منحنى براكيستوكرون

إن منحنى أسرع هبوط ليس خطًا مستقيمًا أو متعدد الأضلاع (أزرق) ولكنه منحنى دائري (أحمر).

في الفيزياء والرياضيات ، يُعرف منحنى براكيستوكرون ( من اليونانية القديمة βράχιστος χρόνος (brákhistos khrónos) ^بمعنى " ^أقصر زمن " )، ^أو منحنى أسرع هبوط، بأنه المنحنى الواقع على المستوى بين النقطة أ والنقطة ب ، حيث لا تقع ب أسفل أ مباشرةً ، والذي ينزلق عليه حبة من السكون دون احتكاك تحت تأثير مجال جاذبية منتظم إلى نقطة نهاية معينة في أقصر وقت. وقد طرح يوهان برنولي هذه المسألة عام 1696 ، وحلها إسحاق نيوتن في ليلة واحدة عام 1697، على الرغم من أن برنولي وآخرين كانوا قد توصلوا إلى حلول خاصة بهم قبل ذلك بأشهر.

منحنى البراكيستوكرون له نفس شكل منحنى التوتوكرون ؛ فكلاهما منحنيات دائرية . لكن الجزء المستخدم من المنحنى الدائري يختلف. تحديدًا، يمكن لمنحنى البراكيستوكرون استخدام دورة كاملة من المنحنى الدائري (عند الحد الذي تكون فيه النقطتان A وB على نفس المستوى)، ولكنه يبدأ دائمًا من نقطة حادة ، بينما لا يمكن لمنحنى التوتوكرون استخدام سوى نصف الدورة الأولى وينتهي دائمًا عند المستوى الأفقي. ^{[ 2 ]} يمكن حل هذه المسألة باستخدام أدوات من حساب التفاضل والتكامل ^{[ 3 ]} والتحكم الأمثل . ^{[ 4 ]}

المنحنى مستقل عن كتلة الجسم المختبر وقوة الجاذبية المحلية. يتم اختيار مُعامل واحد فقط بحيث يتطابق المنحنى مع نقطة البداية A ونقطة النهاية B. ^{[ 5} ] إذا أُعطي الجسم سرعة ابتدائية عند A ، أو إذا أُخذ الاحتكاك في الاعتبار، فإن المنحنى الذي يُقلل الزمن يختلف عن ^منحنى التزامن الزمني .

تاريخ

مشكلة غاليليو

في عام 1638، حاول غاليليو غاليلي حل مشكلة مماثلة تتعلق بمسار أسرع هبوط من نقطة إلى جدار في كتابه " علمان جديدان" . وخلص إلى أن قوس الدائرة أسرع من أي عدد من أوتارها، ^{[ 6 ]}

من السابق يمكن استنتاج أن أسرع مسار على الإطلاق [lationem omnium velocissimam]، من نقطة إلى أخرى، ليس أقصر مسار، أي خط مستقيم، بل قوس دائرة.
...
وبالتالي، كلما اقترب المضلع المرسوم من الدائرة، قل الوقت اللازم للهبوط من النقطة أ إلى النقطة ج. وما تم إثباته بالنسبة للربع ينطبق أيضًا على الأقواس الأصغر؛ فالمنطق هو نفسه.

مخططات لمقال ويكيبيديا حول حدسية غاليليو

بعد النظرية السادسة من كتاب "علمان جديدان "، يحذر غاليليو من المغالطات المحتملة والحاجة إلى "علم أسمى". في هذا الحوار، يستعرض عمله. درس غاليليو المنحنى الدائري وأطلق عليه اسمه، لكن الربط بينه وبين مشكلته لم يتضح إلا مع تطور الرياضيات.

إن تخمين غاليليو هو أن "أقصر وقت على الإطلاق [لجسم متحرك] سيكون وقت سقوطه على طول القوس ADB [لربع دائرة]، ويجب فهم خصائص مماثلة على أنها تنطبق على جميع الأقواس الأصغر المأخوذة لأعلى من الحد الأدنى B".

في الشكل 1، من "حوار حول النظامين العالميين الرئيسيين"، يدّعي غاليليو أن الجسم المنزلق على طول قوس دائري ربع دائرة، من النقطة أ إلى النقطة ب، سيصل إلى النقطة ب في وقت أقل مما لو سلك أي مسار آخر من النقطة أ إلى النقطة ب. وبالمثل، في الشكل 2، من أي نقطة د على القوس أ ب، يدّعي أن الوقت المستغرق على طول القوس الأصغر د ب سيكون أقل من أي مسار آخر من النقطة د إلى النقطة ب. في الواقع، أسرع مسار من النقطة أ إلى النقطة ب أو من النقطة د إلى النقطة ب، وهو منحنى السرعة القصيرة، عبارة عن قوس دائري، كما هو موضح في الشكل 3 للمسار من النقطة أ إلى النقطة ب، وفي الشكل 4 للمسار من النقطة د إلى النقطة ب، مُركّبين على القوس الدائري المقابل. ^{[ 7 ]}

عرض المشكلة

طرح يوهان برنولي مشكلة منحنى براكيستوكرون على قراء مجلة أكتا إيروديتوروم في يونيو 1696. ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]} وقال:

أنا، يوهان برنولي، أخاطب ألمع علماء الرياضيات في العالم. لا شيء يجذب الأذكياء أكثر من مسألةٍ صادقةٍ وتحدّيّة، يُمكن أن يُخلّد حلّها الشهرة ويُخلّد ذكرى هذا العالم. اقتداءً بباسكال وفيرما وغيرهما، آمل أن أنال تقدير المجتمع العلمي بأسره من خلال طرح مسألةٍ أمام أبرز علماء الرياضيات في عصرنا، مسألةٍ تختبر مناهجهم وقوة عقولهم. إذا ما قدّم لي أحدهم حلّ هذه المسألة، فسأعلن جهارًا استحقاقه للثناء.

كتب برنولي بيان المسألة على النحو التالي:

بالنظر إلى نقطتين A و B في مستوى رأسي، ما هو المنحنى الذي ترسمه نقطة تؤثر عليها الجاذبية فقط، والتي تبدأ من A وتصل إلى B في أقصر وقت؟

توصل يوهان وشقيقه ياكوب برنولي إلى الحل نفسه، لكن استنتاج يوهان كان خاطئًا، وحاول نسب حل ياكوب لنفسه. ^{[ 10 ]} نشر يوهان الحل في المجلة في مايو 1697، ولاحظ أن الحل هو نفس منحنى التزامن الزمني لهويجنز . بعد اشتقاق المعادلة التفاضلية للمنحنى بالطريقة الموضحة أدناه، شرع في إثبات أنه ينتج عنه منحنى حلقي، ^[¹¹^]^[¹²^] لكن برهانه يشوبه استخدام ثابت واحد بدلًا من الثوابت الثلاثة، v و _m و 2g و D ، المذكورة أدناه.

منح برنولي ستة أشهر للحلول، لكن لم يُستلم أي حل خلال تلك الفترة. وبناءً على طلب لايبنتز، مُدِّدت المهلة علنًا لمدة عام ونصف. ^{[ 13 ]} في الساعة الرابعة مساءً من يوم 29 يناير 1697، عندما عاد إسحاق نيوتن إلى منزله من دار سك العملة الملكية ، وجد التحدي في رسالة من يوهان برنولي. ^[¹⁴^] سهر نيوتن طوال الليل لحله، وأرسل الحل بالبريد دون الكشف عن هوية المرسل في اليوم التالي. عند قراءة الحل، تعرف برنولي على كاتبه فورًا، مُعلنًا أنه "يتعرف على الأسد من أثر مخلبه". يُعطي هذا فكرة عن مدى سعة معرفة نيوتن وذكائه وقدراته الاستثنائية، إذ استغرق برنولي نفسه أسبوعين لحله، ^[⁵^]^[¹⁵^] بينما استغرق حله شهورًا للعديد من أعظم علماء الرياضيات في أوروبا. ^[¹⁶^] كتب نيوتن أيضًا: "لا أحب أن يُسألني الأجانب ويسخروا مني بشأن الأمور الرياضية"، وكان قد حلّ بالفعل مسألة نيوتن للمقاومة الدنيا ، والتي تُعتبر الأولى من نوعها في حساب التفاضل والتكامل . استخدم برنولي مبدأ أقل زمن في اشتقاق حله، لكنه لم يستخدم حساب التفاضل والتكامل - بينما استخدم نيوتن كليهما، وانتهى به الأمر رائدًا في هذا المجال نتيجةً لعمله على هاتين المسألتين. ^[¹⁷^]

في النهاية، قدم خمسة علماء رياضيات حلولًا: نيوتن، وجاكوب برنولي، وغوتفريد لايبنتز ، وإهرنفريد فالتر فون تشيرنهاوس ، وغيوم دي لوبيتال . نُشرت أربعة من هذه الحلول (باستثناء حل لوبيتال) في نفس عدد المجلة التي نُشر فيها حل برنولي. في بحثه، قدم جاكوب برنولي برهانًا لشرط أقصر زمن مشابهًا لما هو مذكور أدناه، قبل أن يُبين أن حله عبارة عن منحنى دائري. ^{[ 11 ]} ووفقًا للباحث النيوتني توم وايتسايد ، في محاولة للتفوق على أخيه، ابتكر جاكوب برنولي نسخة أكثر تعقيدًا من مسألة منحنى السرعة القصيرة. وفي حلها، طور أساليب جديدة قام ليونارد أويلر بتطويرها إلى ما أسماه أويلر (عام 1766) حساب التفاضل والتكامل التغيري . وقد أجرى جوزيف لويس لاغرانج المزيد من العمل الذي أدى إلى ظهور حساب التفاضل والتكامل اللامتناهي الصغر الحديث .

حل يوهان برنولي

مقدمة

في رسالة إلى لوبيتال (21/12/1696)، كتب برنولي أنه عند دراسة مسألة منحنى أسرع انحدار، لاحظ أولاً تشابهاً أو صلة غريبة بمسألة أخرى لا تقل أهمية، مما أدى إلى "طريقة غير مباشرة" للحل، وأنه بعد ذلك بوقت قصير اكتشف "طريقة مباشرة". ^{[ 18 ]}

الطريقة المباشرة

في رسالةٍ إلى هنري باسناج، محفوظة في مكتبة جامعة بازل العامة، بتاريخ 30 مارس 1697، كتب برنولي أنه وجد طريقتين (تُعرفان دائمًا بـ"المباشرة" و"غير المباشرة") لإثبات أن منحنى براكيستوكرون هو "المنحنى الدائري المشترك"، المعروف أيضًا باسم "الروليت". وبناءً على نصيحة لايبنتز، أدرج برنولي الطريقة غير المباشرة فقط في كتابه " أكتا إيروديتوروم ليبسيداي" الصادر في مايو 1697. وكتب أن ذلك يعود جزئيًا إلى اعتقاده بأنها كافية لإقناع أي شخص يشك في النتيجة، وجزئيًا لأنها حلت أيضًا مشكلتين شهيرتين في علم البصريات كان قد أثارهما "المرحوم السيد هيغنز" في أطروحته عن الضوء . وفي الرسالة نفسها، انتقد نيوتن لإخفائه طريقته.

بالإضافة إلى أسلوبه غير المباشر، قام بنشر الردود الخمسة الأخرى على المشكلة التي تلقاها.

تُعدّ طريقة برنولي المباشرة ذات أهمية تاريخية كبيرة كدليل على أن منحنى براكيستوكرون هو منحنى دائري. وتتلخص هذه الطريقة في تحديد انحناء المنحنى عند كل نقطة. أما جميع البراهين الأخرى، بما فيها برهان نيوتن (الذي لم يُكشف عنه في ذلك الوقت)، فتعتمد على إيجاد الميل عند كل نقطة.

في عام ١٧١٨، شرح برنولي كيف حلّ مسألة منحنى السرعة القصيرة باستخدام طريقته المباشرة. ^{[ ١٩ ]}^{[ ٢٠ ]} وذكر أنه لم ينشرها عام ١٦٩٧ لأسباب لم تعد قائمة عام ١٧١٨. وقد تم تجاهل هذه الورقة البحثية إلى حد كبير حتى عام ١٩٠٤، عندما أدرك قسطنطين كاراثيودوري لأول مرة عمق هذه الطريقة ، قائلاً إنها تُظهر أن المنحنى الدائري هو المنحنى الوحيد الممكن لأسرع هبوط. ووفقًا له، فإن الحلول الأخرى تشير إلى أن زمن الهبوط ثابت بالنسبة للمنحنى الدائري، ولكنه ليس بالضرورة الحد الأدنى الممكن.

الحل التحليلي

طريقة براكيستوكرون برنولي المباشرة

يُعتبر الجسم منزلقًا على طول أي قوس دائري صغير Ce بين نصفَي القطر KC و Ke، مع تثبيت المركز K. تتضمن المرحلة الأولى من البرهان إيجاد القوس الدائري المحدد Mm الذي يقطعه الجسم في أقل وقت ممكن.

يتقاطع الخط KNC مع الخط AL عند النقطة N، ويتقاطع الخط Kne معه عند النقطة n، ويشكلان زاوية صغيرة CKe عند النقطة K. لنفترض أن NK = a، ولنُعرّف نقطة متغيرة، C، على امتداد KN. من بين جميع الأقواس الدائرية الممكنة Ce، المطلوب إيجاد القوس Mm الذي يتطلب أقل وقت للانزلاق بين نصفي القطرين KM وKm. لإيجاد Mm، يستخدم برنولي الاستدلال التالي.

لنفترض أن MN = x. يُعرّف m بحيث يكون MD = mx، و n بحيث يكون Mm = nx + na، ويشير إلى أن x هو المتغير الوحيد وأن m قيمة محدودة و n قيمة متناهية الصغر. الزمن القصير اللازم للسفر على طول القوس Mm هو ${\frac {Mm}{MD^{\frac {1}{2}}}}={\frac {n(x+a)}{(mx)^{\frac {1}{2}}}}$ ، وهو ما يجب أن يكون قيمة دنيا ('واحد زائد صغير'). لم يوضح أنه نظرًا لصغر قيمة Mm، يمكن افتراض أن السرعة على طولها هي السرعة عند M، وهي الجذر التربيعي لـ MD، المسافة الرأسية لـ M أسفل الخط الأفقي AL. زائد MD = mx وفقًا لنظرية فيثاغورس.

ويترتب على ذلك أنه عند التفاضل، يجب أن يعطي هذا

{\frac {(xa)dx}{2x^{\frac {3}{2}}}}=0

بحيث يكون x = a.

تحدد هذه الحالة المنحنى الذي ينزلق عليه الجسم في أقصر وقت ممكن. لكل نقطة M على المنحنى، ينقسم نصف قطر الانحناء MK إلى جزأين متساويين بواسطة محوره AL. هذه الخاصية، التي يقول برنولي إنها كانت معروفة منذ زمن طويل، فريدة من نوعها للمنحنى الدائري.

وأخيرًا، يتناول الحالة الأكثر عمومية حيث تكون السرعة دالة اختيارية X(x)، وبالتالي يكون الوقت المراد تقليله هو ${\frac {(x+a)}{X}}$ يصبح الشرط الأدنى عندئذٍ $X={\frac {(x+a)dX}{dx}}$ وهو يكتب على النحو التالي : $X=(x+a)\Delta x$ وهذا يعطي MN (=x) كدالة لـ NK (= a). ومن هذا يمكن الحصول على معادلة المنحنى من حساب التكامل، على الرغم من أنه لم يوضح ذلك.

محلول اصطناعي

ثم يمضي قدماً فيما أسماه الحل التركيبي، والذي كان برهاناً هندسياً كلاسيكياً، على أن هناك منحنى واحد فقط يمكن للجسم أن ينزلق عليه في أقل وقت ممكن، وهذا المنحنى هو المنحنى الدائري.

«إنّ سبب هذا البرهان التركيبي، على طريقة القدماء، هو إقناع السيد دي لا هير . فهو لا يكترث كثيراً بتحليلنا الجديد، ويصفه بأنه خاطئ (يزعم أنه وجد ثلاث طرق لإثبات أن المنحنى هو قطع مكافئ مكعب)» – رسالة من يوهان برنولي إلى بيير فارينيون بتاريخ 27 يوليو 1697. ^{[ 21 ]}

لنفترض أن AMmB هو جزء من المنحنى الدائري الذي يربط A بـ B، والذي ينزلق عليه الجسم في أقل وقت ممكن. ولتكن ICcJ جزءًا من منحنى مختلف يربط A بـ B، والذي قد يكون أقرب إلى AL من AMmB. إذا كان القوس Mm يقابل الزاوية MKm عند مركز انحنائه K، فلنعتبر القوس على IJ الذي يقابل نفس الزاوية هو Cc. القوس الدائري المار بـ C ومركزه K هو Ce. النقطة D على AL تقع عموديًا فوق M. نصل K بـ D، والنقطة H هي نقطة تقاطع CG مع KD، ويمكن تمديدها إذا لزم الأمر.

يترك $\tau$ و t هي الأوقات التي يستغرقها الجسم للسقوط على طول Mm و Ce على التوالي.

\tau \propto {\frac {Mm}{MD^{\frac {1}{2}}}}

،

t\propto {\frac {Ce}{CG^{\frac {1}{2}}}}

،

قم بتمديد مركز الثقل إلى النقطة F حيث، $CF={\frac {CH^{2}}{MD}}$ ومنذ ذلك الحين ${\frac {Mm}{Ce}}={\frac {MD}{CH}}$ وبناءً على ذلك

{\frac {\tau }{t}}={\frac {Mm}{Ce}}.\left({\frac {CG}{MD}}\right)^{\frac {1}{2}}=\left({\frac {CG}{CF}}\right)^{\frac {1}{2}}

بما أن MN = NK، بالنسبة للمنحنى الدائري:

GH={\frac {MD.HD}{DK}}={\frac {MD.CM}{MK}}

،

CH={\frac {MD.CK}{MK}}={\frac {MD.(MK+CM)}{MK}}

، و

CG=CH+GH={\frac {MD.(MK+2CM)}{MK}}

إذا كان Ce أقرب إلى K منه إلى Mm،

CH={\frac {MD.(MK-CM)}{MK}}

و

CG=CH-GH={\frac {MD.(MK-2CM)}{MK}}

في كلتا الحالتين،

CF={\frac {CH^{2}}{MD}}>CG

ويترتب على ذلك

\tau <t

إذا لم يكن القوس Cc الذي يقابله الزاوية المتناهية الصغر MKm على IJ دائريًا، فيجب أن يكون أكبر من Ce، لأن Cec يصبح مثلثًا قائم الزاوية في النهاية عندما تقترب الزاوية MKm من الصفر.

لاحظ أن برنولي يثبت أن CF > CG بحجة مماثلة ولكنها مختلفة.

ومن هذا يستنتج أن الجسم يجتاز المنحنى الدائري AMB في وقت أقل من أي منحنى آخر ACB.

الطريقة غير المباشرة

وفقًا لمبدأ فيرما ، فإن المسار الذي يسلكه شعاع الضوء بين نقطتين (والذي يخضع لقانون سنيل للانكسار ) هو المسار الذي يستغرق أقل وقت. في عام 1697، استخدم برنولي هذا المبدأ لاستنتاج منحنى براكيستوكرون من خلال دراسة مسار شعاع الضوء في وسط تزداد فيه سرعة الضوء بتسارع رأسي ثابت (تسارع الجاذبية الأرضية g ). ^{[ 22 ]}

بحسب قانون حفظ الطاقة ، فإن السرعة اللحظية لجسم v بعد سقوطه من ارتفاع y في مجال جاذبية منتظم تُعطى بالصيغة التالية:

v={\sqrt {2gy}}

،

سرعة حركة الجسم على طول منحنى عشوائي لا تعتمد على الإزاحة الأفقية.

أشار برنولي إلى أن قانون سنيل للانكسار يعطي ثابتًا لحركة شعاع ضوئي في وسط ذي كثافة متغيرة:

{\frac {\sin {\theta }}{v}}={\frac {1}{v}}{\frac {dx}{ds}}={\frac {1}{v_{m}}}

،

حيث v _m ثابت و $\theta$ يمثل زاوية المسار بالنسبة للخط الرأسي.

تؤدي المعادلات المذكورة أعلاه إلى استنتاجين:

في البداية، يجب أن تكون الزاوية صفراً عندما تكون سرعة الجسيم صفراً. وبالتالي، يكون منحنى براكيستوكرون مماساً للخط الرأسي عند نقطة الأصل.
تصل السرعة إلى أقصى قيمة لها عندما يصبح المسار أفقيًا وتكون الزاوية θ = 90 درجة.

بافتراض تبسيط الأمر أن الجسيم (أو الشعاع) ذو الإحداثيات (x,y) ينطلق من النقطة (0,0) ويصل إلى أقصى سرعة بعد سقوطه مسافة رأسية D :

v_{m}={\sqrt {2gD}}

.

بإعادة ترتيب الحدود في قانون الانكسار والتربيع نحصل على:

v_{m}^{2}dx^{2}=v^{2}ds^{2}=v^{2}(dx^{2}+dy^{2})

والتي يمكن حلها لإيجاد قيمة dx بدلالة dy :

dx={\frac {v\,dy}{\sqrt {v_{m}^{2}-v^{2}}}}

.

بالتعويض من التعبيرات الخاصة بـ v و v _m أعلاه نحصل على:

dx={\sqrt {\frac {y}{D-y}}}\,dy\,,

وهي المعادلة التفاضلية لشكل حلزوني معكوس ناتج عن دائرة قطرها D=2r ، ومعادلتها البارامترية هي:

{\begin{aligned}x&=r(\varphi -\sin \varphi )\\y&=r(1-\cos \varphi ).\end{aligned}}

حيث φ هو معامل حقيقي ، يمثل الزاوية التي دارت بها الدائرة المتدحرجة. بالنسبة لقيمة φ معينة، يقع مركز الدائرة عند $(x, y) = (rφ, r)$ .

في مسألة منحنى السرعة القصيرة، تُعطى حركة الجسم من خلال التطور الزمني للمعامل:

\varphi (t)=\omega t\,,\quad \omega ={\sqrt {\frac {g}{r}}}

حيث t هو الوقت منذ إطلاق الجسم من النقطة (0,0).

حل جاكوب برنولي

بيّن ياكوب، شقيق يوهان ، كيف يمكن استخدام التفاضلات من الدرجة الثانية للحصول على شرط أقل زمن. وفيما يلي نسخة مُحدثة من البرهان: إذا قمنا بانحراف ضئيل عن مسار أقل زمن، فإن المثلث التفاضلي المُشكّل من الإزاحة على طول المسار والإزاحتين الأفقية والرأسية،

ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}

.

عند إجراء التفاضل مع تثبيت قيمة dy نحصل على،

2ds\ d^{2}s=2dx\ d^{2}x

.

وأخيرًا، إعادة ترتيب الحدود تعطي،

{\frac {dx}{ds}}d^{2}x=d^{2}s=v\ d^{2}t

حيث يمثل الجزء الأخير الإزاحة لتغير زمني معين للتفاضلات من الدرجة الثانية. الآن، لننظر إلى التغيرات على طول المسارين المتجاورين في الشكل أدناه، حيث تكون المسافة الأفقية بين المسارين على طول الخط المركزي d = 2x ⁽ وهي نفسها لكل من مثلثي التفاضل العلوي والسفلي). على طول المسارين القديم والجديد، تكون الأجزاء المختلفة هي:

d^{2}t_{1}={\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}d^{2}x

d^{2}t_{2}={\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}d^{2}x

بالنسبة للمسار ذي أقل الأوقات، تكون هذه الأوقات متساوية، لذا فإن الفرق بينهما هو:

d^{2}t_{2}-d^{2}t_{1}=0={\bigg (}{\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}-{\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}{\bigg )}d^{2}x

والشرط لأقل وقت هو،

{\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}={\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}

وهو ما يتفق مع افتراض يوهان القائم على قانون الانكسار .

حل نيوتن

مقدمة

في يونيو 1696، استخدم يوهان برنولي صفحات كتابه "أكتا إيروديتوروم ليبسيداي" لطرح تحدٍّ على المجتمع الرياضي الدولي: إيجاد شكل المنحنى الواصل بين نقطتين ثابتتين بحيث تنزلق كتلةٌ عليه، تحت تأثير الجاذبية فقط، في أقل وقت ممكن. كان من المقرر في الأصل تقديم الحل في غضون ستة أشهر. وبناءً على اقتراح لايبنتز، مدد برنولي التحدي حتى عيد الفصح عام 1697، وذلك من خلال نص مطبوع بعنوان "برنامج"، نُشر في مدينة جرونينجن بهولندا.

يُؤرَّخ البرنامج في الأول من يناير عام ١٦٩٧، وفقًا للتقويم الغريغوري . وكان هذا التاريخ يوافق ٢٢ ديسمبر عام ١٦٩٦ وفقًا للتقويم اليولياني المُستخدم في بريطانيا. ووفقًا لابنة أخت نيوتن، كاثرين كوندويت، علم نيوتن بالتحدي في الساعة الرابعة مساءً من يوم ٢٩ يناير، وحلّه بحلول الساعة الرابعة صباحًا من اليوم التالي. ويُؤرَّخ حله، الذي أُبلغ به إلى الجمعية الملكية ، في ٣٠ يناير. هذا الحل، الذي نُشر لاحقًا دون ذكر اسم المؤلف في المعاملات الفلسفية ، صحيح، ولكنه لا يُشير إلى الطريقة التي توصل إليها نيوتن. وقد أشار برنولي، في رسالة إلى هنري باسناج في مارس ١٦٩٧، إلى أنه على الرغم من أن مؤلفه، "بسبب تواضعه الشديد"، لم يكشف عن اسمه، إلا أنه يُمكن التعرف عليه حتى من التفاصيل القليلة المُقدمة على أنه من عمل نيوتن، "كما يُعرف الأسد بمخلبه" (باللاتينية: ex ungue Leonem ).

يشير دي تي وايتسايد إلى أن الرسالة بالفرنسية تبدأ بعبارة "ex ungue Leonem" مسبوقة بالكلمة الفرنسية "comme" . أما النسخة الشائعة "tanquam ex ungue Leonem" فتعود إلى كتاب ديفيد بريستر الصادر عام 1855 عن حياة نيوتن وأعماله. ويجادل وايتسايد بأن قصد برنولي كان ببساطة الإشارة إلى أنه يستطيع تمييز الحل المجهول على أنه حل نيوتن، تمامًا كما يمكن تمييز حيوان ما بأنه أسد من خلال مخلبه؛ ولم يكن المقصود الإيحاء بأن برنولي اعتبر نيوتن أسدًا بين علماء الرياضيات، كما فُسِّر لاحقًا. ^{[ 23 ]}

علم جون واليس ، الذي كان يبلغ من العمر 80 عامًا آنذاك، بالمشكلة في سبتمبر 1696 من هيرونيموس، الشقيق الأصغر لبرنولي، وقضى ثلاثة أشهر في محاولة إيجاد حل قبل أن يُحيله في ديسمبر إلى ديفيد غريغوري ، الذي فشل هو الآخر في حله. بعد أن قدم نيوتن حله، طلب منه غريغوري تفاصيل الحل ودون ملاحظات عن محادثتهما. يمكن الاطلاع على هذه الملاحظات في مكتبة جامعة إدنبرة ، المخطوطة أ. $78^{1}$ بتاريخ 7 مارس 1697. إما أن غريغوري لم يفهم حجة نيوتن، أو أن شرح نيوتن كان موجزًا للغاية. لكن من الممكن، بدرجة عالية من الثقة، استنباط برهان نيوتن من ملاحظات غريغوري، قياسًا على طريقته في تحديد المجسم ذي المقاومة الدنيا (الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية، الكتاب الثاني، القضية 34، الشرح 2). يتضمن مسودة رسالة إلى غريغوري عام 1694 وصفًا تفصيليًا لحله لهذه المسألة الأخيرة. ^{[ 24 ]} بالإضافة إلى مسألة منحنى الزمن الأدنى، حل نيوتن مسألة ثانية في الوقت نفسه. نُشر كلا الحلين دون ذكر اسم المؤلف في المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية لشهر يناير 1697.

مشكلة منحنى براكيستوكرون

تحدي برنولي لنيوتن 1

يوضح الشكل 1 مخطط غريغوري (باستثناء غياب الخط الإضافي IF، وإضافة النقطة Z، وهي نقطة البداية). المنحنى ZVA هو منحنى دائري، وCHV هي الدائرة المولدة له. بما أن الجسم يبدو أنه يتحرك لأعلى من النقطة e إلى النقطة E، فمن المفترض أن جسمًا صغيرًا قد أُطلق من النقطة Z وانزلق على طول المنحنى إلى النقطة A، دون احتكاك، تحت تأثير الجاذبية.

لنفترض وجود قوس صغير eE، يصعد عليه الجسم. لنفترض أنه يقطع الخط المستقيم eL إلى النقطة L، المزاحة أفقيًا عن E بمسافة صغيرة θ، بدلًا من القوس eE. لاحظ أن eL ليس المماس عند e، وأن θ سالبة عندما تكون L بين B وE. ارسم خطًا يمر بـ E موازيًا لـ CH، ويقطع eL عند n. من خصائص المنحنى الدائري، يكون En هو العمودي على المماس عند E، وبالمثل، يكون المماس عند E موازيًا لـ VH.

بما أن الإزاحة EL صغيرة، فإنها لا تختلف كثيرًا في اتجاهها عن المماس عند النقطة E، وبالتالي فإن الزاوية EnL تقترب من الزاوية القائمة. وعندما يقترب القوس eE من الصفر، يصبح eL موازيًا للزاوية VH، بشرط أن تكون θ صغيرة مقارنةً بـ eE، مما يجعل المثلثين EnL وCHV متشابهين.

كما أن طول الوتر eE يقترب من طول الوتر eE، والزيادة في الطول، $eL-eE=nL={\frac {o.CH}{CV}}$ متجاهلاً المصطلحات في $o^{2}$ وأعلى من ذلك، وهو ما يمثل الخطأ الناتج عن التقريب بأن eL و VH متوازيان.

يمكن اعتبار السرعة على طول المحورين eE أو eL مساوية للسرعة عند النقطة E، وهي متناسبة مع ${\sqrt {CB}}$ ، وهو ما يعادل CH، لأن $CH={\sqrt {CB.CV}}$

يبدو أن هذا كل ما تحتويه رسالة غريغوري.

لنفترض أن t هو الوقت الإضافي اللازم للوصول إلى L،

$t\propto {\frac {nL}{\sqrt {CB}}}={\frac {o.CH}{CV.{\sqrt {CB}}}}={\frac {o}{\sqrt {CV}}}$

لذا، فإن الزيادة في زمن اجتياز قوس صغير مُزاح عند إحدى نهايتيه تعتمد فقط على مقدار الإزاحة عند تلك النهاية، ولا تعتمد على موضع القوس. وبحسب طريقة نيوتن، فإن هذا هو الشرط اللازم لاجتياز المنحنى في أقل زمن ممكن. وعليه، يستنتج أن المنحنى الأمثل هو المنحنى الدائري.

ويجادل على النحو التالي.

بافتراض أن الشكل 1 يمثل المنحنى الأدنى غير المحدد بعد، مع إزالة المحور الرأسي CV والدائرة CHV، وأن الشكل 2 يوضح جزءًا من المنحنى بين القوس المتناهي الصغر eE وقوس متناهي الصغر آخر Ff على مسافة محددة على طول المنحنى، فإن الزمن الإضافي t اللازم لاجتياز eL (بدلاً من eE) يساوي nL مقسومًا على السرعة عند E (متناسبًا مع ${\sqrt {CB}}$ ) مع تجاهل المصطلحات في $o^{2}$ وما فوق:

$t\propto {\frac {o.DE}{eE.{\sqrt {CB}}}}$ ،

عند النقطة L، يواصل الجسيم مساره LM، الموازي للمسار الأصلي EF، إلى نقطة عشوائية M. وبما أن سرعته عند L هي نفسها عند E، فإن زمن اجتيازه للمسار LM هو نفسه زمن اجتيازه للمسار الأصلي EF. عند النقطة M، يعود الجسيم إلى مساره الأصلي عند النقطة f. وبناءً على المنطق نفسه، فإن انخفاض الزمن T اللازم للوصول إلى f من M بدلاً من F هو

$T\propto {\frac {o.FG}{Ff.{\sqrt {CI}}}}$

الفرق (t – T) هو الوقت الإضافي الذي يستغرقه المسار eLMf مقارنة بالمسار الأصلي eEFf :

$(t-T)\propto \left({\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}-{\frac {FG}{Ff{\sqrt {CI}}}}\right).o$ بالإضافة إلى الشروط في $o^{2}$ وأعلى (1)

بما أن eEFf هو المنحنى الأدنى، فإن (t – T) يجب أن يكون أكبر من الصفر، سواء كانت قيمة o موجبة أم سالبة. وبالتالي، فإن معامل o في (1) يجب أن يكون صفرًا.

${\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}={\frac {FG}{Ff{\sqrt {CI}}}}$ (2) في حالة اقتراب eE و fF من الصفر. لاحظ أنه بما أن eEFf هو المنحنى الأدنى، فيجب افتراض أن معامل $o^{2}$ أكبر من الصفر.

من الواضح أنه يجب أن يكون هناك إزاحتان متساويتان ومتعاكستان، وإلا فلن يعود الجسم إلى نقطة النهاية، أ، للمنحنى.

إذا كانت قيمة e ثابتة، وإذا اعتبرنا f نقطة متغيرة أعلى المنحنى، فإن f، بالنسبة لجميع هذه النقاط، ${\frac {FG}{Ff{\sqrt {CI}}}}$ ثابت (يساوي ${\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}$ ). من خلال تثبيت قيمة f وجعل قيمة e متغيرة، يتضح أن ${\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}$ وهو ثابت أيضاً.

لكن، بما أن النقطتين e و f اختياريتان، فإن المعادلة (2) لا يمكن أن تكون صحيحة إلا إذا ${\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}={\text{constant}}$ في كل مكان، وهذه الحالة تميز المنحنى المطلوب. وهذه هي نفس التقنية التي يستخدمها لإيجاد شكل المجسم ذي المقاومة الأقل.

بالنسبة للمنحنى الدائري، ${\frac {DE}{eE}}={\frac {BH}{VH}}={\frac {CH}{CV}}$ ، لهذا السبب ${\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}={\frac {CH}{CV.{\sqrt {CB}}}}$ ، والذي تبين أعلاه أنه ثابت، و Brachistochrone هو المنحنى الدائري.

لم يذكر نيوتن كيف اكتشف أن المنحنى الدائري يحقق هذه العلاقة الأخيرة. ربما كان ذلك عن طريق التجربة والخطأ، أو ربما أدرك فورًا أن ذلك يعني أن المنحنى هو المنحنى الدائري.

انظر أيضاً

مراجع

↑ تشيشولم، هيو ، محرر (1911). "Brachistochrone" . الموسوعة البريطانية ( الطبعة الحادية عشرة). مطبعة جامعة كامبريدج.
↑ ستيوارت، جيمس. "القسم 10.1 - المنحنيات المعرفة بالمعادلات البارامترية". حساب التفاضل والتكامل: الدوال المتسامية المبكرة . الطبعة السابعة. بلمونت، كاليفورنيا: تومسون بروكس/كول، 2012. 640. مطبوع.
^ فايسشتاين ، إريك دبليو. “مشكلة Brachistochrone” . عالم الرياضيات .
↑ روس، آي إم. نموذج براكيستوكرون، في كتاب تمهيدي حول مبدأ بونترياجين في التحكم الأمثل ، دار النشر كوليجيت، 2009. رقم ISBN 978-0-9843571-0-9.
1 2 هاند، لويس ن.، وجانيت د. فينش. "الفصل 2: حساب التفاضل والتكامل التغيري وتطبيقه على الميكانيكا". الميكانيكا التحليلية . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج، 1998. 45، 70. مطبوع.
↑ غاليليو غاليلي (1638)، "اليوم الثالث، النظرية 22، القضية 36" ، خطابات حول علمين جديدين ، ص 239 وقد ظهر هذا الاستنتاج قبل ست سنوات في حوار غاليليو حول النظامين العالميين الرئيسيين (اليوم 4).
↑ غاليليو غاليلي (1967). "حوار حول النظامين العالميين الرئيسيين - البطلمي والكوبرنيكي" ترجمة ستيلمان دريك، مقدمة بقلم ألبرت أينشتاين" ( طبعة غلاف مقوى). مطبعة جامعة كاليفورنيا، بيركلي ولوس أنجلوس. ص 451. ISBN 0520004493.
↑ يوهان برنولي (يونيو 1696) "مشكلة جديدة في حل الرياضيات الجذابة." (مشكلة جديدة يدعى علماء الرياضيات إلى حلها)، Acta Eruditorum ، 18 : 269. من ص. 269: "البيانات في المستوى العمودي الثنائي النقاط A & B (vid Fig. 5) تُعيَّن Mobili M، عبر AMB، لكل ما ينجذب إلى النزول والتحرك يبدأ إلى النقطة A، يختصر الوقت إلى تغيير النقطة B." (بالنظر إلى النقطتين A وB في المستوى الرأسي (انظر الشكل 5)، عيّن إلى [الجسم] المتحرك M، المسار AMB، الذي من خلاله - ينزل بوزنه ويبدأ في التحرك [بواسطة الجاذبية] من النقطة A - سيصل إلى النقطة الأخرى B في أقصر وقت.)
↑
حلول لمسألة يوهان برنولي لعام 1696:
- إسحاق نيوتن (يناير 1697) "De ratione temporis quo Grave labitur perrectam data duo puncta conjungentem, ad tempus brevissimum quo, vi gravitatis, Transit ab horum uno ad alterum per arcum cycloidis" (على إثبات [أن] الوقت الذي ينزلق فيه الوزن بخط يصل بين نقطتين محددتين [هو] الأقصر من حيث الوقت عندما يمر، عبر قوة الجاذبية، من إحدى هذه [النقاط] إلى الأخرى عبر قوس دائري)، المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن ، 19 : 424-425.
- GGL (جوتفريد فيلهلم ليبنيز) (مايو 1697) "الاتصالات الخاصة بزوجي، منذ فترة طويلة إلى نهاية sibi primum للدكتور جو. بيرنوليو، من خلال الدكتور مارشيوني هوسبيتاليو، حل مشكلة التواصل مع منحنى سيلريمي من الدكتور جو. بيرنوليو، اقتراح هندسي عام، مع حل إشكالياتك تتغير من خلال اقتراح آخر." (اتصاله مع [اتصال] اثنين آخرين في تقرير له أولاً من يوهان برنولي، [ثم] من ماركيز دي لوبيتال، بشأن الحلول المبلغ عنها لمشكلة منحنى أسرع انحدار، [التي] اقترحها علنًا يوهان برنولي، عالم الهندسة - واحد مع حل لمشكلته الأخرى التي اقترحها لاحقًا نفس [الشخص].)، Acta Eruditorum ، 19 : 201-205.
- يوهان بيرنولي (مايو 1697) "نصف القطر المنحني في شفافية غير موحدة، حل مشكلة بحد ذاتها في Actis 1696، ص. 269، اقتراح، de invenienda Linea Brachystochrona، id est، in qua Grave a dato puncto ad datum puntum brevissimo tempore decurrit، & de curva Synchrona seu radiorum unda construenda." (انحناء أشعة [الضوء] في الأوساط غير المتجانسة، وحل للمشكلة [التي] اقترحتها في Acta Eruditorum لعام 1696، ص 269، والتي يمكن من خلالها إيجاد خط brachistochrone [أي المنحنى]، أي الذي ينزل فيه وزن من نقطة معينة إلى نقطة معينة في أقصر وقت، وعلى إنشاء tautochrone أو موجة أشعة [الضوء].)، Acta Eruditorum ، 19 : 206-211.
- جاكوب بيرنولي (مايو 1697) "Solutioproblematum fraternorum،..." (حل لمشاكل أخي،...)، Acta Eruditorum ، 19 : 211-214.
- ماركيز دي لوبيتال (مايو 1697) "Domini Marchionis Hospitalii solutio issuesatis de linea celerimi descensus" (حل اللورد ماركيز دي لوبيتال لمشكلة خط النسب الأسرع)، Acta Eruditorum ، 19 : 217-220.
- أعيد طبعه: إسحاق نيوتن (مايو 1697) "مقتطفات من Transactionibus Philos. Anglic. M. Jan. 1697." (مقتطف من المعاملات الفلسفية الإنجليزية لشهر يناير عام 1697)، Acta Eruditorum ، 19 : 223–224.
↑ ليفيو، ماريو (2003) [2002]. النسبة الذهبية: قصة فاي، الرقم الأكثر إثارة للدهشة في العالم (الطبعة الأولى بغلاف ورقي ). مدينة نيويورك: برودواي بوكس . ص 116. ISBN 0-7679-0816-3.
1 2 ستريك، جيه دي (1969)، كتاب مصادر في الرياضيات، 1200-1800 ، مطبعة جامعة هارفارد، ISBN 0-691-02397-2
↑ هيرمان إرليخسون (1999)، "حل منحنى براكيستوكرون ليوهان برنولي باستخدام مبدأ فيرما لأقل زمن"، المجلة الأوروبية للفيزياء ، 20 (5): 299-304 ، Bibcode : 1999EJPh...20..299E ، doi : 10.1088/0143-0807/20/5/301 ، S2CID 250741844
↑ ساغان، كارل (2011). الكون . دار راندوم هاوس للنشر. ص 94. ISBN 9780307800985تم الاطلاع عليه بتاريخ 2 يونيو 2016 .
↑ كاتز، فيكتور ج. ( 1998). تاريخ الرياضيات: مقدمة ( الطبعة الثانية). أديسون ويسلي لونجمان. ص 547. ISBN 978-0-321-01618-8.
↑ DT Whiteside ، نيوتن عالم الرياضيات ، في Bechler، أبحاث نيوتن المعاصرة ، ص 122.
↑ سميث، دونالد ر. (1998). الأساليب التباينية في التحسين . نيويورك، نيويورك: منشورات دوفر. ص 129. ISBN 978-0-486-40455-4.
↑ رولاندز، بيتر (2017). نيوتن ونظام العالم العظيم . دار النشر العالمية العلمية . الصفحات 36-39 . doi : 10.1142/q0108 . ISBN 978-1-78634-372-7.
^ كوستابيل، بيير. بيفر ، جين (1988). Der Bringwechsel von Johann I Bernoulli"، المجلد الثاني: "Der Bringwechsel mit Pierre Varignon, Erster Teil: 1692-1702" (طبعة ذات غلاف مقوى ). Springer Basel Ag. ص 329. ISBN 978-3-0348-5068-1.
^ بيرنولي، يوهان. مذكرات أكاديمية العلوم (الأكاديمية الفرنسية للعلوم) المجلد. 3، 1718، ص 135-138
↑ الفترة المبكرة من حساب التفاضل والتكامل ، بقلم ب. فريجوليا وم. جياكوينتا، الصفحات 53-57، رقم ISBN 978-3-319-38945-5.
^ كوستابيل، بيير. بيفر ، جين (1988). "دير بريفويشسيل فون يوهان آي بيرنولي"، المجلد. II: “Der Bringwechsel mit Pierre Varignon, Erster Teil: 1692-1702” (طبعة ذات غلاف مقوى ). سبرينغر بازل Aktiengesellschaft. ص 117 – 118. ISBN 978-3-0348-5068-1.
↑ باب، جيف؛ كوري، جيمس (يوليو 2008)، "مسألة منحنى براكيستوكرون: الرياضيات لجمهور واسع من خلال مسألة سياقية كبيرة" (ملف PDF) ، مجلة مونتانا لعشاق الرياضيات ، 5 (2 و3): 169-184 ، doi : 10.54870/1551-3440.1099 ، S2CID 8923709 ، مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 27 يوليو 2011
↑ وايتسايد، ديريك توماس (2008). الأوراق الرياضية لإسحاق نيوتن، المجلد 8 ( طبعة ورقية). مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 9-10 ، الملاحظتان (21) و(22). ISBN 978-0-521-20103-2.
^ دوبوا، جاك (1991). "Chute d'une bille le long d'une gouttière cycloïdale; Tautochrone et brachistochrone; Propriétés et historique" (PDF) . نشرة اتحاد الأطباء . 85 (737): 1251-1289 .

روابط خارجية

"Brachistochrone" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
فايستين، إريك دبليو. “مشكلة الزمن القصير” . عالم الرياضيات .
منحنى براكيستوكرون (موجود في موقع MathCurve، مع أمثلة متحركة ممتازة)
منحنى براكيستوكرون ، رياضيات زقاق ويسلر.
الجدول الرابع من مقال برنولي في Acta Eruditorum 1697
منحنيات براكيستوكرون لمايكل تروت ومسألة براكيستوكرون لأوكاي أريك، مشروع عروض وولفرام .
مشكلة منحنى براكيستوكرون في ماك تيوتور
إعادة النظر في الجيوديسيات - مقدمة عن الجيوديسيات بما في ذلك طريقتان لاشتقاق معادلة الجيوديسية مع براكيستوكرون كحالة خاصة من الجيوديسية.
حل التحكم الأمثل لمسألة منحنى براكيستوكرون في بايثون.
الخط المستقيم، والسلسلة، والخط القصير، والدائرة، ونهج فيرما الموحد لبعض الخطوط الجيوديسية.

[1] تشيشولم، هيو ، محرر (1911). "Brachistochrone" . الموسوعة البريطانية ( الطبعة الحادية عشرة). مطبعة جامعة كامبريدج.

[Stewart-2] ستيوارت، جيمس. "القسم 10.1 - المنحنيات المعرفة بالمعادلات البارامترية". حساب التفاضل والتكامل: الدوال المتسامية المبكرة . الطبعة السابعة. بلمونت، كاليفورنيا: تومسون بروكس/كول، 2012. 640. مطبوع.

[3] فايسشتاين ، إريك دبليو. “مشكلة Brachistochrone” . عالم الرياضيات .

[4] روس، آي إم. نموذج براكيستوكرون، في كتاب تمهيدي حول مبدأ بونترياجين في التحكم الأمثل ، دار النشر كوليجيت، 2009. رقم ISBN 978-0-9843571-0-9.

[Hand-5] 1 2 هاند، لويس ن.، وجانيت د. فينش. "الفصل 2: حساب التفاضل والتكامل التغيري وتطبيقه على الميكانيكا". الميكانيكا التحليلية . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج، 1998. 45، 70. مطبوع.

[6] غاليليو غاليلي (1638)، "اليوم الثالث، النظرية 22، القضية 36" ، خطابات حول علمين جديدين ، ص 239 وقد ظهر هذا الاستنتاج قبل ست سنوات في حوار غاليليو حول النظامين العالميين الرئيسيين (اليوم 4).

[7] غاليليو غاليلي (1967). "حوار حول النظامين العالميين الرئيسيين - البطلمي والكوبرنيكي" ترجمة ستيلمان دريك، مقدمة بقلم ألبرت أينشتاين" ( طبعة غلاف مقوى). مطبعة جامعة كاليفورنيا، بيركلي ولوس أنجلوس. ص 451. ISBN 0520004493.

[8] يوهان برنولي (يونيو 1696) "مشكلة جديدة في حل الرياضيات الجذابة." (مشكلة جديدة يدعى علماء الرياضيات إلى حلها)، Acta Eruditorum ، 18 : 269. من ص. 269: "البيانات في المستوى العمودي الثنائي النقاط A & B (vid Fig. 5) تُعيَّن Mobili M، عبر AMB، لكل ما ينجذب إلى النزول والتحرك يبدأ إلى النقطة A، يختصر الوقت إلى تغيير النقطة B." (بالنظر إلى النقطتين A وB في المستوى الرأسي (انظر الشكل 5)، عيّن إلى [الجسم] المتحرك M، المسار AMB، الذي من خلاله - ينزل بوزنه ويبدأ في التحرك [بواسطة الجاذبية] من النقطة A - سيصل إلى النقطة الأخرى B في أقصر وقت.)

[9] حلول لمسألة يوهان برنولي لعام 1696:
إسحاق نيوتن (يناير 1697) "De ratione temporis quo Grave labitur perrectam data duo puncta conjungentem, ad tempus brevissimum quo, vi gravitatis, Transit ab horum uno ad alterum per arcum cycloidis" (على إثبات [أن] الوقت الذي ينزلق فيه الوزن بخط يصل بين نقطتين محددتين [هو] الأقصر من حيث الوقت عندما يمر، عبر قوة الجاذبية، من إحدى هذه [النقاط] إلى الأخرى عبر قوس دائري)، المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن ، 19 : 424-425.
GGL (جوتفريد فيلهلم ليبنيز) (مايو 1697) "الاتصالات الخاصة بزوجي، منذ فترة طويلة إلى نهاية sibi primum للدكتور جو. بيرنوليو، من خلال الدكتور مارشيوني هوسبيتاليو، حل مشكلة التواصل مع منحنى سيلريمي من الدكتور جو. بيرنوليو، اقتراح هندسي عام، مع حل إشكالياتك تتغير من خلال اقتراح آخر." (اتصاله مع [اتصال] اثنين آخرين في تقرير له أولاً من يوهان برنولي، [ثم] من ماركيز دي لوبيتال، بشأن الحلول المبلغ عنها لمشكلة منحنى أسرع انحدار، [التي] اقترحها علنًا يوهان برنولي، عالم الهندسة - واحد مع حل لمشكلته الأخرى التي اقترحها لاحقًا نفس [الشخص].)، Acta Eruditorum ، 19 : 201-205.
يوهان بيرنولي (مايو 1697) "نصف القطر المنحني في شفافية غير موحدة، حل مشكلة بحد ذاتها في Actis 1696، ص. 269، اقتراح، de invenienda Linea Brachystochrona، id est، in qua Grave a dato puncto ad datum puntum brevissimo tempore decurrit، & de curva Synchrona seu radiorum unda construenda." (انحناء أشعة [الضوء] في الأوساط غير المتجانسة، وحل للمشكلة [التي] اقترحتها في Acta Eruditorum لعام 1696، ص 269، والتي يمكن من خلالها إيجاد خط brachistochrone [أي المنحنى]، أي الذي ينزل فيه وزن من نقطة معينة إلى نقطة معينة في أقصر وقت، وعلى إنشاء tautochrone أو موجة أشعة [الضوء].)، Acta Eruditorum ، 19 : 206-211.
جاكوب بيرنولي (مايو 1697) "Solutioproblematum fraternorum،..." (حل لمشاكل أخي،...)، Acta Eruditorum ، 19 : 211-214.
ماركيز دي لوبيتال (مايو 1697) "Domini Marchionis Hospitalii solutio issuesatis de linea celerimi descensus" (حل اللورد ماركيز دي لوبيتال لمشكلة خط النسب الأسرع)، Acta Eruditorum ، 19 : 217-220.
أعيد طبعه: إسحاق نيوتن (مايو 1697) "مقتطفات من Transactionibus Philos. Anglic. M. Jan. 1697." (مقتطف من المعاملات الفلسفية الإنجليزية لشهر يناير عام 1697)، Acta Eruditorum ، 19 : 223–224.

[mwAh8] إسحاق نيوتن (يناير 1697) "De ratione temporis quo Grave labitur perrectam data duo puncta conjungentem, ad tempus brevissimum quo, vi gravitatis, Transit ab horum uno ad alterum per arcum cycloidis" (على إثبات [أن] الوقت الذي ينزلق فيه الوزن بخط يصل بين نقطتين محددتين [هو] الأقصر من حيث الوقت عندما يمر، عبر قوة الجاذبية، من إحدى هذه [النقاط] إلى الأخرى عبر قوس دائري)، المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن ، 19 : 424-425.

[mwAiQ] GGL (جوتفريد فيلهلم ليبنيز) (مايو 1697) "الاتصالات الخاصة بزوجي، منذ فترة طويلة إلى نهاية sibi primum للدكتور جو. بيرنوليو، من خلال الدكتور مارشيوني هوسبيتاليو، حل مشكلة التواصل مع منحنى سيلريمي من الدكتور جو. بيرنوليو، اقتراح هندسي عام، مع حل إشكالياتك تتغير من خلال اقتراح آخر." (اتصاله مع [اتصال] اثنين آخرين في تقرير له أولاً من يوهان برنولي، [ثم] من ماركيز دي لوبيتال، بشأن الحلول المبلغ عنها لمشكلة منحنى أسرع انحدار، [التي] اقترحها علنًا يوهان برنولي، عالم الهندسة - واحد مع حل لمشكلته الأخرى التي اقترحها لاحقًا نفس [الشخص].)، Acta Eruditorum ، 19 : 201-205.

[mwAik] يوهان بيرنولي (مايو 1697) "نصف القطر المنحني في شفافية غير موحدة، حل مشكلة بحد ذاتها في Actis 1696، ص. 269، اقتراح، de invenienda Linea Brachystochrona، id est، in qua Grave a dato puncto ad datum puntum brevissimo tempore decurrit، & de curva Synchrona seu radiorum unda construenda." (انحناء أشعة [الضوء] في الأوساط غير المتجانسة، وحل للمشكلة [التي] اقترحتها في Acta Eruditorum لعام 1696، ص 269، والتي يمكن من خلالها إيجاد خط brachistochrone [أي المنحنى]، أي الذي ينزل فيه وزن من نقطة معينة إلى نقطة معينة في أقصر وقت، وعلى إنشاء tautochrone أو موجة أشعة [الضوء].)، Acta Eruditorum ، 19 : 206-211.

[mwAi8] جاكوب بيرنولي (مايو 1697) "Solutioproblematum fraternorum،..." (حل لمشاكل أخي،...)، Acta Eruditorum ، 19 : 211-214.

[mwAjQ] ماركيز دي لوبيتال (مايو 1697) "Domini Marchionis Hospitalii solutio issuesatis de linea celerimi descensus" (حل اللورد ماركيز دي لوبيتال لمشكلة خط النسب الأسرع)، Acta Eruditorum ، 19 : 217-220.

[mwAjk] أعيد طبعه: إسحاق نيوتن (مايو 1697) "مقتطفات من Transactionibus Philos. Anglic. M. Jan. 1697." (مقتطف من المعاملات الفلسفية الإنجليزية لشهر يناير عام 1697)، Acta Eruditorum ، 19 : 223–224.

[10] ليفيو، ماريو (2003) [2002]. النسبة الذهبية: قصة فاي، الرقم الأكثر إثارة للدهشة في العالم (الطبعة الأولى بغلاف ورقي ). مدينة نيويورك: برودواي بوكس . ص 116. ISBN 0-7679-0816-3.

[Struik-11] 1 2 ستريك، جيه دي (1969)، كتاب مصادر في الرياضيات، 1200-1800 ، مطبعة جامعة هارفارد، ISBN 0-691-02397-2

[12] هيرمان إرليخسون (1999)، "حل منحنى براكيستوكرون ليوهان برنولي باستخدام مبدأ فيرما لأقل زمن"، المجلة الأوروبية للفيزياء ، 20 (5): 299-304 ، Bibcode : 1999EJPh...20..299E ، doi : 10.1088/0143-0807/20/5/301 ، S2CID 250741844

[13] ساغان، كارل (2011). الكون . دار راندوم هاوس للنشر. ص 94. ISBN 9780307800985تم الاطلاع عليه بتاريخ 2 يونيو 2016 .

[14] كاتز، فيكتور ج. ( 1998). تاريخ الرياضيات: مقدمة ( الطبعة الثانية). أديسون ويسلي لونجمان. ص 547. ISBN 978-0-321-01618-8.

[15] DT Whiteside ، نيوتن عالم الرياضيات ، في Bechler، أبحاث نيوتن المعاصرة ، ص 122.

[16] سميث، دونالد ر. (1998). الأساليب التباينية في التحسين . نيويورك، نيويورك: منشورات دوفر. ص 129. ISBN 978-0-486-40455-4.

[:1-17] رولاندز، بيتر (2017). نيوتن ونظام العالم العظيم . دار النشر العالمية العلمية . الصفحات 36-39 . doi : 10.1142/q0108 . ISBN 978-1-78634-372-7.

[18] كوستابيل، بيير. بيفر ، جين (1988). Der Bringwechsel von Johann I Bernoulli"، المجلد الثاني: "Der Bringwechsel mit Pierre Varignon, Erster Teil: 1692-1702" (طبعة ذات غلاف مقوى ). Springer Basel Ag. ص 329. ISBN 978-3-0348-5068-1.

[19] بيرنولي، يوهان. مذكرات أكاديمية العلوم (الأكاديمية الفرنسية للعلوم) المجلد. 3، 1718، ص 135-138

[20] الفترة المبكرة من حساب التفاضل والتكامل ، بقلم ب. فريجوليا وم. جياكوينتا، الصفحات 53-57، رقم ISBN 978-3-319-38945-5.

[21] كوستابيل، بيير. بيفر ، جين (1988). "دير بريفويشسيل فون يوهان آي بيرنولي"، المجلد. II: “Der Bringwechsel mit Pierre Varignon, Erster Teil: 1692-1702” (طبعة ذات غلاف مقوى ). سبرينغر بازل Aktiengesellschaft. ص 117 – 118. ISBN 978-3-0348-5068-1.

[22] باب، جيف؛ كوري، جيمس (يوليو 2008)، "مسألة منحنى براكيستوكرون: الرياضيات لجمهور واسع من خلال مسألة سياقية كبيرة" (ملف PDF) ، مجلة مونتانا لعشاق الرياضيات ، 5 (2 و3): 169-184 ، doi : 10.54870/1551-3440.1099 ، S2CID 8923709 ، مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 27 يوليو 2011

[23] وايتسايد، ديريك توماس (2008). الأوراق الرياضية لإسحاق نيوتن، المجلد 8 ( طبعة ورقية). مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 9-10 ، الملاحظتان (21) و(22). ISBN 978-0-521-20103-2.

[Dubois-24] دوبوا، جاك (1991). "Chute d'une bille le long d'une gouttière cycloïdale; Tautochrone et brachistochrone; Propriétés et historique" (PDF) . نشرة اتحاد الأطباء . 85 (737): 1251-1289 .

بمعنى

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[

[

[ 13 ]

[

[

[

[ 18 ]

[ ١٩ ]

[ ٢٠ ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗