العمل الجماعي

لو${\displaystyle G}$هي مجموعة ذات عنصر محايد${\displaystyle e}$، و${\displaystyle X}$هي مجموعة، ثم فعل مجموعة ( يساري )${\displaystyle \alpha }$ل${\displaystyle G}$على${\displaystyle X}$هي دالة

${\displaystyle \alpha :G\times X\to X}$

والتي تحقق البديهيتين التاليتين : ^{[ 1 ]}

هوية:	${\displaystyle \alpha (e,x)=x}$
التوافق:	${\displaystyle \alpha (g,\alpha (h,x))=\alpha (gh,x)}$

للجميع${\displaystyle g}$و${\displaystyle h}$في${\displaystyle G}$وكل شيء${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$.

المجموعة${\displaystyle G}$ثم يقال إنه يتصرف بناءً على${\displaystyle X}$(من اليسار). مجموعة${\displaystyle X}$بالإضافة إلى إجراء من${\displaystyle G}$يُطلق عليه اسم ( يسار )${\displaystyle G}$- تعيين .

قد يكون من الملائم من الناحية الرمزية استخدام "تجميع " الحركة${\displaystyle \alpha }$وبالتالي، بدلاً من ذلك، يكون لدى المرء مجموعة من التحويلات${\displaystyle \alpha _{g}:X\rightarrow X}$، مع تحول واحد${\displaystyle \alpha _{g}}$لكل عنصر من عناصر المجموعة${\displaystyle g\in G}$ثم تُقرأ علاقات الهوية والتوافق $${\displaystyle \alpha _{e}(x)=x}$$ و $${\displaystyle \alpha _{g}(\alpha _{h}(x))=(\alpha _{g}\circ \alpha _{h})(x)=\alpha _{gh}(x)}$$ تنص البديهية الثانية على أن تركيب الدوال متوافق مع ضرب الزمر؛ فهما يشكلان مخططًا تبادليًا . ويمكن اختصار هذه البديهية أكثر، وكتابتها على النحو التالي:${\displaystyle \alpha _{g}\circ \alpha _{h}=\alpha _{gh}}$.

وبناءً على الفهم المذكور أعلاه، من الشائع جداً تجنب الكتابة${\displaystyle \alpha }$بشكل كامل، واستبدالها إما بنقطة، أو بدون أي شيء على الإطلاق. وهكذا،${\displaystyle \alpha (g,x)}$يمكن اختصارها إلى${\displaystyle g\cdot x}$أو${\displaystyle gx}$وخاصة عندما يكون الفعل واضحًا من السياق. وتكون البديهيات حينها $${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&e\cdot x=x\\&g\cdot (h\cdot x)=(gh)\cdot x\end{aligned}}\right.}$$

من هاتين البديهيتين، يتبين أنه لأي قيمة ثابتة${\displaystyle g}$في${\displaystyle G}$، الدالة من${\displaystyle X}$إلى نفسها التي ترسم الخرائط${\displaystyle x}$ل${\displaystyle g\cdot x}$هي دالة تقابل ، ودالة التقابل العكسي هي الدالة المقابلة لها.${\displaystyle g^{-1}}$لذلك، يمكن تعريف فعل المجموعة بشكل مكافئ على النحو التالي:${\displaystyle G}$على${\displaystyle X}$كتشاكل جماعي من${\displaystyle G}$في المجموعة المتناظرة${\displaystyle \operatorname {Sym} (X)}$من جميع التقابلات من${\displaystyle X}$^{[ 2 ]} لنفسه.

وبالمثل، فإن عمل المجموعة اليمينية لـ${\displaystyle G}$على${\displaystyle X}$هي دالة

${\displaystyle \alpha :X\times G\to X,}$

والتي تحقق البديهيات المماثلة: ^{[ 3 ]}

هوية:	${\displaystyle \alpha (x,e)=x}$
التوافق:	${\displaystyle \alpha (\alpha (x,g),h)=\alpha (x,gh)}$

(مع${\displaystyle \alpha (x,g)}$غالباً ما يتم اختصارها إلى${\displaystyle xg}$أو${\displaystyle x\cdot g}$(عندما يكون الإجراء قيد النظر واضحًا من السياق)

هوية:	${\displaystyle x{\cdot }e=x}$
التوافق:	${\displaystyle (x{\cdot }g){\cdot }h=x{\cdot }(gh)}$

للجميع${\displaystyle g}$و${\displaystyle h}$في${\displaystyle G}$وكل شيء${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$.

الفرق بين الإجراءات اليسرى واليمنى يكمن في ترتيب تنفيذ المنتج${\displaystyle gh}$أعمال بشأن${\displaystyle x}$بالنسبة للحركة اليسرى،${\displaystyle h}$الأفعال أولاً، ثم يتبعها${\displaystyle g}$ثانيًا. من أجل فعل صحيح،${\displaystyle g}$الأفعال أولاً، ثم يتبعها${\displaystyle h}$ثانيًا. بسبب الصيغة${\displaystyle (gh)^{-1}=h^{-1}g^{-1}}$يمكن بناء فعل يساري من فعل يميني عن طريق التركيب مع العملية العكسية للمجموعة. كذلك، يمكن بناء فعل يميني لمجموعة${\displaystyle G}$على${\displaystyle X}$يمكن اعتبارها فعلًا يساريًا لمجموعة معاكسة لها${\displaystyle G^{\text{op}}}$على${\displaystyle X}$وبالتالي، لتحديد الخصائص العامة لفعل جماعي واحد، يكفي النظر فقط في الأفعال اليسرى.

فعل${\displaystyle G}$على${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسممتعدية إذا كانت لأي نقطتين${\displaystyle x,y\in X}$يوجد${\displaystyle g\in G}$لهذا السبب.${\displaystyle g\cdot x=y}$.

الإجراء هومتعدٍ ببساطة (أومتعدٍ بشدة، أو(عادي ) إذا كان متعديًا وحرًا. هذا يعني أنه بالنظر إلى${\displaystyle x,y\in X}$يوجد واحد فقط${\displaystyle g\in G}$بحيث${\displaystyle g\cdot x=y}$. لو${\displaystyle X}$يتم التأثير عليه بشكل متعدٍ من قبل مجموعة${\displaystyle G}$عندئذٍ يُطلق عليه اسم الفضاء المتجانس الرئيسي لـ${\displaystyle G}$أو${\displaystyle G}$-torsor.

بالنسبة لعدد صحيح${\displaystyle n\geq 1}$، والفعل هو${\displaystyle n}$- متعدٍ إذا${\displaystyle X}$لديه على الأقل${\displaystyle n}$العناصر، ولأي زوج من${\displaystyle n}$-tuples${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})\in X^{n}}$مع إدخالات متميزة ثنائياً (أي${\displaystyle x_{i}\neq x_{j}}$،${\displaystyle y_{i}\neq y_{j}}$متى${\displaystyle i\neq j}$) يوجد${\displaystyle g\in G}$بحيث${\displaystyle g\cdot x_{i}=y_{i}}$ل${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$بمعنى آخر، التأثير على مجموعة فرعية من${\displaystyle X^{n}}$إن عملية إنشاء صفوف بدون إدخالات مكررة هي عملية متعدية.${\displaystyle n=2,3}$يُطلق على هذا غالبًا اسم التعدي المزدوج، أو الثلاثي. وتُعدّ فئة الزمر المتعدية من الدرجة الثانية (أي الزمر الجزئية لزمرة متناظرة منتهية يكون تأثيرها متعديًا من الدرجة الثانية) والزمر المتعدية المتعددة بشكل أعم، من الفئات التي دُرست جيدًا في نظرية الزمر المنتهية.

الفعل هوبشكل حاد${\displaystyle n}$- متعدٍ عندما يكون الإجراء على الصفوف بدون إدخالات متكررة في${\displaystyle X^{n}}$هو فعل متعدٍّ بشكل حاد.

بالنسبة لعدد صحيح${\displaystyle n\geq 1}$، فعل${\displaystyle G}$على${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسم${\displaystyle n}$-متجانس إذا${\displaystyle X}$لديه على الأقل${\displaystyle n}$العناصر، ولأي زوج من${\displaystyle n}$- مجموعات فرعية${\displaystyle S,T\subseteq X}$يوجد${\displaystyle g\in G}$بحيث${\displaystyle gS=T}$بمعنى آخر، الفعل على مجموعة${\displaystyle n}$- مجموعات فرعية من${\displaystyle X}$هو فعل متعدٍ. ^{[ 4 ]}

الفعل هوبشكل حاد${\displaystyle n}$-متجانس عندما يكون التأثير على${\displaystyle n}$- مجموعات فرعية من${\displaystyle X}$هو فعل متعدٍّ بشكل حاد.

أن${\displaystyle n}$- الفعل المتعدي هو أيضًا${\displaystyle n}$-متجانس. بما أن المجموعات الجزئية من النوع 1 والمجموعات المرتبة من النوع 1 والنقاط متكافئة، فإن مفاهيم التجانس من النوع 1 والتعدي من النوع 1 والتعدي تتطابق.

مجموعة تعمل${\displaystyle n}$-بشكل متجانس على مجموعة${\displaystyle X}$ل${\displaystyle m}$تعمل العناصر أيضًا ${\displaystyle (m-n)}$-بشكل متجانس، كما${\displaystyle gS=T}$يشير إلى${\displaystyle g\left(X\setminus S\right)=X\setminus T}$.

فعل${\displaystyle G}$على${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسم بدائي إذا لم يكن هناك تقسيم لـ${\displaystyle X}$محفوظة بواسطة جميع عناصر${\displaystyle G}$بصرف النظر عن التقسيمات التافهة (التقسيم إلى قطعة واحدة وثنائيتها ، والتقسيم إلى عناصر مفردة ).

افترض أن${\displaystyle X}$هو فضاء طوبولوجي وفعل${\displaystyle G}$يتم ذلك عن طريق التشاكلات المتماثلة .

الحركة تتجول إذا كان كل${\displaystyle x\in X}$يوجد حي${\displaystyle U}$بحيث يكون عددها محدودًا${\displaystyle g\in G}$مع${\displaystyle (g\cdot U)\cap U\neq \emptyset }$[ ^{5 ]​}

وبشكل أعم، نقطة${\displaystyle x\in X}$تُسمى نقطة انقطاع بالنسبة لفعل${\displaystyle G}$إذا كانت هناك مجموعة فرعية مفتوحة${\displaystyle U\ni x}$بحيث يكون عددها محدودًا${\displaystyle g\in G}$مع${\displaystyle (g\cdot U)\cap U\neq \emptyset }$مجال عدم استمرارية الفعل هو مجموعة جميع نقاط عدم الاستمرارية. أو بعبارة أخرى، هو أكبر${\displaystyle G}$مجموعة فرعية مفتوحة مستقرة${\displaystyle \Omega \subset X}$بحيث يكون فعل${\displaystyle G}$على${\displaystyle \Omega }$^{[ 6 ]} في سياق ديناميكي، يُطلق على هذا أيضًا اسم مجموعة متجولة .

يكون الفعل غير متصل بشكل صحيح إذا كان لكل مجموعة جزئية مضغوطة${\displaystyle K\subset X}$عددهم محدود${\displaystyle g\in G}$بحيث${\displaystyle (g\cdot K)\cap K\neq \emptyset }$وهذا أقوى بكثير من التجوال؛ على سبيل المثال، فعل${\displaystyle \mathbb {Z} }$على${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\backslash \{(0,0)\}}$مقدم من${\displaystyle n\cdot (x,y)=(2^{n}x,2^{-n}y)}$هو متجول وحر ولكنه ليس غير متصل بشكل صحيح. ^{[ 7 ]}

إن تأثير تحويلات سطح المجموعة الأساسية لفضاء متصل محليًا ببساطة على غطاء شامل هو تأثير متجول وحر. ويمكن وصف هذه التأثيرات بالخاصية التالية: كل${\displaystyle x\in X}$يوجد حي${\displaystyle U}$بحيث${\displaystyle (g\cdot U)\cap U=\emptyset }$لكل${\displaystyle g\in G\backslash \{e_{G}\}}$[ ^{8 ]} تُسمى الأفعال التي تتمتع بهذه الخاصية أحيانًا بالأفعال ^غير المتصلة بحرية ، وتُسمى أكبر مجموعة جزئية يكون فيها الفعل غير متصل بحرية بالمجموعة المنتظمة الحرة . ^{[ 9 ]}

فعل جماعي${\displaystyle G}$في مساحة محلية صغيرة${\displaystyle X}$يُطلق عليها اسم مجموعة متراصة إذا وُجدت مجموعة جزئية متراصة${\displaystyle A\subset X}$بحيث${\displaystyle X=G\cdot A}$بالنسبة لفعل غير متصل بشكل صحيح، فإن التراص المشترك يكافئ تراص فضاء القسمة${\displaystyle X/G}$.

والآن افترض${\displaystyle G}$هي مجموعة طوبولوجية و${\displaystyle X}$فضاء طوبولوجي يؤثر عليه بواسطة التشاكلات الموضعية. ويُقال إن التأثير مستمر إذا كانت الخريطة${\displaystyle G\times X\rightarrow X}$يكون متصلاً بالنسبة لطوبولوجيا المنتج .

يقال إن هذا الإجراءمناسب إذا كانت الخريطة${\displaystyle G\times X\rightarrow X\times X}$محدد بواسطة${\displaystyle (g,x)\mapsto (x,g\cdot x)}$صحيح . ^{[ 10 ]} هذا يعني أنه بالنظر إلى المجموعات المدمجة${\displaystyle K,K'}$مجموعة${\displaystyle g\in G}$بحيث${\displaystyle (g\cdot K)\cap K'\neq \varnothing }$متراصة. وعلى وجه الخصوص، هذا يكافئ عدم استمرارية حقيقية إذا${\displaystyle G}$هي مجموعة منفصلة .

يقال إنها حرة محلياً إذا كان هناك حي${\displaystyle U}$ل${\displaystyle e_{G}}$بحيث${\displaystyle g\cdot x\neq x}$للجميع${\displaystyle x\in X}$و${\displaystyle g\in U\setminus \{e_{G}\}}$.

يُقال إن الفعل مستمر بقوة إذا كانت الخريطة المدارية${\displaystyle g\mapsto g\cdot x}$مستمر لكل${\displaystyle x\in X}$. على عكس ما يوحي به الاسم، فإن هذه الخاصية أضعف من استمرارية الفعل.

لو${\displaystyle G}$هي جماعة كاذبة و${\displaystyle X}$إذا كان لدينا مشعب قابل للتفاضل ، فإن الفضاء الجزئي للنقاط الملساء للفعل هو مجموعة النقاط${\displaystyle x\in X}$بحيث تكون الخريطة${\displaystyle g\mapsto g\cdot x}$سلسة . هناك نظرية متطورة لأفعال زمرة لي ، أي الأفعال السلسة على الفضاء بأكمله.

إذا كان g يؤثر بتحويلات خطية على وحدة نمطية فوق حلقة تبديلية ، يُقال إن هذا التأثير غير قابل للاختزال إذا لم تكن هناك وحدات نمطية فرعية ثابتة غير صفرية حقيقية تحت تأثير g . ويُقال إنه شبه بسيط إذا كان يتحلل إلى مجموع مباشر لتأثيرات غير قابلة للاختزال.

لو${\displaystyle Y}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle X}$، ثم${\displaystyle G\cdot Y}$يشير إلى المجموعة${\displaystyle \{g\cdot y\mid g\in G,y\in Y\}}$المجموعة الفرعية${\displaystyle Y}$يقال إنه ثابت تحت${\displaystyle G}$لو${\displaystyle G\cdot Y=Y}$(وهو ما يعادل${\displaystyle G\cdot Y\subseteq Y}$في هذه الحالة،${\displaystyle G}$كما يعمل على${\displaystyle Y}$عن طريق تقييد الإجراء إلى${\displaystyle Y}$المجموعة الفرعية${\displaystyle Y}$يُطلق عليه اسم ثابت بموجب${\displaystyle G}$لو${\displaystyle g\cdot y=y}$للجميع${\displaystyle g}$في${\displaystyle G}$وكل شيء${\displaystyle y}$في${\displaystyle Y}$كل مجموعة جزئية ثابتة تحت${\displaystyle G}$وهو ثابت أيضًا تحت${\displaystyle G}$ولكن ليس العكس.

كل مدار هو مجموعة جزئية ثابتة من${\displaystyle X}$على أي${\displaystyle G}$يتصرف بشكل متعدٍ . وعلى العكس من ذلك، فإن أي مجموعة جزئية ثابتة من${\displaystyle X}$هو اتحاد مدارات. فعل${\displaystyle G}$على${\displaystyle X}$تكون العلاقة متعدية إذا وفقط إذا كانت جميع العناصر متكافئة، مما يعني وجود مدار واحد فقط.

أ${\displaystyle G}$عنصر ثابت من${\displaystyle X}$يكون${\displaystyle x\in X}$بحيث${\displaystyle g\cdot x=x}$للجميع${\displaystyle g\in G}$مجموعة كل هذه${\displaystyle x}$يُشار إليه بـ${\displaystyle X^{G}}$وأطلق عليه اسم${\displaystyle G}$الثوابت لـ${\displaystyle X}$. متى${\displaystyle X}$هو${\displaystyle G}$-وحدة ،${\displaystyle X^{G}}$هي مجموعة التماثل الصفري لـ${\displaystyle G}$بمعاملات في${\displaystyle X}$، ومجموعات التماثل الأعلى هي الدوال المشتقة من دالة${\displaystyle G}$الثوابت.

منح${\displaystyle g}$في${\displaystyle G}$و${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$مع${\displaystyle g\cdot x=x}$يقال إن "${\displaystyle x}$هي نقطة ثابتة لـ${\displaystyle g}$أو أن${\displaystyle g}$إصلاحات${\displaystyle x}$لكل${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$، المجموعة فرعية من المثبتات${\displaystyle G}$بالنسبة إلى${\displaystyle x}$(وتسمى أيضًا مجموعة التناظر أو المجموعة الصغيرة ^{[ 11 ]} ) هي مجموعة جميع العناصر في${\displaystyle G}$هذا الحل${\displaystyle x}$: $${\displaystyle G_{x}=\{g\in G:g{\cdot }x=x\}.}$$ هذه مجموعة فرعية من${\displaystyle G}$، وإن لم يكن ذلك عادةً أمراً طبيعياً. فعل${\displaystyle G}$على${\displaystyle X}$تكون مجانية إذا وفقط إذا كانت جميع المثبتات تافهة. النواة${\displaystyle N}$من التشاكل مع المجموعة المتناظرة،${\displaystyle G\rightarrow \operatorname {Sym} (X)}$، يتم تحديدها من خلال تقاطع المثبتات${\displaystyle G_{x}}$للجميع${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$. لو${\displaystyle N}$إذا كان الأمر تافهاً، يقال إن الفعل أمين (أو فعال).

يترك${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$ليكن عنصرين في${\displaystyle X}$ودع${\displaystyle g}$ليكن عنصرًا من عناصر المجموعة بحيث${\displaystyle y=g\cdot x}$ثم مجموعتا المثبتات${\displaystyle G_{x}}$و${\displaystyle G_{y}}$ترتبط ببعضها البعض من خلال${\displaystyle G_{y}=gG_{x}g^{-1}}$.

البرهان: بحسب التعريف،${\displaystyle h\in G_{y}}$إذا وفقط إذا${\displaystyle h\cdot (g\cdot x)=g\cdot x}$تطبيق${\displaystyle g^{-1}}$ينتج عن كلا جانبي هذه المساواة${\displaystyle (g^{-1}hg)\cdot x=x}$؛ إنه،${\displaystyle g^{-1}hg\in G_{x}}$.

ويتبع ذلك إدراج معاكس مماثل من خلال أخذ${\displaystyle h\in G_{x}}$و${\displaystyle x=g^{-1}\cdot y}$.

يشير ما سبق إلى أن مُثبِّتات العناصر في المدار نفسه مترافقة مع بعضها البعض. وبالتالي، يمكننا ربط كل مدار بفئة ترافق من مجموعة فرعية من${\displaystyle G}$(أي مجموعة جميع المرافقات للمجموعة الفرعية). ليكن${\displaystyle (H)}$تشير إلى فئة الترافق لـ${\displaystyle H}$ثم المدار${\displaystyle O}$له نوع${\displaystyle (H)}$إذا كان المثبت${\displaystyle G_{x}}$من بعض/أي${\displaystyle x}$في${\displaystyle O}$ينتمي إلى${\displaystyle (H)}$يُطلق على نوع المدار الأقصى غالبًا اسم نوع المدار الرئيسي .

ترتبط المدارات والمثبتات ارتباطًا وثيقًا. بالنسبة لقيمة ثابتة x في X ، لنعتبر التطبيق f  : G → X المعطى بالعلاقة g ↦ g ⋅ x . بحسب التعريف، فإن صورة f ( G ) لهذا التطبيق هي المدار G ⋅ x . الشرط اللازم لعنصرين أن يكون لهما نفس الصورة هو $${\displaystyle f(g)=f(h)\iff g{\cdot }x=h{\cdot }x\iff g^{-1}h{\cdot }x=x\iff g^{-1}h\in G_{x}\iff h\in gG_{x}.}$$ بمعنى آخر، f ( g ₎ = f ( h ) إذا وفقط إذا كان g و h ينتميان إلى نفس المجموعة المشاركة لمجموعة التثبيت G⋅x . بالتالي، فإن ^الليف f⁻¹ ( { y }) للدالة f _على أي y في G⋅x موجود في هذه المجموعة المشاركة ، وكل مجموعة مشاركة من هذا النوع تظهر أيضًا كليف. لذلك، تُنشئ الدالة f تقابلًا بين مجموعة المجموعات المشاركة G / G⋅x لمجموعة التثبيت والمدار G⋅x ، الذي يُرسل gG⋅x ↦ _g⋅x . ^{[ 12} ] تُعرف هذه النتيجة بنظرية ^المدار - المثبت .

إذا كانت G محدودة، فإن نظرية المدار-المثبت، بالإضافة إلى نظرية لاغرانج ، تعطي $${\displaystyle |G\cdot x|=[G\,:\,G_{x}]=|G|/|G_{x}|.}$$ بمعنى آخر، طول مدار x مضروبًا في رتبة مُثبِّته يساوي رتبة المجموعة . وهذا يعني تحديدًا أن طول المدار قاسم لرتبة المجموعة.

مثال

لتكن G زمرة من الرتبة الأولية p تؤثر على مجموعة X تحتوي على k عنصرًا. بما أن كل مدار يحتوي إما على عنصر واحد أو p عنصرًا، فإنه يوجد على الأقل k مدارًا (mod p) بطول 1 وهي عناصر ثابتة تحت تأثير G. وبشكل أدق، فإن k وعدد العناصر الثابتة تحت تأثير G متطابقان (mod p) . ^{[ 13 ]}

تعتبر هذه النتيجة مفيدة بشكل خاص لأنه يمكن استخدامها لحساب الوسائط (عادة في الحالات التي تكون فيها X محدودة أيضًا).

مثال

يمكننا استخدام نظرية المدار-المثبت لحساب التشاكلات الذاتية للرسم البياني . لنفترض الرسم البياني المكعب الموضح، ولنرمز بـ G إلى زمرة التشاكلات الذاتية الخاصة به . عندئذٍ، تؤثر G على مجموعة الرؤوس {1، 2، ...، 8} _، وهذا التأثير متعدٍ كما يتضح من خلال تركيب الدورانات حول مركز المكعب. بالتالي، وفقًا لنظرية المدار-المثبت، فإن | G | = | G ⋅ 1 | | G1 | = 8 | G1 | . بتطبيق النظرية الآن على المثبت G1 _، يمكننا الحصول على | G1 _{| =} | ( G1 ) ⋅ 2 | | ( _{G1 ) 2} | . أي عنصر من G يُثبّت 1 يجب أن يُحوّل 2 إلى إما 2 أو 4 أو 5. كمثال على هذه التشاكلات الذاتية، لننظر إلى الدوران حول المحور القطري المار بالنقطتين 1 و7 بزاوية 2π / 3 ، والذي يُبدّل 2 و4 و5 و 3 و6 و8، ويُثبّت 1 و7. بالتالي، | ( G1 ) ⋅2 | = 3. بتطبيق النظرية للمرة الثالثة، نحصل على _{| (} G1 ) ⋅2 | ₌ | ( ( G1 _{) ⋅3} ||| ₍ ( G1 ) ⋅3 | ) . أي عنصر من G يُثبّت 1 و ₂ يجب أن يُحوّل 3 إلى إما 3 أو 6. انعكاس المكعب في المستوى المار بالنقط 1 و 2 _{و 7 و} 8 هو تشاكل ذاتي يُحوّل 3 إلى 6، وبالتالي | ( ( G1 _{) ⋅3} | = 2 . يُلاحظ أيضًا أن (( G1 ) ₂ ) ₃ يتكون فقط من التشاكل الذاتي المحايد، حيث أن أي عنصر من G يُثبّت الرؤوس 1 و2 و3 يجب أن يُثبّت أيضًا جميع الرؤوس الأخرى، لأنها مُحددة من خلال تجاورها مع 1 و2 و3 _. بدمج الحسابات السابقة، يُمكننا الآن الحصول على | G | = 8 × 3 × 2 × 1 = 48.

إحدى النتائج المرتبطة ارتباطًا وثيقًا بنظرية المدار-المثبت هي ليمّة بيرنسايد : $${\displaystyle |X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|,}$$ حيث X ^g هي مجموعة النقاط الثابتة بواسطة g . وتكون هذه النتيجة مفيدة بشكل أساسي عندما تكون G و X محدودتين، حيث يمكن تفسيرها على النحو التالي: عدد المدارات يساوي متوسط ​​عدد النقاط الثابتة لكل عنصر من عناصر المجموعة.

بتثبيت مجموعة G ، تشكل مجموعة الفروق الرسمية للمجموعات G المنتهية حلقة تسمى حلقة بيرنسايد لـ G ، حيث يتوافق الجمع مع الاتحاد المنفصل ، والضرب مع الضرب الديكارتي .