle \left(\mathbf {ab} \right)\mathbin {{}_{\times }^{\times }} \left(\mathbf {ab} \right)=\left(\mathbf {a} \times \mathbf {a} \right)\left(\mathbf {b} \times \mathbf {b} \right)=0}$

مع ذلك، وبحسب التعريف، فإن حاصل الضرب الاتجاهي المزدوج الثنائي على نفسه سيكون عمومًا غير صفري. على سبيل المثال، متجه ثنائي A مكون من ستة متجهات مختلفة

${\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}}$

له ناتج ضرب ذاتي مزدوج غير صفري من

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbin {{}_{\times }^{\times }} \mathbf {A} =2\left[\left(\mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\right)\left(\mathbf {b} _{1}\times \mathbf {b} _{2}\right)+\left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)\left(\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3}\right)+\left(\mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\right)\left(\mathbf {b} _{3}\times \mathbf {b} _{1}\right)\right]}$

ينشأ عامل التحفيز أو التوسع من التوسع الرسمي للثنائي في أساس إحداثي عن طريق استبدال كل منتج ثنائي بضرب نقطي للمتجهات:

${\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {A} |=\qquad &A_{11}\mathbf {i} \cdot \mathbf {i} +A_{12}\mathbf {i} \cdot \mathbf {j} +A_{13}\mathbf {i} \cdot \mathbf {k} \\{}+{}&A_{21}\mathbf {j} \cdot \mathbf {i} +A_{22}\mathbf {j} \cdot \mathbf {j} +A_{23}\mathbf {j} \cdot \mathbf {k} \\{}+{}&A_{31}\mathbf {k} \cdot \mathbf {i} +A_{32}\mathbf {k} \cdot \mathbf {j} +A_{33}\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \\[6pt]=\qquad &A_{11}+A_{22}+A_{33}\end{aligned}}}$

في تدوين الفهرس، هذا هو اختصار الفهارس على الثنائي:

${\displaystyle |\mathbf {A} |=\sum _{i}A_{i}{}^{i}}$

في ثلاثة أبعاد فقط، ينشأ عامل الدوران عن طريق استبدال كل منتج ثنائي بمنتج اتجاهي

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {A} \rangle =\qquad &A_{11}\mathbf {i} \times \mathbf {i} +A_{12}\mathbf {i} \times \mathbf {j} +A_{13}\mathbf {i} \times \mathbf {k} \\{}+{}&A_{21}\mathbf {j} \times \mathbf {i} +A_{22}\mathbf {j} \times \mathbf {j} +A_{23}\mathbf {j} \times \mathbf {k} \\{}+{}&A_{31}\mathbf {k} \times \mathbf {i} +A_{32}\mathbf {k} \times \mathbf {j} +A_{33}\mathbf {k} \times \mathbf {k} \\[6pt]=\qquad &A_{12}\mathbf {k} -A_{13}\mathbf {j} -A_{21}\mathbf {k} \\{}+{}&A_{23}\mathbf {i} +A_{31}\mathbf {j} -A_{32}\mathbf {i} \\[6pt]=\qquad &\left(A_{23}-A_{32}\right)\mathbf {i} +\left(A_{31}-A_{13}\right)\mathbf {j} +\left(A_{12}-A_{21}\right)\mathbf {k} \\\end{aligned}}}$

في تدوين الفهرس، هذا هو انكماش A مع موتر ليفي-سيفيتا

${\displaystyle \langle \mathbf {A} \rangle =\sum _{jk}{\epsilon _{i}}^{jk}A_{jk}.}$

الثنائي

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {ji} -\mathbf {ij} ={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$

هو عامل دوران عكس اتجاه عقارب الساعة بزاوية 90 درجة في بُعدين. يمكن ضربه ضربًا نقطيًا من اليسار بمتجه r = x i + y j لإنتاج المتجه،

${\displaystyle (\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\cdot (x\mathbf {i} +y\mathbf {j} )=x\mathbf {ji} \cdot \mathbf {i} -x\mathbf {ij} \cdot \mathbf {i} +y\mathbf {ji} \cdot \mathbf {j} -y\mathbf {ij} \cdot \mathbf {j} =-y\mathbf {i} +x\mathbf {j} ,}$

في ملخص

${\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathbf {r} =\mathbf {r} _{\mathrm {rot} }}$

أو في تدوين المصفوفات

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}}.}$

لأي زاوية θ ، يكون ثنائي الدوران ثنائي الأبعاد للدوران عكس اتجاه عقارب الساعة في المستوى هو

${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {I} \cos \theta +\mathbf {J} \sin \theta =(\mathbf {ii} +\mathbf {jj} )\cos \theta +(\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\sin \theta ={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\;\cos \theta \end{pmatrix}}}$

حيث I و J كما سبق، ودوران أي متجه ثنائي الأبعاد a = a _x i + a _y j هو

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {R} \cdot \mathbf {a} }$

يمكن إجراء دوران ثلاثي الأبعاد عام لمتجه a حول محور في اتجاه متجه الوحدة ω وعكس اتجاه عقارب الساعة بزاوية θ باستخدام صيغة رودريغز للدوران في الشكل الثنائي

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {R} \cdot \mathbf {a} \,,}$

حيث يكون الثنائي الدوراني

${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {I} \cos \theta +{\boldsymbol {\Omega }}\sin \theta +{\boldsymbol {\omega \omega }}(1-\cos \theta )\,,}$

كما تشكل المدخلات الديكارتية لـ ω مدخلات الثنائي

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=\omega _{x}(\mathbf {kj} -\mathbf {jk} )+\omega _{y}(\mathbf {ik} -\mathbf {ki} )+\omega _{z}(\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\,,}$

تأثير Ω على a هو حاصل الضرب الاتجاهي

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\cdot \mathbf {a} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a} }$

وهو الشكل الثنائي لمصفوفة الضرب الاتجاهي مع متجه عمودي.