المزاج المتساوي

تُغطي مجموعة كاملة من أجراس الرنين البرونزية، من بين العديد من الآلات الموسيقية التي عُثر عليها في قبر الماركيز يي من تسنغ (أوائل فترة الممالك المتحاربة، حوالي القرن الخامس قبل الميلاد في العصر البرونزي الصيني)، خمسة أوكتافات كاملة من 7 نغمات في مفتاح دو الكبير، بما في ذلك 12 نصف نغمة في منتصف النطاق. ^{[ 7 ]}

وصف هي تشنغتيان ، عالم الرياضيات من السلالات الجنوبية والشمالية الذي عاش بين عامي 370 و447، تقريبًا للمزاج المتساوي. ^{[ 8 ]} وقد توصل إلى أقدم تسلسل عددي تقريبي مسجل يتعلق بالمزاج المتساوي في التاريخ: 900 849 802 758 715 677 638 601 570 536 509.5 479 450. ^{[ 9 ]}

أمضى تشو زايو (朱載堉)، أحد أمراء بلاط أسرة مينغ ، ثلاثين عامًا في البحث استنادًا إلى فكرة التوزيع المتساوي للنغمات التي طرحها والده في الأصل. وقد وصف نظريته الجديدة في النغمات في كتابه " دمج الموسيقى والتقويم" (律暦融通) الذي نُشر عام 1580. تبع ذلك نشرُه لمواصفات عددية دقيقة للتوزيع المتساوي للنغمات في كتابه " الموسوعة الكاملة للموسيقى والنغمات " (樂律全書) الذي يقع في 5000 صفحة، وذلك عام 1584. ^{[ 10 ]} كما قدم جوزيف نيدهام شرحًا مطولًا لهذه النظرية. ^{[ 6 ]} حصل تشو على نتيجته رياضياً عن طريق قسمة طول الوتر والأنبوب على التوالي على 12 √2 ≈ 1.059463، وبالنسبة لطول الأنبوب على 24 √2، ^[ 11 ] ^بحيث بعد اثنتي ^عشرة قسمة ^{( أوكتاف )} تم تقسيم الطول على عامل 2:

$${\displaystyle \left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{12}=2}$$

وبالمثل، بعد 84 قسمة (7 أوكتافات) تم تقسيم الطول على عامل 128:

$${\displaystyle \left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{84}=2^{7}=128}$$

يُنسب الفضل إلى تشو زايو في كونه أول من حلّ مسألة التوزيع الموسيقي المتساوي رياضيًا. ^{[ 12 ]} وقد اقترح باحث واحد على الأقل أن ماتيو ريتشي ، وهو راهب يسوعي في الصين، دوّن هذا العمل في مذكراته الشخصية ^{[ 12 ] [ 13 ]} وربما يكون قد نقله إلى أوروبا. (لا تذكر المصادر القياسية حول هذا الموضوع أي نقل من هذا القبيل. ^{[ 14 ]} ) في عام 1620، أشار عالم رياضيات أوروبي إلى عمل تشو. ^{[ 13 ]} قال موراي باربور : "كان أول ظهور معروف مطبوعًا للأرقام الصحيحة للتوزيع الموسيقي المتساوي في الصين، حيث لا يزال حل الأمير تسايو الرائع لغزًا." ^{[ 15 ]} كتب الفيزيائي الألماني هيرمان فون هيلمهولتز، في القرن التاسع عشر، في كتابه "عن إحساسات النغم" أن أميرًا صينيًا (انظر أدناه) قدّم سلمًا موسيقيًا من سبع نغمات، وأن تقسيم الأوكتاف إلى اثنتي عشرة نصف نغمة اكتُشف في الصين. ^{[ 16 ]}

جسّد تشو زايو نظريته حول التوزيع المتساوي للأصوات من خلال صنع مجموعة من 36 أنبوبًا موسيقيًا من الخيزران، موزعة على ثلاث أوكتافات، مع تعليمات توضح نوع الخيزران ولون الطلاء، ومواصفات تفصيلية لأطوالها وأقطارها الداخلية والخارجية. كما صنع آلة موسيقية ذات 12 وترًا، تحتوي على مجموعة من أنابيب ضبط النغمات مخفية داخل تجويفها السفلي. في عام 1890، قام فيكتور-شارل ماهيلون ، أمين متحف المعهد الموسيقي في بروكسل، بنسخ مجموعة من أنابيب ضبط النغمات وفقًا لمواصفات تشو زايو. وأوضح أن النظرية الصينية للنغمات كانت أكثر دراية بطول أنابيب ضبط النغمات من نظيرتها الغربية، وأن مجموعة الأنابيب المنسوخة وفقًا لبيانات زايو أثبتت صحة هذه النظرية.

وردت إحدى أقدم المناقشات حول المزاج المتساوي في كتابات أريستوكسينوس في القرن الرابع قبل الميلاد. ^{[ 17 ]}

كان فينتشنزو غاليلي (والد غاليليو غاليلي ) من أوائل المؤيدين العمليين لنظام التوزيع المتساوي ذي الاثنتي عشرة نغمة. وقد ألّف مجموعة من مقطوعات الرقص على كل نغمة من نغمات السلم الكروماتي الاثنتي عشرة في جميع "مفاتيح النقل"، ونشر أيضًا، في كتابه " فرونيمو " عام 1584، مقطوعة "ريتشيركار " مكونة من 24 نغمة بالإضافة إلى نغمة واحدة . ^{[ 18 ]} استخدم نسبة 18:17 لضبط أوتار العود (مع أن بعض التعديلات كانت ضرورية للأوكتافات النقية). ^{[ 19 ]}

بحلول عام 1567، كان جياكومو غورزانيس، عازف العود ومواطن غاليلي، قد ألّف موسيقى تعتمد على التوزيع المتساوي. ^{[ 20 ]} لم يكن غورزانيس عازف العود الوحيد الذي استكشف جميع المقامات الموسيقية، فقد كتب فرانشيسكو سبيناتشينو مقطوعة "Recercare de tutti li Toni" ( البحث في جميع النغمات) في وقت مبكر من عام 1507. ^{[ 21 ]} وفي القرن السابع عشر، كتب عازف العود والملحن جون ويلسون مجموعة من 30 مقدمة موسيقية، منها 24 مقدمة في جميع المقامات الكبيرة والصغيرة. ^{[ 22 ] [ 23 ]} وقدّم هنريكوس غراماتيوس تقريبًا دقيقًا للتوزيع المتساوي في عام 1518. أما أولى قواعد الضبط في التوزيع المتساوي فقد وضعها جيوفاني ماريا لانفرانكو في كتابه "Scintille de musica". ^{[ 24 ]} زارلينو في جداله مع جاليلي عارض في البداية التوزيع المتساوي للأصوات ولكنه في النهاية وافق عليه فيما يتعلق بالعود في كتابه Sopplimenti musicali في عام 1588.

أول ذكرٍ للتوزيع المتساوي للأصوات، المرتبط بالجذر الثاني عشر للعدد اثنين، في الغرب، ظهر في مخطوطة سيمون ستيفن "Van De Spiegheling der singconst" (حوالي 1605)، والتي نُشرت بعد وفاته بعد نحو ثلاثة قرون في عام 1884. ^{[ 25 ]} مع ذلك، ونظرًا لعدم دقة حساباته، كانت العديد من أطوال الأوتار التي حصل عليها خاطئة بمقدار وحدة أو وحدتين عن القيم الصحيحة. ^{[ 14 ]} ونتيجةً لذلك، لا توجد نسبة موحدة لترددات أوتار سيمون ستيفن، بل نسبة واحدة لكل نغمة، وهو ما يعتبره جين تشو غير صحيح. ^{[ 26 ]}

فيما يلي أطوال الأوتار التي استخدمها سيمون ستيفن من كتاب فان دي سبيغيلينغ دير سينغونست : ^{[ 27 ]}

بعد جيل، قدم عالم الرياضيات الفرنسي مارين ميرسين عدة أطوال للأوتار ذات التوزيع المتساوي التي حصل عليها جان بوجراند وإسماعيل بويو وجان جال. ^{[ 28 ]}

في عام 1630، نشر يوهان فولهاوبر جدولًا للأوتار الأحادية بقيمة 100 سنت، والذي احتوى على عدة أخطاء نتيجة استخدامه للجداول اللوغاريتمية. ولم يوضح كيف توصل إلى نتائجه. ^{[ 29 ]}

من عام 1450 إلى حوالي عام 1800، فضّل عازفو الآلات الوترية (عازفو العود والغيتار) عمومًا نظام التوزيع المتساوي، ^{[ 30 ]} وتحتوي مخطوطة عود بروسارد، التي جُمعت في الربع الأخير من القرن السابع عشر، على سلسلة من 18 مقدمة موسيقية تُنسب إلى بوكيه ، مكتوبة بجميع المقامات، بما في ذلك المقدمة الأخيرة، بعنوان "مقدمة على جميع النغمات" ، والتي تنتقل بشكل متناغم عبر جميع المقامات. ^{[ 31 ]} نشر أنجيلو ميشيل بارتولوتي سلسلة من الباساكاليا في جميع المقامات، مع مقاطع موسيقية متصلة تنتقل بشكل متناغم. من بين مؤلفي موسيقى الآلات الوترية في القرن السابع عشر، دافع جيرولامو فريسكو بالدي عن نظام التوزيع المتساوي. عارض بعض المنظرين، مثل جوزيبي تارتيني ، اعتماد نظام التوزيع المتساوي. لقد شعروا بأن التقليل من نقاء كل وتر يقلل من الجاذبية الجمالية للموسيقى، على الرغم من أن أندرياس فيركمايستر دافع بشدة عن التوزيع المتساوي في أطروحته التي نُشرت بعد وفاته عام 1707. ^{[ 32 ]}

انتشر نظام التوزيع المتساوي ذو الاثنتي عشرة نغمة لأسباب عديدة. فقد كان ملائمًا لتصميم لوحة المفاتيح الموجودة آنذاك، وسمح بحرية تامة في التناغم مع وجود قدر معتدل من عدم التجانس في كل فاصل موسيقي، لا سيما التناغمات غير الكاملة. وقد أتاح ذلك تعبيرًا أكبر من خلال التعديل التوافقي ، الذي اكتسب أهمية بالغة في القرن الثامن عشر في موسيقى ملحنين مثل فرانشيسكو جيمينياني ، وفيلهلم فريدمان باخ ، وكارل فيليب إيمانويل باخ ، ويوهان جوتفريد موثيل . كان لنظام التوزيع المتساوي ذو الاثنتي عشرة نغمة بعض العيوب، مثل الثوالث غير الكاملة، ولكن مع تحول أوروبا إلى هذا النظام، عدّلت موسيقاها لتتلاءم معه وتقلل من التنافر.

يُمكن تحقيق ضبط دقيق للمزاج المتساوي باستخدام طريقة ساباتيني التي تعود إلى القرن السابع عشر، والتي تقضي بتقسيم الأوكتاف أولًا إلى ثلاثة أثلاث كبيرة مُعدّلة. ^{[ 33 ]} وقد اقترح هذه الطريقة أيضًا العديد من الكُتّاب خلال العصر الكلاسيكي. وكان الضبط بدون معدلات النبض، ولكن باستخدام عدة فحوصات، يُحقق دقة تُقارب الدقة الحديثة، مُطبقًا بالفعل في العقود الأولى من القرن التاسع عشر. ^{[ 34 ]} وأصبح استخدام معدلات النبض، الذي طُرح لأول مرة عام 1749، شائعًا بعد انتشاره على يد هيلمهولتز وإيليس في النصف الثاني من القرن التاسع عشر. ^{[ 35 ]} وقد أُتيحت أعلى مستويات الدقة مع جدولين عشريين نشرهما وايت عام 1917. ^{[ 36 ]} وتُقارب فواصل المزاج المتساوي بعض الفواصل في الضبط الطبيعي . ^{[ 37 ]}