مفارقة كوندورسيه

يُفضّل ناخبو مقاطعة كاكتوس رئيس المقاطعة الحالي، أليكس، من حزب المزارعين، على منافسته بياتريس من حزب الألواح الشمسية، بنسبة تقارب 2 إلى 1. هذا العام، يترشح مرشح ثالث، تشارلي ، كمستقل. تشارلي رجل أعمال ثري وصريح، وتتباين آراء الناخبين بشأنه.

ينقسم الناخبون إلى ثلاث مجموعات:

• تُجلّ المجموعة الأولى تشارلي لإنقاذه فريق كرة القدم بالمدرسة الثانوية. ويضعونه في المرتبة الأولى، ثم أليكس فوق بياتريس كالمعتاد ( CAB ).
• المجموعة الثانية تحتقر تشارلي بسبب أساليبه التجارية الملتوية. يضعونه في المرتبة الأخيرة ، ثم أليكس فوق بياتريس كالعادة ( ABC ).
• تُشكّل المجموعة الثالثة قاعدة مؤيدي بياتريس الأساسية. فهم يرغبون في إزاحة حزب المزارعين من السلطة لصالح حزب الألواح الشمسية، ويعتبرون ترشيح تشارلي أمراً هامشياً. ويضعون بياتريس في المرتبة الأولى وأليكس في المرتبة الأخيرة كالمعتاد، وتشارلي في المرتبة الثانية بحكم الأمر الواقع ( BCA ).

لذا، تُفضّل أغلبية الناخبين أليكس على بياتريس (أ > ب)، كما هو الحال دائمًا. أغلبية الناخبين إما من مُحبي بياتريس أو من كارهي تشارلي، لذا يُفضّلون بياتريس على تشارلي (ب > ج). وأغلبية الناخبين إما من مُحبي تشارلي أو من كارهي أليكس، لذا يُفضّلون تشارلي على أليكس (ج > أ). بجمع هذه التفضيلات الثلاث، نحصل على أ > ب > ج > أ، وهي دورة كوندورسيه.

يمكننا حساب احتمالية ظهور المفارقة في الحالة الخاصة التي تتوزع فيها تفضيلات الناخبين بالتساوي بين المرشحين. (هذا هو نموذج " الثقافة المحايدة "، المعروف بأنه "أسوأ سيناريو" ^{[ 4 ] [ 5 ] : 40 [ 6 ] : 320 [ 7 ] -} تُظهر معظم النماذج احتمالات أقل بكثير لدورات كوندورسيه).

ل${\displaystyle n}$عندما يقدم الناخبون قائمة تفضيلية تضم ثلاثة مرشحين أ، ب، ج، نكتب${\displaystyle X_{n}}$(على التوالي)${\displaystyle Y_{n}}$،${\displaystyle Z_{n}}$المتغير العشوائي الذي يساوي عدد الناخبين الذين وضعوا الخيار أ قبل الخيار ب (أو ب قبل ج، أو ج قبل أ). الاحتمال المطلوب هو${\displaystyle p_{n}=2P(X_{n}>n/2,Y_{n}>n/2,Z_{n}>n/2)}$(نضاعف العدد لأن هناك أيضًا الحالة المتناظرة A> C> B> A). سنبين أنه بالنسبة للأعداد الفردية${\displaystyle n}$،${\displaystyle p_{n}=3q_{n}-1/2}$أين${\displaystyle q_{n}=P(X_{n}>n/2,Y_{n}>n/2)}$مما يجعل المرء بحاجة فقط إلى معرفة التوزيع المشترك لـ${\displaystyle X_{n}}$و${\displaystyle Y_{n}}$.

إذا وضعنا${\displaystyle p_{n,i,j}=P(X_{n}=i,Y_{n}=j)}$، نوضح العلاقة التي تجعل من الممكن حساب هذا التوزيع عن طريق التكرار:

$${\displaystyle p_{n+1,i,j}={1 \over 6}p_{n,i,j}+{1 \over 3}p_{n,i-1,j}+{1 \over 3}p_{n,i,j-1}+{1 \over 6}p_{n,i-1,j-1}.}$$

ثم يتم الحصول على النتائج التالية:

${\displaystyle n}$	3	101	201	301	401	501	601
${\displaystyle p_{n}}$	5.556%	8.690%	8.732%	8.746%	8.753%	8.757%	8.760%

يبدو أن التسلسل يتجه نحو حد نهائي.

باستخدام نظرية النهاية المركزية ، نُبين أن${\displaystyle q_{n}}$يميل إلى${\displaystyle q={\frac {1}{4}}P\left(|T|>{\frac {\sqrt {2}}{4}}\right),}$أين${\displaystyle T}$هو متغير يتبع توزيع كوشي ، مما يعطي

$${\displaystyle q={\dfrac {1}{2\pi }}\int _ {{\sqrt {2}}/4}^{+\infty }{\frac {dt}{1+t^{2}}}={\dfrac {\arctan 2{\sqrt {2}}}{2\pi }}={\dfrac {\arccos {\frac {1}{3}}}{2\pi }}}$$(ثابت مذكور في تقرير تقييم الأثر البيئي ).

وبالتالي فإن الاحتمالية التقاربية لمواجهة مفارقة كوندورسيه هي${\displaystyle {{3\arccos {1 \over 3}} \over {2\pi }}-{1 \over 2}={\arcsin {{\sqrt {6}} \over 9} \over \pi }}$وهذا يعطي القيمة 8.77%. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

تم حساب بعض النتائج لحالة وجود أكثر من ثلاثة مرشحين ^{[ 10 ]} ومحاكاتها. ^{[ 11 ]} يزداد احتمال المحاكاة لنموذج ثقافة محايدة مع 25 ناخبًا مع ازدياد عدد المرشحين: ^{[ 11 ] : 28}

إن احتمال حدوث دورة كوندورسيه للنماذج ذات الصلة يقترب من هذه القيم بالنسبة لانتخابات ثلاثة مرشحين مع عدد كبير من الناخبين: ^{​​[ 9 ]}

• ثقافة محايدة مجهولة الهوية (IAC): 6.25%
• الثقافة الموحدة (UC): 6.25%
• أقصى ظروف الاستزراع (MC): 9.17%

جميع هذه النماذج غير واقعية، ولكن يمكن دراستها لتحديد حد أعلى لاحتمالية حدوث دورة. ^{[ 9 ]}

عند نمذجة الانتخابات بتفضيلات ناخبين أكثر واقعية، تصبح مفارقات كوندورسيه نادرة للغاية في الانتخابات التي تضم عددًا قليلًا من المرشحين وعددًا كبيرًا من الناخبين. ^{[ 5 ] : 78}

حللت دراسة أجريت على انتخابات ثلاثية المرشحين 12 نموذجًا مختلفًا لسلوك الناخبين، ووجدت أن النموذج المكاني للتصويت هو الأكثر دقة في محاكاة بيانات انتخابات التصويت الترتيبي الواقعية . وبتحليل هذا النموذج المكاني، وجد الباحثون أن احتمالية حدوث دورة انتخابية تتناقص إلى الصفر مع ازدياد عدد الناخبين، حيث تبلغ احتمالية حدوثها 5% عند 100 ناخب، و0.5% عند 1000 ناخب، و0.06% عند 10000 ناخب. ^{[ 12 ]}

وجد نموذج مكاني آخر احتمالات بنسبة 2% أو أقل في جميع عمليات المحاكاة التي شملت 201 ناخبًا و5 مرشحين، سواء كانت ثنائية أو رباعية الأبعاد، مع أو بدون ارتباط بين الأبعاد، ومع توزيعين مختلفين للمرشحين. ^{[ 11 ] : 31}

بُذلت محاولات عديدة لإيجاد أمثلة تجريبية للمفارقة. ^{[ 13 ]} يتطلب التحديد التجريبي لمفارقة كوندورسيه بيانات واسعة النطاق حول تفضيلات صناع القرار على جميع البدائل - وهو أمر نادرًا ما يتوفر.

في حين يبدو أن أمثلة هذه المفارقة تحدث أحيانًا في بيئات صغيرة (مثل البرلمانات)، إلا أنه تم العثور على أمثلة قليلة جدًا في مجموعات أكبر (مثل الدوائر الانتخابية)، على الرغم من تحديد بعضها. ^{[ 14 ]}

أظهر ملخصٌ لـ 37 دراسة فردية، شملت 265 انتخابات واقعية، كبيرة وصغيرة، وجود 25 حالة من مفارقة كوندورسيه، باحتمالية إجمالية قدرها 9.4% ^{[ 6 ] : 325} (وقد يكون هذا تقديرًا مرتفعًا، نظرًا لأن حالات المفارقة أكثر عرضةً للإبلاغ عنها من الحالات التي لا تتضمنها). ^{[ 5 ] : 47}

أظهر تحليلٌ لـ 883 انتخاباتٍ ثلاثية المرشحين، مُستخلصة من 84 انتخاباتٍ حقيقيةٍ بنظام الاقتراع الترتيبي أجرتها جمعية الإصلاح الانتخابي ، احتمالَ دورة كوندورسيه بنسبة 0.7%. وتراوح عدد الناخبين في هذه الانتخابات المُستخلصة بين 350 و1957 ناخبًا. ^{[ 12 ]} كما أظهر تحليلٌ مُماثلٌ لبياناتٍ من استطلاعات مقياس الحرارة التي أجرتها الدراسات الوطنية الأمريكية للانتخابات في الفترة من 1970 إلى 2004 ، احتمالَ دورة كوندورسيه بنسبة 0.4%. وتراوح عدد الناخبين في هذه الانتخابات المُستخلصة بين 759 و2521 ناخبًا. ^{[ 12 ]}

قام أندرو مايرز، الذي يدير خدمة كوندورسيه للتصويت عبر الإنترنت ، بتحليل 10354 انتخابات غير سياسية تابعة لخدمة كوندورسيه للتصويت عبر الإنترنت، ووجد دورات انتخابية في 17% من الانتخابات التي تضم 10 أصوات على الأقل، مع انخفاض هذا الرقم إلى 2.1% للانتخابات التي تضم 100 صوت على الأقل، و1.2% للانتخابات التي تضم 300 صوت أو أكثر. ^{[ 15 ]}

احتوت قاعدة بيانات تضم 189 انتخابات أمريكية مصنفة من عام 2004 إلى 2022 على دورة كوندورسيه واحدة فقط: انتخابات مجلس مدينة مينيابوليس لعام 2021 في الدائرة الثانية ، حيث شهدت تعادلاً دائرياً ضيقاً بين مرشحي حزب الخضر ( كام جوردون )، وحزب مينيسوتا الديمقراطي-العمالي-الفلاحي (يسرى عرب)، ومرشح اشتراكي ديمقراطي مستقل ( روبن وونسلي ). ^{[ 16 ]} لم تكن تفضيلات الناخبين متعدية: فقد فُضِّلَت عرب على جوردون، وجوردون على وونسلي، وونسلي على عرب، مما خلق نمطاً دورياً دون فائز واضح. بالإضافة إلى ذلك، أظهرت الانتخابات مفارقة الرتابة التنازلية ، فضلاً عن مفارقة مشابهة لمفارقة سيمبسون .

تم رصد حالة ثانية لدورة كوندورسيه في انتخابات مدير المنطقة الرابعة للمدارس في أوكلاند، كاليفورنيا، عام 2022. فقد حظي مانيغو بتفضيل على هاتشينسون، وهاتشينسون على ريسنيك، وريسنيك على مانيغو. وكما هو الحال في مينيابوليس، كانت الفوارق ضئيلة للغاية: فعلى سبيل المثال، فضّل 11370 ناخبًا مانيغو على هاتشينسون، بينما فضّل 11322 ناخبًا هاتشينسون على مانيغو. ^{[ 17 ]}

في انتخابات ولاية فيكتوريا عام 2014 ، شهدت دائرة براهران تعادلاً دائرياً ضيقاً بين مرشحي حزب الخضر ، والحزب الليبرالي ، وحزب العمال . فاز مرشح حزب الخضر، الذي كان في المركز الثالث في التصويت الأولي، على مرشح الحزب الليبرالي بأقل من 300 صوت. مع ذلك، لو كان التنافس بين حزب العمال والحزب الليبرالي، لفاز مرشح الحزب الليبرالي بفارق 25 صوتاً. ورغم عدم إجراء فرز للأصوات بين حزب الخضر وحزب العمال، إلا أن تفضيلات الحزب الليبرالي تميل إلى أن تكون أكبر لصالح حزب العمال مقارنةً بحزب الخضر في حالات أخرى ( بما في ذلك دائرة ريتشموند في الانتخابات نفسها )، مما يعني أن حزب العمال كان سيحظى على الأرجح بتفضيل على حزب الخضر. هذا يعني وجود نمط دائري، حيث تم تفضيل حزب الخضر على الحزب الليبرالي، الذي تم تفضيله بدوره على حزب العمال، الذي تم تفضيله على حزب الخضر.

من أهم تبعات احتمال وجود مفارقة التصويت في الواقع العملي، أنه في عملية تصويت ثنائية كالمعتاد في الإجراءات البرلمانية ، يعتمد الفائز النهائي على ترتيب أصوات الأغلبية. على سبيل المثال، لنفترض أن مشروع قانون يحظى بشعبية واسعة مُرشّح للتمرير، قبل أن تُقدّم مجموعة أخرى تعديلاً عليه؛ فيُمرّر هذا التعديل بالأغلبية. قد يؤدي هذا إلى رفض أغلبية أعضاء المجلس التشريعي لمشروع القانون برمته، مما يُنشئ مفارقة (حيث يُحوّل تعديل شعبي على مشروع قانون شعبي مشروع القانون إلى مشروع قانون غير شعبي). هذا التناقض المنطقي هو أصل تعديل "الحبة السامة" ، الذي يُصمّم عمداً دورة كوندورسيه زائفة لإسقاط مشروع قانون. وبالمثل، يُمكن التلاعب بترتيب التصويت في المجلس التشريعي من قِبل الشخص الذي يُرتّبها لضمان فوز النتيجة التي يُفضّلها.

على الرغم من الاعتراضات المتكررة من قبل منظري الاختيار الاجتماعي حول النتائج غير المتسقة منطقياً لمثل هذه الإجراءات، ووجود بدائل أفضل للاختيار بين نسخ متعددة من مشروع قانون، فإن إجراء حكم الأغلبية الزوجية يستخدم على نطاق واسع ويتم تقنينه في اللوائح الداخلية أو الإجراءات البرلمانية لكل نوع تقريبًا من أنواع الجمعيات التداولية .

تُشير مفارقات كوندورسيه إلى أن أساليب الأغلبية تفشل في ضمان استقلالية البدائل غير ذات الصلة. لنُسمِّ المرشحين الثلاثة في سباقٍ ما: حجر ، ورقة ، ومقص . في سباقاتٍ فردية، يخسر الحجر أمام الورقة، وتخسر ​​الورقة أمام المقص، ويخسر المقص أمام الحجر.

دون الإخلال بعمومية المسألة ، لنفترض أن الصخرة فازت بالانتخابات بطريقة معينة. عندئذٍ، تُعتبر المقص مرشحًا مُفسدًا للورقة؛ فإذا انسحبت المقص، ستفوز الورقة في السباق الفردي الوحيد (تتغلب الورقة على الصخرة). وينطبق المنطق نفسه بغض النظر عن الفائز.

يُبيّن هذا المثال أيضًا سبب ندرة (إن لم يكن انعدام) إفساد نتائج انتخابات كوندورسيه؛ إذ لا يحدث الإفساد إلا في حال عدم وجود فائز وفقًا لمعيار كوندورسيه. وتُعدّ دورات كوندورسيه نادرة في الانتخابات الكبيرة، ^{[ 19 ] [ 20 ]} وتُظهر نظرية الناخب الوسيط استحالة حدوث هذه الدورات عندما يكون المرشحون مُصنّفين على طيف يساري-يميني .